Cât lichid încape într-un pahar cu profilul f(x)= x/10+3?

Cu x între 0 și 10 cm, volumul este π∫₀¹⁰(x/10+3)²dx= 10π/3(64-27)= 370π/3≈387,5 cm³. Paharul este un trunchi de con cu razele 3 și 4 cm, iar formula din gimnaziu dă același rezultat.

Ce volum dă rotirea lui 1/x pe [1,3]?

Volumul este π∫₁³ 1/x² dx=π(- 1/x)|₁³=π(1- 1/3)= 2π/3. Corpul seamănă cu o pâlnie care se îngustează de la raza 1 la raza 1/3. Primitiva lui 1/x² este - 1/x, iar minusul dispare la scăderea valorilor din capete.

Ce volum dă rotirea lui x² pe [0,2]?

Volumul este π∫₀²x⁴ dx=π· 32/5= 32π/5≈20,1. Funcția se ridică la pătrat înainte de integrare, deci sub integrală apare x⁴, nu x². Graficul crește repede, de aceea volumul pe [0,2] este de 32 de ori mai mare decât cel pe [0,1].

Ce volum dă rotirea lui radical din x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volumul de rotație

Rotind în jurul axei $O x$ subgraficul lui $f (x) = x$ pe $[0, 4]$ se obține un paraboloid, cu volumul $π \int_{0}^{4} (x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \cdot \frac{16}{2} = 8 π$ . Pătratul face radicalul să dispară, iar integrala devine una de gradul întâi. Pentru comparație, cilindrul cu aceeași rază maximă, $2$ , și aceeași înălțime, $4$ , are $16 π$ : paraboloidul ocupă exact jumătate din el.

O eprubetă, un pahar gradat, o piesă strunjită se descriu cu un singur contur învârtit complet în jurul unei drepte. Corpul $C_{f}$ ia naștere rotind porțiunea plină dintre grafic, axă și verticalele din capete, pentru $f : [a, b] \to R$ continuă și cu valori nenegative; o curbă învârtită ar da doar o membrană. Măsura lui este $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

Rostul puterii a doua. Un plan așezat perpendicular pe dreapta de rotație taie un disc cu raza cât valoarea funcției în acel loc, iar discul de rază $ρ$ măsoară $π ρ^{2}$ . Sub semnul integralei se strâng, prin urmare, măsuri de tăieturi, nu valori ale funcției — iată de ce răspunsul se dă la puterea a treia a unității. Ridicarea se petrece înăuntru: $π \int_{a}^{b} f^{2}$ și $π (\int_{a}^{b} f)^{2}$ nu coincid.

Rezolvarea deplină are trei gesturi scrise: ipotezele, cu motivul lor; ridicarea la a doua; integrala, cu $π$ ținut afară încă de la început.

Verificarea. Un contur orizontal naște un cilindru; unul oblic care nu atinge dreapta de rotație naște un trunchi de con, cu razele date de valorile din capete și cu înălțimea cât intervalul; unul pornit din vârful reperului naște un con. Formula de gimnaziu a corpului recunoscut dă a doua valoare, pe alt drum. Al doilea control: încadrarea între cei doi cilindri ai marginilor lui $f$ .

De reținut

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , pentru $f \geq 0$ continuă
pătratul se face sub integrală, înainte de calcul
profil constant: cilindru; profil de gradul întâi: con sau trunchi de con

Greșeala tipică

Se uită pătratul și se scrie $π \int_{0}^{4} x d x$ ; formula cere $π \int_{0}^{4} x d x = 8 π$ , fiindcă fiecare tăietură este un disc cu aria $π f^{2} (x)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a subgraficului funcției $f : [0, 5] \to R$ , $f (x) = 7$ ?
- a) $245 π$
- b) $35 π$
- c) $1225 π$
- d) $70 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $245 π$

Profilul este constant, deci $V (C_{f}) = π \int_{0}^{5} 49 d x = 245 π$ ; corpul este cilindrul de rază $7$ și înălțime $5$ , iar $π \cdot 49 \cdot 5$ confirmă. Varianta b) integrează funcția, nu pătratul ei, c) ridică la a doua integrala în loc de funcție, iar d) dă aria laterală $2 π r h$ , care nu e un volum.
Care este volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a subgraficului funcției $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 5 x + 1$ ?
- a) $273 π$
- b) $\frac{51 π}{2}$
- c) $1365 π$
- d) $\frac{4096 π}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $273 π$

Funcția este de gradul întâi, deci continuă, și ia pe $[0, 3]$ valori între $1$ și $16$ , toate pozitive. Atunci $V (C_{f}) = π \int_{0}^{3} (5 x + 1)^{2} d x = π \cdot \frac{( 5 x + 1 ) ^{3}}{15}_{0}^{3} = \frac{π ( 4096 - 1 )}{15} = 273 π$ . Corpul este trunchiul de con cu razele $1$ și $16$ și înălțimea $3$ : $\frac{3 π}{3} (256 + 16 + 1) = 273 π$ . Varianta b) integrează funcția, c) uită împărțirea la $5$ din primitiva binomului, iar d) sare peste valoarea din capătul de jos.
Determină numărul real $m > 0$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției constante $f : [0, 12] \to R$ , $f (x) = m$ , are volumul $768 π$ .
- a) $64$
- b) $8$
- c) $32$
- d) $8 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

Volumul cilindrului de rază $m$ și înălțime $12$ este $12 π m^{2}$ . Din $12 π m^{2} = 768 π$ rezultă $m^{2} = 64$ , deci $m = 8$ , singura valoare pozitivă. Varianta a) se oprește la $m^{2}$ , c) folosește aria laterală $2 π m \cdot 12$ în loc de volum, iar d) păstrează $π$ într-o lungime.

Întrebări conexe

Cât lichid încape într-un pahar cu profilul $f (x) = \frac{x}{10} + 3$ ?

Cu $x$ între $0$ și $10$ cm, volumul este $π \int_{0}^{10} (\frac{x}{10} + 3)^{2} d x = \frac{10 π}{3} (64 - 27) = \frac{370 π}{3} \approx 387, 5$ cm³. Paharul este un trunchi de con cu razele $3$ și $4$ cm, iar formula din gimnaziu dă același rezultat.

Ce volum dă rotirea lui $e^{x}$ pe $[0, 1]$ ?

Volumul este $π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = π \cdot \frac{e ^{2 x}}{2}_{0}^{1} = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2} \approx 10, 04$ . Pătratul lui $e^{x}$ este $e^{2 x}$ , a cărui primitivă aduce factorul $\frac{1}{2}$ . Corpul se lărgește de la raza $1$ la raza $e$ , iar volumul lui depășește puțin $10$ unități cubice.

Ce volum dă rotirea lui $\frac{1}{x}$ pe $[1, 3]$ ?

Volumul este $π \int_{1}^{3} \frac{1}{x ^{2}} d x = π (- \frac{1}{x})_{1}^{3} = π (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2 π}{3}$ . Corpul seamănă cu o pâlnie care se îngustează de la raza $1$ la raza $\frac{1}{3}$ . Primitiva lui $\frac{1}{x ^{2}}$ este $- \frac{1}{x}$ , iar minusul dispare la scăderea valorilor din capete.

Cum aflu un parametru dintr-un volum de rotație dat?

Scrii volumul în funcție de parametru și rezolvi ecuația. Pentru $f (x) = m x$ pe $[0, 2]$ , cu $m > 0$ , volumul este $π \int_{0}^{2} m x d x = 2 π m$ . Dacă el trebuie să fie $10 π$ , rezultă $m = 5$ .

Ce volum dă rotirea lui $x^{2}$ pe $[0, 2]$ ?

Volumul este $π \int_{0}^{2} x^{4} d x = π \cdot \frac{32}{5} = \frac{32 π}{5} \approx 20, 1$ . Funcția se ridică la pătrat înainte de integrare, deci sub integrală apare $x^{4}$ , nu $x^{2}$ . Graficul crește repede, de aceea volumul pe $[0, 2]$ este de $32$ de ori mai mare decât cel pe $[0, 1]$ .

Oamenii mai întreabă și: volumul generat de radical din x · volumul paraboloidului cu integrala · rotirea lui radical x în jurul axei Ox · corp de rotație din radical din x

Ce volum dă rotirea lui radical din x?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât lichid încape într-un pahar cu profilul f(x)=10x​+3?

Ce volum dă rotirea lui ex pe [0,1]?

Ce volum dă rotirea lui x1​ pe [1,3]?

Cum aflu un parametru dintr-un volum de rotație dat?

Ce volum dă rotirea lui x2 pe [0,2]?

Continuă cu

Cât lichid încape într-un pahar cu profilul $f (x) = \frac{x}{10} + 3$ ?

Ce volum dă rotirea lui $e^{x}$ pe $[0, 1]$ ?

Ce volum dă rotirea lui $\frac{1}{x}$ pe $[1, 3]$ ?

Ce volum dă rotirea lui $x^{2}$ pe $[0, 2]$ ?