Adunarea fracțiilor (cu același numitor și cu numitori diferiți)

Ai învățat deja ce este o fracție, cum o reprezinți pe axă și cum o aduci la un numitor comun. Acum facem pasul firesc mai departe: punem fracțiile cap la cap și le adunăm. Adunarea fracțiilor este una dintre cele mai folosite operații din toată matematica — o întâlnești când împarți o pizza, când aduni timpul petrecut la antrenamente sau când calculezi cât din economiile tale ai cheltuit. Vestea bună? Ai deja toate uneltele. Hai să le punem la treabă.

Ce vei învăța

• Vei ști să aduni două sau mai multe fracții cu același numitor, adunând numărătorii.
• Vei ști să aduni fracții cu numitori diferiți, aducându-le mai întâi la un numitor comun.
• Vei ști să simplifici rezultatul și să scoți întregii atunci când fracția obținută este supraunitară.
• Vei ști să folosești comutativitatea și asociativitatea ca să calculezi mai rapid și mai inteligent.
• Vei ști să verifici dacă răspunsul tău are sens.

Hai să descoperim împreună

De ce nu putem aduna „de-a valma" numărători cu numitori

Înainte de orice, o întrebare-capcană pe care mulți colegi o ratează. Cât face $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}$? Tentația este să aduni totul: $1+2=3$ sus și $4+4=8$ jos, deci $\frac{3}{8}$. Este greșit. Hai să vedem de ce, cu un desen.

Imaginează-ți o tabletă de ciocolată împărțită în 4 pătrățele egale. O pătrățică înseamnă $\frac{1}{4}$ din tabletă. Două pătrățele înseamnă $\frac{2}{4}$.

Dacă pun la un loc 1 pătrățică și 2 pătrățele, am 3 pătrățele din cele 4. Adică $\frac{3}{4}$ din tabletă — mai mult de jumătate. Dar dacă aș fi adunat și numitorii, aș fi obținut $\frac{3}{8}$, adică mai puțin decât jumătate. E clar că ceva nu se leagă: am pus ciocolată laolaltă și a ieșit mai puțină? Imposibil.

Aici e cheia întregii lecții: numitorul ne spune în câte bucăți egale am împărțit întregul — el este „unitatea de măsură" a feliilor. Când felia rămâne aceeași mărime (sferturi cu sferturi), numitorul nu se schimbă. Se schimbă doar câte felii avem, adică numărătorul.

Gândește-te la o analogie cu banii. Dacă ai 3 monede de 10 bani și mai primești 2 monede de 10 bani, ai 5 monede de 10 bani — nu „5 monede de 20 de bani"! Numărul de pe monedă (felul ei, cât prețuiește una) rămâne 10; tu doar numeri câte ai. La fel, numitorul este „felul" feliei, iar numărătorul este „câte" felii ai. Adunând, schimbi doar numărul de felii.

Sau gândește-te la mere și pere. Trei mere plus două mere fac cinci mere. Dar trei mere plus două pere nu fac „cinci mere-pere" — sunt fructe de feluri diferite, nu le poți contopi într-un singur fel decât dacă le numești cu un nume comun (de exemplu „fructe"). Exact asta facem cu numitorul comun: găsim un „nume comun" pentru felii, ca să le putem număra împreună.

Regula 1: adunarea fracțiilor cu același numitor

Când două fracții au același numitor, ele sunt formate din felii de aceeași mărime. A le aduna înseamnă pur și simplu să numeri câte felii ai în total.

Regulă. Pentru a aduna fracții cu același numitor, adunăm numărătorii și păstrăm numitorul comun: $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Gândește-te la felii de pizza tăiate în 8. Dacă mănânci $\frac{2}{8}$ și apoi încă $\frac{3}{8}$, ai mâncat $\frac{2+3}{8}=\frac{5}{8}$ din pizza. Numitorul 8 rămâne neclintit — feliile au tot aceeași mărime — și doar numărăm: $2+3=5$ felii.

Atenție la doi pași pe care îi facem mereu la final:

1. Simplificăm, dacă se poate. De exemplu, $\frac{2}{8}+\frac{2}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ (am împărțit și sus, și jos la 4).
2. Scoatem întregii, dacă fracția a ieșit supraunitară (numărător mai mare decât numitor). De exemplu, $\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$.

Regula 2: adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Aici începe partea interesantă. Cât face $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$? Acum feliile nu mai sunt la fel de mari: o jumătate este altă mărime decât o treime. E ca și cum ai vrea să aduni 1 metru cu 1 centimetru — întâi trebuie să le aduci la aceeași unitate.

Soluția o știi deja din lecția despre aducerea fracțiilor la un numitor comun: transformăm feliile diferite în felii de aceeași mărime, fără să schimbăm valoarea fracțiilor. Asta se face prin amplificare.

Pașii algoritmului pentru adunarea fracțiilor cu numitori diferiți:

1. Găsim un numitor comun. Cel mai bun este cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al numitorilor.
2. Amplificăm fiecare fracție ca să ajungă la numitorul comun. (Amplificare = înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr.)
3. Adunăm fracțiile obținute, care acum au același numitor: adunăm numărătorii.
4. Simplificăm rezultatul și scoatem întregii, dacă e cazul.

Hai să rezolvăm $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ împreună, pas cu pas.

• Pasul 1. Numitorul comun = cmmmc$(2,3)=6$.
• Pasul 2. Amplificăm fiecare fracție până la numitorul 6:
  • $\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{3}{6}$ (am amplificat cu 3, pentru că $6:2=3$);
  • $\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{2}{6}$ (am amplificat cu 2, pentru că $6:3=2$).
• Pasul 3. Acum feliile sunt la fel — șesimi! Adunăm: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
• Pasul 4. $\frac{5}{6}$ este deja ireductibilă și subunitară, deci am terminat.

Deci $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.

Trucul „6:2=3": ca să afli cu cât amplifici, împarți numitorul comun la numitorul fracției tale. Rezultatul este factorul de amplificare, cu care înmulțești și numărătorul.

Hai să mai facem un exemplu, ca să fixăm algoritmul. Calculăm $\frac{2}{5}+\frac{3}{4}$.

• Pasul 1. cmmmc$(5,4)=20$, fiindcă 5 și 4 nu au divizori comuni (în afară de 1), așa că cel mai mic multiplu comun este chiar produsul lor.
• Pasul 2. Amplificăm:
  • $\frac{2}{5}$: factorul este $20:5=4$, deci $\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{8}{20}$;
  • $\frac{3}{4}$: factorul este $20:4=5$, deci $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}$.
• Pasul 3. Adunăm: $\frac{8}{20}+\frac{15}{20}=\frac{23}{20}$.
• Pasul 4. Fracția e supraunitară, scoatem întregii: $23:20=1$ rest $3$, deci $\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}$.

Observă cum, indiferent de fracții, mergem mereu pe aceiași patru pași: numitor comun → amplific → adun → simplific/scot întregii. Dacă reții această „rețetă" în patru pași, poți aduna orice fracții.

Un truc rapid când numitorii sunt „prieteni"

Uneori unul dintre numitori este chiar numitorul comun. De exemplu, la $\frac{3}{4}+\frac{1}{8}$: cmmmc$(4,8)=8$. Doar prima fracție trebuie amplificată ($\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$), a doua rămâne cum e. Obținem $\frac{6}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Mai puțin de lucru!

Și mai există o metodă universală, „în cruce", utilă când numitorii sunt mici și nu au factori comuni: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}$$ Adică numitorul comun este produsul $b\cdot d$, iar fiecare numărător se înmulțește „în cruce" cu numitorul celeilalte fracții. Atenție: $b\cdot d$ nu este mereu cel mai mic numitor comun, așa că la final poate fi nevoie de o simplificare în plus.

Hai să vedem metoda „în cruce" la lucru pe $\frac{3}{4}+\frac{2}{7}$. Numitorul comun îl luăm produsul $4\cdot 7=28$. Numărătorii se înmulțesc „în cruce", fiecare cu numitorul celeilalte fracții: $$\frac{3}{4}+\frac{2}{7}=\frac{3\cdot 7+2\cdot 4}{4\cdot 7}=\frac{21+8}{28}=\frac{29}{28}=1\frac{1}{28}.$$ Aici a mers fără simplificare în plus, pentru că 4 și 7 nu au factori comuni, deci produsul $28$ este chiar cmmmc-ul lor.

Când e mai bun cmmmc-ul decât produsul? Compară aceeași sumă, $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$, rezolvată în două feluri:

Ambele căi dau, firește, același rezultat — $\frac{5}{12}$. Diferența este că, folosind produsul $24$, ai ajuns la $\frac{10}{24}$ și a trebuit să mai simplifici cu 2 la final. Cu cmmmc-ul $12$, numerele au fost mai mici și ai terminat dintr-un pas. De aceea recomandăm cmmmc ori de câte ori numitorii au factori comuni; metoda „în cruce" rămâne la îndemână mai ales când numitorii sunt mici și nu au factori comuni.

Proprietățile adunării: comutativitate și asociativitate

Adunarea fracțiilor se poartă exact ca adunarea numerelor naturale pe care o știi din lecția despre adunarea numerelor naturale. Are aceleași două proprietăți de aur:

Comutativitate: ordinea termenilor nu contează. $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$$ Asociativitate: când aduni trei sau mai multe fracții, poți grupa cum vrei. $$\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)$$

La ce ne folosesc? Ne lasă să rearanjăm și să grupăm fracțiile ca să calculăm mai ușor. De exemplu, la $\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}$, e mai deștept să grupăm întâi fracțiile cu numitorul 5: $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=\frac{5}{5}=1$, și abia apoi adăugăm $\frac{2}{3}$. Rezultatul: $1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}$. Mult mai simplu decât să aducem totul la numitorul 15 de la început.

Aceste două proprietăți par mărunte, dar sunt arma secretă a calculului rapid. Un elev care le folosește bine privește mai întâi toate fracțiile din sumă și se întreabă: „Există vreo pereche care îmi dă un întreg sau o fracție simplă?" Dacă da, le pune împreună prima dată. Caută mereu perechile prietenoase: cele cu același numitor, sau cele care însumate dau exact 1 (precum $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$, sau $\frac{2}{5}$ și $\frac{3}{5}$). Este ca atunci când strângi pe masă întâi obiectele de același fel — totul devine mai ordonat și mai ușor de numărat.

Adunarea unei fracții cu un număr întreg

Un întreg, de pildă 2, se poate scrie ca fracție cu numitorul 1: $2=\frac{2}{1}$. Așa că $2+\frac{3}{5}=\frac{2}{1}+\frac{3}{5}=\frac{10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}$. În practică, scriem direct numărul mixt: $2+\frac{3}{5}=2\frac{3}{5}$. Ține minte asta — apare des în probleme.

Adunarea numerelor mixte

Un număr mixt (de exemplu $1\frac{1}{2}$) este, de fapt, un întreg lipit de o fracție. Ca să aduni două numere mixte, ai două drumuri, amândouă corecte:

• Drumul rapid — separat. Aduni întregii între ei, fracțiile între ele, apoi le pui la un loc. Dacă din fracții iese o fracție supraunitară, scoți întregul ei și îl adaugi la întregi.
• Drumul sigur — totul în fracții. Transformi fiecare număr mixt în fracție supraunitară (folosind ce ai învățat la introducerea și scoaterea întregilor), apoi aduni ca de obicei.

Să calculăm $1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}$ pe drumul rapid:

• întregii: $1+2=3$;
• fracțiile: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$;
• le lipim: $3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}$.

Iar acum un caz cu „revărsare", unde fracțiile dau mai mult de un întreg: $2\frac{3}{4}+1\frac{5}{8}$.

• întregii: $2+1=3$;
• fracțiile: $\frac{3}{4}+\frac{5}{8}=\frac{6}{8}+\frac{5}{8}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$;
• le lipim, scoțând întregul din fracție: $3+1\frac{3}{8}=4\frac{3}{8}$.

Vezi cum fracția $\frac{11}{8}$ a „dat pe dinafară" un întreg, care s-a mutat lângă ceilalți. E exact ca la adunarea cu trecere peste ordin de la numere naturale: ce depășește o unitate trece mai departe.

O scurtă poveste ca să nu uiți regula

Doi prieteni, Vlad și Dana, au comandat împreună o pizza tăiată în 6 felii. Vlad mănâncă $\frac{2}{6}$ din pizza, iar Dana $\frac{1}{6}$. „Am mâncat $\frac{3}{12}$ împreună", spune Vlad mândru, adunând și de sus, și de jos. Dana se uită la masă: din 6 felii au dispărut 3, adică jumătate de pizza. „Cum să fie $\frac{3}{12}$? Asta ar însemna un sfert, dar pe masă văd clar o jumătate lipsă!" Vlad numără și el feliile: într-adevăr, $3$ din $6$, adică $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Morala: când feliile au aceeași mărime, numeri feliile, nu retai pizza. Numitorul rămâne 6.

Și încă o întâmplare, despre numitorul comun. Bunica vrea o rețetă: $\frac{1}{2}$ pahar de lapte plus $\frac{1}{3}$ pahar de lapte. Câte paharele are nevoie? Nu poate turna direct, pentru că semnele de pe pahar pentru jumătăți și pentru treimi nu se potrivesc. Așa că folosește un pahar gradat în șesimi: jumătatea devine $\frac{3}{6}$, treimea devine $\frac{2}{6}$, total $\frac{5}{6}$ dintr-un pahar. Numitorul comun e ca o riglă potrivită care măsoară ambele cantități cu aceeași unitate.

Cum adunăm mai mult de două fracții

Algoritmul este același, doar că la pasul 1 căutăm cmmmc-ul tuturor numitorilor, iar la pasul 2 amplificăm fiecare fracție. De pildă, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$: cmmmc$(2,3,4)=12$, deci $\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$. Nu te speria de numărul de fracții — aceeași rețetă funcționează pentru două, trei sau zece fracții.

Unde apare adunarea fracțiilor în viața de zi cu zi

Fracțiile nu trăiesc doar în manual. Gândește-te la o oră de timp: un sfert de oră înseamnă $\frac{1}{4}$ de oră, iar douăzeci de minute înseamnă $\frac{1}{3}$ de oră (fiindcă $20$ este o treime din $60$). Dacă ai stat $\frac{1}{4}$ de oră la coadă și apoi $\frac{1}{3}$ de oră în autobuz, ai pierdut $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$ dintr-o oră — adică $35$ de minute, fiindcă $\frac{7}{12}$ din $60$ înseamnă $35$. La fel calculezi porții dintr-o rețetă, bani cheltuiți dintr-un buget sau distanțe parcurse dintr-un drum. De fiecare dată întrebarea este aceeași: feliile sunt de aceeași mărime? Dacă nu, le aduc la un numitor comun și abia apoi le număr împreună.

Verifică-ți mereu rezultatul

Înainte de a trece mai departe, fă un control rapid de bun-simț: dacă aduni două fracții subunitare, rezultatul nu poate depăși 2; iar $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ trebuie să fie mai mult decât $\frac{1}{2}$, deci peste o jumătate. $\frac{5}{6}$ chiar este peste jumătate — perfect. Această estimare te salvează de greșeli mari. Un al doilea control util: dacă ambele fracții sunt mai mici decât $\frac{1}{2}$, suma lor trebuie să fie mai mică decât un întreg; dacă ție îți iese un rezultat supraunitar într-un astfel de caz, sigur ai greșit pe drum. Estimarea nu înlocuiește calculul, dar prinde din zbor greșelile mari, de tipul „am adunat și numitorii".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — același numitor, cu simplificare. Calculează $\frac{3}{10}+\frac{1}{10}$.

Numitorii sunt egali, deci adunăm doar numărătorii: $$\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3+1}{10}=\frac{4}{10}.$$ Simplificăm cu 2: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Răspuns: $\frac{2}{5}$.

Exemplul 2 — același numitor, rezultat supraunitar. Calculează $\frac{5}{6}+\frac{5}{6}$.

$$\frac{5}{6}+\frac{5}{6}=\frac{5+5}{6}=\frac{10}{6}.$$ Simplificăm cu 2: $\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$. Fracția e supraunitară, deci scoatem întregii: $5:3=1$ rest $2$, deci $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$. Răspuns: $1\frac{2}{3}$.

Exemplul 3 — numitori diferiți, numitor comun „prieten". Calculează $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$.

cmmmc$(3,6)=6$. Amplificăm doar prima fracție (cu $6:3=2$): $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. $$\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$ Este ireductibilă. Răspuns: $\frac{5}{6}$.

Exemplul 4 — numitori diferiți, fără factori comuni. Calculează $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}$.

cmmmc$(4,5)=20$ (numitorii nu au divizori comuni, deci numitorul comun este produsul lor).

• $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{20}=\frac{15}{20}$ (amplificat cu $20:4=5$);
• $\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 4}{20}=\frac{8}{20}$ (amplificat cu $20:5=4$).

$$\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}.$$ Răspuns: $1\frac{3}{20}$.

Exemplul 5 — trei fracții, folosind proprietățile. Calculează $\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$.

Folosim comutativitatea și asociativitatea: grupăm întâi fracțiile cu numitorul 4. $$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1.$$ Rămâne $1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}$. Răspuns: $1\frac{2}{3}$.

Exemplul 6 — mică problemă din viața reală. Andrei își împarte ziua de duminică așa: $\frac{1}{4}$ din zi face teme, $\frac{1}{3}$ din zi se joacă fotbal, iar $\frac{1}{6}$ din zi citește. Ce fracție din zi a folosit pentru aceste trei activități?

Adunăm $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$. cmmmc$(4,3,6)=12$.

• $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$;
• $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$;
• $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$.

$$\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.$$ Răspuns: Andrei a folosit $\frac{3}{4}$ din zi, adică trei sferturi.

Exemplul 7 — adunarea unei fracții cu un întreg. Calculează $2+\frac{4}{7}$.

Scriem întregul ca fracție cu numitorul 7: $2=\frac{14}{7}$. Atunci: $$2+\frac{4}{7}=\frac{14}{7}+\frac{4}{7}=\frac{18}{7}=2\frac{4}{7}.$$ Observă că răspunsul este chiar numărul mixt $2\frac{4}{7}$ — deci puteam scrie direct rezultatul, fără calcule. Întregul stă „lângă" fracția lui. Răspuns: $2\frac{4}{7}$.

Exemplul 8 — fracții care se simplifică abia la final. Calculează $\frac{5}{12}+\frac{1}{4}$.

cmmmc$(12,4)=12$. Amplificăm doar a doua fracție: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. $$\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}.$$ Simplificăm cu 4: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Răspuns: $\frac{2}{3}$. Reține: chiar dacă fracțiile de pornit erau ireductibile, rezultatul tot se poate simplifica — verifică mereu la final!

Exemplul 9 — metoda „în cruce". Calculează $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$ folosind metoda în cruce.

Numitorii 3 și 5 nu au factori comuni, deci numitorul comun este produsul $3\cdot 5=15$. Înmulțim numărătorii „în cruce": $$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{2\cdot 5+1\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{10+3}{15}=\frac{13}{15}.$$ Este ireductibilă și subunitară. Răspuns: $\frac{13}{15}$.

Exemplul 10 — adunarea a două numere mixte. Calculează $1\frac{2}{5}+2\frac{1}{2}$.

Adunăm separat întregii și fracțiile:

• întregii: $1+2=3$;
• fracțiile: $\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$.

Le lipim: $3+\frac{9}{10}=3\frac{9}{10}$. Răspuns: $3\frac{9}{10}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Simplifică rezultatul și scoate întregii oriunde este posibil.

A. Adunări cu același numitor

1. $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}$
2. $\frac{4}{9}+\frac{2}{9}$
3. $\frac{5}{12}+\frac{1}{12}$ (simplifică!)
4. $\frac{7}{8}+\frac{5}{8}$ (scoate întregii!)

B. Adunări cu numitori diferiți

5. $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
6. $\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$
7. $\frac{1}{6}+\frac{3}{4}$
8. $\frac{2}{5}+\frac{1}{2}$
9. $\frac{3}{10}+\frac{1}{15}$

C. Trei fracții / proprietăți

10. $\frac{1}{8}+\frac{5}{6}+\frac{7}{8}$ (grupează inteligent)
11. $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{3}{5}$

D. Completează

12. $\frac{3}{11}+\frac{\square }{11}=\frac{10}{11}$
13. $\frac{1}{4}+\frac{\square }{8}=\frac{7}{8}$

E. Adevărat sau fals? (corectează ce este fals)

14. $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$
15. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

F. Mici probleme

16. Maria a băut $\frac{1}{4}$ de litru de apă dimineața și $\frac{2}{5}$ de litru la prânz. Cât a băut în total?
17. Un biciclist parcurge $\frac{3}{8}$ din traseu înainte de pauză și $\frac{1}{2}$ din traseu după pauză. Ce fracție din traseu a parcurs? Cât i-a mai rămas?
18. La un test, $\frac{1}{6}$ dintre elevi au luat nota 10, iar $\frac{1}{2}$ au luat nota 9. Ce fracție dintre elevi au luat 9 sau 10?

G. Provocări (mai greu)

19. Calculează $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$.
20. Adună întregul cu fracția: $3+\frac{5}{6}$.
21. $\frac{7}{10}+\frac{4}{15}$ (atenție la cmmmc!).
22. Un sportiv aleargă $\frac{2}{9}$ din traseu, merge pe bicicletă $\frac{1}{3}$ din traseu și înoată $\frac{1}{6}$ din traseu. Ce fracție din traseu a parcurs cu aceste trei mijloace? Cât i-a mai rămas de mers pe jos?

H. Metoda „în cruce" și numere mixte

23. Calculează „în cruce": $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}$.
24. Calculează „în cruce": $\frac{3}{4}+\frac{1}{7}$.
25. Adună numerele mixte: $1\frac{1}{4}+2\frac{1}{2}$.
26. Adună numerele mixte: $2\frac{2}{3}+1\frac{2}{3}$ (atenție, fracțiile „dau pe dinafară" un întreg!).
27. Un cofetar folosește $1\frac{1}{2}$ kg de făină pentru un tort și $2\frac{1}{4}$ kg pentru altul. Câtă făină a folosit în total?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$. Adunăm numărătorii, păstrăm numitorul.
2. $\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Simplificăm cu 3.
3. $\frac{5}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Simplificăm cu 6.
4. $\frac{7}{8}+\frac{5}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. Simplificăm cu 4, apoi scoatem întregul.
5. $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. cmmmc$(2,4)=4$.
6. $\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{6}{9}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$. cmmmc$(3,9)=9$.
7. $\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}$. cmmmc$(6,4)=12$.
8. $\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$. cmmmc$(5,2)=10$.
9. $\frac{3}{10}+\frac{1}{15}=\frac{9}{30}+\frac{2}{30}=\frac{11}{30}$. cmmmc$(10,15)=30$.
10. $\frac{1}{8}+\frac{7}{8}=1$, apoi $1+\frac{5}{6}=1\frac{5}{6}$. Am grupat fracțiile cu numitorul 8 (comutativitate + asociativitate).
11. $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$, apoi $1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}$.
12. $\square =7$, pentru că $3+7=10$. Deci $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{10}{11}$.
13. $\square =5$. Aducem $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$; avem nevoie de $\frac{2}{8}+\frac{\square }{8}=\frac{7}{8}$, deci $\square =5$.
14. Fals. Greșeala clasică: nu se adună numitorii. Corect: $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
15. Adevărat. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$. Două jumătăți fac un întreg.
16. $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$ de litru. cmmmc$(4,5)=20$.
17. Parcurs: $\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7}{8}$ din traseu. I-a rămas $1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$ din traseu.
18. $\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ dintre elevi au luat 9 sau 10.
19. $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. cmmmc$(2,4,8)=8$.
20. $3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}$, adică $\frac{23}{6}$. Întregul stă lângă fracție.
21. $\frac{7}{10}+\frac{4}{15}=\frac{21}{30}+\frac{8}{30}=\frac{29}{30}$. cmmmc$(10,15)=30$.
22. cmmmc$(9,3,6)=18$. Parcurs: $\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{18}+\frac{6}{18}+\frac{3}{18}=\frac{13}{18}$ din traseu. I-a rămas pe jos $1-\frac{13}{18}=\frac{5}{18}$ din traseu.
23. $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{1\cdot 5+2\cdot 3}{15}=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$. Numitorul comun = produsul $3\cdot 5=15$.
24. $\frac{3}{4}+\frac{1}{7}=\frac{3\cdot 7+1\cdot 4}{28}=\frac{21+4}{28}=\frac{25}{28}$. Numitorul comun = $4\cdot 7=28$.
25. Întregii: $1+2=3$; fracțiile: $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$. Total: $3\frac{3}{4}$.
26. Întregii: $2+1=3$; fracțiile: $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$. Lipim, scoțând întregul: $3+1\frac{1}{3}=4\frac{1}{3}$.
27. $1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}$: întregii $1+2=3$; fracțiile $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Total: $3\frac{3}{4}$ kg de făină.

De reținut

• La același numitor: aduni numărătorii și păstrezi numitorul — $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.
• La numitori diferiți: aduci întâi la numitor comun (cel mai bun = cmmmc), apoi aduni ca la același numitor.
• Niciodată nu aduni numitorii între ei!
• La final: simplifică rezultatul și scoate întregii dacă fracția e supraunitară.
• Comutativitatea și asociativitatea te ajută să grupezi fracțiile ca să calculezi mai ușor.
• La numere mixte: aduni separat întregii și fracțiile, iar dacă fracțiile dau o fracție supraunitară, scoți întregul ei și îl adaugi la întregi.
• Metoda „în cruce" ($\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}$) e rapidă când numitorii sunt mici și fără factori comuni — dar verifică simplificarea la final.

Greșeli frecvente

• Aduni și numitorii. $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}\ne \frac{3}{8}$! Numitorul rămâne neschimbat când feliile sunt la fel: rezultatul corect este $\frac{3}{4}$. Numitorul e „mărimea feliei", nu se schimbă prin adunare.
• Uiți să amplifici și numărătorul. Când treci $\frac{1}{2}$ la numitorul 6, scrii $\frac{1}{6}$ în loc de $\frac{3}{6}$. Reține: amplifici și sus, și jos cu același număr.
• Nu simplifici / nu scoți întregii la final. $\frac{4}{8}$ se lasă ca $\frac{1}{2}$, iar $\frac{7}{4}$ devine $1\frac{3}{4}$. Un răspuns nesimplificat e considerat incomplet.
• Alegi un numitor comun prea mare degeaba. Poți folosi produsul numitorilor, dar atunci ai numere mari și o simplificare în plus la final. cmmmc-ul îți ușurează viața.
• La numere mixte, uiți de fracția supraunitară. Când aduni $2\frac{3}{4}+1\frac{5}{8}$ și fracțiile dau $\frac{11}{8}$, nu lăsa răspunsul $3\frac{11}{8}$ — scoate întregul din $\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$ și obține $4\frac{3}{8}$.

Joc acasă

1. Pizza de hârtie. Decupează două cercuri identice din hârtie. Pe primul taie 4 felii egale, pe al doilea taie 8 felii egale. Colorează $\frac{1}{4}$ pe primul și $\frac{3}{8}$ pe al doilea. Suprapune feliile colorate pe un al treilea cerc tăiat în 8 și numără: vei „vedea" că $\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.

2. Cana cu apă. Ia o cană gradată (sau o sticlă de 1 litru). Toarnă $\frac{1}{4}$ de litru, apoi încă $\frac{1}{2}$ de litru. Citește pe gradații cât ai în total și verifică prin calcul: $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ de litru.

3. Provocarea de 1 minut. Cu un membru al familiei, scrieți pe bilețele câte o fracție mică ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$...). Trageți câte două bilețele și cine adună corect primul, fără greșeală la simplificare, câștigă un punct. Primul la 5 puncte câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție stă pe două deprinderi anterioare: scoaterea întregilor și, mai ales, aducerea la numitor comun. Dacă elevul se împotmolește, problema este aproape întotdeauna la numitorul comun, nu la adunarea în sine — întoarceți-vă o lecție.

Cum sprijiniți:

• Începeți cu desene (felii de pizza, dreptunghiuri colorate). Ideea că „nu poți aduna felii de mărimi diferite" trebuie văzută, nu memorată.
• Insistați pe trucul „numitor comun împărțit la numitorul fracției = factorul de amplificare". Asta elimină cea mai des întâlnită greșeală.
• Cereți mereu cele două verificări finale: „Se mai poate simplifica?" și „E supraunitară? Scot întregii?".

Întrebări de control pe care le puteți pune:

• „De ce nu adunăm și numitorii?" (Pentru că numitorul arată mărimea feliei, nu numărul de felii.)
• „Cum afli cu cât amplifici o fracție?" (Împarți numitorul comun la numitorul ei.)
• „Cum poți calcula mai repede $\frac{1}{5}+\frac{2}{7}+\frac{4}{5}$?" (Grupezi întâi $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$.)

Dacă elevul răspunde corect la aceste trei întrebări și rezolvă singur exercițiile din grupele B și F, lecția este stăpânită.

Întrebări frecvente

Cum adun două fracții cu același numitor? Aduni numărătorii și păstrezi numitorul neschimbat. De exemplu, $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$. La final, simplifică și scoate întregii dacă este cazul.

Cum adun două fracții cu numitori diferiți la clasa a 5-a? Aduci mai întâi fracțiile la un numitor comun (de preferat cel mai mic multiplu comun al numitorilor), amplificând fiecare fracție. Apoi aduni numărătorii, ca la fracțiile cu același numitor. La final simplifici rezultatul.

De ce nu se adună numitorii la fracții? Pentru că numitorul arată în câte părți egale a fost împărțit întregul, adică mărimea unei felii. Când aduni felii de aceeași mărime, mărimea lor nu se schimbă — se schimbă doar câte felii ai, adică numărătorul.

Ce este numitorul comun și de ce am nevoie de el? Numitorul comun este un numitor identic la care aduci fracțiile cu numitori diferiți, ca să aibă „felii" de aceeași mărime. Fără el, nu poți aduna direct, fiindcă feliile au mărimi diferite. Cel mai practic numitor comun este cmmmc-ul numitorilor.

Cum simplific rezultatul adunării fracțiilor? Împarți și numărătorul, și numitorul la același număr (cel mai mare divizor comun al lor). De exemplu, $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ după ce împarți ambele la 2. Continui până când fracția devine ireductibilă.

Când scot întregii dintr-o fracție obținută? Atunci când fracția rezultată este supraunitară (numărătorul mai mare decât numitorul). Împarți numărătorul la numitor: câtul devine întregul, iar restul rămâne la numărător. De exemplu, $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$.

Pot aduna o fracție cu un număr întreg? Da. Scrii întregul ca fracție cu numitorul 1 sau formezi direct un număr mixt. De exemplu, $3+\frac{2}{5}=3\frac{2}{5}$, adică $\frac{17}{5}$.

La ce îmi folosesc comutativitatea și asociativitatea la adunarea fracțiilor? Îți permit să schimbi ordinea termenilor și să-i grupezi cum vrei, fără să schimbi rezultatul. Le folosești ca să grupezi întâi fracțiile cu același numitor sau cele care dau un întreg, simplificând astfel calculul.