Cum aflu parametrul dacă graficul lui X²+mX+1 trece prin punctul (2,3)?

Punctul aparține graficului exact când f(2)=3. Înlocuiești: 4+2m+1=3, deci 2m=-2 și m=-1. Verificare: pentru f=X²-X+1 obții f(2)=4-2+1=3, deci punctul se află într-adevăr pe grafic. Orice punct dat pe grafic se transformă astfel într-o ecuație cu parametrul necunoscut.

Cum verific dacă 1/2 este rădăcină a polinomului 2X²+3X-2?

Înlocuiești, cu fracția păstrată exact: 2· 1/4+3· 1/2-2= 1/2+ 3/2-2=0. Rezultatul este zero, deci 1/2 este rădăcină. Cu 0,5 zecimal calculul e la fel de exact, pentru că fracția e finită.

Unde taie graficul unui polinom axa Ox?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Valori, tabel, rădăcini

Graficul taie axa $O x$ în punctele $(a, 0)$ pentru care $a$ este rădăcină reală, adică $f (a) = 0$ . Pentru $f = X^{2} - 2 X - 3$ verifici prin înlocuire: $f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ și $f (3) = 9 - 6 - 3 = 0$ , deci curba trece prin $(- 1, 0)$ și $(3, 0)$ . Axa $O y$ este tăiată în $(0, f (0))$ , aici $(0, - 3)$ . Un desen digital arată zona, dar concluzia o dă înlocuirea.

Ca să obții $f (a)$ , pui numărul $a$ în locul nedeterminatei în fiecare termen și duci calculul până la capăt; la final nu mai are voie să rămână nicio literă. Corespondența care atașează fiecărui număr real valoarea lui poartă numele de funcție polinomială asociată polinomului.

Valoarea în zero coincide cu termenul liber, fiindcă toate puterile nedeterminatei dispar — cel mai scurt calcul dintr-o problemă de polinoame.

La numere negative hotărăște paranteza. Pentru $f = - X^{2} + 3$ și $a = - 2$ se întâlnesc două minusuri cu roluri diferite: unul ține de coeficient, celălalt de număr, deci $f (- 2) = - (- 2)^{2} + 3 = - 4 + 3 = - 1$ . Lăsat fără paranteză, calculul ar da $7$ . Notează al cui este fiecare minus înainte de a începe.

Numim rădăcină reală un număr care anulează polinomul; pe desen, rădăcinile sunt abscisele punctelor unde curba atinge axa $O x$ . GeoGebra și Desmos îți arată zona, însă dovada o aduce înlocuirea, iar rezultatul ei trebuie să fie zero curat, nu „aproape zero”.

Unele polinoame, precum $X^{2} + 4$ , nu au nicio rădăcină reală; o asemenea afirmație cere un argument valabil pentru orice număr, nu trei încercări nereușite. Un tipar de cerință pornește de la o condiție $f (a) = c$ , din care se determină parametrul.

De reținut

$a$ este rădăcină reală când $f (a) = 0$ ; pe grafic, punctul $(a, 0)$
graficul taie axa $O y$ în $(0, f (0))$
desenul indică rădăcinile, înlocuirea le dovedește

Greșeala tipică

Se citește de pe ecran că graficul lui $X^{2} - 3$ taie axa „pe la $1, 7$ ” și se scrie $1, 7$ ca rădăcină; înlocuirea dă $2, 89 - 3 = - 0, 11 \neq = 0$ , iar rădăcina exactă este $3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f = X^{3} - 2 X + 5$ , cât este $f (0)$ ?
- a) $0$
- b) $5$
- c) $3$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Toate puterile lui $X$ se anulează în $0$ , deci rămâne termenul liber: $f (0) = 5$ . E cel mai rapid punct pe care îl poți lua într-o problemă de polinoame.
Pentru $f = - X^{2} + 3$ , cât este $f (- 2)$ ?
- a) $7$
- b) $- 1$
- c) $- 7$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 1$

$f (- 2) = - (- 2)^{2} + 3 = - 4 + 3 = - 1$ . Minusul din fața pătratului aparține coeficientului și rămâne afară; minusul lui $- 2$ aparține numărului și intră în paranteză. Varianta a) apare când paranteza lipsește.
Care dintre numere este rădăcină reală a polinomului $f = X^{2} - 5 X + 4$ ?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $5$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Verifici prin înlocuire: $f (1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓. Celelalte dau $f (2) = - 2$ , $f (3) = - 2$ , $f (5) = 4$ . A doua rădăcină este $4$ , dar ea nu se află printre variante.

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul dacă graficul lui $X^{2} + m X + 1$ trece prin punctul $(2, 3)$ ?

Punctul aparține graficului exact când $f (2) = 3$ . Înlocuiești: $4 + 2 m + 1 = 3$ , deci $2 m = - 2$ și $m = - 1$ . Verificare: pentru $f = X^{2} - X + 1$ obții $f (2) = 4 - 2 + 1 = 3$ , deci punctul se află într-adevăr pe grafic. Orice punct dat pe grafic se transformă astfel într-o ecuație cu parametrul necunoscut.

Ce înălțime dă modelul $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 2$ la $t = 1$ s și la $t = 3$ s?

Înlocuiești în fiecare termen. La $t = 1$ : $- 5 + 15 + 2 = 12$ m. La $t = 3$ : $- 45 + 45 + 2 = 2$ m, deci corpul a coborât înapoi la înălțimea de lansare. Înălțimea este în metri, timpul în secunde.

Cum calculez $f (2)$ pentru $f = X^{2} - 3 X + 1$ ?

Înlocuiești nedeterminata cu $2$ în fiecare termen: $(2)^{2} - 32 + 1 = 2 - 32 + 1 = 3 - 32$ . Rezultatul este exact și negativ, aproximativ $- 1, 24$ . Valorile unui polinom se pot calcula în orice număr real, nu doar în numere întregi.

Cum verific dacă $\frac{1}{2}$ este rădăcină a polinomului $2 X^{2} + 3 X - 2$ ?

Înlocuiești, cu fracția păstrată exact: $2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$ . Rezultatul este zero, deci $\frac{1}{2}$ este rădăcină. Cu $0, 5$ zecimal calculul e la fel de exact, pentru că fracția e finită.

Ce rădăcini se văd în tabelul de valori al lui $X^{3} - X$ ?

Pentru $x = - 2, - 1, 0, 1, 2$ obții valorile $- 6, 0, 0, 0, 6$ . Zerourile apar la $- 1$ , $0$ și $1$ , deci acestea sunt rădăcinile reale, iar graficul trece prin trei puncte ale axei $O x$ . Un polinom de gradul $3$ nu poate avea mai mult de trei.

Oamenii mai întreabă și: intersecția graficului unui polinom cu Ox · unde intersectează graficul axa Ox · punctele în care graficul atinge axa Ox · rădăcinile pe grafic

Unde taie graficul unui polinom axa Ox?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul dacă graficul lui X2+mX+1 trece prin punctul (2,3)?

Ce înălțime dă modelul h(t)=−5t2+15t+2 la t=1 s și la t=3 s?

Cum calculez f(2​) pentru f=X2−3X+1?

Cum verific dacă 21​ este rădăcină a polinomului 2X2+3X−2?

Ce rădăcini se văd în tabelul de valori al lui X3−X?

Continuă cu

Cum aflu parametrul dacă graficul lui $X^{2} + m X + 1$ trece prin punctul $(2, 3)$ ?

Ce înălțime dă modelul $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 2$ la $t = 1$ s și la $t = 3$ s?

Cum calculez $f (2)$ pentru $f = X^{2} - 3 X + 1$ ?

Cum verific dacă $\frac{1}{2}$ este rădăcină a polinomului $2 X^{2} + 3 X - 2$ ?

Ce rădăcini se văd în tabelul de valori al lui $X^{3} - X$ ?