Care dintre următoarele mulțimi nu este vecinătate a punctului $$-6$$?

mulțimea numerelor reale $$x$$ cu $$\lvert x+6\rvert<0{,}7$$

Se consideră funcția $$f:[1,9]\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{84}{x+5}$$. Care este încadrarea corectă a valorilor ei?

$$\dfrac{84}{6}\le f(x)\le\dfrac{84}{14}$$

Cum scriu |x+1|≥ 3 cu intervale?

Distanța de la x la -1 este cel puțin 3, deci x≤ -4 sau x≥ 2. Rezultatul este reuniunea (-∞,-4]∪[2,+∞). La „mai mare” mulțimea iese în afara intervalului din jurul lui -1, nu înăuntrul lui.

Cum scriu o inegalitate cu modul ca interval?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Vecinătăți și mărginire

Inegalitatea $∣ x - a ∣ < r$ , cu $r > 0$ , înseamnă $a - r < x < a + r$ , adică $x \in (a - r, a + r)$ : numerele aflate la distanța mai mică decât $r$ de $a$ . De exemplu, $∣ x - 3∣ < 2$ dă $x \in (1, 5)$ . Cu „ $\leq$ ” capetele intră: o masă de $250$ g cu toleranța de $5$ g, $∣ m - 250∣ \leq 5$ , înseamnă $m \in [245, 255]$ . Intervalul obținut este o vecinătate simetrică a lui $a$ .

Capitolul de analiză pornește de la un limbaj, nu de la un algoritm. A spune că mulțimea $V$ e vecinătate a lui $x_{0}$ înseamnă a găsi un $ε > 0$ cu $(x_{0} - ε, x_{0} + ε) \subseteq V$ : punctul trebuie să respire în ambele direcții înăuntrul lui $V$ . Apartenența singură nu ajunge, iar un capăt de interval pică testul indiferent cum sunt desenate parantezele. Scrisă cu modul, aceeași fâșie devine $∣ x - x_{0} ∣ < ε$ .

A doua jumătate a temei cere o încadrare: două numere între care stau toate valorile pe intervalul dat, adică o bandă orizontală care închide bucata de curbă. Ea se obține fie din forma canonică, la trinoame, fie mărginind mai întâi numitorul, la fracții cu numărător fix — iar acolo sensul se răstoarnă, pentru că un numitor mai mare face fracția pozitivă mai mică.

Capcana. Cerința vine deghizată în inegalitate de demonstrat, nu în întrebare de teorie; atunci se scriu ambele capete ale încadrării, chiar dacă unul sare în ochi, iar barierele nu trebuie să fie optime. Simbolurile $- \infty$ și $+ \infty$ completează axa fără să devină numere: alături de ele paranteza se scrie rotundă.

De reținut

$∣ x - a ∣ < r ⟺ x \in (a - r, a + r)$
$∣ x - a ∣ \leq r ⟺ x \in [a - r, a + r]$
$∣ x - a ∣ > r$ dă o reuniune de două intervale

Greșeala tipică

Se scrie $∣ x - 3∣ < 2$ ca $x < 5$ , uitând partea din stânga; modulul mărginește în ambele sensuri, deci corect este $1 < x < 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele mulțimi nu este vecinătate a punctului $- 6$ ?
- a) $(- 9; - 1)$
- b) $[- 6; 0]$
- c) $(- \infty; - 2)$
- d) mulțimea numerelor reale $x$ cu $∣ x + 6 ∣ < 0, 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[- 6; 0]$

În $[- 6; 0]$ punctul $- 6$ este chiar capătul din stânga: orice fâșie $(- 6 - ε; - 6 + ε)$ conține numere mai mici decât $- 6$ , care nu aparțin mulțimii. Celelalte trei sunt vecinătăți: $(- 9; - 1)$ cuprinde fâșia de rază $3$ , $(- \infty; - 2)$ pe cea de rază $4$ , iar ultima mulțime este chiar fâșia $(- 6, 7; - 5, 3)$ .
Determină cel mai mare număr $ε > 0$ pentru care $(- 3 - ε; - 3 + ε) \subseteq (- 4, 7; - 1, 1)$ .
- a) $1, 9$
- b) $1, 7$
- c) $3, 6$
- d) $1, 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1, 7$

Fâșia încape când $- 3 - ε \geq - 4, 7$ și $- 3 + ε \leq - 1, 1$ , adică $ε \leq 1, 7$ și $ε \leq 1, 9$ ; contează condiția mai strânsă, deci $ε = 1, 7$ . Varianta a) ia distanța până la capătul mai depărtat, c) ia lungimea întregului interval, iar d) jumătatea ei, ca și cum punctul ar sta la mijloc — dar $- 3$ nu este mijlocul lui $(- 4, 7; - 1, 1)$ .
Se consideră funcția $f : [1, 9] \to R$ , $f (x) = \frac{84}{x + 5}$ . Care este încadrarea corectă a valorilor ei?
- a) $6 \leq f (x) \leq 14$
- b) $\frac{84}{6} \leq f (x) \leq \frac{84}{14}$
- c) $1 \leq f (x) \leq 9$
- d) $0 \leq f (x) \leq 14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 \leq f (x) \leq 14$

Din $1 \leq x \leq 9$ rezultă $6 \leq x + 5 \leq 14$ , toate valorile fiind pozitive; la numitor mai mare, fracția pozitivă este mai mică, deci $\frac{84}{14} \leq f (x) \leq \frac{84}{6}$ , adică $6 \leq f (x) \leq 14$ . Varianta b) păstrează sensul inegalităților, c) confundă domeniul cu mulțimea valorilor, iar d) pune minorantul $0$ fără să folosească încadrarea numitorului.

Întrebări conexe

Cum scriu $∣ x + 1∣ \geq 3$ cu intervale?

Distanța de la $x$ la $- 1$ este cel puțin $3$ , deci $x \leq - 4$ sau $x \geq 2$ . Rezultatul este reuniunea $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$ . La „mai mare” mulțimea iese în afara intervalului din jurul lui $- 1$ , nu înăuntrul lui.

Ce este o mulțime majorată?

O mulțime este majorată dacă există un număr mai mare sau egal cu toate elementele ei, numit majorant. Intervalul $(- 2, 7]$ este majorat de $7$ și de orice număr mai mare, și minorat de $- 2$ , deci este mărginit. Mulțimea numerelor naturale nu este majorată.

Care sunt vecinătățile lui $+ \infty$ ?

Pentru $+ \infty$ , vecinătățile sunt mulțimile în care se află în întregime un interval de forma $(a, + \infty)$ , cu $a$ real. De exemplu, $(100, + \infty)$ este o vecinătate a lui $+ \infty$ , iar $[0, 50]$ nu este. Acest limbaj descrie „valorile foarte mari” din limitele la infinit.

Ce este dreapta reală încheiată?

Este mulțimea $\overline{R} = R \cup {- \infty, + \infty}$ , adică numerele reale împreună cu cele două simboluri de infinit. Ea permite scrierea unitară a limitelor: rezultatul unei limite poate fi un număr real sau unul dintre simboluri.

Este intervalul [2, 5) vecinătate a punctului 4?

Da: fâșia $(3, 5)$ , cu raza $ε = 1$ , este inclusă în $[2, 5)$ . Cea mai mare rază posibilă se obține din capătul mai apropiat de $4$ : $min (4 - 2, 5 - 4) = 1$ . Același interval nu este însă vecinătate a lui $2$ , care este capăt.

Oamenii mai întreabă și: inegalitate cu modul transformată în interval · modul mai mic decât un număr interval · cum rezolv modul de x minus a mai mic decât r · intervalul unei inegalități cu modul