Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă

Gândește-te la un anunț real: „intrarea este permisă persoanelor de cel puțin 14 ani" sau „viteza pe autostradă nu poate depăși 130 km/h". În primul caz, vârstele acceptate pornesc de la 14 și cresc oricât de mult (14, 15, 20, 47, 90...), fără o limită de sus. În al doilea caz, vitezele permise merg în jos până la 0, dar au un capăt clar la 130. Aceste situații nu pot fi scrise cu un interval mărginit, ca acelea din lecția precedentă, pentru că le lipsește un capăt. Aici intervin intervalele nemărginite, adică acele mulțimi de numere reale care „nu se opresc" într-o direcție. În lecția de față vei învăța cum le scriem cu simbolurile $+\infty$ și $-\infty$, cum le reprezentăm pe axa numerelor și cum trecem de la o inegalitate simplă (de tipul $x\ge 14$) la notația de interval și invers. Hai să le descoperim împreună, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii și să citești intervale nemărginite folosind corect simbolurile $+\infty$ și $-\infty$, înțelegând că ele nu sunt numere.
• Vei ști să deosebești un interval nemărginit la dreapta ($[a,+\infty )$, $(a,+\infty )$) de unul nemărginit la stânga ($(-\infty ,b]$, $(-\infty ,b)$).
• Vei ști să reprezinți pe axa numerelor un interval nemărginit, folosind corect cerculețul plin sau gol și săgeata care arată direcția.
• Vei ști să treci de la o inegalitate (de exemplu $x\ge 2$ sau $x<5$) la notația de interval și invers, fără să confunzi tipul de paranteză.
• Vei ști să recunoști că mulțimea numerelor reale se scrie ca intervalul $(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$.

Hai să descoperim împreună

De ce nu ne mai ajung intervalele mărginite

În lecția precedentă ai lucrat cu intervale mărginite: ele au două capete, un capăt de jos și un capăt de sus. De exemplu, $[2,7]$ conține toate numerele reale mai mari sau egale cu $2$ și mai mici sau egale cu $7$. Are un început ($2$) și un sfârșit ($7$).

Dar cum scriem mulțimea tuturor numerelor reale care sunt mai mari sau egale cu 2? Adică $2$, $2,5$, $3$, $10$, $1000$, $1000000$ și așa mai departe, la nesfârșit? Această mulțime are un capăt de jos ($2$), dar nu are niciun capăt de sus: oricât de mare ai alege un număr, mai există unul și mai mare care tot îi aparține. O astfel de mulțime se numește interval nemărginit.

Cu alte cuvinte:

• un interval mărginit este „închis între două ziduri";
• un interval nemărginit are un singur zid (sau niciunul) și în cealaltă direcție se întinde fără sfârșit.

Ce sunt simbolurile $+\infty$ și $-\infty$

Ca să scriem „fără sfârșit", matematica folosește două simboluri speciale:

• $+\infty$ se citește plus infinit și sugerează direcția în care numerele cresc oricât de mult (spre dreapta pe axă);
• $-\infty$ se citește minus infinit și sugerează direcția în care numerele scad oricât de mult (spre stânga pe axă).

Atenție, aceasta este ideea cea mai importantă a lecției: $+\infty$ și $-\infty$ NU sunt numere reale. Nu poți spune „cel mai mare număr este $+\infty$", pentru că un cel mai mare număr nu există — oricare ai alege, îi poți adăuga $1$ și obții unul mai mare. Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ sunt doar indicatoare de direcție, care ne spun că intervalul se întinde la nesfârșit într-o parte.

Din acest motiv reținem o regulă fără excepție:

Lângă $+\infty$ și lângă $-\infty$ se pune întotdeauna paranteză rotundă, niciodată paranteză dreaptă.

De ce? Paranteza dreaptă „$[$" sau „$]$" înseamnă „capătul acesta este inclus, îi aparține intervalului". Dar $+\infty$ nu este un număr, deci nu poate să aparțină mulțimii. N-are ce să fie inclus. De aceea scriem mereu $(a,+\infty )$ sau $[a,+\infty )$, dar niciodată $[a,+\infty ]$. O scriere de tipul $[3,+\infty ]$ este greșită și se punctează ca greșeală la examen.

Intervale nemărginite la dreapta

Un interval nemărginit la dreapta are un capăt de jos (un număr real $a$), iar spre dreapta se întinde la nesfârșit. Există două variante, în funcție de faptul dacă acel capăt $a$ este inclus sau nu.

1) Intervalul $[a,+\infty )$ — capătul $a$ este inclus.

$$[a,+\infty )=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge a\}$$

Se citește: „mulțimea numerelor reale $x$ mai mari sau egale cu $a$". Paranteza dreaptă de la stânga (adică $[$) ne spune că $a$ face parte din mulțime. Corespunde inegalității $x\ge a$.

Exemplu: $[2,+\infty )$ conține $2$, $2,5$, $3$, $\sqrt{9}$, $100$... Numărul $2$ îi aparține, dar $1,9$ nu.

2) Intervalul $(a,+\infty )$ — capătul $a$ NU este inclus.

$$(a,+\infty )=\{x\in \mathbb{R}\mid x>a\}$$

Se citește: „mulțimea numerelor reale $x$ strict mai mari decât $a$". Paranteza rotundă din stânga arată că $a$ nu face parte din mulțime. Corespunde inegalității $x>a$.

Exemplu: $(2,+\infty )$ conține $2,0001$, $3$, $50$..., dar nu conține $2$.

Reține deosebirea dintre ele: singura diferență între $[2,+\infty )$ și $(2,+\infty )$ este numărul $2$ însuși. În primul îi aparține, în al doilea nu. În ambele, spre $+\infty$ punem obligatoriu paranteză rotundă.

Intervale nemărginite la stânga

Simetric, un interval nemărginit la stânga are un capăt de sus (un număr real $b$), iar spre stânga se întinde la nesfârșit, către $-\infty$. Din nou avem două variante.

3) Intervalul $(-\infty ,b]$ — capătul $b$ este inclus.

$$(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le b\}$$

Se citește: „mulțimea numerelor reale $x$ mai mici sau egale cu $b$". Paranteza dreaptă de la $b$ (adică $]$) arată că $b$ face parte din mulțime. Corespunde inegalității $x\le b$.

Exemplu: $(-\infty ,5]$ conține $5$, $4$, $0$, $-3$, $-1000$... Numărul $5$ îi aparține, dar $5,1$ nu.

4) Intervalul $(-\infty ,b)$ — capătul $b$ NU este inclus.

$$(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid x<b\}$$

Se citește: „mulțimea numerelor reale $x$ strict mai mici decât $b$". Corespunde inegalității $x<b$.

Exemplu: $(-\infty ,5)$ conține $4,999$, $0$, $-7$..., dar nu conține $5$.

Observă un lucru important legat de scriere: la intervalele nemărginite la stânga, $-\infty$ se scrie întotdeauna primul (în stânga), pentru că el reprezintă capătul „de jos" al intervalului, iar pe axă mergem mereu de la stânga la dreapta, adică de la mic la mare. Nu vei scrie niciodată $[b,-\infty )$ — este o greșeală de ordine.

Cum reprezentăm pe axă: regula cerculețului și a săgeții

Reprezentarea pe axa numerelor a unui interval nemărginit se face după trei pași simpli. Îi urmezi mereu în aceeași ordine și nu greșești.

Pasul 1 — marchezi capătul. Pui un punct pe axă în dreptul numărului care este capătul intervalului ($a$ sau $b$).

Pasul 2 — alegi felul cerculețului.

• Dacă acel capăt este inclus (paranteză dreaptă, semnul $\ge$ sau $\le$), desenezi un cerculeț plin (colorat).
• Dacă acel capăt nu este inclus (paranteză rotundă, semnul $>$ sau $<$), desenezi un cerculeț gol (doar conturul).

Pasul 3 — trasezi săgeata. Îngroși partea de axă care aparține intervalului și pui o săgeată la capăt, spre direcția în care intervalul se întinde la nesfârșit:

• spre dreapta dacă intervalul merge către $+\infty$ (adică $x\ge a$ sau $x>a$);
• spre stânga dacă intervalul merge către $-\infty$ (adică $x\le b$ sau $x<b$).

Un truc de memorare: semnul inegalității „arată" direcția săgeții. La $x>a$ și $x\ge a$, vârful mai mare (deschiderea) e la stânga, iar numerele bune sunt cele mari — mergi spre dreapta. La $x<b$ și $x\le b$, mergi spre stânga. Sau, și mai simplu: dacă vrei numere mai mari, mergi spre dreapta; dacă vrei numere mai mici, mergi spre stânga.

Toată mulțimea numerelor reale: $(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$

Ce se întâmplă dacă un interval nu are niciun capăt — nici la stânga, nici la dreapta? Atunci el se întinde la nesfârșit în ambele direcții și cuprinde toate numerele reale. Acest interval, nemărginit în ambele sensuri, este chiar mulțimea numerelor reale:

$$(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}=\{x\mid x\in \mathbb{R}\}$$

La ambele capete punem paranteză rotundă, pentru că la ambele capete se află simboluri de infinit, nu numere. Pe axă, reprezentarea sa este toată axa îngroșată, cu săgeți la ambele capete și fără niciun cerculeț, pentru că nu există niciun capăt de tăiat.

De la inegalitate la interval și invers — tabelul cheie

Aceasta este „traducerea" pe care trebuie să o stăpânești perfect la Evaluarea Națională. Fiecare inegalitate simplă are un interval nemărginit corespunzător:

Observă legătura simplă: semnul cu egalitate ($\ge$, $\le$) $\to$ paranteză dreaptă $\to$ cerculeț plin; semnul strict ($>$, $<$) $\to$ paranteză rotundă $\to$ cerculeț gol. Iar direcția „mai mare" $\to$ dreapta, „mai mic" $\to$ stânga.

Această traducere îți va fi indispensabilă în capitolul următor, la inecuații de gradul I, unde soluția unei inecuații precum $2x-6\ge 0$ se scrie exact sub formă de interval nemărginit: $[3,+\infty )$. O vei revedea în lecția Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval.

Cum verificăm dacă un număr aparține intervalului

Ca să afli dacă un număr $n$ aparține unui interval nemărginit, îl compari cu capătul intervalului și ții cont de tipul parantezei. De exemplu, pentru intervalul $[2,+\infty )$:

• $5\in [2,+\infty )$, pentru că $5\ge 2$ (adevărat);
• $2\in [2,+\infty )$, pentru că $2\ge 2$ (adevărat — capătul e inclus);
• $1,9\notin [2,+\infty )$, pentru că $1,9\ge 2$ este fals.

Pentru $(2,+\infty )$, singura schimbare este că $2\notin (2,+\infty )$, pentru că $2>2$ este fals. Vom aprofunda apartenența numerelor la intervale în lecția Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime.

Un ultim detaliu util: intervalele nemărginite sunt mulțimi infinite. Nu poți număra câte elemente au, pentru că între oricare două numere reale se află o infinitate de alte numere reale. Așa că întrebarea „câte numere reale are $[0,+\infty )$?" nu are răspuns finit — mulțimea este infinită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scriem sub formă de interval o inegalitate

Cerință: Scrie sub formă de interval mulțimile: a) $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge -3\}$; b) $\{x\in \mathbb{R}\mid x<4\}$; c) $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$.

Rezolvare:

a) Inegalitatea $x\ge -3$ conține și egalitatea, deci capătul $-3$ este inclus $\to$ paranteză dreaptă la $-3$. „Mai mare" înseamnă că mergem spre $+\infty$. Rezultă: $$\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge -3\}=[-3,+\infty ).$$

b) Inegalitatea $x<4$ este strictă, deci $4$ nu este inclus $\to$ paranteză rotundă. „Mai mic" înseamnă că mergem spre $-\infty$, iar $-\infty$ se scrie primul: $$\{x\in \mathbb{R}\mid x<4\}=(-\infty ,4).$$

c) Inegalitatea $x>0$ este strictă $\to$ paranteză rotundă la $0$; „mai mare" $\to$ spre $+\infty$: $$\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}=(0,+\infty ).$$

Acest ultim interval, $(0,+\infty )$, este chiar mulțimea numerelor reale strict pozitive.

Exemplul 2 — De la interval la inegalitate

Cerință: Scrie sub formă de inegalitate (folosind $x$) intervalele: a) $(-\infty ,7]$; b) $[-1,+\infty )$; c) $(-\infty ,-2)$.

Rezolvare:

a) $(-\infty ,7]$: capătul $7$ are paranteză dreaptă (inclus) și intervalul merge spre stânga (către $-\infty$), deci numerele sunt mai mici sau egale cu $7$: $$x\le 7.$$

b) $[-1,+\infty )$: capătul $-1$ este inclus și mergem spre dreapta (către $+\infty$), deci numerele sunt mai mari sau egale cu $-1$: $$x\ge -1.$$

c) $(-\infty ,-2)$: capătul $-2$ are paranteză rotundă (nu e inclus) și mergem spre stânga, deci numerele sunt strict mai mici decât $-2$: $$x<-2.$$

Exemplul 3 — Reprezentarea pe axă, pas cu pas

Cerință: Reprezintă pe axa numerelor intervalul $(-2,+\infty )$.

Rezolvare:

• Pasul 1: marchez pe axă punctul $-2$.
• Pasul 2: paranteza rotundă din stânga arată că $-2$ nu este inclus $\to$ desenez un cerculeț gol în $-2$.
• Pasul 3: intervalul merge către $+\infty$, deci îngroș axa de la $-2$ spre dreapta și pun o săgeată la capătul din dreapta.

Sub formă de inegalitate, acest interval este $x>-2$.

Exemplul 4 — Adevărat sau fals, cu justificare

Cerință: Stabilește valoarea de adevăr a afirmațiilor și justifică: a) $+\infty \in [5,+\infty )$; b) $-\infty$ este cel mai mic număr real; c) $[3,+\infty ]$ este scriere corectă; d) $\mathbb{R}=(-\infty ,+\infty )$.

Rezolvare:

a) Fals. $+\infty$ nu este un număr real, deci nu poate aparține niciunei mulțimi de numere. Un interval conține doar numere reale.

b) Fals. $-\infty$ nu este un număr, ci un simbol de direcție. Nu există „cel mai mic număr real": oricare ai alege, scăzând $1$ obții unul și mai mic.

c) Fals. Lângă $+\infty$ se pune întotdeauna paranteză rotundă, pentru că $+\infty$ nu poate fi inclus. Scrierea corectă este $[3,+\infty )$.

d) Adevărat. Un interval fără capete, nemărginit în ambele direcții, cuprinde toate numerele reale, deci $(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$.

Exemplul 5 — Apartenența numerelor la un interval

Cerință: Se dă intervalul $A=(-\infty ,3]$. Care dintre numerele $3$; $3,5$; $-10$; $\sqrt{9}$; $\pi$ aparțin lui $A$?

Rezolvare: Un număr aparține lui $A$ dacă este mai mic sau egal cu $3$.

• $3\in A$, pentru că $3\le 3$ (adevărat, capătul e inclus).
• $3,5\notin A$, pentru că $3,5\le 3$ este fals.
• $-10\in A$, pentru că $-10\le 3$ (adevărat).
• $\sqrt{9}=3$, deci $\sqrt{9}\in A$ (același caz ca la primul).
• $\pi \approx 3,14\notin A$, pentru că $\pi >3$.

Răspuns: aparțin lui $A$ numerele $3$, $-10$ și $\sqrt{9}$.

Exemplul 6 — Problemă aplicată (item tip Evaluare Națională)

Cerință: La un parc de distracții, un anumit tobogan poate fi folosit doar de copiii cu înălțimea de cel puțin 120 cm. Notează cu $h$ (în cm) înălțimea unui copil. a) Scrie condiția sub formă de inegalitate. b) Scrie mulțimea înălțimilor permise sub formă de interval. c) Un copil are $118$ cm. Poate folosi toboganul? Justifică.

Rezolvare:

a) „Cel puțin 120 cm" înseamnă „mai mare sau egal cu 120", deci: $$h\ge 120.$$

b) În teorie, înălțimea nu are o limită superioară fixată de regulament, deci mulțimea permisă, ca interval de numere reale, este: $$[120,+\infty ).$$ (Capătul $120$ este inclus, pentru că „cel puțin 120" cuprinde și exact $120$ cm.)

c) Copilul are $118$ cm. Verificăm: $118\ge 120$ este fals, deci $118\notin [120,+\infty )$. Nu poate folosi toboganul — îi lipsesc $2$ cm.

Să exersăm

1. Scrie sub formă de interval fiecare mulțime: a) $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 4\}$; b) $\{x\in \mathbb{R}\mid x<-1\}$; c) $\{x\in \mathbb{R}\mid x>6\}$; d) $\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 0\}$.

2. Scrie sub formă de inegalitate (cu $x$) intervalele: a) $[2,+\infty )$; b) $(-\infty ,9)$; c) $(-\infty ,-4]$; d) $(1,5,+\infty )$.

3. Citește cu voce tare (și scrie în cuvinte) intervalul $(-\infty ,-3)$.

4. Reprezintă pe axa numerelor intervalele: a) $[1,+\infty )$; b) $(-\infty ,2)$.

5. Precizează, pentru fiecare interval, dacă are cerculeț plin sau gol la capăt și în ce direcție merge săgeata: a) $(5,+\infty )$; b) $(-\infty ,-2]$.

6. Completează cu $\in$ sau $\notin$: a) $7\square [7,+\infty )$; b) $7\square (7,+\infty )$; c) $-8\square (-\infty ,-8]$; d) $0\square (-\infty ,0)$.

7. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt: a) $+\infty$ este cel mai mare număr real. b) $[6,+\infty ]$ este o scriere corectă a unui interval. c) $(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$. d) Intervalul $(3,+\infty )$ conține numărul $3$.

8. Scrie intervalul care conține toate numerele reale negative (strict mai mici decât $0$).

9. Scrie intervalul care conține toate numerele reale nenegative (mai mari sau egale cu $0$).

10. Găsește greșeala din fiecare scriere și corecteaz-o: a) $[4,+\infty ]$; b) $[5,-\infty )$; c) $(-\infty ,+\infty ]$.

11. Se dă mulțimea $B=(-\infty ,10)$. Dintre numerele $10$; $9,9$; $-100$; $\sqrt{100}$, care aparțin lui $B$?

12. Un abonament la o sală de sport se poate cumpăra doar de persoanele care au peste 16 ani (adică strict mai mult de 16). Notează cu $v$ vârsta. a) Scrie condiția ca inegalitate. b) Scrie mulțimea vârstelor sub formă de interval. c) O persoană de exact $16$ ani poate cumpăra abonamentul? Justifică.

13. Reprezintă pe aceeași axă intervalele $(-\infty ,-1]$ și $[3,+\infty )$. Există numere reale care nu aparțin niciunuia dintre ele? Dă un exemplu.

14. (item tip Evaluare Națională) Un lift are afișat: „sarcină maximă admisă $600$ kg". Notează cu $m$ (în kg) masa încărcăturii. a) Scrie sub formă de inegalitate condiția ca liftul să funcționeze în siguranță. b) Scrie mulțimea maselor admise sub formă de interval (masa fiind un număr real pozitiv sau nul). c) Este admisă o încărcătură de exact $600$ kg? Dar una de $600,5$ kg? Justifică.

15. Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale $x$ care verifică simultan $x\ge 2$ și... nimic altceva (adică singura condiție este $x\ge 2$). Apoi spune dacă mulțimea este finită sau infinită.

16. Fie $C=[-5,+\infty )$ și $D=(-5,+\infty )$. Care este singura diferență dintre cele două mulțimi? Dă numărul respectiv.

17. Completează tabelul (copiază-l pe caiet):

18. (raționament) Explică în cuvintele tale de ce nu putem scrie niciodată paranteză dreaptă lângă $+\infty$ sau lângă $-\infty$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $[4,+\infty )$ — capăt inclus, spre dreapta. b) $(-\infty ,-1)$ — capăt neinclus, spre stânga. c) $(6,+\infty )$ — strict, paranteză rotundă. d) $(-\infty ,0]$ — capăt inclus, spre stânga.

2. a) $x\ge 2$. b) $x<9$. c) $x\le -4$. d) $x>1,5$. (Paranteza dreaptă $\to$ semn cu egalitate; paranteza rotundă $\to$ semn strict.)

3. „Mulțimea numerelor reale strict mai mici decât $-3$" (sau: „$x$ este mai mic decât $-3$"). Capătul $-3$ nu este inclus.

4. a) $[1,+\infty )$: cerculeț plin în $1$, linie îngroșată spre dreapta, săgeată la dreapta. b) $(-\infty ,2)$: cerculeț gol în $2$, linie îngroșată spre stânga, săgeată la stânga.

două axe. Sus: cerc plin în 1 + săgeată dreapta „[1, +∞)". Jos: cerc gol în 2 + săgeată stânga „(−∞, 2)".

5. a) $(5,+\infty )$: cerculeț gol (paranteză rotundă), săgeata spre dreapta. b) $(-\infty ,-2]$: cerculeț plin (paranteză dreaptă), săgeata spre stânga.

6. a) $7\in [7,+\infty )$ (căci $7\ge 7$). b) $7\notin (7,+\infty )$ (căci $7>7$ este fals). c) $-8\in (-\infty ,-8]$ (căci $-8\le -8$). d) $0\notin (-\infty ,0)$ (căci $0<0$ este fals).

7. a) Fals — $+\infty$ nu este număr, deci nu poate fi „cel mai mare număr real"; un cel mai mare număr real nu există. b) Fals — lângă $+\infty$ se pune paranteză rotundă; corect: $[6,+\infty )$. c) Adevărat — intervalul nemărginit în ambele sensuri este $\mathbb{R}$. d) Fals — paranteza rotundă arată că $3$ nu este inclus; $3>3$ este fals.

8. $(-\infty ,0)$ — numerele reale strict negative.

9. $[0,+\infty )$ — „nenegative" înseamnă „mai mari sau egale cu $0$", deci $0$ este inclus.

10. a) Greșit $[4,+\infty ]$; corect $[4,+\infty )$ (paranteză rotundă la $+\infty$). b) Greșit $[5,-\infty )$: ordinea și parantezele sunt greșite; capătul $-\infty$ trebuie scris primul și cu paranteză rotundă — corect $(-\infty ,5]$. c) Greșit $(-\infty ,+\infty ]$; corect $(-\infty ,+\infty )$ (paranteză rotundă și la $+\infty$).

11. Aparțin lui $B=(-\infty ,10)$ numerele strict mai mici decât $10$: $9,9\in B$ și $-100\in B$. Nu aparțin: $10\notin B$ (căci $10<10$ e fals) și $\sqrt{100}=10\notin B$.

12. a) $v>16$. b) $(16,+\infty )$. c) Nu — condiția este „peste 16 ani" (strict), iar $16>16$ este fals, deci $16\notin (16,+\infty )$.

13. $(-\infty ,-1]$: cerc plin în $-1$, săgeată stânga. $[3,+\infty )$: cerc plin în $3$, săgeată dreapta. Da, există numere care nu aparțin niciunuia — de exemplu $0$ (căci $0>-1$ și $0<3$), sau $1$, sau $2$. Numerele dintre $-1$ și $3$ (fără capete) nu sunt în niciunul.

o singură axă; cerc plin în −1 cu săgeată spre stânga; cerc plin în 3 cu săgeată spre dreapta; zona dintre −1 și 3 rămâne nemarcată, cu observația „aici numerele nu aparțin niciunuia".

14. a) $m\le 600$. b) Condiția de siguranță „$m\le 600$", scrisă ca interval, corespunde intervalului nemărginit la stânga $(-\infty ,600]$. Deoarece o masă nu poate fi negativă ($m\ge 0$), mulțimea maselor admise în context fizic este intervalul mărginit $[0,600]$. (Reține contrastul: condiția singură dă un interval nemărginit, iar restricția fizică $m\ge 0$ îl transformă într-unul mărginit.) c) Exact $600$ kg este admisă (căci $600\le 600$ este adevărat, capătul este inclus); $600,5$ kg nu este admisă (căci $600,5\le 600$ este fals).

15. $[2,+\infty )$. Mulțimea este infinită — conține o infinitate de numere reale (între oricare două există alte numere).

16. Singura diferență este numărul $-5$: el aparține lui $C=[-5,+\infty )$, dar nu aparține lui $D=(-5,+\infty )$. În rest, cele două mulțimi au exact aceleași elemente.

17.

18. Pentru că paranteza dreaptă înseamnă „acest capăt este un număr inclus în mulțime". Dar $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere, ci doar direcții spre care intervalul se întinde la nesfârșit. Neexistând un „ultim" număr de inclus, folosim mereu paranteză rotundă.

De reținut

• Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale, ci indică o direcție fără sfârșit; lângă ele se pune întotdeauna paranteză rotundă.
• Intervale nemărginite la dreapta: $[a,+\infty )$ (adică $x\ge a$) și $(a,+\infty )$ (adică $x>a$).
• Intervale nemărginite la stânga: $(-\infty ,b]$ (adică $x\le b$) și $(-\infty ,b)$ (adică $x<b$).
• $\mathbb{R}=(-\infty ,+\infty )$ — mulțimea tuturor numerelor reale, nemărginită în ambele sensuri.
• Pe axă: cerculeț plin pentru capăt inclus ($\ge$, $\le$), cerculeț gol pentru capăt neinclus ($>$, $<$); săgeata spre dreapta pentru „mai mare", spre stânga pentru „mai mic".

Greșeli frecvente

• Pui paranteză dreaptă lângă infinit, de exemplu $[3,+\infty ]$. Greșit! Lângă $\pm \infty$ mereu paranteză rotundă: $[3,+\infty )$. Motivul: infinitul nu este un număr care să fie inclus.
• Confunzi cerculețul plin cu cel gol. Reține: semn cu egalitate ($\ge$, $\le$) $\to$ paranteză dreaptă $\to$ cerculeț plin; semn strict ($>$, $<$) $\to$ paranteză rotundă $\to$ cerculeț gol.
• Greșești ordinea la intervalele nemărginite la stânga, scriind $[b,-\infty )$. Corect este $(-\infty ,b]$: $-\infty$ se scrie primul, pentru că pe axă mergem de la mic la mare, deci de la stânga la dreapta.
• Tragi săgeata în direcția greșită. „Mai mare" ($x>a$, $x\ge a$) $\to$ dreapta; „mai mic" ($x<b$, $x\le b$) $\to$ stânga. Nu te lua doar după forma semnului: gândește „vreau numere mai mari sau mai mici?".

Aplică acasă

1. Vânătoarea de intervale nemărginite. Timp de o zi, notează pe caiet trei anunțuri sau reguli din viața reală care conțin „cel puțin", „cel mult", „peste", „sub", „minim", „maxim" (de exemplu la magazin, la un joc video, pe un panou rutier). Pentru fiecare, scrie condiția ca inegalitate și apoi ca interval nemărginit, precizând dacă capătul este inclus sau nu.

2. Axa de acasă. Desenează pe o coală o axă a numerelor de la $-5$ la $5$ și reprezintă pe ea, cu culori diferite, intervalele $[-2,+\infty )$, $(-\infty ,1)$ și $(3,+\infty )$. Verifică apoi pentru fiecare unde cade cerculețul plin sau gol și încotro merge săgeata.

3. Temperatura minimă. Găsește prognoza meteo pentru orașul tău. Dacă se anunță „minim $8°\text{C}$", scrie sub formă de interval mulțimea temperaturilor care sunt „cel puțin $8°\text{C}$" și explică-i unui părinte de ce capătul $8$ este inclus.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este a treia din unitatea „Intervale de numere reale" și construiește direct spre inecuațiile de gradul I, unde soluția se exprimă aproape întotdeauna ca interval nemărginit. Ideea-cheie pe care copilul trebuie să o interiorizeze este că $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere, ci doar direcții — de aici decurge regula parantezei rotunde, foarte des verificată la Evaluarea Națională.

Întrebări bune de verificare, pe care le puteți pune acasă:

• „Scrie $x\le 5$ ca interval." (Răspuns corect: $(-\infty ,5]$.)
• „De ce nu putem scrie $[2,+\infty ]$?" (Pentru că $+\infty$ nu este număr, deci nu poate fi inclus.)
• „Aparține $3$ intervalului $(3,+\infty )$?" (Nu, pentru că $3>3$ este fals.)
• „Cum reprezinți pe axă $x>-2$?" (Cerculeț gol în $-2$, săgeată spre dreapta.)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: trece corect și rapid de la inegalitate la interval și invers, alege corect cerculețul plin/gol, orientează bine săgeata și explică de ce infinitul cere paranteză rotundă. La Evaluarea Națională, aceste elemente apar frecvent ca itemi cu răspuns scurt (scrierea unei mulțimi ca interval) și ca parte din redactarea soluției unei inecuații, unde reprezentarea pe axă și scrierea intervalului aduc puncte de barem. Dacă elevul greșește, cel mai des este vorba de paranteza lângă infinit sau de direcția săgeții — merită exersate separat, cu multe exemple mici.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă un interval nemărginit la clasa a 8-a? Este o mulțime de numere reale care are un singur capăt (sau niciunul) și se întinde la nesfârșit într-o direcție. De exemplu, $[2,+\infty )$ conține toate numerele mai mari sau egale cu $2$, oricât de mari, fără o limită superioară.

Este $+\infty$ un număr? Nu. $+\infty$ (plus infinit) și $-\infty$ (minus infinit) nu sunt numere reale, ci simboluri care arată că intervalul crește sau scade fără sfârșit. Din acest motiv nu aparțin niciodată intervalului și lângă ele se pune mereu paranteză rotundă.

De ce se pune paranteză rotundă lângă infinit? Pentru că paranteza dreaptă înseamnă „acest capăt este un număr inclus în mulțime". Cum $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere, nu au ce să fie incluse, deci se folosește obligatoriu paranteză rotundă: $[a,+\infty )$, $(-\infty ,b]$.

Cum scriu $x\ge 3$ sub formă de interval? Scrii $[3,+\infty )$: paranteza dreaptă la $3$ arată că $3$ este inclus (pentru că semnul este $\ge$, cu egalitate), iar $+\infty$ arată că numerele cresc la nesfârșit spre dreapta.

Cum reprezint pe axă un interval nemărginit? Marchezi capătul cu cerculeț plin dacă e inclus ($\ge$, $\le$) sau gol dacă nu e inclus ($>$, $<$), îngroși axa în direcția intervalului și pui o săgeată: spre dreapta pentru „mai mare", spre stânga pentru „mai mic".

Care este diferența dintre $[a,+\infty )$ și $(a,+\infty )$? Singura diferență este numărul $a$ însuși: în $[a,+\infty )$ capătul $a$ aparține mulțimii (cerculeț plin), iar în $(a,+\infty )$ nu aparține (cerculeț gol). În rest, ambele conțin exact aceleași numere.

Cum se scrie mulțimea numerelor reale ca interval? Se scrie $\mathbb{R}=(-\infty ,+\infty )$, un interval nemărginit în ambele direcții, cu paranteză rotundă la ambele capete și fără niciun cerculeț pe axă, pentru că nu există niciun capăt de tăiat.

Câte numere are un interval nemărginit? O infinitate. Între oricare două numere reale se află o infinitate de alte numere reale, deci orice interval nemărginit (și, de fapt, orice interval cu lungime nenulă) este o mulțime infinită.