Volumul unui corp de rotație (M2, științe ale naturii)

Un suflător de sticlă ține țeava în flacără și o învârte fără oprire. Pasta moale de la capăt se întinde, se subțiază, se umflă — iar obiectul care iese arată la fel din orice parte l-ai privi, fiindcă s-a născut dintr-un singur contur rotit complet în jurul unei axe. Aceeași poveste o spun o eprubetă, un balon de laborator, un pahar gradat: forma lor se descrie cu un singur profil, nu cu o suprafață întreagă. Întrebarea firească — „cât cuprinde vasul?" — are, la clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), un răspuns care încape într-un rând de integrală, iar la bacalaureatul M2 el se cere la Subiectul al III-lea.

Tema este în amândouă programele, deci se învață cu același folos de toate generațiile. Programa de examen în vigoare pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 conține, la capitolul „Aplicații ale integralei definite", rândul „Volumul unui corp de rotație", iar cerințele de acest fel se dau la Subiectul al III-lea, singurul cu analiză matematică; în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, ultimul subpunct al problemei de integrale cere numărul real $a$ pentru care volumul unui corp de rotație este egal cu $\frac{a\pi }{3}$. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) tema rămâne, la domeniul Analiză matematică, pentru proba MAT_P2 din 2030.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce figură se învârte și ce corp iese din învârtirea ei, citind doar formula funcției.
• Vei ști să scrii și să folosești formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, cu toate ipotezele ei.
• Vei ști să explici de ce apare pătratul funcției sub integrală și de ce rezultatul se măsoară în unități cubice.
• Vei ști să recunoști corpul obținut, atunci când profilul este o dreaptă, și să-i verifici volumul cu formula știută din gimnaziu.
• Vei ști să afli o rază, o înălțime sau un capăt de interval dintr-o condiție pusă asupra volumului.
• Vei ști să controlezi un rezultat înainte de a-l preda, fără să refaci calculul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un corp de rotație?

Pornim de la o figură plană pe care o cunoști din lecția despre aria suprafeței dintre grafic și axa Ox: subgraficul funcției $f$, adică porțiunea de plan cuprinsă între graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele verticale duse prin capetele intervalului. Până acum ai privit-o ca pe o suprafață și i-ai măsurat aria. Acum o ridicăm în spațiu.

Corpul de rotație $C_f$ este figura pe care o umple în spațiu subgraficul lui $f$, unde $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ e continuă și ia numai valori pozitive, în timpul unei ture întregi, de $360^{\circ }$, făcute în jurul axei $Ox$; volumul acestei figuri se notează $\mathcal{V}(C_f)$. Reține cele trei condiții din definiție, pentru că fiecare are un rost: $f$ continuă (altfel corpul s-ar rupe), $f$ pozitivă, adică $f(x)\ge 0$ (altfel subgraficul nu e cuprins între grafic și axă), și rotația în jurul axei $Ox$, nu a alteia.

Se rotește regiunea plină, nu curba. Dacă ai roti numai graficul, ai obține o pânză subțire, o suprafață fără grosime, care nu are volum; rotind regiunea de sub grafic obții un corp plin, ca o piesă de lemn strunjită. Deosebirea aceasta merită ținută minte, fiindcă suprafața rotită are și ea o mărime proprie, aria ei laterală, iar despre ea e vorba în lecția despre lungimea unei curbe și aria laterală.

2. De ce apare pătratul funcției?

Taie corpul cu un plan perpendicular pe axa $Ox$, dus prin punctul de abscisă $x$. Ce vezi în tăietură? Punctul de pe grafic se află la distanța $f(x)$ de axă și, rotindu-se, descrie un cerc de rază $f(x)$; segmentul care unește axa cu graficul mătură tot interiorul cercului. Secțiunea este, așadar, discul de rază $f(x)$, iar aria lui este $\pi f^2(x)$.

De aici vine pătratul, și el vine din geometrie, nu din vreo manevră de calcul: este pătratul din aria discului. Consecința se vede în unitățile de măsură. Aria subgraficului se obține adunând lungimi de-a lungul intervalului și se măsoară în unități pătratice; volumul se obține adunând arii de secțiune de-a lungul aceluiași interval și se măsoară în unități cubice. Când într-un enunț apar centimetri, răspunsul se scrie în centimetri cubi, nu doar cu un număr.

Tot de aici iese și capcana cea mai costisitoare a lecției. Ridicarea la a doua are loc înăuntrul integralei, asupra valorii funcției, deci $$\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx\ne \pi {\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2.$$ Verifică pe funcția constantă $f(x)=3$ pe $[0,2]$: membrul stâng dă $\pi \cdot 9\cdot 2=18\pi$, iar cel drept $\pi \cdot 6^2=36\pi$. Numerele sunt diferite, iar cel care are înțeles geometric este primul.

3. De unde vine formula volumului?

Avem nevoie de un volum deja acceptat, de la care să pornim — nicio formulă de volum nu se naște din nimic. Acela este cel al cilindrului, $\pi r^{2}h$, primit în clasa a VIII-a la cilindrul circular drept.

Notează cu $V(t)$ volumul porțiunii din corp cuprinse între abscisele $a$ și $t$, unde $t$ se plimbă în $[a,b]$; evident, $V(a)=0$, iar volumul căutat este $V(b)$. Ia acum o felie subțire, între $t$ și $t+h$, cu $h>0$ mic. Pe acel interval scurt, raza secțiunii ia valori între o valoare cea mai mică, $m$, și una cea mai mare, $M$, iar felia este cuprinsă între cilindrul de rază $m$ și cel de rază $M$, amândoi de înălțime $h$: $$\pi m^{2}h\le V(t+h)-V(t)\le \pi M^{2}h.$$ Împarte totul la $h$ și lasă grosimea feliei să scadă spre zero. Funcția $f$ fiind continuă, cele două raze extreme se apropie amândouă de $f(t)$, deci raportul din mijloc — care este chiar raportul de variație al lui $V$ — se apropie de $\pi f^2(t)$. Prin urmare $V$ este derivabilă și $$V^{\prime }(t)=\pi f^2(t).$$

Ultimul pas îl face formula Leibniz-Newton: dacă $V$ este o primitivă a funcției continue $\pi f^2$, atunci diferența dintre valorile ei la capete este integrala acelei funcții. Cum $V(a)=0$, rămâne rezultatul care organizează toată lecția:

Volumul corpului de rotație. Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă și $f(x)\ge 0$ pe $[a,b]$, atunci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$

Raționamentul de mai sus arată de unde vine formula, dar se sprijină pe presupunerea că un corp atât de simplu are un volum care se comportă cuminte: o bucată mai cuprinzătoare are măsura mai mare, iar două bucăți lipite fără să se suprapună au măsurile care se adună. O demonstrație riguroasă a acestui fapt nu se cere la acest profil — programa de examen o spune ea însăși, notând că pentru unele rezultate „demonstrația este în afara programei".

4. De ce numai în jurul axei $Ox$?

Pentru că numai acolo secțiunea perpendiculară pe axă este un disc de rază $f(x)$, adică exact figura pentru care știm aria. Dacă ai roti aceeași regiune în jurul axei $Oy$, ai obține un cu totul alt corp — încearcă mental cu un triunghi dreptunghic: rotit în jurul unei catete dă un con, rotit în jurul celeilalte dă alt con, cu rază și înălțime schimbate între ele. Sunt corpuri diferite, cu volume diferite.

Programa nouă de la științe ale naturii cere explicit numai rotația în jurul axei $Ox$, așa că în toate cerințele pe care le vei întâlni axa este $Ox$. Merită totuși citit enunțul până la capăt: dacă acolo scrie „în jurul axei $Ox$", ai confirmarea că formula se aplică așa cum ai învățat-o.

5. Cum arată o rezolvare completă?

Trei gesturi, în ordinea asta, și ele se scriu pe foaie, nu se fac în minte.

Întâi ipotezele. Scrii că $f$ este continuă pe intervalul dat, spunând de ce (funcție de gradul întâi, funcție constantă, compunere de funcții continue), și că $f(x)\ge 0$ acolo, spunând iar de ce. Fără această propoziție rezolvarea e incompletă, pentru că formula descrie rotația unui subgrafic, iar subgraficul există doar sub aceste condiții.

Apoi pătratul. Scrii $f^2$ ca expresie desfășurată sau ca putere a unui binom, oricum ți-e mai ușor de integrat. La o funcție de gradul întâi, $f(x)=\alpha x+\beta$, cea mai scurtă cale este primitiva binomului la puterea a treia, împărțită la $3\alpha$ — vine din schimbarea de variabilă pe care ai învățat-o la integrarea prin schimbare de variabilă și te scutește de desfacerea pătratului.

La urmă integrala. Ții factorul $\pi$ în afara semnului de integrare încă de la primul rând, ca să nu-l uiți la final, calculezi diferența dintre valorile primitivei la capete și, dacă enunțul lucrează cu unități, le treci și pe ele la rezultat, ridicate la a treia.

6. Ce corp obții când profilul este o dreaptă?

Aici lecția devine vizuală. Dacă $f$ este constantă, $f(x)=r$, subgraficul este un dreptunghi, iar prin rotație obții cilindrul de rază $r$ și înălțime egală cu lungimea intervalului. Dacă $f$ este de gradul întâi și nu se anulează în capete, subgraficul este un trapez dreptunghic, iar corpul are două baze discuri, de raze $f(a)$ și $f(b)$, aflate la distanța $b-a$ una de alta: e un trunchi de con, cel de la lecția de gimnaziu despre trunchiul de con circular drept. Rămâne un al treilea caz, cel în care dreapta trece prin origine și profilul se termină într-un vârf: acolo corpul este un con, iar formulele celor trei corpuri rotunde se deduc, toate, la lecția următoare, despre volumele sferei, cilindrului și conului.

Recunoașterea corpului îți dă, pe loc, o probă a rezultatului. Ia $f(x)=3x-1$ pe $[1,3]$: capetele dau $f(1)=2$ și $f(3)=8$, deci discurile de la cele două capete au razele $2$ și $8$, iar distanța dintre ele este $2$. Integrala dă $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_1^3(3x-1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(3x-1{)}^3}{9}{|}_1^3=\frac{\pi (512-8)}{9}=56\pi ,$$ iar formula din gimnaziu, $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$, dă $\frac{2\pi }{3}(64+16+4)=56\pi$. Aceeași valoare pe două drumuri independente: asta e proba.

7. Cum verifici un rezultat fără să refaci calculul?

Două controale scurte, amândouă sprijinite pe proprietățile integralei definite.

Primul este încadrarea. Dacă pe tot intervalul ai $m\le f(x)\le M$, atunci corpul este cuprins între cilindrul de rază $m$ și cel de rază $M$, amândoi de înălțime $b-a$, deci $\pi m^2(b-a)\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi M^2(b-a)$. E monotonia integralei, aplicată funcției $\pi f^2$. Un rezultat din afara acestei benzi este sigur greșit, iar controlul se face în zece secunde, din cap.

Al doilea este citirea rezultatului: volumul este un număr strict pozitiv, poartă factorul $\pi$ o singură dată și, când enunțul dă unități, se scrie în unități cubice. Un rezultat negativ înseamnă aproape sigur capete de integrare scrise în ordine inversă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Profil constant

Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4$, și recunoaște corpul.

Rezolvare. Funcția constantă este continuă și $4\ge 0$ pe $[0,5]$, deci ipotezele sunt îndeplinite. Atunci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{5}16dx=16\pi x{|}_0^5=80\pi .$$ Subgraficul este dreptunghiul de laturi $5$ și $4$, iar prin rotație el descrie cilindrul de rază $4$ și înălțime $5$; formula din gimnaziu dă $\pi \cdot 16\cdot 5=80\pi$, aceeași valoare.

Exemplul 2 — Profil de gradul întâi, crescător

Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

Rezolvare. $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă, iar pe $[1,4]$ ia valori între $3$ și $6$, toate pozitive. Prin urmare $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_1^4(x+2{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_1^4=\frac{\pi (216-27)}{3}=63\pi .$$ Capetele dau razele $3$ și $6$, iar înălțimea este $3$: corpul este trunchiul de con cu aceste dimensiuni, iar $\frac{3\pi }{3}(36+18+9)=63\pi$ confirmă rezultatul.

Exemplul 3 — Profil descrescător

Calculează volumul corpului obținut rotind subgraficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=9-2x$.

Rezolvare. Funcția este continuă, iar pe $[0,3]$ scade de la $9$ la $3$, deci rămâne pozitivă. Primitiva binomului la puterea a treia se împarte la $3\cdot (-2)=-6$: $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^3(9-2x{)}^{2}dx=-\pi \cdot \frac{(9-2x{)}^3}{6}{|}_0^3=\frac{\pi (729-27)}{6}=117\pi .$$ Corpul este trunchiul de con cu razele $9$ și $3$ și înălțimea $3$: $\frac{3\pi }{3}(81+27+9)=117\pi$. Observă că descreșterea funcției nu schimbă nimic în formulă — corpul e același, doar așezat cu baza mare la stânga.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează volumul corpului obținut rotind subgraficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$, și scrie: „$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3(x+4)dx=\pi \left(\frac{x^2}{2}+4x\right){|}_0^3=\frac{33\pi }{2}$." Găsește greșeala și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Elevul a integrat funcția, nu pătratul ei. Sub integrală trebuie să stea aria secțiunii, adică $\pi f^2(x)$, nu $\pi f(x)$. Corect: $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^3(x+4{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+4{)}^3}{3}{|}_0^3=\frac{\pi (343-64)}{3}=93\pi .$$ Proba de încadrare arată din prima că valoarea greșită nu putea fi bună: pe $[0,3]$ avem $4\le f\le 7$, deci volumul este între $\pi \cdot 16\cdot 3=48\pi$ și $\pi \cdot 49\cdot 3=147\pi$, iar $\frac{33\pi }{2}$ este sub margine.

Exemplul 5 — Citește graficul

Graficul funcției $f$ este segmentul care unește punctul de coordonate $(0,4)$ cu punctul de coordonate $(3,6)$. Scrie funcția și calculează volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului ei în jurul axei $Ox$.

Rezolvare. Segmentul urcă cu $2$ unități pe o lungime de $3$, deci panta este $\frac{2}{3}$, iar la abscisa $0$ valoarea este $4$: funcția este $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4+\frac{2x}{3}$. Verificarea modelului se face imediat: $f(0)=4$ și $f(3)=6$, exact valorile din enunț. Atunci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^3{\left(4+\frac{2x}{3}\right)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{{\left(4+\frac{2x}{3}\right)}^3}{3}{|}_0^3=\frac{\pi (216-64)}{2}=76\pi .$$ Corpul este trunchiul de con cu razele $4$ și $6$ și înălțimea $3$, iar $\frac{3\pi }{3}(36+24+16)=76\pi$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=5+\frac{x}{2}$.

a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,6]$.

b) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f$ în jurul axei $Ox$ și precizează ce corp este.

c) Arată, fără a calcula alte integrale, că volumul găsit este cuprins între volumele cilindrilor de raze $5$ și $8$, amândoi de înălțime $6$.

Rezolvare. a) $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă pe $[0,6]$; fiind crescătoare, ia valori între $f(0)=5$ și $f(6)=8$, deci $f(x)>0$ pe tot intervalul.

b) Aplicăm formula: $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^6{\left(5+\frac{x}{2}\right)}^{2}dx=2\pi \cdot \frac{{\left(5+\frac{x}{2}\right)}^3}{3}{|}_0^6=\frac{2\pi (512-125)}{3}=258\pi .$$ Capetele dau razele $5$ și $8$, iar înălțimea este $6$: corpul este un trunchi de con, iar $\frac{6\pi }{3}(64+40+25)=258\pi$.

c) Din $5\le f(x)\le 8$ pe $[0,6]$ rezultă $25\le f^2(x)\le 64$, iar monotonia integralei dă $\pi \cdot 25\cdot 6\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi \cdot 64\cdot 6$, adică $150\pi \le 258\pi \le 384\pi$. Încadrarea se verifică.

Să exersăm

1. Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=7$.

2. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1$.

3. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=10-x$.

4. Ce corp obții rotind în jurul axei $Ox$ subgraficul funcției $f:[2,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=6$? Precizează-i dimensiunile și calculează-i volumul.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă funcția $f$ se înlocuiește cu $2f$ pe același interval, volumul corpului de rotație se dublează.

6. Determină numărul real $m>0$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției constante $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=m$, are volumul $45\pi$.

7. Determină numărul real $t>0$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției $f:[0,t]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$, are volumul $13\pi$.

8. (Problemă aplicată.) Un vas tronconic de laborator are profilul dat de $f(x)=2+\frac{x}{4}$ pe $[0,8]$, unitatea fiind centimetrul, iar axa lui așezată pe $Ox$. Câți mililitri de soluție încape în el, știind că $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$?

9. Scrie o funcție și un interval care dau prin rotație în jurul axei $Ox$ cilindrul de rază $3$ și înălțime $10$. Are problema un singur răspuns?

10. Fără a calcula nicio integrală, spune care dintre corpurile obținute prin rotirea subgraficelor funcțiilor $f(x)=2x+1$ și $g(x)=2x+2$ pe $[0,2]$ are volumul mai mare și pe ce proprietate te sprijini.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Recunoaște corpul obținut și verifică rezultatul cu formula din gimnaziu.

12. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=8-x$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+5$. Calculează volumele corpurilor obținute prin rotirea subgraficului lui $f$ pe $[0,2]$, pe $[2,4]$ și pe $[0,4]$, apoi arată că primele două se adună la al treilea.

14. Graficul funcției $f$ este segmentul care unește punctul de coordonate $(0,1)$ cu punctul de coordonate $(4,3)$. Scrie funcția și calculează volumul corpului de rotație determinat de ea.

15. Determină numărul real $t\in (0,6)$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției $f(x)=5$ pe $[0,t]$ are același volum cu cel obținut prin rotirea subgraficului funcției $g(x)=10$ pe $[0,1]$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=12-2x$, și precizează razele bazelor corpului.

17. Un trunchi de con are înălțimea $3$, raza bazei mici $1$ și volumul $133\pi$. Află raza bazei mari.

18. (Provocare.) Determină numărul real $m>0$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=mx+1$, are volumul $31\pi$.

Răspunsuri și explicații

1. $\pi {\int }_0^{2}49dx=98\pi$; corpul este cilindrul de rază $7$ și înălțime $2$, iar $\pi \cdot 49\cdot 2=98\pi$.

2. $\pi \cdot \frac{(4x+1{)}^3}{12}{|}_0^2=\frac{\pi (729-1)}{12}=\frac{182\pi }{3}$. Razele sunt $1$ și $9$, înălțimea $2$, iar $\frac{2\pi }{3}(81+9+1)=\frac{182\pi }{3}$.

3. $-\pi \cdot \frac{(10-x{)}^3}{3}{|}_1^4=\frac{\pi (729-216)}{3}=171\pi$; trunchi de con cu razele $9$ și $6$ și înălțimea $3$.

4. Un cilindru de rază $6$ și înălțime $4$, fiindcă intervalul are lungimea $4$. Volumul este $\pi {\int }_2^{6}36dx=144\pi$, adică $\pi \cdot 36\cdot 4$.

5. Fals. Pătratul funcției se înmulțește cu $4$, nu cu $2$: $\pi {\int }_a^b{\left(2f(x)\right)}^{2}dx=4\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Volumul devine deci de patru ori mai mare. Pe funcția constantă $f(x)=1$ pe $[0,1]$ se vede imediat: $\pi$ față de $4\pi$.

6. $\pi m^2\cdot 5=45\pi$ dă $m^2=9$, deci $m=3$, singura valoare pozitivă.

7. $\pi \cdot \frac{(3t+2{)}^3-8}{9}=13\pi$ conduce la $(3t+2{)}^3=125$, adică $3t+2=5$, deci $t=1$. Corpul este trunchiul de con cu razele $2$ și $5$ și înălțimea $1$.

8. $\pi {\int }_0^8{\left(2+\frac{x}{4}\right)}^{2}dx=4\pi \cdot \frac{{\left(2+\frac{x}{4}\right)}^3}{3}{|}_0^8=\frac{4\pi (64-8)}{3}=\frac{224\pi }{3}\approx 234,6{\text{cm}}^3$, adică aproximativ $235$ de mililitri. Razele vasului sunt $2$ și $4$ centimetri, iar înălțimea $8$ centimetri.

9. De pildă $f(x)=3$ pe $[0,10]$. Răspunsul nu este unic: orice interval de lungime $10$ merge, fiindcă rotația mută corpul de-a lungul axei fără să-i schimbe volumul; ce contează sunt valoarea constantă și lungimea intervalului.

10. Corpul lui $g$. Pe $[0,2]$ avem $0\le 2x+1\le 2x+2$, deci $(2x+1{)}^2\le (2x+2{)}^2$, iar monotonia integralei dă $\mathcal{V}(C_f)\le \mathcal{V}(C_g)$. Inegalitatea este strictă, fiindcă funcțiile diferă peste tot.

11. a) Funcție de gradul întâi, deci continuă; pe $[0,2]$ ia valori între $1$ și $7$, toate pozitive. b) $\pi \cdot \frac{(3x+1{)}^3}{9}{|}_0^2=\frac{\pi (343-1)}{9}=38\pi$. c) Trunchi de con cu razele $1$ și $7$ și înălțimea $2$: $\frac{2\pi }{3}(49+7+1)=38\pi$.

12. $-\pi \cdot \frac{(8-x{)}^3}{3}{|}_0^5=\frac{\pi (512-27)}{3}=\frac{485\pi }{3}$; razele sunt $8$ și $3$, înălțimea $5$.

13. Pe $[0,2]$: $\frac{\pi (343-125)}{3}=\frac{218\pi }{3}$. Pe $[2,4]$: $\frac{\pi (729-343)}{3}=\frac{386\pi }{3}$. Pe $[0,4]$: $\frac{\pi (729-125)}{3}=\frac{604\pi }{3}$. Într-adevăr, $\frac{218\pi }{3}+\frac{386\pi }{3}=\frac{604\pi }{3}$ — este aditivitatea integralei în raport cu intervalul, citită pe corpuri: cele două bucăți, lipite, refac corpul întreg.

14. Panta este $\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$, deci $f(x)=1+\frac{x}{2}$ pe $[0,4]$. Volumul: $2\pi \cdot \frac{{\left(1+\frac{x}{2}\right)}^3}{3}{|}_0^4=\frac{2\pi (27-1)}{3}=\frac{52\pi }{3}$; trunchi de con cu razele $1$ și $3$ și înălțimea $4$.

15. Volumul corpului lui $g$ este $\pi \cdot 100\cdot 1=100\pi$, iar al celui obținut din $f$ este $25\pi t$. Din $25\pi t=100\pi$ rezultă $t=4$, valoare care se află într-adevăr în $(0,6)$.

16. $-\pi \cdot \frac{(12-2x{)}^3}{6}{|}_1^5=\frac{\pi (1000-8)}{6}=\frac{496\pi }{3}$. Razele bazelor sunt $f(1)=10$ și $f(5)=2$, iar înălțimea $4$; verificarea cu formula trunchiului dă $\frac{4\pi }{3}(100+20+4)=\frac{496\pi }{3}$.

17. Din $\frac{3\pi }{3}\left(R^2+R+1\right)=133\pi$ rezultă $R^2+R-132=0$, cu soluțiile $R=11$ și $R=-12$. Raza fiind pozitivă, $R=11$.

18. $\pi {\int }_0^3(mx+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(3m+1{)}^3-1}{3m}$. Notând $u=3m>0$, egalitatea cu $31\pi$ devine $(u+1{)}^3-1=31u$, adică $u^3+3u^2+3u=31u$; împărțind prin $u$, rămâne $u^2+3u-28=0$, cu singura soluție pozitivă $u=4$, deci $m=\frac{4}{3}$. Verificare: $f(3)=5$, iar trunchiul cu razele $1$ și $5$ și înălțimea $3$ are volumul $\frac{3\pi }{3}(25+5+1)=31\pi$.

De reținut

• Corpul de rotație $C_f$ se obține rotind complet, în jurul axei $Ox$, subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ — regiunea plină, nu curba.
• Volumul lui este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, iar expresia $\pi f^2(x)$ de sub integrală măsoară cât de mare e tăietura corpului în dreptul abscisei $x$.
• Ridicarea la a doua se face înăuntrul integralei: $\pi {\int }_a^b{f}^2$ și $\pi {\left({\int }_a^{b}f\right)}^2$ sunt numere diferite.
• Un profil constant dă un cilindru, un profil de gradul întâi care nu atinge axa dă un trunchi de con, iar formula din gimnaziu a corpului recunoscut este proba cea mai rapidă a rezultatului.
• Volumul este pozitiv, poartă factorul $\pi$ o singură dată, se măsoară în unități cubice și trebuie să se încadreze între volumele cilindrilor de raze $m$ și $M$, marginile lui $f$.

Greșeli frecvente

• Se inversează capetele de integrare. Se scrie integrala de la capătul mare la cel mic, iar rezultatul iese negativ. Corect: capătul de jos este cel mic; un volum negativ nu există, deci semnul minus e semnalul că cele două capete trebuie schimbate între ele.
• Se ia drept înălțime capătul din dreapta al intervalului. La un corp determinat pe $[2,6]$, înălțimea este $4$, nu $6$. Corect: înălțimea corpului este lungimea intervalului, $b-a$, iar razele sunt valorile funcției în cele două capete.
• Se confundă raza cu diametrul. La un vas măsurat cu rigla, deschiderea de $8$ centimetri este diametrul, iar valoarea funcției în acel capăt este $4$. Corect: funcția dă distanța de la axă până la contur, adică raza secțiunii.
• Se scrie rezultatul în unități pătratice. Un volum nu se măsoară în centimetri pătrați, oricât de mult ar semăna calculul cu unul de arie. Corect: unitatea este cubică, iar la lichide un centimetru cub înseamnă un mililitru.
• Se crede că un profil descrescător dă alt corp decât unul crescător. Funcțiile $f(x)=9-2x$ și $g(x)=2x+3$ duc amândouă la trunchiuri de con. Corect: corpul se recunoaște din valorile de la capete, nu din sensul de variație; descreșterea înseamnă doar că baza mare stă la stânga.

Aplică acasă

1. Decupează din carton un trapez dreptunghic cu bazele de $2$ și $5$ centimetri și cu latura perpendiculară de $6$ centimetri, lipește-l de-a lungul unui creion, pe latura perpendiculară, și rotește creionul repede între palme. Corpul pe care îl vezi este cel din lecție; calculează-i volumul cu integrala și, separat, cu formula din gimnaziu, apoi notează cât timp ți-a luat fiecare drum.

2. Ia două pahare de aceeași înălțime, unul drept și unul evazat, și prezice, înainte de a turna ceva, care ține mai mult lichid. Folosește încadrarea: măsoară raza cea mai mică și pe cea mai mare a fiecărui pahar și compară cilindrii dintre care fiecare corp este cuprins. Verifică apoi turnând apă dintr-un vas gradat și notează dacă prezicerea s-a confirmat.

3. Caută în bucătărie un ambalaj tronconic cu volumul scris pe etichetă — un pahar de iaurt sau de smântână. Măsoară-i cele două raze și înălțimea, calculează volumul cu formula trunchiului de con și compară-l cu numărul de pe etichetă. Dacă abaterea trece de o zecime din valoare, caută explicația: bordura de sus, fundul îngroșat sau spațiul lăsat liber intenționat.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul scrie ipotezele înainte de formulă; dacă pune pătratul sub integrală, nu în afara ei; și dacă recunoaște corpul obținut atunci când profilul este o dreaptă, folosind formula din gimnaziu ca probă. Sunt deprinderi scurte, dar ele hotărăsc dacă rezolvarea e completă sau doar începută.

Dificultatea reală nu e calculul, care se reduce la integrala unui pătrat de binom, ci trecerea de la plan la spațiu. Elevul a lucrat până acum cu arii, iar acum trebuie să vadă, în spatele unei formule, un obiect care se învârte. Un desen făcut cu mâna, chiar stângaci, și un pahar luat de pe masă ajută mai mult decât încă cinci integrale.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce anume se rotește, curba sau regiunea de sub ea?"; „De ce apare pătratul?"; „În jurul cărei axe se rotește?"; „Cum verifici, fără să refaci calculul, că rezultatul e plauzibil?". Semne că a înțeles: începe rezolvarea cu ipotezele; spune ce corp a obținut înainte de a scrie răspunsul final; scrie unitatea cubică fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Aplicații ale integralei definite: … volumul unui corp de rotație". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține același rând, „Volumul unui corp de rotație", iar cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Ambele generații au, așadar, tema în materie. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce anume se învârte când obții un corp de rotație?

Se învârte trapezul curbiliniu de sub grafic, adică regiunea plină mărginită de curbă, de axă și de cele două verticale din capete, nu conturul ei. O tură întreagă a acestei regiuni în jurul lui $Ox$ mătură un obiect plin, cu volum; o tură a curbei singure ar lăsa doar o pânză fără grosime.

Care este formula volumului unui corp de rotație?

Pentru $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă și pozitivă, volumul este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Sub integrală stă cât măsoară tăietura corpului în dreptul fiecărei abscise, iar răspunsul se exprimă în unități ridicate la a treia. Numărul $\pi$ stă cel mai bine în afara integralei, scris o singură dată, ca să nu ajungă nici uitat, nici pus de două ori.

De ce se ridică funcția la a doua sub integrală?

Pentru că nu funcția se adună de-a lungul intervalului, ci mărimea tăieturii. Un plan dus perpendicular pe axă taie din corp un disc a cărui rază e chiar $f(x)$, iar un disc de rază $\rho$ are aria $\pi {\rho }^2$. Ridicarea la a doua vine, așadar, din formula ariei cercului, și tot ea explică de ce răspunsul poartă unități la a treia.

Ce corp obțin dacă profilul este o dreaptă?

Un cilindru, dacă dreapta este orizontală, adică funcția este constantă; un trunchi de con, dacă dreapta urcă sau coboară fără să atingă axa; un con, dacă dreapta trece prin origine, iar profilul se termină într-un vârf. Recunoașterea îți dă imediat o probă: compari rezultatul integralei cu formula știută din gimnaziu pentru acel corp.

Se cere și rotația în jurul axei $Oy$?

Nu. Programa cere numai rotația în jurul axei $Ox$, fiindcă doar acolo secțiunea perpendiculară pe axă este discul de rază $f(x)$. Rotind aceeași regiune în jurul celeilalte axe obții un corp diferit, cu alt volum; enunțurile o spun explicit, așa că merită citită și ultima parte a cerinței, nu doar funcția.

La ce subiect apare volumul de rotație la bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acest subiect are două probleme cu câte trei cerințe de $5$ puncte, iar ultimul subpunct al problemei de integrale dă volumul corpului de rotație sub forma $\frac{a\pi }{3}$, necunoscuta fiind numărul real $a$. Pentru proba MAT_P2 din 2030 structura nu a fost încă publicată.

Cum verific repede dacă rezultatul este plauzibil?

Cauți cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției pe interval și compari volumul găsit cu volumele celor doi cilindri corespunzători: corpul este cuprins între ei. Verifici apoi semnul, prezența factorului $\pi$ o singură dată și unitatea de măsură cubică. Dacă profilul este o dreaptă, formula din gimnaziu îți dă a doua valoare, independentă.

Se dă la mate-info (M1) aceeași lecție?

Da, tema este comună celor două profiluri, dar acolo formula se demonstrează cu sume Riemann, noțiune care nu intră în programa de la științe ale naturii; aici deducerea se sprijină pe volumul acumulat și pe formula Leibniz-Newton. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: volumul corpului de rotație cuprinde și funcții pe care noi nu le folosim, precum exponențiala sau sinusul.