Valoarea unui polinom. Funcția: pe scurt

Valoarea polinomului $f=a_n{X}^n+\cdots +a_0$ în $\alpha \in \mathbb{C}$ este $f(\alpha )=a_n{\alpha }^n+\cdots +a_0$, obținută înlocuind $X$ cu $\alpha$. Funcția polinomială asociată, $\tilde{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, este mașinăria care generează aceste valori — polinomul, în schimb, rămâne un obiect formal, o listă de coeficienți.

Trei valori se citesc direct din coeficienți: $f(0)=a_0$ (termenul liber), $f(1)=$ suma tuturor coeficienților, $f(-1)=$ suma alternată. Combinând ultimele două: $S_p=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$ (suma coeficienților de rang par) și $S_i=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$ (rang impar).

Evaluarea respectă operațiile: $(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha )$ și $(fg)(\alpha )=f(\alpha )g(\alpha )$ — de aici metoda de verificare a oricărui calcul cu polinoame, prin evaluare în puncte comode.

Coincidența valorilor în câteva puncte nu înseamnă că polinoamele sunt egale (pe o mulțime finită, polinoame diferite pot da aceeași funcție — de exemplu $X^3$ și $X$ coincid pe $\{-1,0,1\}$, dar diferă în $2$). Peste $\mathbb{C}$, care e infinită, polinoame diferite dau însă întotdeauna funcții diferite — de aceea putem identifica polinomul cu funcția lui, folosind aceeași notație $f(x)$ pentru amândouă. Numărul $\alpha$ cu $f(\alpha )=0$ se numește rădăcină, iar studiul sistematic al lor începe imediat în lecția următoare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f=3X^3-2X^2+4X-1$, calculați $f(1)$.

   • a) $4$
   • b) $3$
   • c) $-1$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   $f(1)$ este suma coeficienților: $3-2+4-1=4$.

2. Pentru $f=X^3-2X+5$, calculați $f(i)$.

   • a) $5+3i$
   • b) $5-3i$
   • c) $-3i$
   • d) $5-i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5-3i$

   $f(i)=i^3-2i+5=-i-2i+5=5-3i$, folosind $i^3=-i$.

3. Care este suma coeficienților polinomului $(3X-4{)}^6$, fără a-l dezvolta?

   • a) $729$
   • b) $-1$
   • c) $1$
   • d) $4096$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $1$

   Suma coeficienților este valoarea în $1$: $(3\cdot 1-4{)}^6=(-1{)}^6=1$.