Cel mai mic multiplu comun. Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Îți amintești cât de ușor era să compari sau să aduni două fracții când aveau același numitor? Treaba se complica imediat ce numitorii erau diferiți. În această lecție înveți trucul care rezolvă definitiv problema: găsești un numitor comun și aduci toate fracțiile la el. Cheia este o noțiune pe care o cunoști deja din divizibilitate — cel mai mic multiplu comun (cmmmc) — pe care acum o pui la treabă pentru fracții. La final vei putea transforma orice fracții „incompatibile" în fracții cu același numitor, fără să le schimbi valoarea.

Ce vei învăța

• Vei ști să găsești cel mai mic multiplu comun (cmmmc) a două sau mai multe numere prin enumerarea multiplilor.
• Vei ști să alegi un numitor comun potrivit pentru mai multe fracții.
• Vei ști să aduci fracțiile la același numitor prin amplificare.
• Vei ști să verifici că fracțiile obținute sunt echivalente cu cele de la început.
• Vei înțelege de ce numitorul comun cel mai mic ne ușurează calculele.

Hai să descoperim împreună

O problemă reală care cere un numitor comun

Imaginează-ți că împarți o pizza cu un prieten. Tu ai mâncat $\frac{1}{4}$ din ea, iar prietenul tău $\frac{1}{6}$. Cine a mâncat mai mult? Și cât ați mâncat împreună? Cu numitori diferiți (4 și 6) nu putem răspunde dintr-o privire. Avem nevoie să tăiem pizza în felii de aceeași mărime, astfel încât atât „sferturile", cât și „șesimile" să se poată exprima în acele felii. Acea mărime comună a feliilor este, de fapt, un numitor comun.

Reamintim: ce este un multiplu

Un multiplu al unui număr natural se obține înmulțind acel număr cu $0,1,2,3,4,\dots$ De exemplu, multiplii lui $4$ sunt: $$0,4,8,12,16,20,24,28,\dots$$ iar multiplii lui $6$ sunt: $$0,6,12,18,24,30,36,\dots$$

Am studiat asta în lecția despre multipli comuni și cmmmc prin enumerare. Acum folosim aceeași idee pentru fracții.

Cel mai mic multiplu comun (cmmmc)

Un multiplu comun al numerelor $4$ și $6$ este un număr care apare în ambele liste de multipli. Privind listele de mai sus, recunoaștem multiplii comuni: $12,24,36,\dots$ (lăsăm la o parte pe $0$, care e multiplu comun pentru orice numere, dar nu ne ajută ca numitor).

Definiție. Cel mai mic dintre multiplii comuni nenuli ai unor numere se numește cel mai mic multiplu comun și se notează $\mathrm{cmmmc}(a,b)$.

Pentru numerele noastre: $$\mathrm{cmmmc}(4,6)=12.$$

Acest $12$ va fi numitorul comun ideal pentru fracțiile cu numitorii $4$ și $6$.

Cum găsim cmmmc prin enumerare — pas cu pas

Nu folosim deocamdată niciun algoritm complicat. Procedăm simplu, enumerând multiplii:

1. Scrie multiplii primului număr, în ordine crescătoare, fără $0$.
2. Scrie multiplii celui de-al doilea număr, tot în ordine.
3. Caută primul număr care apare în ambele liste. Acela este cmmmc.

Un truc care economisește timp: este suficient să scrii multiplii numărului mai mare și să verifici, pe rând, care dintre ei se divide și cu numărul mai mic. Primul care se potrivește este cmmmc.

Exemplu de lucru. Vrem $\mathrm{cmmmc}(6,8)$.

Multiplii lui $8$: $8,16,\boxed{24},32,\dots$ Verificăm: $8$ se împarte la $6$? Nu. $16$? Nu. $24$? Da, $24:6=4$. Deci $\mathrm{cmmmc}(6,8)=24$.

De la cmmmc la numitorul comun

Iată legătura centrală a lecției:

Când vrem să aducem mai multe fracții la același numitor, alegem drept numitor comun un multiplu comun al numitorilor. Cel mai potrivit este chiar cmmmc al numitorilor, fiindcă ne dă cele mai mici numere cu care lucrăm.

De ce cel mai mic multiplu comun? Pentru că orice multiplu comun ar funcționa (de exemplu, am putea folosi și $24$ sau $36$ pentru numitorii $4$ și $6$), dar cu cmmmc obținem numere mai mici, mai ușor de comparat și de calculat. E ca și cum ai alege cea mai mică bancnotă care îți permite să plătești exact: merge și una mai mare, dar e mai comod cu cea potrivită.

Amintim instrumentul: amplificarea fracțiilor

Cum schimbăm numitorul unei fracții fără să-i schimbăm valoarea? Prin amplificare: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr natural nenul. Am învățat asta în lecția cmmdc, amplificarea, simplificarea și fracții ireductibile.

$$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},k\ne 0.$$

Amplificarea cu $k$ se notează adesea cu un mic semn deasupra: $\stackrel{k)}{\frac{a}{b}}$. Fracția nouă are aceeași valoare ca cea veche — sunt fracții echivalente.

De exemplu, $\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}$. Am amplificat cu $3$. Fracția arată altfel, dar reprezintă exact aceeași parte din întreg.

Aducerea fracțiilor la același numitor — rețeta completă

Punem totul cap la cap. Pentru a aduce mai multe fracții la același numitor:

1. Privește numitorii fracțiilor.
2. Calculează cmmmc al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun.
3. Pentru fiecare fracție, împarte numitorul comun la numitorul ei. Rezultatul este factorul de amplificare $k$ pentru acea fracție.
4. Amplifică fiecare fracție cu factorul ei (înmulțești și sus, și jos cu acel $k$).
5. Obții fracții cu același numitor, echivalente cu cele de la început.

Hai să aplicăm pentru $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{6}$ — pizza noastră de la început:

• Pas 1. Numitorii sunt $4$ și $6$.
• Pas 2. $\mathrm{cmmmc}(4,6)=12$. Numitorul comun este $12$.
• Pas 3. Pentru $\frac{1}{4}$: $12:4=3$, deci $k=3$. Pentru $\frac{1}{6}$: $12:6=2$, deci $k=2$.
• Pas 4. Amplificăm: $$\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12},\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{2}{12}.$$
• Pas 5. Avem $\frac{3}{12}$ și $\frac{2}{12}$, cu același numitor $12$.

Acum răspundem ușor la întrebările de la început: $\frac{3}{12}>\frac{2}{12}$, deci tu ai mâncat mai mult. Asta se leagă de lecția compararea fracțiilor cu același numitor sau numărător.

Verificarea echivalenței — pasul de siguranță

Cum ne asigurăm că nu am greșit, adică fracțiile noi sunt egale cu cele vechi? Există două verificări simple:

• Verificarea prin simplificare. Dacă simplificăm fracția obținută, trebuie să ajungem din nou la fracția inițială. De pildă, $\frac{3}{12}$ se simplifică cu $3$: $\frac{3:3}{12:3}=\frac{1}{4}$. Corect!
• Verificarea „în cruce". Două fracții $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt echivalente dacă $a\cdot d=b\cdot c$. Pentru $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{12}$: $1\cdot 12=12$ și $4\cdot 3=12$. Egale — deci fracțiile sunt echivalente.

Reține: aducerea la numitor comun nu schimbă valoarea fracțiilor. Le îmbracă doar în „aceeași unitate de măsură", ca să le putem compara, aduna sau scădea ușor.

Cazuri speciale care îți ușurează viața

Cazul 1: un numitor este multiplu al celuilalt. Dacă numitorul mare se împarte exact la cel mic, atunci cmmmc este chiar numitorul mare. Exemplu: pentru $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{12}$, observăm că $12:3=4$ (exact), deci $\mathrm{cmmmc}(3,12)=12$. Amplificăm doar prima fracție: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, iar a doua rămâne $\frac{5}{12}$.

Cazul 2: numitorii nu au divizori comuni (în afară de 1). Atunci cmmmc este chiar produsul lor. Exemplu: pentru $\frac{2}{5}$ și $\frac{1}{3}$, numerele $5$ și $3$ nu au divizori comuni mai mari ca $1$, deci $\mathrm{cmmmc}(5,3)=5\cdot 3=15$.

Cazul 3: trei sau mai multe fracții. Procedeul este identic, doar că enumerăm multiplii pentru toți numitorii și căutăm primul comun tuturor. Vom vedea un exemplu rezolvat mai jos.

O analogie ca să nu uiți niciodată

Gândește-te la numitor ca la limba în care e scrisă o fracție. $\frac{1}{4}$ „vorbește în sferturi", $\frac{1}{6}$ „vorbește în șesimi". Ca să se înțeleagă, le aducem pe amândouă într-o limbă comună: doisprezecimile. Traducerea (amplificarea) nu schimbă ce spune fracția, doar cum o spune. La fel cum „doi" și „two" înseamnă același număr, $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{12}$ înseamnă aceeași cantitate.

O a doua analogie utilă vine din lumea banilor. Dacă vrei să compari $\frac{1}{2}$ de euro cu $\frac{1}{5}$ de euro, e mai ușor să transformi totul în cenți, adică în sutimi de euro: $\frac{1}{2}$ înseamnă $50$ de cenți, iar $\frac{1}{5}$ înseamnă $20$ de cenți. „Centul" joacă aici rolul numitorului comun — o unitate mică, comună, în care orice fracție poate fi exprimată. Tocmai de aceea aducerea la numitor comun este atât de folositoare: ne dă o unitate de măsură comună pentru toate fracțiile din problemă.

Greșeala de evitat: numitor comun versus numitor comun minim

Atenție la o subtilitate importantă. Orice multiplu comun al numitorilor poate fi numitor comun, dar nu orice numitor comun este și cel mai mic. De exemplu, pentru $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{6}$ am putea folosi numitorul $24$ (alt multiplu comun) și am obține $\frac{6}{24}$ și $\frac{4}{24}$. Răspunsul ar fi corect, dar numerele sunt mai mari. Cu cmmmc-ul $12$ lucrăm mai ușor și ajungem direct la forme aproape simplificate. Recomandarea este să folosești întotdeauna cmmmc; dacă greșești și alegi un multiplu comun mai mare, nu e o eroare gravă, doar vei avea de simplificat la final.

Un exemplu mai greu, dus până la capăt

Până acum am lucrat cu numitori mici. Hai să vedem că rețeta funcționează la fel de bine și cu numere ceva mai mari, ca să prinzi curaj. Vrem să aducem la același numitor fracțiile $\frac{7}{8}$ și $\frac{11}{12}$.

• Numitorii sunt $8$ și $12$.
• cmmmc. Scriem multiplii lui $12$ (numărul mai mare): $12,\boxed{24},36,\dots$ Verificăm: $12:8$ nu e exact, dar $24:8=3$, exact. Deci $\mathrm{cmmmc}(8,12)=24$. Numitorul comun este $24$.
• Factorii. Pentru $\frac{7}{8}$: $24:8=3$. Pentru $\frac{11}{12}$: $24:12=2$.
• Amplificăm. $$\frac{7}{8}=\frac{7\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{21}{24},\frac{11}{12}=\frac{11\cdot 2}{12\cdot 2}=\frac{22}{24}.$$
• Verificăm prima fracție prin simplificare: $\frac{21}{24}$ se simplifică cu $3$ și redă $\frac{7}{8}$. Corect.

Acum vedem dintr-o privire că $\frac{22}{24}>\frac{21}{24}$, adică $\frac{11}{12}>\frac{7}{8}$. Observă cât de greu ar fi fost să decidem asta privind doar fracțiile inițiale: ambele sunt „aproape un întreg", iar fără numitor comun ne-ar fi fost ușor să greșim.

O scurtătură utilă: legătura dintre cmmmc și cmmdc

Există o relație elegantă, pe care merită să o cunoști, între cei doi „frați" din divizibilitate. Pentru oricare două numere naturale nenule $a$ și $b$:

$$\mathrm{cmmmc}(a,b)\cdot \mathrm{cmmdc}(a,b)=a\cdot b.$$

Cu alte cuvinte, dacă știi deja cel mai mare divizor comun, poți afla repede cel mai mic multiplu comun:

$$\mathrm{cmmmc}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{cmmdc}(a,b)}.$$

De exemplu, pentru $4$ și $6$ avem $\mathrm{cmmdc}(4,6)=2$, deci $\mathrm{cmmmc}(4,6)=\frac{4\cdot 6}{2}=\frac{24}{2}=12$ — exact cât am găsit prin enumerare. Pentru $8$ și $12$: $\mathrm{cmmdc}(8,12)=4$, deci $\mathrm{cmmmc}(8,12)=\frac{8\cdot 12}{4}=\frac{96}{4}=24$. Această scurtătură devine foarte comodă atunci când numerele sunt mari și enumerarea multiplilor ar dura prea mult. Pentru numere mici, însă, enumerarea rămâne cea mai sigură și mai intuitivă metodă.

Un mic tabel de referință

Pe măsură ce exersezi, vei observa că anumite perechi de numitori revin foarte des. Merită să le ai „în buzunar", ca să recunoști numitorul comun aproape instantaneu:

Nu memora tabelul mecanic — folosește-l ca să-ți antrenezi „ochiul". Cu timpul, când vezi numitorii $4$ și $6$, vei spune „$12$" fără să mai scrii niciun multiplu.

Pe scurt, schema de lucru

Reține lanțul de pași ca pe o rețetă pe care o repeți la fiecare problemă:

numitori → cmmmc → factori (împărțire) → amplificare → fracții cu același numitor → verificare.

Cu cât exersezi mai mult, cu atât pașii devin automați, iar la final vei „vedea" numitorul comun aproape instantaneu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — cmmmc simplu prin enumerare

Cerință: Află $\mathrm{cmmmc}(9,12)$.

Rezolvare. Scriem multiplii lui $12$ (numărul mai mare) și verificăm care se împarte la $9$: $$12,24,\boxed{36},\dots$$ Verificăm: $12:9$ nu e exact; $24:9$ nu e exact; $36:9=4$, exact. Deci $$\mathrm{cmmmc}(9,12)=36.$$

Exemplul 2 — două fracții la numitor comun

Cerință: Adu fracțiile $\frac{5}{6}$ și $\frac{3}{8}$ la același numitor.

Rezolvare.

• Numitorii sunt $6$ și $8$. Calculăm $\mathrm{cmmmc}(6,8)=24$ (l-am găsit mai sus).
• Factorii de amplificare: pentru $\frac{5}{6}$ avem $24:6=4$; pentru $\frac{3}{8}$ avem $24:8=3$.
• Amplificăm: $$\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{20}{24},\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{9}{24}.$$
• Verificare în cruce pentru prima: $5\cdot 24=120$ și $6\cdot 20=120$. Egal — corect.

Fracțiile aduse la numitor comun sunt $\frac{20}{24}$ și $\frac{9}{24}$.

Exemplul 3 — cazul în care un numitor e multiplu al celuilalt

Cerință: Adu la același numitor fracțiile $\frac{4}{5}$ și $\frac{7}{10}$.

Rezolvare.

• Observăm că $10:5=2$ (exact), deci $\mathrm{cmmmc}(5,10)=10$.
• A doua fracție are deja numitorul $10$, rămâne neschimbată.
• Prima: $10:5=2$, deci $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{8}{10}$.

Rezultat: $\frac{8}{10}$ și $\frac{7}{10}$. Acum vedem repede că $\frac{8}{10}>\frac{7}{10}$.

Exemplul 4 — numitori fără divizori comuni

Cerință: Adu la același numitor fracțiile $\frac{2}{7}$ și $\frac{3}{4}$.

Rezolvare.

• Numerele $7$ și $4$ nu au divizori comuni mai mari ca $1$, deci $\mathrm{cmmmc}(7,4)=7\cdot 4=28$.
• Factorii: $28:7=4$ și $28:4=7$.
• Amplificăm: $$\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28},\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}.$$

Fracțiile la numitor comun: $\frac{8}{28}$ și $\frac{21}{28}$.

Exemplul 5 — trei fracții deodată

Cerință: Adu la același numitor fracțiile $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$.

Rezolvare.

• Numitorii sunt $2,3,6$. Căutăm primul multiplu comun tuturor. Multiplii lui $6$ sunt $6,12,\dots$; iar $6$ se împarte și la $2$, și la $3$. Deci $\mathrm{cmmmc}(2,3,6)=6$.
• Factorii: $6:2=3$; $6:3=2$; $6:6=1$.
• Amplificăm: $$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\frac{2}{3}=\frac{4}{6},\frac{5}{6}=\frac{5}{6}.$$

Rezultat: $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$. Le putem acum ordona dintr-o privire: $\frac{3}{6}<\frac{4}{6}<\frac{5}{6}$.

Exemplul 6 — o mică problemă practică

Cerință: La un antrenament, Andrei a alergat $\frac{3}{4}$ dintr-un traseu, iar Maria $\frac{5}{8}$ din același traseu. Cine a alergat mai mult? Adu fracțiile la același numitor pentru a decide.

Rezolvare.

• Numitorii: $4$ și $8$. Cum $8:4=2$, avem $\mathrm{cmmmc}(4,8)=8$.
• Amplificăm doar prima: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}$. A doua rămâne $\frac{5}{8}$.
• Comparăm: $\frac{6}{8}>\frac{5}{8}$.

Răspuns: Andrei a alergat mai mult ($\frac{6}{8}$ față de $\frac{5}{8}$ din traseu).

Exemplul 7 — alegerea numitorului comun pentru calcule

Cerință: Vrei să compari trei rezultate la un test de informatică. Un elev a rezolvat corect $\frac{3}{5}$ din probleme, altul $\frac{2}{3}$, iar al treilea $\frac{7}{10}$. Adu fracțiile la același numitor și ordonează-le crescător.

Rezolvare.

• Numitorii sunt $5,3,10$. Căutăm primul multiplu comun tuturor. Multiplii lui $10$: $10,20,\boxed{30},\dots$ Verificăm $30$: se împarte la $5$ ($30:5=6$), la $3$ ($30:3=10$) și la $10$ ($30:10=3$). Deci $\mathrm{cmmmc}(5,3,10)=30$.
• Factorii: pentru $\frac{3}{5}$, $30:5=6$; pentru $\frac{2}{3}$, $30:3=10$; pentru $\frac{7}{10}$, $30:10=3$.
• Amplificăm: $$\frac{3}{5}=\frac{18}{30},\frac{2}{3}=\frac{20}{30},\frac{7}{10}=\frac{21}{30}.$$
• Ordonăm după numărător: $\frac{18}{30}<\frac{20}{30}<\frac{21}{30}$.

Răspuns: $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$. Al treilea elev a avut cel mai bun rezultat.

Exemplul 8 — numitori ceva mai mari

Cerință: Adu la același numitor fracțiile $\frac{3}{10}$ și $\frac{7}{15}$.

Rezolvare.

• Numitorii sunt $10$ și $15$. Scriem multiplii lui $15$: $15,\boxed{30},45,\dots$ și verificăm: $15:10$ nu e exact, dar $30:10=3$, exact. Deci $\mathrm{cmmmc}(10,15)=30$.
• Factorii: pentru $\frac{3}{10}$, $30:10=3$; pentru $\frac{7}{15}$, $30:15=2$.
• Amplificăm: $$\frac{3}{10}=\frac{3\cdot 3}{10\cdot 3}=\frac{9}{30},\frac{7}{15}=\frac{7\cdot 2}{15\cdot 2}=\frac{14}{30}.$$

Fracțiile la numitor comun sunt $\frac{9}{30}$ și $\frac{14}{30}$, deci $\frac{7}{15}>\frac{3}{10}$.

Exemplul 9 — trei fracții într-o problemă practică

Cerință: Trei prieteni au împărțit timpul liber al unei după-amiezi. Dan a citit $\frac{3}{4}$ de oră, Ana $\frac{5}{6}$ de oră, iar Vlad $\frac{7}{8}$ de oră. Adu fracțiile la același numitor și spune cine a citit cel mai mult.

Rezolvare.

• Numitorii sunt $4,6,8$. Căutăm primul multiplu comun tuturor. Multiplii lui $8$: $8,16,\boxed{24},\dots$ Verificăm $24$: se împarte la $4$ ($24:4=6$), la $6$ ($24:6=4$) și la $8$ ($24:8=3$). Deci $\mathrm{cmmmc}(4,6,8)=24$.
• Factorii: $24:4=6$; $24:6=4$; $24:8=3$.
• Amplificăm: $$\frac{3}{4}=\frac{18}{24},\frac{5}{6}=\frac{20}{24},\frac{7}{8}=\frac{21}{24}.$$
• Comparăm numărătorii: $18<20<21$.

Răspuns: $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}<\frac{7}{8}$, deci Vlad a citit cel mai mult, iar Dan cel mai puțin.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Scrie de fiecare dată pașii, nu doar rezultatul.

1. Scrie primii cinci multipli nenuli ai lui $7$.
2. Află $\mathrm{cmmmc}(4,10)$ prin enumerarea multiplilor.
3. Află $\mathrm{cmmmc}(6,9)$.
4. Află $\mathrm{cmmmc}(5,8)$.
5. Adevărat sau fals: $\mathrm{cmmmc}(3,12)=12$. Justifică.
6. Completează factorul de amplificare: pentru a aduce $\frac{2}{5}$ la numitorul $20$, amplific cu $\dots$
7. Adu fracțiile $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$ la același numitor.
8. Adu fracțiile $\frac{3}{4}$ și $\frac{5}{6}$ la același numitor.
9. Adu fracțiile $\frac{2}{9}$ și $\frac{1}{6}$ la același numitor.
10. Adu fracțiile $\frac{5}{12}$ și $\frac{1}{8}$ la același numitor.
11. Încercuiește fracția echivalentă cu $\frac{2}{3}$ care are numitorul $15$: $\frac{5}{15}\frac{10}{15}\frac{6}{15}$.
12. Verifică prin „înmulțirea în cruce" dacă $\frac{3}{5}$ și $\frac{9}{15}$ sunt echivalente.
13. Adu cele trei fracții la același numitor: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$.
14. Compară, aducând la același numitor: $\frac{4}{5}$ și $\frac{7}{10}$. Care e mai mare?
15. Potrivește fiecare pereche de numitori cu cmmmc corect: a) $(2,5)$ b) $(4,6)$ c) $(3,9)$ — opțiuni: $9$, $12$, $10$.
16. Problemă. Într-o cutie, $\frac{2}{3}$ din bile sunt albastre, iar într-o altă cutie identică $\frac{3}{5}$ din bile sunt albastre. Adu fracțiile la același numitor și spune în care cutie proporția de bile albastre e mai mare.
17. Problemă. Pentru o rețetă, ai nevoie de $\frac{1}{4}$ litru de lapte și $\frac{2}{5}$ litru de apă. Adu cantitățile la același numitor pentru a le compara. Care lichid e mai mult?
18. Adu la același numitor fracțiile $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{9}$ și $\frac{1}{2}$ (atenție: trei fracții).
19. Află $\mathrm{cmmmc}(10,15)$ prin enumerarea multiplilor.
20. Adu fracțiile $\frac{3}{10}$ și $\frac{4}{15}$ la același numitor.
21. Adu fracțiile $\frac{7}{8}$ și $\frac{5}{12}$ la același numitor, apoi spune care e mai mare.
22. Problemă. Trei elevi au rezolvat câte o parte dintr-un set de probleme: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ și $\frac{5}{8}$. Adu fracțiile la același numitor și ordonează-le crescător.
23. Folosind relația $\mathrm{cmmmc}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{cmmdc}(a,b)}$, află $\mathrm{cmmmc}(6,8)$, știind că $\mathrm{cmmdc}(6,8)=2$. Verifică rezultatul cu cel găsit prin enumerare.

Răspunsuri și explicații

1. $7,14,21,28,35$. (Înmulțim $7$ cu $1,2,3,4,5$.)
2. Multiplii lui $10$: $10,20,\dots$; $20:4=5$ exact, iar $10:4$ nu. Deci $\mathrm{cmmmc}(4,10)=20$.
3. Multiplii lui $9$: $9,18,\dots$; $18:6=3$ exact. Deci $\mathrm{cmmmc}(6,9)=18$.
4. $5$ și $8$ nu au divizori comuni $>1$, deci $\mathrm{cmmmc}(5,8)=5\cdot 8=40$.
5. Adevărat. $12$ este multiplu al lui $3$ ($12:3=4$) și e cel mai mic multiplu comun al lui $3$ și $12$, fiindcă $12$ se împarte și la $3$, și la $12$.
6. $20:5=4$, deci amplific cu $4$. (Verificare: $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$.)
7. $\mathrm{cmmmc}(3,4)=12$; $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.
8. $\mathrm{cmmmc}(4,6)=12$; $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$.
9. $\mathrm{cmmmc}(9,6)=18$; $\frac{2}{9}=\frac{4}{18}$, $\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$.
10. $\mathrm{cmmmc}(12,8)=24$; $\frac{5}{12}=\frac{10}{24}$, $\frac{1}{8}=\frac{3}{24}$.
11. $\frac{10}{15}$. (Amplificăm $\frac{2}{3}$ cu $5$: $\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}$.)
12. $3\cdot 15=45$ și $5\cdot 9=45$. Egale, deci sunt echivalente.
13. $\mathrm{cmmmc}(2,3,4)=12$; $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$, $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.
14. $\mathrm{cmmmc}(5,10)=10$; $\frac{4}{5}=\frac{8}{10}$, iar $\frac{7}{10}$ rămâne. Cum $\frac{8}{10}>\frac{7}{10}$, mai mare e $\frac{4}{5}$.
15. a) $\to 10$; b) $\to 12$; c) $\to 9$.
16. $\mathrm{cmmmc}(3,5)=15$; $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$. Cum $\frac{10}{15}>\frac{9}{15}$, prima cutie are proporția mai mare de bile albastre.
17. $\mathrm{cmmmc}(4,5)=20$; $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$ (lapte), $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$ (apă). Cum $\frac{8}{20}>\frac{5}{20}$, apa e mai multă.
18. Numitorii $6,9,2$. Multiplii lui $9$: $9,\boxed{18},\dots$; $18$ se împarte și la $6$ ($18:6=3$), și la $2$ ($18:2=9$). Deci $\mathrm{cmmmc}(6,9,2)=18$. Amplificăm: $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$ (cu $3$), $\frac{7}{9}=\frac{14}{18}$ (cu $2$), $\frac{1}{2}=\frac{9}{18}$ (cu $9$).
19. Multiplii lui $15$: $15,30,\dots$; $30:10=3$ exact, iar $15:10$ nu. Deci $\mathrm{cmmmc}(10,15)=30$.
20. $\mathrm{cmmmc}(10,15)=30$; factorii sunt $30:10=3$ și $30:15=2$, deci $\frac{3}{10}=\frac{9}{30}$, $\frac{4}{15}=\frac{8}{30}$.
21. $\mathrm{cmmmc}(8,12)=24$; $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$ (cu $3$), $\frac{5}{12}=\frac{10}{24}$ (cu $2$). Cum $\frac{21}{24}>\frac{10}{24}$, mai mare este $\frac{7}{8}$.
22. $\mathrm{cmmmc}(2,4,8)=8$; $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$, $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, $\frac{5}{8}$ rămâne. Ordinea crescătoare: $\frac{4}{8}<\frac{5}{8}<\frac{6}{8}$, adică $\frac{1}{2}<\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$.
23. $\mathrm{cmmmc}(6,8)=\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{48}{2}=24$. Coincide cu rezultatul găsit prin enumerare ($24$).

De reținut

• Cmmmc al numitorilor — cel mai mic multiplu comun — este numitorul comun pe care îl folosim: cel mai mic număr la care se împart exact toți numitorii.
• Îl găsim prin enumerarea multiplilor și alegerea primului multiplu comun nenul.
• Aducem fiecare fracție la numitorul comun prin amplificare: factorul de amplificare = (numitor comun) $:$ (numitorul fracției).
• Amplificarea nu schimbă valoarea fracției — fracțiile obținute sunt echivalente cu cele inițiale.
• Verificăm echivalența prin simplificare sau prin înmulțirea în cruce ($a\cdot d=b\cdot c$).

Greșeli frecvente

• Amplifici doar numărătorul (sau doar numitorul). Atunci schimbi valoarea fracției! Trebuie să înmulțești și sus, și jos cu același număr. $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, nu $\frac{1}{12}$ sau $\frac{3}{4}$.
• Aduni numitorii ca să găsești numitorul comun. Numitorul comun nu este $4+6=10$, ci cmmmc-ul, adică $12$. Nu adunăm numitorii.
• Confunzi cmmmc cu cmmdc. Pentru numitor comun ne trebuie cel mai mic multiplu comun (un număr mare, multiplu al ambilor), nu cel mai mare divizor comun. Vezi diferența în divizori comuni și cmmdc.
• Greșești factorul de amplificare. Factorul se obține împărțind numitorul comun la numitorul fracției, nu invers și nu prin scădere.

Joc acasă

1. Domino cu fracții echivalente. Taie 12 cartonașe. Pe jumătate scrie fracții simple ($\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{5}$...), iar pe celelalte scrie fracțiile lor amplificate ($\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{9}{15}$...). Amestecă-le și potrivește perechile echivalente. Verifică prin înmulțirea în cruce.

2. Pizza din hârtie. Decupează două cercuri egale. Pe primul desenează 4 felii, pe al doilea 6 felii. Colorează $\frac{1}{4}$ pe primul și $\frac{1}{6}$ pe al doilea. Apoi împarte un al treilea cerc în 12 felii și arată cum se „traduc" ambele porții în doisprezecimi. Câte felii din 12 reprezintă fiecare?

3. Provocarea de un minut. Roagă un părinte să-ți spună două numere mici (de exemplu 6 și 8). Tu, cu cronometrul pornit, scrie multiplii lor și găsește cmmmc cât mai repede. Notează timpul și încearcă să-l îmbunătățești la fiecare rundă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție conectează divizibilitatea (cmmmc) de operațiile cu fracții care urmează (adunare, scădere, comparare). Este o lecție-cheie: dacă elevul stăpânește aducerea la numitor comun, lecțiile despre adunarea fracțiilor și scăderea fracțiilor devin mult mai ușoare.

Cum sprijiniți elevul:

• Insistați pe legătura logică: de ce avem nevoie de numitor comun (ca să comparăm/adunăm „mere cu mere"). Folosiți obiecte reale (felii, pahare cu apă) înainte de simboluri.
• Verificați că elevul calculează corect factorul de amplificare prin împărțire, nu „din ochi".
• Cereți mereu verificarea prin simplificare sau înmulțire în cruce. Asta construiește obiceiul autocontrolului.

Întrebări bune de pus:

• „De ce alegem cel mai mic multiplu comun și nu unul mai mare?" (Răspuns: merge și unul mai mare, dar cmmmc dă numere mai mici, mai comode.)
• „Ce se întâmplă cu valoarea fracției când o amplifici?" (Răspuns: rămâne aceeași.)
• „Cum verifici că nu ai greșit?"

Semn că a înțeles: poate aduce la numitor comun trei fracții cu numitori diferiți și poate explica de ce fracțiile rezultate sunt egale cu cele inițiale.

Întrebări frecvente

Ce este cel mai mic multiplu comun (cmmmc)? Este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu pentru toate numerele date, adică se împarte exact la fiecare dintre ele. Îl găsim enumerând multiplii fiecărui număr și alegând primul care apare la toate.

Cum aduc fracțiile la același numitor? Calculezi cmmmc al numitorilor — acela e numitorul comun. Apoi amplifici fiecare fracție cu (numitorul comun) împărțit la numitorul ei, înmulțind și numărătorul, și numitorul cu acel factor.

De ce folosesc cmmmc și nu orice multiplu comun? Orice multiplu comun al numitorilor ar funcționa, dar cmmmc îți dă cele mai mici numere posibile, deci calcule mai simple și mai puține șanse de greșeală. Poți folosi și produsul numitorilor, însă apoi de obicei va trebui să simplifici.

Aducerea la numitor comun schimbă valoarea fracției? Nu. Amplificarea înmulțește și numărătorul, și numitorul cu același număr, deci fracția rămâne egală cu cea inițială. Se schimbă doar forma în care e scrisă, nu cantitatea.

Care e diferența dintre cmmmc și cmmdc? Cmmmc (cel mai mic multiplu comun) este un număr mai mare sau egal cu numerele date și se folosește pentru numitorul comun. Cmmdc (cel mai mare divizor comun) este un număr mai mic sau egal cu ele și se folosește la simplificare. Sunt instrumente diferite pentru sarcini diferite.

Cum verific că am adus corect fracțiile la numitor comun? Simplifică fiecare fracție obținută și trebuie să revii la fracția inițială; sau folosește înmulțirea în cruce: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă $a\cdot d=b\cdot c$. Dacă verificarea iese, ai lucrat corect.

Ce fac dacă numitorii sunt numere fără divizori comuni? Atunci cel mai mic multiplu comun este chiar produsul lor. De exemplu, pentru numitorii $5$ și $3$, cmmmc este $5\cdot 3=15$.

Pot aduce la numitor comun mai mult de două fracții? Da. Procedeul e identic: calculezi cmmmc al tuturor numitorilor, apoi amplifici fiecare fracție cu factorul potrivit. Numitorul comun trebuie să se împartă exact la toți numitorii. Reține și că, după aducerea la numitor comun folosind chiar cmmmc-ul, fracțiile sunt deja în forma cea mai comodă pentru comparare, adunare sau scădere — nu mai trebuie simplificate decât dacă ți se cere explicit rezultatul ca fracție ireductibilă.