Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise

Imaginează-ți că bagajul de mână acceptat de o companie aeriană trebuie să cântărească între 5 kg și 8 kg, iar termostatul de acasă păstrează temperatura între 20 °C și 23 °C. În ambele cazuri nu vorbim despre un singur număr, ci despre toate valorile posibile dintre două limite. Matematica are un instrument exact pentru asta: intervalul de numere reale. În lecția aceasta înveți să scrii, să citești și să desenezi pe axă intervalele mărginite, deosebind clar situațiile în care limitele (capetele) fac parte din interval de cele în care nu fac. Este o noțiune care revine des la Evaluarea Națională, așa că merită înțeleasă temeinic.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești intervalele închise, deschise și semideschise după paranteze și după includerea capetelor.
• Vei ști să reprezinți corect pe axa numerelor un interval mărginit dat.
• Vei ști să scrii un interval sub formă de inegalitate și, invers, să treci de la o inegalitate la notația de interval.
• Vei ști să determini toate numerele întregi dintr-un interval mărginit.
• Vei ști să eviți confuziile tipice dintre paranteza rotundă și cea pătrată.

Hai să descoperim împreună

De la mulțime la interval

În lecția precedentă, Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor, ai văzut că o mulțime poate fi descrisă printr-o condiție pe care elementele o îndeplinesc. Un interval de numere reale este exact o astfel de mulțime, dar una foarte specială: este format din toate numerele reale cuprinse între două valori (sau, în lecția următoare, din toate numerele de la un capăt încolo).

Reține: un interval mărginit nu conține doar câteva numere, ci o infinitate de numere reale, pentru că între oricare două numere reale distincte se află încă o infinitate de alte numere reale.

De pildă, între $2$ și $3$ nu găsim doar $2$ și $3$, ci și $2,1$; $2,5$; $2,9999$; $\frac{7}{3}$; $\sqrt{5}\approx 2,24$ și așa mai departe. Nu le putem enumera pe toate, dar le putem descrie compact: „toate numerele reale mai mari decât 2 și mai mici decât 3”.

Un interval mărginit are două capete: un capăt din stânga (numărul mai mic, notat de obicei $a$) și un capăt din dreapta (numărul mai mare, notat de obicei $b$), cu condiția $a\le b$. Aceste capete sunt limitele intervalului. Întrebarea-cheie a întregii lecții este simplă:

Capetele fac parte sau nu fac parte din interval?

Răspunsul la această întrebare împarte intervalele mărginite în trei mari categorii.

Intervalul închis $[a,b]$

Un interval închis conține ambele capete. Îl scriem cu paranteze pătrate la ambele extremități:

$$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$$

Citim: „mulțimea tuturor numerelor reale $x$ pentru care $x$ este mai mare sau egal cu $a$ și mai mic sau egal cu $b$”. Semnele $\le$ (mai mic sau egal) și $\ge$ arată că avem voie și egalitatea, deci capetele $a$ și $b$ aparțin intervalului.

Exemplu concret. $[2,5]$ este mulțimea tuturor numerelor reale de la 2 la 5, inclusiv 2 și 5. Deci $2\in [2,5]$ și $5\in [2,5]$. La fel, $3\in [2,5]$, $4,9\in [2,5]$, dar $5,1\notin [2,5]$.

O analogie utilă: paranteza pătrată este ca o ușă închisă cu capătul înăuntru — capătul este „inclus în cameră”.

Intervalul deschis $(a,b)$

Un interval deschis nu conține niciun capăt. Îl scriem cu paranteze rotunde la ambele extremități:

$$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\}$$

Citim: „numerele reale $x$ strict mai mari decât $a$ și strict mai mici decât $b$”. Semnele $<$ și $>$ (fără linia de egal) arată că egalitatea nu este permisă, deci capetele $a$ și $b$ nu aparțin intervalului.

Exemplu concret. $(2,5)$ conține toate numerele dintre 2 și 5, fără 2 și fără 5. Deci $2\notin (2,5)$ și $5\notin (2,5)$, dar $2,0001\in (2,5)$ și $4,9999\in (2,5)$.

Paranteza rotundă este ca o ușă deschisă: capătul stă „în prag”, dar rămâne în afara intervalului.

Intervalele semideschise $[a,b)$ și $(a,b]$

De multe ori vrem să includem un singur capăt. Atunci intervalul este semideschis (numit uneori și semiînchis — este același lucru). Există două tipuri:

Intervalul $[a,b)$ — închis la stânga, deschis la dreapta. Conține capătul $a$, dar nu conține capătul $b$:

$$[a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a\le x<b\}$$

Intervalul $(a,b]$ — deschis la stânga, închis la dreapta. Nu conține $a$, dar conține $b$:

$$(a,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x\le b\}$$

Observă tiparul, care e ușor de ținut minte: paranteza pătrată $[]$ înseamnă „capătul este inclus”, iar paranteza rotundă $()$ înseamnă „capătul este exclus”. Fiecare capăt își are propria paranteză și fiecare paranteză se citește independent.

Exemplu din viața reală. Un bilet de tren cu reducere e valabil pentru copii de la 4 ani împliniți până la, dar fără, împlinirea vârstei de 12 ani. Vârsta $v$ (în ani) satisface $4\le v<12$, adică $v\in [4,12)$. Un copil de exact 4 ani are reducere ($4\in [4,12)$), dar unul care tocmai a împlinit 12 ani nu mai are ($12\notin [4,12)$).

Tabel de sinteză

Cum reprezentăm un interval pe axa numerelor

Reprezentarea pe axă transformă notația într-o imagine și te ajută enorm să „vezi” intervalul. Regulile sunt puține și clare:

1. Desenezi axa cu săgeată la dreapta și marchezi cele două capete $a$ și $b$ la locul lor (respectând ordinea: cel mai mic la stânga).
2. Îngroși segmentul dintre $a$ și $b$ — aceasta este partea „plină” a intervalului.
3. La fiecare capăt pui semnul potrivit:
   • capăt inclus → bulină plină (disc negru) sau paranteză pătrată $[]$ orientată spre interval;
   • capăt exclus → cerculeț gol (disc alb) sau paranteză rotundă $()$ orientată spre exterior.

Cu alte cuvinte, forma de la capăt îți spune totul: plin = inclus, gol = exclus.

Exemplu. Să reprezentăm $[-1,3)$. Marcăm $-1$ și $3$ pe axă, îngroșăm segmentul dintre ele, punem bulină plină în $-1$ (capăt inclus, paranteza pătrată) și cerculeț gol în $3$ (capăt exclus, paranteza rotundă).

De la interval la inegalitate și invers

Aceasta este o competență cerută explicit la examen: să traduci dintr-o formă în cealaltă.

Din interval în inegalitate. Citești fiecare capăt și îi atașezi semnul corect:

• paranteză pătrată la capăt → semn cu egal ($\le$ sau $\ge$);
• paranteză rotundă la capăt → semn strict ($<$ sau $>$).

Astfel, $(-3,7]$ devine $-3<x\le 7$. Iar $[0,10)$ devine $0\le x<10$.

Din inegalitate în interval. Faci drumul invers. De exemplu, condiția „$x$ este cel puțin $-2$ și cel mult $5$” înseamnă $-2\le x\le 5$, deci intervalul este $[-2,5]$. Condiția „$x$ este strict între $1$ și $6$” înseamnă $1<x<6$, deci $(1,6)$.

Atenție la expresiile din limbaj: „cel puțin $a$” înseamnă $x\ge a$ (paranteză pătrată la $a$), „cel mult $b$” înseamnă $x\le b$ (paranteză pătrată la $b$), pe când „strict mai mare”, „mai mult decât”, „sub”, „peste” dau semne stricte (paranteză rotundă).

Numerele întregi dintr-un interval

Un interval mărginit conține o infinitate de numere reale, dar numerele întregi din el sunt în număr finit și le putem enumera. Cum procedăm? Ne uităm la capete și decidem dacă intră sau nu în listă.

Exemplu. Câte numere întregi are $[-2,3)$? Condiția este $-2\le x<3$. Numerele întregi care o satisfac sunt: $$-2,-1,0,1,2.$$ Observă: $-2$ intră (capăt inclus), dar $3$ nu intră (capăt exclus). Deci mulțimea numerelor întregi din interval este $\{-2,-1,0,1,2\}$, adică 5 numere întregi.

Putem scrie compact: numerele întregi din interval formează mulțimea $[-2,3)\cap \mathbb{Z}=\{-2,-1,0,1,2\}$, unde $\mathbb{Z}$ este mulțimea numerelor întregi. Vom folosi mult această idee în lecția Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime.

Un caz special: când $a=b$

Ce se întâmplă dacă cele două capete sunt egale? Atunci:

• $[a,a]=\{a\}$ — intervalul închis „turtit” conține un singur număr, chiar pe $a$;
• $(a,a)=\varnothing$, $[a,a)=\varnothing$, $(a,a]=\varnothing$ — toate aceste trei intervale sunt mulțimea vidă, pentru că singurul număr cuprins între $a$ și $a$ ar fi chiar $a$, dar el nu satisface inegalitatea strictă de la capătul cu paranteză rotundă.

Nu e un caz frecvent la clasă, dar e bine să știi de ce paranteza contează chiar și când capetele coincid.

De ce contează distincția închis/deschis?

Poate pare o subtilitate, dar în examen și în probleme reale, un semn de egal pus sau lipsă schimbă complet răspunsul. Când, în lecțiile viitoare, vei calcula intersecția intervalelor sau vei reprezenta mulțimea soluțiilor unei inecuații, faptul că un capăt este inclus sau exclus va decide dacă un anumit număr este sau nu soluție. Deci obiceiul de a citi cu atenție fiecare paranteză, format acum, te va scuti de greșeli mai târziu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea tipului și citirea capetelor. Pentru fiecare interval, spune ce tip este și care capete aparțin: $[3,8]$, $(-1,4)$, $[0,5)$, $(-6,-2]$.

Rezolvare.

• $[3,8]$: paranteze pătrate la ambele capete → interval închis; aparțin ambele capete, $3\in [3,8]$ și $8\in [3,8]$.
• $(-1,4)$: paranteze rotunde la ambele → interval deschis; nu aparține niciun capăt.
• $[0,5)$: pătrată la stânga, rotundă la dreapta → semideschis (închis la stânga); $0$ aparține, $5$ nu.
• $(-6,-2]$: rotundă la stânga, pătrată la dreapta → semideschis (închis la dreapta); $-6$ nu aparține, $-2$ aparține.

Exemplul 2 — Din interval în inegalitate. Scrie sub formă de inegalitate: $[-4,2)$, $(0,9]$, $(-3,3)$.

Rezolvare. Traducem fiecare capăt cu semnul potrivit parantezei:

• $[-4,2)\Rightarrow -4\le x<2$;
• $(0,9]\Rightarrow 0<x\le 9$;
• $(-3,3)\Rightarrow -3<x<3$.

Exemplul 3 — Din inegalitate în interval. Scrie ca interval mulțimile: $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -5<x\le 1\}$, $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 2\le x\le 7\}$, $C=\{x\in \mathbb{R}\mid -\frac{1}{2}<x<4\}$.

Rezolvare. Ne uităm la fiecare semn:

• $-5<x$ (strict) și $x\le 1$ (cu egal) → $A=(-5,1]$;
• ambele cu egal → $B=[2,7]$;
• ambele stricte → $C=\left(-\frac{1}{2},4\right)$.

Exemplul 4 — Reprezentare pe axă și traducere din limbaj. Un lift are afișat: „sarcină admisă între 0 și 630 kg, inclusiv 630 kg”. Scrie intervalul greutăților admise $g$ (presupunând $g\ge 0$) și reprezintă-l pe axă.

Rezolvare. Greutatea este cel puțin $0$ și cel mult $630$, deci $0\le g\le 630$. Ambele capete sunt admise, așa că intervalul este închis: $g\in [0,630]$.

Exemplul 5 — Numerele întregi dintr-un interval. Determină numerele întregi din intervalul $(-3,4]$ și precizează câte sunt.

Rezolvare. Condiția este $-3<x\le 4$. Capătul $-3$ este exclus (paranteză rotundă), deci nu îl luăm; primul întreg admis este $-2$. Capătul $4$ este inclus (paranteză pătrată), deci îl luăm. Numerele întregi sunt: $$-2,-1,0,1,2,3,4.$$ Sunt 7 numere întregi, adică $(-3,4]\cap \mathbb{Z}=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$.

Exemplul 6 — Apartenență cu justificare (item tip Evaluare Națională). Se dă intervalul $I=[-2,5)$. Stabilește, cu justificare, dacă următoarele numere aparțin lui $I$: $-2$, $5$, $\sqrt{2}$, $\frac{9}{2}$.

Rezolvare. Reamintim: $x\in I$ dacă și numai dacă $-2\le x<5$.

• $-2$: avem $-2\le -2$ (adevărat, cu egal) și $-2<5$ (adevărat), deci $-2\in I$. Da.
• $5$: trebuie $5<5$, ceea ce e fals; capătul din dreapta e exclus, deci $5\notin I$. Nu.
• $\sqrt{2}\approx 1,41$: avem $-2\le 1,41<5$ (adevărat), deci $\sqrt{2}\in I$. Da.
• $\frac{9}{2}=4,5$: avem $-2\le 4,5<5$ (adevărat), deci $\frac{9}{2}\in I$. Da.

Să exersăm

1. Precizează tipul fiecărui interval (închis, deschis sau semideschis) și care capete îi aparțin: a) $[1,6]$; b) $(2,9)$; c) $[-3,0)$; d) $(4,11]$.

2. Scrie sub formă de inegalitate cu $x$: a) $[-2,7]$; b) $(0,5)$; c) $[3,10)$; d) $(-8,-1]$.

3. Scrie ca interval fiecare mulțime: a) $\{x\in \mathbb{R}\mid 1\le x\le 4\}$; b) $\{x\in \mathbb{R}\mid -6<x<0\}$; c) $\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x<8\}$; d) $\{x\in \mathbb{R}\mid 2<x\le 5\}$.

4. Reprezintă pe axa numerelor intervalele: a) $[0,4]$; b) $(-2,3)$; c) $[1,5)$; d) $(-4,-1]$. (Folosește bulină plină pentru capăt inclus și cerculeț gol pentru capăt exclus.)

5. Scrie ca interval mulțimea reprezentată pe axă:

axă numerică de la −3 la 6. Cerculeț gol în −1, bulină plină în 5, segment îngroșat între −1 și 5.

6. Determină numerele întregi din fiecare interval: a) $[-1,4]$; b) $(-3,2)$; c) $[0,5)$; d) $(-5,-1]$.

7. Câte numere întregi conține intervalul $(-2,5,3,5)$? Enumeră-le.

8. (Adevărat/Fals cu justificare.) Decide dacă afirmațiile sunt adevărate sau false și justifică: a) $5\in (1,5]$; b) $0\in (0,4)$; c) $-3\in [-3,2)$; d) $7\in [2,7)$.

9. Traduce în interval, apoi în inegalitate, fiecare situație: a) „$x$ este cel puțin $-2$ și cel mult $6$”; b) „$x$ este strict mai mare decât $0$ și cel mult $9$”; c) „temperatura $t$ este mai mare decât $18$ și mai mică decât $24$”.

10. Fie $A=[-4,3]$. Precizează dacă aparțin lui $A$ numerele: $-4$; $3$; $-\frac{7}{2}$; $\sqrt{9}$; $2,999$.

11. (Aplicație — sport.) La un concurs, se califică sportivii al căror timp $t$ (în secunde) satisface $12\le t<13$. Scrie mulțimea timpilor de calificare ca interval și precizează dacă un timp de exact $13$ s califică. Justifică.

12. (Raționament.) Găsește un număr real care aparține intervalului $(2,3)$ și un număr real care nu aparține lui, deși este foarte aproape de capătul $3$. Explică alegerea.

13. Se dau intervalele $[-2,4)$ și $(-2,4]$. Numește un număr care aparține unuia dintre ele, dar nu aparține celuilalt. Câte astfel de numere există în total (numere reale la care cele două intervale diferă)?

14. (Item tip Evaluare Națională.) Se consideră mulțimea $M=(-3,5]\cap \mathbb{Z}$. a) Scrie elementele mulțimii $M$. b) Calculează suma elementelor lui $M$.

15. Un magazin online oferă transport gratuit pentru comenzi de la $150$ lei (inclusiv) până la $500$ lei (inclusiv). Scrie ca interval valorile $v$ ale comenzii care beneficiază de transport gratuit și precizează tipul intervalului.

16. (Provocare.) Se știe că numărul $-1$ aparține intervalului $(a,2]$, unde $a$ este un număr întreg. Care sunt valorile întregi posibile ale lui $a$? Justifică folosind condiția de apartenență.

17. (Justificare.) Explică în cuvinte de ce intervalul $(3,3)$ nu conține niciun număr, dar intervalul $[3,3]$ conține exact un număr. Ce număr?

18. (Sinteză.) Completează tabelul, trecând fiecare interval prin cele trei forme (notație, inegalitate, tip):

Răspunsuri și explicații

1. a) închis; aparțin $1$ și $6$. b) deschis; nu aparține niciun capăt. c) semideschis (închis la stânga); aparține $-3$, nu aparține $0$. d) semideschis (închis la dreapta); nu aparține $4$, aparține $11$.

2. a) $-2\le x\le 7$; b) $0<x<5$; c) $3\le x<10$; d) $-8<x\le -1$. (Pătrată → semn cu egal; rotundă → semn strict.)

3. a) $[1,4]$; b) $(-6,0)$; c) $[-1,8)$; d) $(2,5]$.

4. a) bulină plină în $0$ și în $4$; b) cerculeț gol în $-2$ și în $3$; c) bulină plină în $1$, cerculeț gol în $5$; d) cerculeț gol în $-4$, bulină plină în $-1$. În toate cazurile, segmentul dintre capete este îngroșat.

patru axe numerice cu reprezentările cerute: [0,4] plin-plin, (−2,3) gol-gol, [1,5) plin-gol, (−4,−1] gol-plin.

5. $(-1,5]$. Capătul $-1$ are cerculeț gol (exclus), capătul $5$ are bulină plină (inclus).

6. a) $\{-1,0,1,2,3,4\}$; b) $\{-2,-1,0,1\}$ (căci $-3$ și $2$ sunt excluse); c) $\{0,1,2,3,4\}$ ($5$ exclus); d) $\{-4,-3,-2,-1\}$ ($-5$ exclus, $-1$ inclus).

7. Condiția $-2,5<x<3,5$ este satisfăcută de numerele întregi $-2,-1,0,1,2,3$, adică 6 numere întregi.

8. a) Adevărat: $5\le 5$ e permis (capăt inclus, paranteză pătrată). b) Fals: $0$ nu satisface $0<0$ (capăt exclus). c) Adevărat: $-3\le -3$ e permis (paranteză pătrată la stânga). d) Fals: $7<7$ e fals (capăt drept exclus).

9. a) $[-2,6]$, adică $-2\le x\le 6$. b) $(0,9]$, adică $0<x\le 9$. c) $(18,24)$, adică $18<t<24$.

10. $-4\in A$ (capăt inclus); $3\in A$ (capăt inclus); $-\frac{7}{2}=-3,5\in A$ (căci $-4\le -3,5\le 3$); $\sqrt{9}=3\in A$ (capăt inclus); $2,999\in A$. Toate cele cinci numere aparțin lui $A$.

11. Intervalul este $[12,13)$. Un timp de exact $13$ s nu califică, pentru că $13$ este capăt exclus ($13<13$ este fals). Se califică timpii de la $12$ s (inclusiv) până sub $13$ s.

12. Exemplu: $2,5\in (2,3)$ (este între $2$ și $3$). Un număr apropiat de $3$ care nu aparține: $3$ însuși nu aparține, fiind capăt exclus; de asemenea $3,0001\notin (2,3)$. (Se acceptă orice număr din $(2,3)$ și orice număr $\ge 3$ apropiat de $3$.)

13. Cele două intervale diferă exact la capete: $-2\in (-2,4]$? Nu, este exclus acolo, dar $-2\in [-2,4)$? Da. Iar $4\in [-2,4)$? Nu, dar $4\in (-2,4]$? Da. Deci un exemplu: $-2$ aparține lui $[-2,4)$, dar nu lui $(-2,4]$. În total, numerele la care cele două intervale diferă sunt două: $-2$ și $4$. (În rest, pe $(-2,4)$, ambele coincid.)

14. a) $M=(-3,5]\cap \mathbb{Z}$: condiția $-3<x\le 5$ dă $M=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$. b) Suma: $(-2)+(-1)+0+1+2=0$, apoi $3+4+5=12$, deci suma totală este $12$.

15. $v\in [150,500]$; interval închis (ambele capete incluse, „inclusiv”).

16. Trebuie ca $-1\in (a,2]$, adică $a<-1\le 2$. A doua condiție ($-1\le 2$) e mereu adevărată. Rămâne $a<-1$. Cum $a$ este întreg, valorile posibile sunt $a\in \{\dots ,-4,-3,-2\}$, adică orice număr întreg mai mic sau egal cu $-2$ (toți întregii $a\le -2$). Notă: $a=-1$ nu convine, deoarece $-1<-1$ este fals.

17. $(3,3)$ cere $3<x<3$, imposibil, deci nu conține niciun număr (este mulțimea vidă). $[3,3]$ cere $3\le x\le 3$, ceea ce înseamnă $x=3$, deci conține un singur număr: numărul $3$.

18.

De reținut

• Paranteza pătrată $[]$ = capăt inclus (semn $\le$ sau $\ge$, bulină plină pe axă). Paranteza rotundă $()$ = capăt exclus (semn $<$ sau $>$, cerculeț gol pe axă).
• Cele patru tipuri de interval mărginit: $[a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}$; $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$; $[a,b)=\{x\mid a\le x<b\}$; $(a,b]=\{x\mid a<x\le b\}$.
• Un interval mărginit conține o infinitate de numere reale, dar doar un număr finit de numere întregi, pe care le poți enumera privind capetele.
• Traducerea interval ↔ inegalitate se face capăt cu capăt: fiecare paranteză își dictează propriul semn.
• Caz limită: $[a,a]=\{a\}$, iar $(a,a)$, $[a,a)$, $(a,a]$ sunt toate mulțimea vidă.

Greșeli frecvente

• Confuzia parantezelor. Mulți elevi scriu paranteză rotundă când capătul e de fapt inclus. Trucul: pătrat = „prins înăuntru”, rotund = „scapă afară”. Verifică mereu dacă cerința spune „inclusiv”, „cel puțin”, „cel mult” (→ pătrată) sau „strict”, „sub”, „peste” (→ rotundă).
• Uitarea capătului la numărarea întregilor. Când capătul e inclus, întregul de la capăt intră în listă; când e exclus, nu. La $[0,5)$ mulți includ greșit pe $5$ — dar $5$ este exclus.
• Bulina greșită pe axă. Bulină plină = inclus, cerculeț gol = exclus. Nu le inversa. Desenează întâi segmentul, apoi decide forma fiecărui capăt separat.
• Ordinea capetelor. Scrie mereu capătul mai mic în stânga: $[-3,1]$, nu $[1,-3]$. Notația cu $a$ în stânga presupune $a\le b$.

Aplică acasă

1. Etichete și ambalaje. Caută în casă trei produse (medicamente, alimente, aparate) care indică un interval: temperatură de păstrare, vârstă recomandată, greutate admisă. Scrie fiecare interval în notație matematică și decide dacă e închis, deschis sau semideschis, judecând după cuvintele „inclusiv”, „între”, „până la”. De exemplu, „a se păstra între 2 °C și 8 °C” → $[2,8]$.

2. Intervalul tău de confort. Notează intervalul de temperatură la care ți-e cel mai confortabil în cameră (de ex. de la $21$ °C la $24$ °C, inclusiv). Scrie-l ca interval și ca inegalitate, apoi reprezintă-l pe o axă desenată pe caiet.

3. Reduceri și praguri. Alege un magazin online și găsește o regulă de tip „transport gratuit de la … lei” sau „reducere pentru comenzi între … și … lei”. Transcrie regula ca interval, precizează dacă pragul este inclus și enumeră trei valori de comandă care se încadrează și una care nu.

Pentru părinți și profesori

Această lecție construiește pe noțiunea de mulțime din lecția anterioară și pregătează terenul pentru intersecția și reuniunea intervalelor și, mai departe, pentru rezolvarea inecuațiilor de gradul I — subiecte prezente constant la Evaluarea Națională, atât în itemi de tip „scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval”, cât și în cerințe de reprezentare pe axă.

Cum sprijiniți elevul: puneți accent pe cuvântul-cheie din enunț. Întrebați „inclusiv sau nu?” la fiecare capăt, pentru că aici se pierd cele mai multe puncte. Câteva întrebări de verificare care arată că a înțeles cu adevărat:

• „Aparține capătul intervalului? De ce da / de ce nu?” (verifică înțelegerea parantezelor);
• „Câte numere întregi are intervalul $[-2,3)$ și de ce nu îl includem pe $3$?” (verifică grija la capete);
• „Cum desenezi $(1,5]$ pe axă?” (verifică bulina plină vs. cerculeț gol);
• „Transformă $-4<x\le 2$ în notație de interval.” (verifică traducerea inegalitate → interval).

Un semn clar că elevul stăpânește noțiunea este că poate explica, nu doar reproduce: de ce paranteza rotundă exclude capătul și cum se schimbă răspunsul dacă un $<$ devine $\le$. La examen, redactarea îngrijită (parantezele scrise corect, bulinele desenate clar) aduce punctajul integral, chiar și acolo unde ideea este simplă.

Întrebări frecvente

Ce este un interval mărginit de numere reale? Este mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două valori numite capete, $a$ și $b$, cu $a\le b$. „Mărginit” înseamnă că are ambele capete finite, spre deosebire de intervalele nemărginite, care se întind la infinit într-o direcție (subiectul lecției următoare).

Care e diferența dintre paranteza pătrată și cea rotundă la intervale? Paranteza pătrată $[]$ arată că acel capăt aparține intervalului (semn $\le$ sau $\ge$), iar paranteza rotundă $()$ arată că acel capăt nu aparține (semn strict $<$ sau $>$). Fiecare capăt își are propria paranteză, independentă de celălalt.

Ce înseamnă interval semideschis? Este un interval care include un singur capăt și îl exclude pe celălalt: fie $[a,b)$ (include $a$, exclude $b$), fie $(a,b]$ (exclude $a$, include $b$). Se mai numește și semiînchis — este exact același lucru.

Cum reprezint un interval pe axa numerelor? Marchezi cele două capete, îngroși segmentul dintre ele, apoi pui la fiecare capăt bulină plină dacă e inclus sau cerculeț gol dacă e exclus. Forma bulinei transmite instantaneu dacă acel capăt face parte din interval.

Câte numere are un interval mărginit? Are o infinitate de numere reale, oricât de „scurt” ar părea, pentru că între oricare două numere reale există mereu altele. În schimb, numerele întregi dintr-un interval mărginit sunt în număr finit și pot fi enumerate.

Capetele intervalului fac parte din el? Depinde de paranteze: la $[a,b]$ ambele capete fac parte; la $(a,b)$ niciunul; la intervalele semideschise, doar cel cu paranteză pătrată. Verifică mereu paranteza fiecărui capăt separat.

Cum trec de la o inegalitate la un interval? Citești semnele: dacă $x$ satisface $a\le x<b$, scrii $[a,b)$; dacă $a<x<b$, scrii $(a,b)$; și așa mai departe. Semnul cu egal ($\le$, $\ge$) devine paranteză pătrată, iar semnul strict ($<$, $>$) devine paranteză rotundă.

Poate un interval să fie gol sau să aibă un singur element? Da. Dacă $a=b$, atunci $[a,a]=\{a\}$ conține un singur număr, iar $(a,a)$, $[a,a)$ și $(a,a]$ sunt toate mulțimea vidă $\varnothing$, deoarece singurul candidat posibil, chiar $a$, nu satisface inegalitatea strictă de la capătul cu paranteză rotundă.