Intervale, mărginire și vecinătăți (M2, științe ale naturii)

Pe eticheta unui termometru de laborator scrie „exactitate $\pm 0,2$ °C". Când aparatul indică $37,0$ °C, adevărul nu este un singur număr, ci orice număr din intervalul $(36,8;37,2)$. Toată chimia și toată biologia de laborator lucrează așa: nu cu valori exacte, ci cu fâșii de valori în jurul unei valori. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica dă acestei fâșii un nume — vecinătate — și cu el deschide capitolul de limite, capitolul de la care pornesc derivatele și asimptotele, temele de analiză ale bacalaureatului M2.

Lecția de astăzi nu cere calcule grele. Cere altceva, mai greu de învățat pe apucate: un vocabular precis pentru „aproape de", pentru „între ce valori stă" și pentru „crește peste orice prag". Fără el, definiția limitei rămâne o formulă fără înțeles; cu el, limita se citește direct de pe un grafic.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii orice interval de numere reale, mărginit sau nemărginit, cu notația potrivită, și să treci de la o inegalitate cu modul la intervalul ei.
• Vei ști să spui când o mulțime de numere este majorată, minorată sau mărginită și să dai de fiecare dată barierele concrete.
• Vei ști să arăți că o funcție este mărginită pe un interval, adică să găsești încadrarea $m\le f(x)\le M$ — exact forma în care cerința apare la examen.
• Vei ști să hotărăști dacă o mulțime dată este vecinătate a unui punct și să afli raza $\epsilon$ a celei mai late fâșii care încape în ea.
• Vei ști ce este dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$ și de ce $-\infty$ și $+\infty$ nu sunt numere.
• Vei ști cum arată o vecinătate a lui $+\infty$ sau a lui $-\infty$ și cum se spune riguros, cu ea, „valorile cresc peste orice prag".

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „aproape de" pe axa numerelor?

Revenim la termometru. „Aproape de $37$" nu spune nimic până nu fixăm cât de aproape: cu o toleranță de $0,2$ °C înseamnă intervalul $(36,8;37,2)$, cu una de $0,05$ °C înseamnă $(36,95;37,05)$. De fiecare dată obținem o fâșie simetrică, centrată în punct, iar lățimea ei o alegem noi.

Vecinătate a unui punct $x_0$ se numește orice mulțime $V$ de numere reale care conține o fâșie deschisă în jurul lui $x_0$, adică pentru care există un număr $\epsilon >0$ cu proprietatea $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subseteq V$.

Două cuvinte din definiție fac toată treaba. Primul este deschisă: capetele fâșiei nu intră în ea, pentru că altfel punctul ar putea sta chiar pe margine. Al doilea este în jurul: fâșia are loc și la stânga, și la dreapta lui $x_0$. Așadar întrebarea „este $V$ vecinătate a lui $x_0$?" se traduce în „are $x_0$ loc în toate direcțiile în interiorul lui $V$?", nu în „conține $V$ punctul $x_0$?".

Fâșia se scrie și cu modul, în forma de la modulul unui număr real și regulile lui de calcul: condiția $|x-x_0|<\epsilon$ înseamnă exact $x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$. De aceea „măsurătoarea are eroarea cel mult $\epsilon$" și „rezultatul se află într-o vecinătate de rază $\epsilon$ a valorii adevărate" sunt aceeași propoziție, spusă o dată în limbaj de laborator și o dată în limbaj matematic.

2. Cum se scriu intervalele de numere reale?

Un interval este o mulțime de numere reale fără „găuri": odată ce două numere îi aparțin, îi aparțin și toate numerele dintre ele. Notațiile le știi de la mulțimi și intervale, cu operațiile lor; le adunăm într-un tabel, pentru că de acum înainte ele sunt limbajul de lucru.

Două reguli de scriere care nu se încalcă niciodată: lângă $-\infty$ și lângă $+\infty$ paranteza este întotdeauna rotundă, pentru că acolo nu există niciun număr care să fie capăt; iar un interval deschis nevid conține o infinitate de numere, oricât de apropiate între ele. De aici decurge ceva ce vom folosi imediat: o mulțime finită nu poate fi vecinătate a niciunui punct.

3. Când spunem că o mulțime de numere este mărginită?

Un tehnician măsoară masa a patru probe și obține, în grame, mulțimea $A=\{12,4;15;9,8;14,1\}$: nicio probă nu trece de $20$ de grame și niciuna nu coboară sub $5$.

Mulțimea $A$ este majorată dacă există un număr $M$ cu $x\le M$ pentru orice $x\in A$; un asemenea $M$ se numește majorant. Este minorată dacă există un număr $m$ cu $m\le x$ pentru orice $x\in A$; $m$ se numește minorant. Dacă este și una, și cealaltă, mulțimea se numește mărginită, iar asta înseamnă exact că ea încape într-un interval închis: $A\subseteq [m,M]$.

Pentru mulțimea de mai sus, $20$ este un majorant, dar și $15$, și $100$; la fel, $5$ este un minorant, dar și $9,8$, și $0$. Barierele nu sunt unice și nu trebuie să fie „cele mai bune": la profilul științe ale naturii se cere să găsești o încadrare și să o justifici, nu să demonstrezi că e cea mai strânsă cu putință. (Cea mai mică barieră de sus are un nume propriu — margine superioară — și se studiază la profilul matematică-informatică.) În schimb, intervalul $(3,+\infty )$ este minorat de $3$, dar nu este majorat: orice barieră ai propune, în mulțime se află numere mai mari decât ea.

4. Cum se citește mărginirea unei funcții pe un interval?

Trecem de la mulțimi de numere la funcții, adică la lucrul cu care vei avea de-a face la examen.

Funcția $f$ este mărginită pe intervalul $I$ dacă există două numere reale $m$ și $M$ astfel încât $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in I$. Geometric, condiția spune că porțiunea de grafic de deasupra lui $I$ stă în întregime în banda orizontală cuprinsă între dreptele $y=m$ și $y=M$: nicio parte a curbei nu iese nici deasupra, nici dedesubt.

Ia funcția $f:[2,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{12}{x}$. Ea scade pe tot intervalul, deci cea mai mare valoare se obține la capătul din stânga, iar cea mai mică la capătul din dreapta: $f(2)=6$ și $f(6)=2$. Prin urmare $2\le \frac{12}{x}\le 6$, pentru orice $x\in [2,6]$, iar graficul stă în banda dintre $y=2$ și $y=6$.

O încadrare de acest fel este chiar forma în care cerința apare la examen: în modelul oficial al probei M_șt-nat, ultimul subpunct al primei probleme de analiză sună „Demonstrați că …, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$" — o inegalitate cerută pe un interval, adică o mărginire. Tehnica de bază o cunoști din clasa a IX-a: scrii expresia sub formă canonică și folosești faptul că un pătrat este mereu pozitiv sau nul.

Pentru $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-8x+21$, forma canonică este $g(x)=(x-4{)}^2+5$. Cum $(x-4{)}^2\ge 0$, rezultă $g(x)\ge 5$ pentru orice număr real $x$: funcția este minorată pe $\mathbb{R}$, cu $5$ drept minorant. Majorată nu este, pentru că valorile cresc oricât de mult când $x$ se depărtează de $4$.

5. Ce este dreapta reală încheiată?

Când o mărime crește peste orice prag, propoziția „mulțimea valorilor nu este majorată" e corectă, dar greoaie. Matematica preferă o convenție care scurtează vorba.

Se numește dreaptă reală încheiată mulțimea $$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \},$$ obținută adăugând axei două simboluri noi, așezate prin definiție la capete: $-\infty <x<+\infty$ pentru orice număr real $x$.

Un avertisment care merită scris cu litere mari: $-\infty$ și $+\infty$ nu sunt numere reale. Nu sunt soluții ale niciunei ecuații, nu se pun într-un tabel de valori și nu se calculează cu ele după regulile obișnuite; sunt etichete pentru un comportament. Ce se poate și ce nu se poate calcula cu ele se lămurește la operațiile cu limite și cazurile exceptate; aici reținem doar ordinea și scrierea.

6. Cum arată o vecinătate a lui $+\infty$?

Aceeași idee merge și la capetele axei, doar că fâșia nu mai e simetrică: acolo, „aproape de" înseamnă „dincolo de un prag".

O mulțime este vecinătate a lui $+\infty$ atunci când cuprinde un interval de tipul $(a,+\infty ]$, cu $a$ număr real, și este vecinătate a lui $-\infty$ atunci când cuprinde unul de tipul $[-\infty ,a)$. Așadar $(1000,+\infty ]$ este vecinătate a lui $+\infty$: în ea se află $10^6$ și $10^{12}$, dar nu se află $7$.

Tradus: o mărime care intră în orice vecinătate a lui $+\infty$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice prag fixat dinainte. Exact această formulare face ca „valorile se apropie de numărul $\ell$" și „valorile cresc nemărginit" să se scrie la fel în definiția limitei: valorile intră în orice vecinătate a punctului.

7. La ce folosesc vecinătățile în capitolul de limite?

La trei lucruri, pe care le vei întâlni în ordinea aceasta: limita unei funcții într-un punct, care spune că valorile $f(x)$ intră în orice vecinătate a numărului $\ell$ de îndată ce $x$ se află într-o vecinătate potrivită a lui $x_0$; continuitatea, care compară limita cu valoarea funcției în punct; și asimptotele, unde vecinătățile lui $\pm \infty$ devin instrumentul principal.

Un detaliu de care depinde tot capitolul: în definiția limitei, punctul $x_0$ însuși este scos din discuție — ne interesează ce se întâmplă lângă el, nu în el. De aceea se poate cere limita unei funcții într-un punct în care ea nici măcar nu este definită, lucru care, la limita unei funcții într-un punct, citită de pe grafic, va fi chiar situația cea mai interesantă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cât de lată poate fi fâșia?

Se consideră mulțimea $V=(4,6;5,9)$. Determinați cel mai mare număr $\epsilon >0$ pentru care $(5-\epsilon ,5+\epsilon )\subseteq V$ și precizați dacă $V$ este vecinătate a lui $5$.

Rezolvare. Fâșia $(5-\epsilon ,5+\epsilon )$ încape în $V$ exact când capătul ei din stânga nu coboară sub $4,6$ și capătul din dreapta nu urcă peste $5,9$: $$5-\epsilon \ge 4,6\text{și}5+\epsilon \le 5,9,$$ adică $\epsilon \le 0,4$ și $\epsilon \le 0,9$. Amândouă trebuie respectate, deci contează cea mai strânsă: $\epsilon \le 0,4$, iar cea mai mare valoare posibilă este $\epsilon =0,4$.

Cum am găsit un $\epsilon$ strict pozitiv, mulțimea $V$ este vecinătate a lui $5$. Verificare: $(4,6;5,4)$ este într-adevăr inclus în $(4,6;5,9)$.

Reține procedeul: raza cea mai mare este distanța până la cel mai apropiat capăt — aici, capătul din stânga.

Exemplul 2 — Este sau nu vecinătate?

Decideți, cu justificare, dacă fiecare dintre mulțimile următoare este vecinătate a punctului $3$: a) $[2,5;3,5]$; b) $[3;9)$; c) $(-\infty ;4)$; d) mulțimea numerelor reale $x$ cu $|x-3|=0,1$.

Rezolvare.

a) Da. Deși mulțimea este un interval închis, punctul $3$ nu stă pe niciunul dintre capete: fâșia $(2,9;3,1)$ îl conține pe $3$ și este inclusă în $[2,5;3,5]$. Reține că nu forma parantezelor decide, ci poziția punctului.

b) Nu. Aici $3$ este chiar capătul din stânga. Orice fâșie $(3-\epsilon ,3+\epsilon )$ conține numere mai mici decât $3$ — de pildă $3-\frac{\epsilon }{2}$ —, iar acelea nu aparțin mulțimii $[3;9)$. Punctul are loc la dreapta, dar nu are loc la stânga.

c) Da. Alegem $\epsilon =\frac{1}{2}$: fâșia $(2,5;3,5)$ are toate numerele mai mici decât $4$, deci este inclusă în $(-\infty ;4)$. Faptul că mulțimea e nemărginită la stânga nu schimbă nimic — contează doar ce se întâmplă în jurul lui $3$.

d) Nu. Condiția $|x-3|=0,1$ cu semnul egal, nu cu „mai mic", descrie doar două numere: $2,9$ și $3,1$. O mulțime cu două elemente nu conține niciun interval deschis nevid și, în plus, nici nu îl conține pe $3$.

Exemplul 3 — Încadrarea unei funcții pe un interval

Arătați că funcția $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{10}{x+1}$, este mărginită și scrieți o încadrare a ei.

Rezolvare. Pentru $x\in [1,4]$ avem $2\le x+1\le 5$, toate valorile fiind strict pozitive. Când numitorul unei fracții cu numărător pozitiv crește, fracția scade, deci inegalitățile își schimbă sensul: $$\frac{10}{5}\le \frac{10}{x+1}\le \frac{10}{2}.$$ Prin urmare $2\le \frac{10}{x+1}\le 5$, pentru orice $x\in [1,4]$: funcția este mărginită, cu minorantul $2$ și majorantul $5$.

Control pe capete și pe un punct interior: $f(1)=5$, $f(4)=2$ și $f(2)=\frac{10}{3}\approx 3,33$ — toate trei se află în intervalul $[2,5]$.

Exemplul 4 — Termostatul unui incubator

Într-un incubator, temperatura măsurată la $t$ ore de la pornire este $T(t)=37+\frac{t}{5}-\frac{t^2}{25}$ (grade Celsius), model valabil pentru $t\in [0,5]$. a) Calculați $T(0)$, $T(2,5)$ și $T(5)$. b) Arătați că $37\le 37+\frac{t}{5}-\frac{t^2}{25}\le 37,25$, pentru orice $t\in [0,5]$. c) Producătorul garantează că temperatura rămâne în vecinătatea de rază $0,4$ °C a valorii $37$ °C. Se respectă garanția?

Rezolvare.

a) $T(0)=37$; $T(2,5)=37+0,5-0,25=37,25$; $T(5)=37+1-1=37$.

b) Scriem expresia sub formă canonică, dând factor comun pe $-\frac{1}{25}$ la termenii cu $t$: $$\frac{t}{5}-\frac{t^2}{25}=-\frac{1}{25}\left(t^2-5t\right)=-\frac{1}{25}{\left(t-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}.$$ Cum pătratul este pozitiv sau nul, termenul $-\frac{1}{25}{\left(t-\frac{5}{2}\right)}^2$ este negativ sau nul, deci $T(t)\le 37+\frac{1}{4}=37,25$, cu egalitate la $t=2,5$. Pe de altă parte, pentru $t\in [0,5]$ avem ${\left(t-\frac{5}{2}\right)}^2\le \frac{25}{4}$, deci acel termen nu coboară sub $-\frac{1}{4}$ și $T(t)\ge 37$, cu egalitate la capete.

c) Vecinătatea de rază $0,4$ a lui $37$ este intervalul $(36,6;37,4)$. Din încadrarea de la b), toate valorile temperaturii se află în $[37;37,25]$, iar acest interval este inclus în $(36,6;37,4)$. Garanția se respectă, cu o rezervă de $0,15$ °C față de pragul de sus.

Observă ce a făcut punctul c): a comparat mulțimea valorilor unei funcții cu o vecinătate — mișcarea pe care o vei repeta la fiecare limită.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Intervalul $[4;9]$ este vecinătate și a lui $4$, și a lui $6$, pentru că le conține pe amândouă." Găsiți greșeala și corectați afirmația.

Rezolvare. Greșeala este în motivare: apartenența nu este criteriul. Definiția cere ca în jurul punctului să încapă o fâșie deschisă, iar asta se verifică separat pentru fiecare punct.

Pentru $6$ afirmația este adevărată: $\epsilon =1$ dă fâșia $(5;7)$, inclusă în $[4;9]$.

Pentru $4$ afirmația este falsă: orice fâșie $(4-\epsilon ,4+\epsilon )$ conține numere mai mici decât $4$, iar acelea nu sunt în interval. Punctul $4$ aparține mulțimii, dar stă pe marginea ei.

Formularea corectă: intervalul $[4;9]$ este vecinătate a oricărui punct din $(4;9)$, dar nu și a capetelor sale. Proba rapidă: dacă punctul e capăt, răspunsul e „nu", indiferent de paranteze.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$. a) Arătați că $f(x)=(x-2{)}^2+3$, pentru orice $x\in [0,4]$. b) Arătați că $3\le x^2-4x+7\le 7$, pentru orice $x\in [0,4]$. c) Arătați că, pentru orice $x$ din vecinătatea $(1,3)$ a punctului $2$, valoarea $f(x)$ aparține intervalului $[3;4)$.

Rezolvare.

a) Desfacem pătratul: $(x-2{)}^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7$, adică exact $f(x)$.

b) Notăm $u=(x-2{)}^2$. Din $x\in [0,4]$ rezultă $-2\le x-2\le 2$, deci $0\le u\le 4$ (un pătrat este pozitiv sau nul, iar valoarea cea mai mare se atinge la capete). Adunând $3$ în toți membrii, $3\le u+3\le 7$, adică încadrarea cerută.

c) Din $1<x<3$ obținem $-1<x-2<1$, deci $|x-2|<1$ și, ridicând la pătrat, $0\le (x-2{)}^2<1$. Adunăm $3$: $3\le f(x)<4$, adică $f(x)\in [3;4)$.

De la examen la lecție. Cerințele a) și b) au forma scurtă, de câte cinci puncte, în care apar la Subiectul I al probei M_șt-nat: „Arătați că…". Cerința c) nu se dă ca atare la examen, dar este chiar mecanismul definiției limitei: o vecinătate a punctului $2$ este dusă de funcție într-o vecinătate a valorii $3$. Când vei citi definiția în lecția următoare, recunoaște-o aici.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La orice încadrare cerută, scrie explicit cei doi membri, $m$ și $M$: majorarea și minorarea se scriu amândouă.

1. Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $|x-5|<0,3$.

2. Determină cel mai mare număr $\epsilon >0$ pentru care $(2-\epsilon ,2+\epsilon )\subseteq (1,4;2,5)$.

3. Decide, cu justificare, dacă mulțimea $[-2;6]$ este vecinătate a punctelor $-2$, $0$ și $6$.

4. Arată că intervalul $(-\infty ;3)$ este vecinătate a lui $0$, dar nu este vecinătate a lui $3$.

5. Precizează un majorant și un minorant pentru mulțimea $A=\{-4;0,5;3;11\}$ și scrie un interval închis care o conține.

6. Arată că funcția $f:[2,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{20}{x+3}$, este mărginită și scrie încadrarea ei.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice mulțime care îl conține pe $x_0$ este vecinătate a lui $x_0$."

8. Scrie două vecinătăți diferite ale lui $+\infty$ și o mulțime care nu este vecinătate a lui $+\infty$.

9. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{x^2+1}$, este mărginită pe $\mathbb{R}$ și găsește o încadrare a ei.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $x^2-6x+11\ge 2$, pentru orice număr real $x$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[2,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+10x-9$. Arătați că $7\le -x^2+10x-9\le 16$, pentru orice $x\in [2,7]$.

12. (Problemă aplicată.) Într-un acvariu, concentrația de oxigen dizolvat, în miligrame pe litru, la $t$ ore de la pornirea pompei, este $c(t)=6+\frac{3t}{t+2}$, model valabil pentru $t\in [0,10]$. Arată că $6\le c(t)\le 8,5$ pe acest interval și explică ce înseamnă fiecare dintre cele două margini.

13. Determină mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $|x+2|\le 0,5$ și precizează al cărui punct este ea vecinătate.

14. Explică, în două-trei rânduri, de ce lângă simbolul $+\infty$ paranteza este întotdeauna rotundă și de ce $+\infty$ nu poate fi soluția unei ecuații.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\frac{5}{x^2+2}\le \frac{5}{2}$, pentru orice număr real $x$.

16. Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, nu este mărginită, dar este mărginită pe intervalul $[1,+\infty )$.

17. Fie $V$ și $W$ două vecinătăți ale punctului $3$. Arată că $V\cap W$ este tot o vecinătate a lui $3$.

18. (Provocare.) Arată că $-\frac{1}{2}\le \frac{x}{x^2+1}\le \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$, și precizează în ce puncte se ating cele două margini.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția cu modul înseamnă $-0,3<x-5<0,3$, deci $4,7<x<5,3$: mulțimea este intervalul $(4,7;5,3)$, adică vecinătatea de rază $0,3$ a lui $5$.

2. Trebuie $2-\epsilon \ge 1,4$ și $2+\epsilon \le 2,5$, adică $\epsilon \le 0,6$ și $\epsilon \le 0,5$. Cea mai strânsă condiție dă $\epsilon =0,5$; într-adevăr, $(1,5;2,5)$ este inclus în $(1,4;2,5)$. Distanța până la capătul din dreapta a fost cea mică.

3. Pentru $-2$: nu, punctul este capătul din stânga, iar orice fâșie în jurul lui conține numere sub $-2$. Pentru $0$: da, fâșia $(-1;1)$ este inclusă în $[-2;6]$. Pentru $6$: nu, este capătul din dreapta.

4. Pentru $0$: fâșia $(-1;1)$ are toate numerele mai mici decât $3$, deci este inclusă în $(-\infty ;3)$; prin urmare mulțimea este vecinătate a lui $0$. Pentru $3$: punctul nici nu aparține mulțimii, așa că nicio fâșie în jurul lui nu poate fi inclusă în ea.

5. Un majorant: $11$ (sau $20$); un minorant: $-4$ (sau $-10$). Mulțimea este mărginită și $A\subseteq [-4;11]$. Barierele nu sunt unice; orice pereche corectă e acceptată, cu condiția să fie justificată.

6. Pentru $x\in [2,5]$ avem $5\le x+3\le 8$, cu toate valorile pozitive, deci $\frac{20}{8}\le \frac{20}{x+3}\le \frac{20}{5}$, adică $2,5\le \frac{20}{x+3}\le 4$, pentru orice $x\in [2,5]$. Funcția este mărginită, cu $m=2,5$ și $M=4$. Control: $f(2)=4$, $f(4)=\frac{20}{7}$, $f(5)=2,5$.

7. Fals. Apartenența nu este suficientă. Contraexemplu: mulțimea $\{5\}$ îl conține pe $5$, dar nu conține niciun interval deschis, deci nu este vecinătate a lui $5$. Un al doilea contraexemplu: $[5;8]$ îl conține pe $5$, dar $5$ stă pe margine.

8. Vecinătăți ale lui $+\infty$: $(10,+\infty ]$ și $(10^6,+\infty ]$ — ambele conțin toate numerele de peste un prag. Nu este vecinătate a lui $+\infty$ intervalul $(0;10^6)$: oricât de mare ar fi capătul lui din dreapta, el lasă pe dinafară toate numerele mai mari.

9. Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$ și $\frac{4}{x^2+1}\le \frac{4}{1}=4$; cum și numărătorul, și numitorul sunt pozitivi, fracția este pozitivă. Deci $0\le f(x)\le 4$ pe tot $\mathbb{R}$. Marginea de sus se atinge în $x=0$; cea de jos nu se atinge niciodată, dar rămâne o barieră corectă. Control: $f(0)=4$, $f(1)=2$, $f(3)=\frac{4}{10}$.

10. Forma canonică: $x^2-6x+11=(x-3{)}^2+2$. Cum $(x-3{)}^2\ge 0$, adunând $2$ obținem $x^2-6x+11\ge 2$, cu egalitate exact pentru $x=3$.

11. Scriem $f(x)=-(x-5{)}^2+16$. Din $2\le x\le 7$ rezultă $-3\le x-5\le 2$, deci $0\le (x-5{)}^2\le 9$ (pătratul celui mai depărtat capăt, adică al lui $-3$, dă valoarea cea mai mare). Înmulțind cu $-1$ se răstoarnă sensul, $-9\le -(x-5{)}^2\le 0$, iar adunând $16$ obținem $7\le -x^2+10x-9\le 16$, pentru orice $x\in [2,7]$. Coeficientul dominant fiind negativ, forma canonică dă de data aceasta valoarea cea mai mare, nu pe cea mai mică. Control: $f(2)=7$, $f(5)=16$, $f(7)=12$.

12. Pentru $t\in [0,10]$ fracția $\frac{3t}{t+2}$ este pozitivă sau nulă, deci $c(t)\ge 6$, cu egalitate la $t=0$. Apoi $\frac{3t}{t+2}=3-\frac{6}{t+2}$, iar din $t+2\le 12$ rezultă $\frac{6}{t+2}\ge \frac{1}{2}$, deci $\frac{3t}{t+2}\le 2,5$. Prin urmare $6\le 6+\frac{3t}{t+2}\le 8,5$, pentru orice $t\in [0,10]$. Marginea de jos este concentrația din momentul pornirii, cea de sus este concentrația atinsă după zece ore; oxigenarea încetinește, fără să treacă vreodată de $9$ mg/L.

13. Condiția înseamnă $-0,5\le x+2\le 0,5$, adică $-2,5\le x\le -1,5$: intervalul $[-2,5;-1,5]$. El este vecinătate a lui $-2$ (fâșia $(-2,3;-1,7)$ îi aparține) și a oricărui punct interior, dar nu și a capetelor.

14. Un capăt închis ar însemna că simbolul aparține mulțimii; or, $+\infty$ nu e număr real, deci nu poate fi element al unei mulțimi de numere reale. Din același motiv nu poate fi soluția unei ecuații: o soluție se înlocuiește în egalitate, iar cu $+\infty$ nu se fac înlocuiri.

15. Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+2\ge 2$. Numitorul fiind mai mare decât $2$ și numărătorul pozitiv, fracția scade: $\frac{5}{x^2+2}\le \frac{5}{2}$, cu egalitate exact pentru $x=0$.

16. Pe $(0,+\infty )$ funcția nu e majorată: pentru orice prag $M>0$, cu $x=\frac{1}{M+1}$ obținem $f(x)=M+1>M$. Pe $[1,+\infty )$ însă $x\ge 1$ dă $\frac{1}{x}\le 1$, iar fracția e pozitivă: $0\le \frac{1}{x}\le 1$. Mărginirea depinde deci de intervalul pe care o ceri.

17. Există ${\epsilon }_1>0$ și ${\epsilon }_2>0$ cu $(3-{\epsilon }_1,3+{\epsilon }_1)\subseteq V$ și $(3-{\epsilon }_2,3+{\epsilon }_2)\subseteq W$. Luăm $\epsilon$ cel mai mic dintre ele: $\epsilon >0$, iar fâșia $(3-\epsilon ,3+\epsilon )$ e inclusă în amândouă, deci în intersecție. Prin urmare $V\cap W$ e vecinătate a lui $3$.

18. Pornim de la faptul că orice pătrat este pozitiv sau nul: $(x-1{)}^2\ge 0$ dă $x^2+1\ge 2x$, iar $(x+1{)}^2\ge 0$ dă $x^2+1\ge -2x$. Cum $x^2+1>0$, putem împărți fără să schimbăm sensul: din prima, $\frac{x}{x^2+1}\le \frac{1}{2}$; din a doua, $\frac{x}{x^2+1}\ge -\frac{1}{2}$. Marginea de sus se atinge la $x=1$, cea de jos la $x=-1$. Control: pentru $x=1$ fracția face $\frac{1}{2}$, iar pentru $x=2$ face $\frac{2}{5}=0,4$, mai mic.

De reținut

• Vecinătate a lui $x_0$ este orice mulțime care conține o fâșie deschisă $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, cu $\epsilon >0$. Criteriul nu este apartenența punctului, ci faptul că punctul are loc în jur, în ambele direcții; un capăt de interval nu are.
• Condiția cu modul și fâșia sunt același lucru: $|x-x_0|<\epsilon$ înseamnă $x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$. Traducerea dintr-o formă în cealaltă este primul pas al majorității exercițiilor.
• O funcție este mărginită pe un interval $I$ dacă există $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in I$ — adică graficul stă într-o bandă orizontală. Barierele nu trebuie să fie cele mai strânse, dar trebuie justificate amândouă.
• Unealta de bază a încadrărilor este forma canonică plus faptul că un pătrat este pozitiv sau nul; la fracții cu numărător pozitiv se încadrează mai întâi numitorul, ținând minte că inegalitățile își schimbă sensul.
• Dreapta reală încheiată este $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, cu $-\infty <x<+\infty$ pentru orice $x$ real. Simbolurile nu sunt numere; o vecinătate a lui $+\infty$ cuprinde toate numerele de peste un prag $a$, iar una a lui $-\infty$ pe toate cele de sub un prag.

Greșeli frecvente

• Încadrezi o fracție păstrând sensul inegalităților. Din $2\le x+1\le 5$ NU rezultă $\frac{10}{2}\le \frac{10}{x+1}\le \frac{10}{5}$: când numitorul crește, fracția pozitivă scade, deci încadrarea se răstoarnă. Verifică întotdeauna pe capete, cu valori concrete.
• Cauți valoarea cea mai mare a unui pătrat în mijlocul intervalului. Pentru $x\in [0,3]$, expresia $(x-1{)}^2$ este maximă la $x=3$, nu la $x=1$: pătratul crește cu distanța față de $1$, deci se calculează la capătul mai depărtat, nu la cel mai apropiat.
• Scrii $[a,+\infty ]$ cu paranteză dreaptă la infinit. Notația corectă pentru un interval de numere reale este $[a,+\infty )$; forma cu paranteză dreaptă apare numai când lucrezi în $\overline{\mathbb{R}}$, la vecinătățile lui $+\infty$.
• Confunzi mărginirea valorilor cu mărginirea domeniului. Funcția $f(x)=\frac{4}{x^2+1}$ are domeniul nemărginit și totuși e mărginită; invers, $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $(0,1]$ are domeniul mărginit și nu e mărginită. Întrebarea privește întotdeauna valorile.
• Iei capătul unui interval de toleranță drept centru al fâșiei. O etichetă care spune „între $36,8$ și $37,2$ °C" descrie fâșia de centru $37$ și rază $0,2$, nu una de centru $36,8$: centrul este mijlocul intervalului, iar raza, jumătate din lungimea lui. Greșeala mută vecinătatea cu o rază întreagă și se vede din prima dacă desenezi fâșia pe axă.

Aplică acasă

1. Eticheta din bucătărie. Ia trei produse ambalate și citește masa netă și abaterea admisă („$500$ g $\pm 10$ g"). Scrie pentru fiecare fâșia corespunzătoare, o dată ca interval și o dată ca inegalitate cu modul, apoi cântărește produsul și verifică dacă valoarea măsurată cade în fâșie.

2. Banda pulsului. Măsoară-ți pulsul din cinci în cinci minute, timp de o jumătate de oră de repaus, și desenează punctele pe o foaie. Trasează cele două drepte orizontale între care încap toate și scrie încadrarea $m\le p(t)\le M$. Compară banda ta cu a unui coleg: barierele vor fi diferite, dar amândouă corecte.

3. Praguri și vecinătăți ale infinitului. Ia o mărime care crește nelimitat (numărul total de pași făcuți de la începutul anului). Alege trei praguri și spune, pentru fiecare, după cât timp mărimea intră în vecinătatea corespunzătoare a lui $+\infty$. Răspunsul există pentru orice prag — exact asta înseamnă „crește nemărginit".

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul XI.2 „Limite de funcții și continuitate", cu formularea „noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale de numere reale; mărginire; vecinătăți și noțiunea de dreaptă încheiată". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere aceleași noțiuni, cuvânt cu cuvânt, ca deschidere a capitolului de limite. La subiectele propriu-zise ele nu se cer separat, sub formă de definiție: apar ca limbaj în cerințele de la Subiectul al III-lea și, sub formă de încadrare pe un interval, într-o cerință de tipul „Demonstrați că …, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$", prezentă în modelul oficial al probei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Miza lecției, pe care programa nu o scrie: este singura oră din an în care elevul învață un vocabular, nu o rețetă. Cine o tratează ca pe o formalitate calculează mai târziu limite corecte fără să poată spune ce a calculat și rămâne blocat la cerințele care cer o justificare.

Lecția verifică patru lucruri: (1) trecerea de la o inegalitate cu modul la un interval și înapoi; (2) decizia „este sau nu vecinătate", luată pe poziția punctului, nu pe apartenență; (3) obținerea unei încadrări $m\le f(x)\le M$ prin formă canonică sau prin încadrarea numitorului; (4) folosirea corectă a simbolurilor $\pm \infty$. Întrebări de control, de pus oral: „Dă-mi o mulțime care îl conține pe $2$ și nu e vecinătate a lui $2$"; „Ce înseamnă, pe desen, că o funcție e mărginită pe un interval?"; „Cum arată o vecinătate a lui $-\infty$?". Semne că elevul a înțeles: desenează fâșia înainte de a răspunde și scrie ambele margini ale unei încadrări, nu doar pe cea evidentă. Continuarea firească este lecția despre limita unei funcții într-un punct, citită de pe grafic.

Întrebări frecvente

Ce este o vecinătate a unui punct? Este orice mulțime de numere reale care conține o fâșie deschisă în jurul punctului, adică un interval $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ cu $\epsilon >0$. Condiția nu este ca mulțimea să conțină punctul, ci ca punctul să aibă loc în interiorul ei, și la stânga, și la dreapta. Un capăt de interval nu are niciodată loc la stânga sau la dreapta.

Ce înseamnă „exactitate $\pm 0,2$ °C" în limbajul vecinătăților? Înseamnă că valoarea adevărată se află în fâșia de rază $0,2$ din jurul cifrei afișate: dacă aparatul arată $37,0$, adevărul este undeva în $(36,8;37,2)$. Eticheta aparatului îți dă, așadar, exact numărul $\epsilon$ din definiție. Orice mulțime care cuprinde fâșia aceasta, oricât ar fi ea de largă în rest, este o vecinătate a valorii afișate.

Cum arăt că o funcție este mărginită pe un interval? Găsești două numere $m$ și $M$ pentru care $m\le f(x)\le M$ pe tot intervalul și justifici ambele inegalități. Cele două unelte obișnuite sunt forma canonică, atunci când expresia e de gradul al doilea, și încadrarea numitorului, atunci când expresia e o fracție cu numărător constant.

Se cer vecinătățile la fel la M1 și la M2? Noțiunea este aceeași, dar traseele diferă. La profilul matematică-informatică ea vine împreună cu marginea superioară și cea inferioară, cu axioma de completitudine și cu limitele de șiruri, capitol care la științe ale naturii nu există. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: marginile unei mulțimi, dreapta încheiată și vecinătățile tratează și aceste teme suplimentare.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2? Noțiunile din lecție nu formează singure o cerință de examen; ele sunt limbajul în care se scriu cerințele de la Subiectul al III-lea, unde se dau limitele, asimptotele și studiul funcției. Sub formă de încadrare pe un interval, mărginirea apare însă ca subpunct de sine stătător, în cerințe de tipul „Demonstrați că…, pentru orice $x$ dintr-un interval dat".

De ce contează ca fâșia din definiție să fie deschisă? Pentru că o fâșie închisă ar permite ca punctul să fie chiar capătul ei, iar atunci „aproape de punct" ar avea sens doar într-o singură direcție. Definiția limitei are nevoie ca punctul să fie înconjurat de valori din ambele părți; altfel n-ai putea compara apropierea din stânga cu cea din dreapta.

Cum aleg $m$ și $M$ la o fracție cu numărător constant? Încadrezi întâi numitorul pe intervalul dat, verifici că păstrează semn constant, apoi răstorni inegalitățile: la numitor mai mare, fracția pozitivă e mai mică. Marginile ies din capetele numitorului. La $\frac{10}{x+1}$ pe $[1,4]$ ai $2\le x+1\le 5$, deci $2\le f(x)\le 5$ — minorantul vine din capătul mare al numitorului, majorantul din cel mic. Scrii amândouă inegalitățile, nu doar pe cea evidentă.

Trebuie ca majorantul găsit să fie cel mai mic posibil? Nu. Programa profilului științe ale naturii cere să găsești o încadrare corectă și să o justifici, nu să demonstrezi că barierele sunt optime. Dacă alegi $M=10$ acolo unde $M=7$ ar fi mers, răspunsul rămâne corect; grija pentru cea mai bună barieră aparține traseului de matematică-informatică.