Trigonometria în triunghiul dreptunghic — recapitulare și extindere

Stai în fața blocului tău și te întrebi cât de înalt e, de fapt. Nu ai cum să urci pe acoperiș cu ruleta, dar ai ceva mult mai simplu: te depărtezi $30$ de metri, te uiți spre streașină și măsori unghiul sub care o vezi. Atât. Din două numere — o distanță pe care o poți parcurge și un unghi pe care îl poți măsura — obții o înălțime la care nu ajungi cu mâna. Instrumentul care face traducerea se numește trigonometrie, iar tu îl ai deja în trusă din gimnaziu.

Anul acesta îl scoatem din trusă, îl ștergem de praf și îl ducem mult mai departe. Până acum trigonometria ta a funcționat doar în triunghiuri dreptunghice — acolo unde există o ipotenuză și două catete. Dar terenurile, acoperișurile, drumurile și traseele navelor formează, aproape întotdeauna, triunghiuri oarecare, fără niciun unghi drept. Unitatea aceasta este exact povestea felului în care trecem de la primele la celelalte, iar lecția de față este temelia: recapitulăm cele trei rapoarte trigonometrice, le fixăm valorile pe care le vei folosi tot anul și, la final, vedem cu ochii noștri de ce în triunghiul oarecare avem nevoie de unelte noi.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești sinusul, cosinusul și tangenta unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic, folosind corect cuvintele „cateta opusă", „cateta alăturată" și „ipotenuză".
• Vei ști să reții și să folosești valorile remarcabile pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$, fără să le cauți nicăieri.
• Vei ști să calculezi o latură necunoscută dintr-un triunghi dreptunghic când cunoști o latură și un unghi ascuțit.
• Vei ști să afli un unghi dintr-un triunghi dreptunghic când cunoști două laturi.
• Vei ști să folosești relațiile ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ca instrumente de calcul și de verificare.
• Vei ști să rezolvi probleme practice de înălțimi și distanțe (unghi de elevație, rampe, scări) și să explici de ce triunghiul oarecare cere unelte suplimentare.

Hai să descoperim împreună

1. Trei rapoarte, o singură idee

Pornim de la un triunghi $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{\circ }$. Latura din fața unghiului drept, $BC$, se numește ipotenuză — este mereu cea mai lungă. Celelalte două, $AB$ și $AC$, sunt catetele.

Fixează acum atenția pe unghiul ascuțit $B$. Față de el, cele două catete au roluri diferite:

• $AC$ este cateta opusă lui $B$ (stă în fața lui, nu îl atinge);
• $AB$ este cateta alăturată lui $B$ (formează unghiul, împreună cu ipotenuza).

Cu vocabularul acesta, definițiile sună simplu și se rețin ca o poezioară:

$$\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{AC}{BC},\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{AB}{BC},\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{AC}{AB}.$$

Ideea de fond, cea care merită înțeleasă și nu memorată: rapoartele acestea nu depind de mărimea triunghiului, ci doar de unghi. Dacă desenezi două triunghiuri dreptunghice cu același unghi ascuțit de $37^{\circ }$, unul mic cât o palmă și altul cât un teren de fotbal, ele sunt asemenea, deci laturile lor sunt proporționale, deci raportul „opusă pe ipotenuză" iese exact același număr. Tocmai de aceea are sens să scriem $\sin 37^{\circ }$ fără să spunem în ce triunghi — valoarea e aceeași pretutindeni.

2. Cele trei valori pe care le știi pe de rost

Există trei unghiuri pentru care valorile se obțin din figuri simple, fără niciun tabel. Le-ai întâlnit în clasa a IX-a, la lecția despre valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază, și le vom folosi în absolut toate lecțiile care urmează.

Unghiul de $45^{\circ }$ vine dintr-un pătrat tăiat pe diagonală: obții un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale, să zicem $1$ și $1$, și cu ipotenuza $\sqrt{2}$. De aici $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$.

Unghiurile de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ vin dintr-un triunghi echilateral tăiat pe înălțime: dintr-un triunghi echilateral de latură $2$ obții un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $2$, cu o catetă $1$ (jumătate din latură) și cu cealaltă $\sqrt{3}$. Unghiurile lui sunt $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$, iar de aici ies toate valorile din tabel.

Un truc de memorare care nu dă greș: pe linia sinusului, numărătorii sunt $\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}$, iar numitorul e mereu $2$. Linia cosinusului este aceeași linie, citită de la dreapta la stânga.

3. Unghiurile complementare: sinusul unuia e cosinusul celuilalt

Într-un triunghi dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite sunt complementare: $m(\angle B)+m(\angle C)=90^{\circ }$. Iar ce e „cateta opusă" pentru $B$ este „cateta alăturată" pentru $C$ și invers. Concluzia se citește direct de pe figură:

$$\sin (90^{\circ }-x)=\cos x,\cos (90^{\circ }-x)=\sin x.$$

De exemplu $\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }$ și $\cos 65^{\circ }=\sin 25^{\circ }$. Relația e comodă la calcule, dar te și scutește de jumătate de tabel: dacă știi valorile până la $45^{\circ }$, le știi automat și pe cele de la $45^{\circ }$ la $90^{\circ }$.

4. Cele două relații care leagă totul

Prima este cea mai folosită formulă din toată trigonometria. O cunoști din clasa a IX-a, de la formula fundamentală a trigonometriei, și în triunghiul dreptunghic e chiar teorema lui Pitagora deghizată:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$

Verific-o pe un caz concret. În triunghiul cu laturile $8$, $15$, $17$ (dreptunghic, pentru că $64+225=289$), unghiul opus laturii $8$ are $\sin =\frac{8}{17}$ și $\cos =\frac{15}{17}$. Atunci

$${\left(\frac{8}{17}\right)}^2+{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=\frac{64+225}{289}=\frac{289}{289}=1.✓$$

A doua relație leagă tangenta de celelalte două:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Se vede imediat din definiții: $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\text{opusa˘}/\text{ipotenuza˘}}{\text{ala˘turata˘}/\text{ipotenuza˘}}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\mathrm{tg}x$. Ipotenuza se simplifică și rămâne exact raportul catetelor.

Împreună, cele două formule au o consecință practică foarte utilă: dacă știi una dintre valorile trigonometrice ale unui unghi ascuțit, le poți afla pe toate celelalte, fără să știi unghiul. Dacă $\cos B=\frac{3}{5}$, atunci ${\sin }^{2}B=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\sin B=\frac{4}{5}$ (pozitiv, fiind unghi ascuțit), iar $\mathrm{tg}B=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$.

5. Rezolvarea triunghiului dreptunghic

„A rezolva un triunghi" înseamnă a afla toate cele șase elemente ale lui: trei laturi și trei unghiuri. În triunghiul dreptunghic, un element e cadou ($90^{\circ }$), iar restul se obțin repede. Sunt două situații tipice:

Cazul „o latură și un unghi ascuțit". Al doilea unghi ascuțit iese din complementaritate, iar celelalte două laturi ies din definiții. Alege raportul care conține latura cunoscută și latura căutată — atât. Dacă în triunghiul dreptunghic în $A$ ai ipotenuza $BC=20$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$, atunci cateta opusă lui $B$ este $AC=BC\cdot \sin B=20\cdot \frac{1}{2}=10$, iar cateta alăturată este $AB=BC\cdot \cos B=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

Cazul „două laturi". A treia latură iese cu teorema lui Pitagora, iar unghiurile ies din rapoarte. Dacă în triunghiul dreptunghic în $A$ ai catetele $AB=5$ și $AC=5$, atunci $\mathrm{tg}B=\frac{5}{5}=1$, deci $m(\angle B)=45^{\circ }$.

Reține regula de aur a alegerii raportului: numește ce ai și ce vrei, apoi ia raportul în care apar exact cele două. Ai ipotenuza și vrei cateta opusă? Sinus. Ai o catetă și vrei cealaltă catetă? Tangentă. Ai cateta alăturată și vrei ipotenuza? Cosinus.

6. Unghiul de elevație: de la teorie la teren

Cea mai frecventă aplicație practică poartă un nume tehnic: unghiul de elevație este unghiul dintre orizontală și direcția spre un punct aflat mai sus (vârful unui turn, al unui copac, al unui bloc). Simetric, unghiul de depresie se măsoară de sus în jos, de la orizontală spre un punct mai jos.

Să reluăm blocul din deschidere, cu numere prietenoase. Te afli la $24$ de metri de baza unui turn și vezi vârful sub un unghi de elevație de $30^{\circ }$. Triunghiul „ochi – bază – vârf" e dreptunghic, cateta alăturată unghiului este distanța de $24$ m, iar cateta opusă este chiar înălțimea căutată:

$$h=24\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\approx 13,86\text{ m}.$$

Aceeași schemă rezolvă zeci de situații: lungimea unei scări sprijinite de perete, panta unei rampe pentru cărucioare, înălțimea unui zmeu, adâncimea unei râpe. Peste tot, ideea e identică — construiești mental un triunghi dreptunghic în care una dintre laturi e ceea ce poți măsura, iar cealaltă e ceea ce vrei să afli.

7. De ce nu ne ajunge triunghiul dreptunghic

Iată însă și limita. Un teren triunghiular are laturile de $40$ m, $65$ m și un unghi de $52^{\circ }$ între ele. Nu există niciun unghi drept, deci nu există nici ipotenuză, nici catete — definițiile de mai sus pur și simplu nu au unde să se aplice.

Există o portiță: cobori o înălțime și rupi triunghiul oarecare în două triunghiuri dreptunghice. Metoda funcționează, dar e greoaie și cere un calcul separat pentru fiecare bucată. Merită să o vezi o dată, ca să înțelegi de unde vin formulele care urmează.

Ia un triunghi $ABC$ cu $m(\angle B)=30^{\circ }$, $m(\angle C)=45^{\circ }$ și cu înălțimea din $A$ egală cu $6$. Notează cu $H$ piciorul înălțimii pe $BC$. În triunghiul dreptunghic $ABH$: $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{AH}{BH}$, deci $BH=\frac{6}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=6\sqrt{3}\approx 10,39$. În triunghiul dreptunghic $ACH$: $\mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{AH}{HC}$, deci $HC=6$. Prin urmare $BC=6\sqrt{3}+6\approx 16,39$.

A mers — dar am avut nevoie de o înălțime desenată, de două triunghiuri și de patru pași. În lecțiile următoare vom obține același gen de rezultate dintr-o singură formulă aplicată direct triunghiului oarecare: mai întâi teorema cosinusului, apoi teorema sinusurilor. Iar pentru unghiuri care nu sunt „frumoase", ca acel $52^{\circ }$, vom învăța în lecția următoare cum se citesc valorile din tabele trigonometrice sau cu instrumente digitale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele trei rapoarte, dintr-un triunghi cu numere întregi

În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{\circ }$ se cunosc $AB=6$ și $AC=8$. Calculați $\sin B$, $\cos B$ și $\mathrm{tg}B$.

Rezolvare. Cu teorema lui Pitagora, $BC=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Față de unghiul $B$: cateta opusă e $AC=8$, cateta alăturată e $AB=6$, ipotenuza e $BC=10$. Deci

$$\sin B=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Verificare: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16+9}{25}=1$ ✓, iar $\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$ ✓.

Exemplul 2 — Scara sprijinită de perete

O scară de $6$ m se sprijină de un perete, făcând cu solul un unghi de $60^{\circ }$. La ce înălțime ajunge capătul de sus și la ce distanță de perete este piciorul scării?

Rezolvare. Scara este ipotenuza, înălțimea este cateta opusă unghiului de $60^{\circ }$, iar distanța până la perete este cateta alăturată:

$$h=6\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5,20\text{ m},d=6\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3\text{ m}.$$

Verificare cu Pitagora: $27+9=36=6^2$ ✓.

Exemplul 3 — Rezolvarea completă a unui triunghi dreptunghic

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $AB=6$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Rezolvați triunghiul.

Rezolvare. Unghiul rămas: $m(\angle C)=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Latura $AB$ este cateta alăturată lui $B$, deci o legăm de ipotenuză prin cosinus:

$$\cos 60^{\circ }=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{6}{BC}\Rightarrow BC=12.$$

Cealaltă catetă, prin tangentă: $AC=AB\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=6\sqrt{3}\approx 10,39$. Verificare cu Pitagora: $36+108=144=12^2$ ✓. Triunghiul e complet rezolvat: laturile $6$, $6\sqrt{3}$, $12$ și unghiurile $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $30^{\circ }$.

Exemplul 4 — Toate valorile, pornind de la una singură

Se știe că $\alpha$ este un unghi ascuțit cu $\sin \alpha =\frac{5}{13}$. Calculați $\cos \alpha$ și $\mathrm{tg}\alpha$.

Rezolvare. Din formula fundamentală, ${\cos }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$. Unghiul fiind ascuțit, cosinusul este pozitiv, deci $\cos \alpha =\frac{12}{13}$. Atunci

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}.$$

Observație utilă: aceste valori corespund exact triunghiului dreptunghic cu laturile $5$, $12$, $13$ — un triunghi pe care merită să îl ții minte.

Exemplul 5 — Înălțimea unui copac din lungimea umbrei

La un moment al zilei, razele soarelui fac cu solul un unghi de $45^{\circ }$, iar umbra unui copac are $9$ m. Cât de înalt este copacul?

Rezolvare. Copacul, umbra și raza de soare formează un triunghi dreptunghic în care umbra este cateta alăturată unghiului de $45^{\circ }$, iar copacul este cateta opusă:

$$h=9\cdot \mathrm{tg}45^{\circ }=9\cdot 1=9\text{ m}.$$

Concluzie de reținut pentru orice examen: la un unghi de elevație de exact $45^{\circ }$, înălțimea este egală cu lungimea umbrei. Dacă umbra e mai lungă decât obiectul, soarele e mai jos de $45^{\circ }$; dacă e mai scurtă, e mai sus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se cunosc $BC=20$ și $m(\angle C)=30^{\circ }$. a) Calculați $AB$ și $AC$. b) Calculați aria triunghiului.

Rezolvare. a) Față de unghiul $C$, cateta opusă este $AB$, iar cea alăturată este $AC$:

$$AB=BC\cdot \sin C=20\cdot \frac{1}{2}=10,AC=BC\cdot \cos C=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.$$

b) Catetele sunt perpendiculare, deci aria este jumătate din produsul lor:

$$\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\approx 86,60.$$

Verificare: $100+300=400=20^2$ ✓, iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este într-adevăr jumătate din ipotenuză. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează de fiecare dată triunghiul, marchează unghiul de care te ocupi și scrie lângă fiecare latură rolul ei (opusă, alăturată, ipotenuză) — abia apoi alege raportul. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, cu aproximarea trecută în paranteză.

1. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=6$ și $AC=8$. Calculează $\sin C$, $\cos C$ și $\mathrm{tg}C$.

2. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=12$ și $AC=5$. Calculează cele trei rapoarte pentru unghiul $B$.

3. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are $\sin =\frac{3}{5}$. Cât este cosinusul celuilalt unghi ascuțit? Justifică.

4. Verifică formula fundamentală pentru unghiul cu $\sin =\frac{8}{17}$ și $\cos =\frac{15}{17}$.

5. Un unghi ascuțit are $\sin =\frac{3}{5}$ și $\cos =\frac{4}{5}$. Calculează tangenta lui.

6. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $10$, unul dintre unghiurile ascuțite are $30^{\circ }$. Calculează ambele catete.

7. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $45^{\circ }$ are $7$. Calculează cealaltă catetă și ipotenuza.

8. Într-un triunghi dreptunghic, cateta alăturată unghiului de $60^{\circ }$ are $4$. Calculează ipotenuza și cealaltă catetă.

9. (Problemă aplicată.) O scară de $6$ m se sprijină de perete sub un unghi de $60^{\circ }$ cu solul. Află înălțimea la care ajunge și distanța de la piciorul scării la perete.

10. (Problemă aplicată.) Umbra unui turn are $24$ m, iar razele soarelui fac cu solul un unghi de $30^{\circ }$. Cât de înalt este turnul?

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\sin 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }=\sin 90^{\circ }$."

12. (Problemă aplicată.) O rampă de acces are $10$ m lungime și urcă sub un unghi de $30^{\circ }$. La ce înălțime ajunge?

13. Calculează $\sin 60^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }$. Ce valoare remarcabilă recunoști în rezultat?

14. Calculează înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $8$, folosind un raport trigonometric.

15. Un pătrat are latura $5$. Calculează diagonala lui folosind un raport trigonometric și precizează unghiul dintre diagonală și o latură.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se cunosc $AB=6$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculează $BC$ și $AC$.

17. Un unghi ascuțit are $\cos =\frac{3}{5}$. Calculează sinusul și tangenta lui, fără să afli unghiul.

18. (Provocare.) În triunghiul $ABC$ (fără unghi drept), $m(\angle B)=30^{\circ }$, $m(\angle C)=45^{\circ }$, iar înălțimea din $A$ are $6$. Calculează $BC$. (Indicație: notează cu $H$ piciorul înălțimii și lucrează separat în cele două triunghiuri dreptunghice.)

Răspunsuri și explicații

1. Ipotenuza este $BC=\sqrt{36+64}=10$. Față de $C$, cateta opusă e $AB=6$, cea alăturată e $AC=8$. Deci $\sin C=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, $\cos C=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$, $\mathrm{tg}C=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

2. $BC=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$. Față de $B$, opusa e $AC=5$, alăturata e $AB=12$: $\sin B=\frac{5}{13}$, $\cos B=\frac{12}{13}$, $\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}$.

3. Cele două unghiuri ascuțite sunt complementare, iar $\cos (90^{\circ }-x)=\sin x$. Deci cosinusul celuilalt unghi este tot $\frac{3}{5}$. Pe figură se vede și mai simplu: cateta opusă primului unghi este cea alăturată celuilalt.

4. ${\left(\frac{8}{17}\right)}^2+{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=\frac{64+225}{289}=\frac{289}{289}=1$ ✓. (Nu întâmplător: $8$, $15$, $17$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic.)

5. $\mathrm{tg}=\frac{\sin }{\cos }=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$.

6. Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$: $10\cdot \sin 30^{\circ }=5$. Cateta alăturată: $10\cdot \cos 30^{\circ }=5\sqrt{3}\approx 8,66$. Verificare: $25+75=100$ ✓.

7. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $45^{\circ }$, celălalt unghi ascuțit are tot $45^{\circ }$, deci triunghiul este isoscel: cealaltă catetă are tot $7$. Ipotenuza: $\frac{7}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot 2}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}\approx 9,90$.

8. Ipotenuza: $\frac{4}{\cos 60^{\circ }}=\frac{4}{1/2}=8$. Cealaltă catetă: $4\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93$. Verificare: $16+48=64=8^2$ ✓.

9. Înălțimea: $6\cdot \sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}\approx 5,20$ m. Distanța: $6\cdot \cos 60^{\circ }=3$ m. Verificare: $27+9=36$ ✓.

10. $h=24\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\approx 13,86$ m. Umbra e mai lungă decât turnul, ceea ce se potrivește cu un unghi mai mic de $45^{\circ }$.

11. Fals. $\sin 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1,37$, în timp ce $\sin 90^{\circ }=1$. Sinusul nu este o funcție care „adună unghiurile" — nu poți desface $\sin (x+y)$ în $\sin x+\sin y$.

12. Rampa este ipotenuza, iar înălțimea este cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$: $h=10\cdot \sin 30^{\circ }=5$ m.

13. $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. Rezultatul este chiar $\sin 90^{\circ }$ — și nu e o coincidență: $60^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }$.

14. Înălțimea unui triunghi echilateral îl taie în două triunghiuri dreptunghice cu unghiuri de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Înălțimea este cateta opusă unghiului de $60^{\circ }$, iar ipotenuza e latura: $h=8\cdot \sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

15. Diagonala taie pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele, deci face cu latura un unghi de $45^{\circ }$. Latura este cateta alăturată: $d=\frac{5}{\cos 45^{\circ }}=\frac{5\cdot 2}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

16. $\cos 60^{\circ }=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{6}{BC}\Rightarrow BC=12$. Apoi $AC=AB\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=6\sqrt{3}\approx 10,39$. Verificare: $36+108=144$ ✓.

17. ${\sin }^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, iar unghiul fiind ascuțit, $\sin =\frac{4}{5}$. Apoi $\mathrm{tg}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$.

18. În triunghiul $ABH$, dreptunghic în $H$: $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{AH}{BH}$, deci $BH=\frac{6}{\sqrt{3}/3}=6\sqrt{3}\approx 10,39$. În triunghiul $ACH$: $\mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{AH}{HC}$, deci $HC=6$. Punctul $H$ se află între $B$ și $C$ (ambele unghiuri sunt ascuțite), așa că $BC=6\sqrt{3}+6=6(\sqrt{3}+1)\approx 16,39$. Reține efortul: patru pași și o construcție auxiliară pentru un triunghi oarecare — exact problema pe care o vor rezolva teoremele din lecțiile următoare.

De reținut

• Definițiile (valabile doar în triunghiul dreptunghic, doar pentru unghiuri ascuțite): $\sin =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\mathrm{tg}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}$.
• Valorile remarcabile: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; cosinusurile sunt aceleași citite invers; $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$.
• Unghiuri complementare: $\sin (90^{\circ }-x)=\cos x$ și $\cos (90^{\circ }-x)=\sin x$ — în triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este cosinusul celuilalt.
• Cele două relații de lucru: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Cu ele, dintr-o singură valoare le afli pe toate celelalte.
• Alegerea raportului: numește ce ai și ce vrei, apoi ia raportul care le conține pe amândouă. Verifică mereu la final cu teorema lui Pitagora.

Greșeli frecvente

• Confuzia „opusă / alăturată". Este greșeala numărul unu. Cateta alăturată unui unghi este cea care îl formează împreună cu ipotenuza; cea opusă nu atinge unghiul. Marchează-le pe desen înainte de orice calcul.
• Aplicarea definițiilor într-un triunghi fără unghi drept. Rapoartele „opusă pe ipotenuză" nu au sens acolo unde nu există ipotenuză. Pentru triunghiul oarecare, așteaptă teorema cosinusului și teorema sinusurilor.
• Împărțirea în locul înmulțirii. Din $\sin B=\frac{AC}{BC}$ rezultă $AC=BC\cdot \sin B$, nu $AC=\frac{BC}{\sin B}$. Scrie proporția întreagă și abia apoi izoleaz-o pe cea necunoscută.
• Amestecarea valorilor pentru $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Reține un reper de bun-simț: unghiul mai mare are sinusul mai mare, deci $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$, nu $\frac{1}{2}$.
• Rezultat neverificat. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza trebuie să iasă cea mai lungă latură, iar Pitagora trebuie să se închidă. Dacă o catetă „calculată" iese mai mare decât ipotenuza, ai greșit raportul.

Aplică acasă

1. Măsoară un bloc din cartier. Îți trebuie o ruletă (sau pași numărați și măsurați) și o aplicație de tip clinometru de pe telefon, care arată unghiul de înclinare. Așază-te la o distanță cunoscută de bloc, măsoară unghiul de elevație spre streașină, apoi calculează înălțimea cu tangenta. Adaugă înălțimea ochilor tăi de la sol. Repetă măsurătoarea de la altă distanță și compară rezultatele — ar trebui să iasă aproape identice.

2. Ora umbrei egale. Într-o zi însorită, înfige un băț vertical în pământ și măsoară din oră în oră lungimea umbrei și lungimea bățului. Notează la ce oră umbra devine exact cât bățul: atunci soarele are exact $45^{\circ }$ elevație. Înainte de acea oră soarele e mai jos, după ea e mai sus. Fă un mic tabel cu orele și cu raportul „înălțime / umbră".

3. Rampa din fața școlii. Găsește o rampă pentru cărucioare și măsoară-i lungimea și înălțimea la care urcă. Calculează sinusul unghiului de înclinare, apoi caută pe internet care este panta maximă admisă de normele de accesibilitate. Rampa din școala ta respectă norma?

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Aplicații ale trigonometriei în geometrie" din programa de trunchi comun a clasei a X-a și are un rol dublu: consolidează achizițiile din gimnaziu și din clasa a IX-a și pregătește, foarte concret, trecerea la triunghiul oarecare. Elevul trebuie să identifice fără ezitare rolurile laturilor față de un unghi dat (competența X.CS.1.1) și să aplice corect rapoartele pentru a determina lungimi și măsuri de unghiuri (competența X.CS.3.1).

Întrebări bune de control: „Care e cateta alăturată unghiului $B$?" (cea care formează unghiul împreună cu ipotenuza); „Am ipotenuza și vreau cateta opusă — ce raport folosesc?" (sinus); „De ce $\sin 37^{\circ }$ e același număr în orice triunghi?" (triunghiurile cu același unghi ascuțit sunt asemenea); „Cât e $\mathrm{tg}45^{\circ }$ și ce înseamnă asta pentru umbra unui obiect?" (este $1$, deci umbra e egală cu obiectul). Semne că a înțeles: desenează figura înainte de a calcula, alege raportul fără să încerce la întâmplare și își verifică singur rezultatul cu teorema lui Pitagora.

La Bacalaureat, subiectele de trunchi comun conțin în mod constant un exercițiu de triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ sau $60^{\circ }$ — de regulă calculul unei laturi sau al ariei. Este un punctaj sigur, cu condiția ca valorile remarcabile să fie memorate perfect. Merită exersat până devine reflex tiparul din Exemplul 6: din ipotenuză și un unghi, ambele catete, apoi aria.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă sinus, cosinus și tangentă într-un triunghi dreptunghic? Sunt trei rapoarte de laturi, calculate față de un unghi ascuțit ales: sinusul este cateta opusă împărțită la ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată împărțită la ipotenuză, iar tangenta este cateta opusă împărțită la cateta alăturată.

De ce valorile nu depind de mărimea triunghiului? Pentru că două triunghiuri dreptunghice cu același unghi ascuțit sunt asemenea, deci laturile lor sunt proporționale. Rapoartele de laturi rămân aceleași, indiferent cât de mare desenezi figura. De aceea putem scrie $\sin 30^{\circ }$ fără să precizăm triunghiul.

Cum îmi dau seama care este cateta opusă și care este cea alăturată? Uită-te la vârful unghiului: laturile care pleacă din el sunt ipotenuza și cateta alăturată. Cateta care nu atinge deloc vârful unghiului este cea opusă. Un truc: cateta opusă „stă în fața" unghiului, ca într-un triunghi oarecare latura din fața vârfului.

Care sunt valorile pe care trebuie să le știu pe de rost? Cele pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$: sinusurile sunt $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, cosinusurile sunt aceleași în ordine inversă, iar tangentele sunt $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$ și $\sqrt{3}$.

Ce este unghiul de elevație și la ce folosește? Este unghiul dintre orizontală și direcția spre un punct situat mai sus. Împreună cu distanța până la baza obiectului, el permite calculul unei înălțimi inaccesibile: înălțimea este distanța înmulțită cu tangenta unghiului de elevație.

Pot folosi sinusul și cosinusul într-un triunghi fără unghi drept? Nu direct, pentru că definițiile folosesc ipotenuza, care există doar în triunghiul dreptunghic. Fie cobori o înălțime și lucrezi în cele două triunghiuri dreptunghice obținute, fie — mult mai eficient — folosești teorema cosinusului și teorema sinusurilor, pe care le studiem în lecțiile următoare.

Cum aflu toate valorile trigonometrice ale unui unghi dacă știu doar una? Folosești ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru a o obține pe a doua (la unghi ascuțit alegi mereu valoarea pozitivă) și apoi $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pentru a treia. Nu ai nevoie să știi cât este unghiul.

Ce fac dacă unghiul din problemă nu este $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ sau $60^{\circ }$? Citești valoarea din tabelele trigonometrice sau o obții cu un instrument digital (calculator științific, foaie de calcul, aplicație). Programa de clasa a X-a prevede explicit această variantă, iar lecția următoare îți arată exact cum se face și ce capcane trebuie evitate.