Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor

Imaginează-ți că vrei să descrii toate aplicațiile de pe telefonul tău care ocupă mai mult de 500 MB. Nu ai chef să le enumeri una câte una, mai ales dacă sunt zeci. Ți-ar fi mult mai simplu să spui: „toate aplicațiile care au dimensiunea peste 500 MB". Exact asta face matematica atunci când descrie o mulțime printr-o proprietate: în loc să scriem, pe rând, fiecare element, precizăm o regulă (o condiție) pe care toate elementele o respectă. Este primul pas dintr-un capitol foarte important pentru Evaluarea Națională — capitolul intervalelor de numere reale — unde vom folosi tot timpul acest limbaj. Hai să-l stăpânim de la bază.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii o mulțime în două moduri: prin enumerarea elementelor și prin proprietatea caracteristică a lor.
• Vei ști să determini elementele unei mulțimi date printr-o condiție și să verifici apartenența unui număr la ea.
• Vei ști să folosești corect notațiile $\in$, $\notin$, $\{\}$, $\varnothing$ și limbajul mulțimilor, așa cum se cere la examen.
• Vei ști să recunoști dacă o mulțime este finită, infinită sau vidă, direct din proprietatea care o definește.
• Vei ști să traduci fără greșeală o condiție din limbaj matematic (de exemplu $-3\le x\le 5$) în lista concretă a elementelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ne reamintim: mulțime, element, apartenență

Ai lucrat cu mulțimi încă din clasa a V-a, așa că nu pornim de la zero. Reîmprospătăm doar noțiunile cheie, pentru că pe ele construim tot capitolul.

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate, distincte, privite ca un tot unitar. Aceste obiecte se numesc elementele mulțimii. „Bine determinate" înseamnă că, pentru orice obiect, putem spune fără dubiu dacă face sau nu parte din mulțime. „Distincte" înseamnă că un element se scrie o singură dată.

Mulțimile se notează, de obicei, cu litere mari: $A$, $B$, $C$, $M$... Elementele se scriu între acolade $\{\}$.

De exemplu, mulțimea zilelor de weekend este: $$Z=\{\text{saˆmba˘ta˘},\text{duminica˘}\}.$$

Legătura dintre un obiect și o mulțime se descrie cu două simboluri:

• $\in$ se citește „aparține". Scriem $\text{saˆmba˘ta˘}\in Z$: sâmbăta aparține mulțimii zilelor de weekend.
• $\notin$ se citește „nu aparține". Scriem $\text{luni}\notin Z$: luni nu aparține mulțimii zilelor de weekend.

Îți mai amintești și mulțimile de numere pe care le vom folosi mereu:

• $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ — numerele naturale;
• $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$ — numerele întregi;
• $\mathbb{Q}$ — numerele raționale (care se pot scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$);
• $\mathbb{R}$ — numerele reale (toate numerele de pe axă, inclusiv iraționale precum $\sqrt{2}$ sau $\pi$).

Un detaliu de reținut: într-o mulțime nu contează ordinea elementelor și nu se repetă elementele. Așadar $\{1,2,3\}$, $\{3,1,2\}$ și $\{1,1,2,3\}$ reprezintă aceeași mulțime. O scriem îngrijit, o singură dată fiecare element: $\{1,2,3\}$.

2. Două moduri de a descrie o mulțime

Aici e miezul lecției. O mulțime poate fi prezentată în două feluri.

a) Prin enumerarea (listarea) elementelor. Scriem, între acolade, toate elementele, separate prin virgulă. Este metoda directă, potrivită când elementele sunt puține.

$$A=\{2,4,6,8,10\}.$$

b) Prin proprietatea caracteristică a elementelor. Precizăm o condiție (o proprietate) $P$ pe care o îndeplinesc exact elementele mulțimii — toate elementele o respectă, iar orice obiect care nu e în mulțime nu o respectă. Structura de scriere este:

$$A=\{x\mid x\text{ are proprietatea }P\}.$$

Bara verticală $\mid$ se citește „astfel încât" (uneori se folosesc și două puncte, $\{x:\dots \}$). Deci citim: „mulțimea acelor $x$ astfel încât $x$ are proprietatea $P$".

Aceeași mulțime $A$ de mai sus se poate scrie și prin proprietate: $$A=\{x\mid x\text{ este numa˘r natural par, }2\le x\le 10\}.$$

Ambele scrieri descriu aceeași mulțime $\{2,4,6,8,10\}$. Prima ți-o arată „la vedere", a doua îți dă „rețeta" după care obții elementele.

3. Cum citim corect scrierea cu proprietate caracteristică

De cele mai multe ori, la clasa a VIII-a, proprietatea are două părți și de aceea scrierea are forma:

$$A=\{x\in M\mid x\text{ ıˆndeplinește condiția }C\}.$$

• Partea $x\in M$ îți spune din ce mulțime îl alegem pe $x$ (de exemplu $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{R}$). O numim mulțimea de referință sau „universul" în care căutăm.
• Partea de după bară, condiția $C$, este filtrul: doar valorile care trec de acest filtru intră în mulțime.

Gândește-te la o plasă de pescuit: mulțimea de referință $M$ este apa în care pescuim, iar condiția $C$ este ochiul plasei care lasă să treacă doar peștii potriviți. Schimbi apa (schimbi $M$) sau schimbi plasa (schimbi $C$) — obții altă mulțime.

Exemplu foarte des la examen: $$B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x\le 5\}.$$ Citim: „mulțimea numerelor întregi $x$ astfel încât $x$ este cuprins între $-3$ și $5$ (inclusiv capetele)".

4. De la proprietate la lista elementelor — pas cu pas

Să determinăm elementele mulțimii $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x\le 5\}$.

Pasul 1. Citesc universul: $x$ trebuie să fie întreg ($x\in \mathbb{Z}$). Deci mă gândesc doar la numere fără parte zecimală: $\dots ,-1,0,1,\dots$

Pasul 2. Citesc condiția: $-3\le x\le 5$. Îmi trebuie întregi mai mari sau egali cu $-3$ și mai mici sau egali cu $5$.

Pasul 3. Le înșir în ordine, pornind de la capătul din stânga: $$-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.$$

Pasul 4. Scriu mulțimea prin enumerare: $$B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}.$$

Atenție la un lucru important pentru mai târziu: aici am cerut întregi. Dacă am fi cerut toate numerele reale cu $-3\le x\le 5$, mulțimea ar fi avut o infinitate de elemente (toate numerele de pe segment, inclusiv $-2,7$, $\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$ etc.) și nu am mai fi putut să le enumerăm. Aceasta este chiar ideea de interval de numere reale, pe care o vom studia în lecția următoare, Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise.

Contează foarte mult tipul de inegalitate. Compară:

• $-3\le x\le 5$: capetele $-3$ și $5$ intră (inegalitate „cu egal", $\le$).
• $-3<x<5$ cu $x\in \mathbb{Z}$: capetele nu intră, deci $B^{\prime }=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$.
• $-3\le x<5$ cu $x\in \mathbb{Z}$: intră $-3$, nu intră $5$, deci $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$.

Un semn $<$ sau $\le$ scris greșit schimbă complet rezultatul, așa că citește condiția cu atenție.

5. Verificarea apartenenței unui număr

Când mulțimea e dată prin proprietate, ca să verifici dacă un număr $a$ aparține mulțimii, înlocuiești $x$ cu $a$ și verifici dacă:

1. $a$ face parte din universul $M$;
2. $a$ respectă condiția $C$.

Numărul aparține mulțimii doar dacă ambele sunt îndeplinite.

Fie $C=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }12\}$.

• $3\in C$? Da: $3$ e natural și $3\mid 12$ (adică $12:3=4$). Scriem $3\in C$.
• $5\in C$? $5$ e natural, dar $5\nmid 12$ (nu împarte exact pe $12$). Deci $5\notin C$.
• $-2\in C$? Chiar dacă $-2$ „împarte" pe $12$, universul cere $x\in \mathbb{N}$, iar $-2$ nu e natural. Deci $-2\notin C$.

Elementele lui $C$ sunt divizorii naturali ai lui $12$: $C=\{1,2,3,4,6,12\}$.

6. Mulțimi finite, infinite și mulțimea vidă

După câte elemente are, o mulțime poate fi:

Finită — are un număr precis (limitat) de elemente, pe care le putem, teoretic, număra până la capăt. Numărul lor se numește cardinalul mulțimii și se notează $|A|$ sau $\text{card}A$. De exemplu, pentru $B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ avem $|B|=9$.

Un truc util: pentru o mulțime de întregi consecutivi de la $m$ la $n$ (cu $m\le n$), numărul de elemente este $$n-m+1.$$ Verifică pe $B$: $5-(-3)+1=5+3+1=9$. Corect. Nu uita „$+1$", altfel numeri greșit (este eroarea clasică a „gardului și a stâlpilor").

Infinită — are o infinitate de elemente, nu le putem enumera complet. De exemplu: $$D=\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 10\}=\{10,11,12,13,\dots \}.$$ Cele trei puncte „$\dots$" arată că lista continuă la nesfârșit. Tocmai de aceea mulțimile infinite se descriu aproape întotdeauna prin proprietate, nu prin enumerare completă.

Mulțimea vidă — nu are niciun element. Se notează cu $\varnothing$ (sau $\{\}$). Apare atunci când condiția este imposibilă, adică niciun element din univers nu o poate respecta.

$$E=\{x\in \mathbb{N}\mid 4<x<5\}=\varnothing ,$$ pentru că între $4$ și $5$ nu există niciun număr natural. (Atenție: numere reale între $4$ și $5$ sunt o infinitate; dar naturale — niciunul.)

Alt exemplu: $$F=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=-1\}=\varnothing ,$$ pentru că pătratul oricărui număr real este $\ge 0$, deci nu poate fi $-1$.

⚠️ O confuzie de evitat: $\varnothing$ nu este același lucru cu $\{0\}$ sau cu $\{\varnothing \}$. Mulțimea $\{0\}$ are un element (numărul $0$), deci nu e vidă. Simbolul corect al mulțimii vide este doar $\varnothing$; nu îl pune între acolade.

7. Cum treci de la enumerare la proprietate (drumul invers)

Uneori ți se dă lista și ți se cere să găsești o proprietate. Nu există o singură scriere corectă — contează să descrii exact aceleași elemente. Caută regula comună.

Fie $G=\{5,10,15,20,25\}$. Ce au în comun? Toate sunt multipli de $5$, naturali, de la $5$ la $25$. Putem scrie: $$G=\{x\in \mathbb{N}\mid x=5k,k\in \{1,2,3,4,5\}\}$$ sau, mai simplu, $$G=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ multiplu de }5,5\le x\le 25\}.$$

Testul de corectitudine: „scot" din proprietate lista — dacă obțin fix $\{5,10,15,20,25\}$, scrierea e bună.

Cu aceste unelte — cele două moduri de scriere, notațiile $\in ,\notin ,\{\},\varnothing$ și verificarea apartenenței — ești pregătit pentru intervalele de numere reale, unde vom „traduce" condiții de forma $a\le x\le b$ direct pe axă și le vom scrie compact. Legătura directă o vezi în lecția Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la proprietate la enumerare

Enunț. Scrie prin enumerare mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -4\le x<3\}$ și precizează $|A|$.

Rezolvare. Universul: întregi. Condiția: mai mari sau egali cu $-4$ și strict mai mici decât $3$ (deci $3$ nu intră, dar $-4$ intră).

Înșir întregii: $-4,-3,-2,-1,0,1,2$. Așadar $$A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}.$$ Numărul de elemente: ultimul întreg inclus este $2$, primul este $-4$, deci $|A|=2-(-4)+1=7$. Verific prin numărare directă: sunt exact $7$ valori.

Exemplul 2 — Verificarea apartenenței

Enunț. Fie $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }18\}$. Stabilește dacă sunt adevărate: a) $6\in B$; b) $4\in B$; c) $18\in B$; d) $0\in B$.

Rezolvare. Divizorii naturali ai lui $18$ sunt numerele naturale care împart exact pe $18$: $1,2,3,6,9,18$. Deci $B=\{1,2,3,6,9,18\}$.

a) $18:6=3$, exact, deci $6\in B$. Adevărat. b) $18:4=4,5$, nu e exact, deci $4\notin B$. Fals. c) $18:18=1$, exact, deci $18\in B$. Adevărat. d) $0$ nu este divizor al niciunui număr (nu putem împărți la $0$), deci $0\notin B$. Fals.

Exemplul 3 — Recunoașterea mulțimii vide

Enunț. Determină elementele mulțimilor și precizează care este vidă: $$M=\{x\in \mathbb{N}\mid 7<x<8\},N=\{x\in \mathbb{Z}\mid -1\le x\le 1\}.$$

Rezolvare. Pentru $M$: căutăm numere naturale strict între $7$ și $8$. Nu există niciun astfel de număr natural (între doi naturali consecutivi nu se află alt natural). Deci $M=\varnothing$.

Pentru $N$: întregi de la $-1$ la $1$, inclusiv capetele: $N=\{-1,0,1\}$, deci $|N|=3$. Mulțimea vidă este doar $M$.

Exemplul 4 — De la enumerare la proprietate

Enunț. Scrie printr-o proprietate caracteristică mulțimea $P=\{1,4,9,16,25\}$.

Rezolvare. Observ regula: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, $25=5^2$. Toate sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale de la $1$ la $5$. Pot scrie: $$P=\{x\in \mathbb{N}\mid x=k^2,k\in \mathbb{N},1\le k\le 5\}.$$ Verificare: pentru $k=1,2,3,4,5$ obțin $1,4,9,16,25$ — exact mulțimea dată. Corect.

Exemplul 5 — Condiție cu inecuație simplă (pregătire pentru capitol)

Enunț. Determină mulțimea $S=\{x\in \mathbb{Z}\mid 2x-1\le 7\}$, apoi enumeră elementele cu $x\ge -2$.

Rezolvare. Rezolv condiția ca la o inegalitate: din $2x-1\le 7$ adun $1$ în ambii membri: $2x\le 8$, apoi împart la $2$ (număr pozitiv, sensul se păstrează): $x\le 4$.

Deci $S=\{x\in \mathbb{Z}\mid x\le 4\}=\{\dots ,2,3,4\}$ — o mulțime infinită (coboară la nesfârșit spre numere negative).

Cu restricția suplimentară $x\ge -2$: enumerăm întregii de la $-2$ la $4$: $$\{-2,-1,0,1,2,3,4\}.$$ Acest tip de raționament (traducerea unei inecuații într-o mulțime de soluții) îl vei aprofunda în lecția Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval.

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională

Enunț. Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 6\}$ și $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2<x\le 3\}$. a) Scrie prin enumerare mulțimile $A$ și $B$. b) Câte elemente are fiecare? c) Câte elemente au în comun cele două mulțimi (le aparțin ambelor)?

Rezolvare. a) $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ (naturale de la $0$ la $6$). $B=\{-1,0,1,2,3\}$ (întregi strict peste $-2$, deci de la $-1$, până la $3$ inclusiv). b) $|A|=7$ și $|B|=5$. c) Elementele comune sunt cele care apar în ambele liste: $0,1,2,3$. Sunt $4$ elemente comune. (Aceasta este, de fapt, ideea de intersecție, pe care o vei studia riguros în Intersecția intervalelor de numere reale.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare îngrijită. Notează la fiecare de ce alegi o valoare sau alta — la examen se punctează justificarea.

1. Scrie prin enumerare: $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x\le 4\}$.

2. Scrie prin enumerare: $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x<5\}$.

3. Determină elementele: $C=\{x\in \mathbb{Z}\mid -5<x<0\}$.

4. Câte elemente are $D=\{x\in \mathbb{Z}\mid -10\le x\le 10\}$? (Folosește formula $n-m+1$.)

5. Stabilește valoarea de adevăr, cu justificare: a) $7\in \{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ e impar}\}$; b) $-3\in \mathbb{N}$; c) $0\in \{x\in \mathbb{Z}\mid x\le 0\}$.

6. Fie $E=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }20\}$. Scrie $E$ prin enumerare și precizează $|E|$.

7. Care dintre mulțimi este vidă? $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 3<x<4\}$; $N=\{x\in \mathbb{Z}\mid 3<x<4\}$; $P=\{x\in \mathbb{Z}\mid -1\le x\le -1\}$.

8. Scrie printr-o proprietate caracteristică mulțimea $F=\{0,2,4,6,8\}$.

9. Scrie printr-o proprietate caracteristică mulțimea $G=\{10,20,30,40,50\}$.

10. Determină elementele: $H=\{x\in \mathbb{Z}\mid 3x+2\le 11\}$ cu condiția suplimentară $x\ge 0$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea $\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=9\}$ are exact două elemente." Argumentează.

12. Fie $K=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este multiplu de }3,x\le 15\}$. Scrie $K$ prin enumerare.

13. Determină $L=\{x\in \mathbb{Z}\mid |x|\le 3\}$ (unde $|x|$ este modulul lui $x$). Câte elemente are?

14. (Problemă aplicată.) La un turneu, o echipă a jucat meciuri și a marcat, pe rând, $2,0,3,2,1,4$ goluri. Fie $T$ mulțimea numerelor distincte de goluri marcate într-un meci. Scrie $T$ prin enumerare și precizează $|T|$.

15. (Item tip Evaluare Națională.) Se consideră $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 5\}$ și $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x<3\}$. a) Scrie $A$ și $B$ prin enumerare. b) Câte elemente are fiecare? c) Câte elemente au în comun?

16. Scrie printr-o proprietate caracteristică mulțimea $\{-2,-1,0,1,2\}$ (folosește modulul).

17. (Raționament.) Se știe că $|A|=6$ pentru $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x\le a\}$. Află valoarea întreagă a lui $a$.

18. (Provocare.) Fie $R=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor comun al lui }24\text{ și }36\}$. Scrie $R$ prin enumerare și precizează cel mai mare element al ei.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$. Întregi de la $-2$ la $4$, ambele capete incluse ($\le$). Sunt $4-(-2)+1=7$ elemente.

2. $B=\{0,1,2,3,4\}$. Naturale strict mai mici decât $5$ (deci $5$ nu intră). Nu uita că $0$ este natural.

3. $C=\{-4,-3,-2,-1\}$. Întregi strict între $-5$ și $0$: capetele $-5$ și $0$ nu intră.

4. $|D|=10-(-10)+1=21$ elemente.

5. a) Adevărat: $7$ e natural și impar. b) Fals: $-3$ nu este natural (naturalele sunt $\ge 0$); avem $-3\notin \mathbb{N}$. c) Adevărat: $0\le 0$, deci $0$ respectă condiția $x\le 0$.

6. Divizorii naturali ai lui $20$: $E=\{1,2,4,5,10,20\}$, deci $|E|=6$. ($20=2^2\cdot 5$; verifici că fiecare împarte exact.)

7. $M=\varnothing$ (nu există natural între $3$ și $4$) și $N=\varnothing$ (nu există nici întreg între $3$ și $4$). $P=\{-1\}$ nu e vidă: condiția $-1\le x\le -1$ înseamnă $x=-1$, deci $P$ are un element. Vide sunt $M$ și $N$.

8. De exemplu $F=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ par},x\le 8\}$ sau $F=\{x\in \mathbb{N}\mid x=2k,k\in \mathbb{N},0\le k\le 4\}$. (Orice scriere care dă exact $\{0,2,4,6,8\}$ e corectă.)

9. De exemplu $G=\{x\in \mathbb{N}\mid x=10k,k\in \mathbb{N},1\le k\le 5\}$ sau $G=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ multiplu de }10,10\le x\le 50\}$.

10. Din $3x+2\le 11$ scad $2$: $3x\le 9$, împart la $3$: $x\le 3$. Cu $x\ge 0$ și $x\in \mathbb{Z}$: $H=\{0,1,2,3\}$.

11. Adevărat. $x^2=9$ are soluțiile reale $x=3$ și $x=-3$ (ambele au pătratul $9$). Deci mulțimea este $\{-3,3\}$, cu exact două elemente. (Este ideea de la Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.)

12. Multipli naturali de $3$ până la $15$: $K=\{0,3,6,9,12,15\}$. ($0$ este multiplu de $3$, fiind $3\cdot 0$.)

13. $|x|\le 3$ înseamnă $-3\le x\le 3$. Deci $L=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, cu $|L|=7$ elemente.

14. Golurile distincte care apar sunt $0,1,2,3,4$ (valoarea $2$ apare de două ori, dar într-o mulțime se scrie o singură dată). Deci $T=\{0,1,2,3,4\}$ și $|T|=5$.

15. a) $A=\{0,1,2,3,4,5\}$; $B=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ ($2$ e ultimul, pentru că $x<3$). b) $|A|=6$, $|B|=6$. c) Elemente comune: $0,1,2$, deci $3$ elemente comune.

16. $\{x\in \mathbb{Z}\mid |x|\le 2\}$, pentru că $|x|\le 2$ înseamnă $-2\le x\le 2$, adică exact $\{-2,-1,0,1,2\}$.

17. Elementele sunt întregii de la $-2$ la $a$, deci numărul lor este $a-(-2)+1=a+3$. Punem $a+3=6$, de unde $a=3$. Verificare: $\{-2,-1,0,1,2,3\}$ are $6$ elemente. Corect.

18. Divizorii lui $24$: $1,2,3,4,6,8,12,24$. Divizorii lui $36$: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. Comuni: $R=\{1,2,3,4,6,12\}$. Cel mai mare element este $12$ (este chiar c.m.m.d.c. al lui $24$ și $36$).

De reținut

• O mulțime se poate scrie în două moduri: prin enumerare $A=\{2,4,6\}$ sau prin proprietate caracteristică $A=\{x\mid x\text{ are proprietatea }P\}$, unde $\mid$ se citește „astfel încât".
• În scrierea $\{x\in M\mid C\}$, partea $x\in M$ dă universul (din ce mulțime alegi), iar $C$ este condiția (filtrul). Un număr aparține mulțimii doar dacă respectă și universul, și condiția.
• Simbolurile de bază: $\in$ (aparține), $\notin$ (nu aparține), $\{\}$ (acolade pentru elemente), $\varnothing$ (mulțimea vidă, fără niciun element).
• Tipul inegalității contează: $\le$ / $\ge$ includ capătul, iar $<$ / $>$ îl exclud. Pentru întregi consecutivi de la $m$ la $n$, numărul de elemente este $n-m+1$.
• O mulțime poate fi finită, infinită (se descrie prin proprietate) sau vidă (când condiția e imposibilă). $\varnothing \ne \{0\}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia $\varnothing$ cu $\{0\}$. Mulțimea vidă nu are niciun element; $\{0\}$ are un element (numărul zero). Nu scrie $\varnothing$ între acolade.
• Ignorarea universului. La $\{x\in \mathbb{N}\mid \dots \}$ mulți uită că $x$ trebuie să fie natural și strecoară numere negative sau zecimale. Citește întotdeauna întâi din ce mulțime alegi.
• Semnul $<$ confundat cu $\le$. Cu $-3<x$ capătul $-3$ nu intră; cu $-3\le x$ intră. Un singur semn schimbat modifică toată lista de elemente.
• Numărarea greșită a elementelor. De la $-3$ la $5$ nu sunt $5-3=2$ elemente, ci $5-(-3)+1=9$. Nu uita „$+1$" și atenție la semnul minus.
• Repetarea elementelor. Într-o mulțime fiecare element se scrie o singură dată: $\{1,1,2\}$ este, de fapt, $\{1,2\}$.

Aplică acasă

1. Aplicații pe telefon. Deschide setările de stocare și notează dimensiunile a $6$ aplicații. Scrie mulțimea $A=\{x\mid x\text{ este dimensiunea (ıˆn MB) a unei aplicații},x>300\}$ prin enumerare, apoi descrie-o și prin proprietate. Câte elemente are? Este finită sau infinită?

2. Vârstele din familie. Fie $V=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este vaˆrsta unui membru al familiei tale},x\le 18\}$. Enumeră elementele. Discută: dacă cineva are exact $18$ ani, intră sau nu? Ce s-ar schimba dacă am pune $x<18$?

3. Cumpărături sub un buget. Notează prețurile (în lei, rotunjite) a $8$ produse. Scrie mulțimea produselor cu preț $\le 20$ de lei prin proprietate, apoi enumeră-le. Verifică apoi apartenența: alege un preț și spune, cu justificare, dacă $\in$ sau $\notin$ mulțimii.

Pentru părinți și profesori

Această lecție deschide capitolul intervalelor de numere reale, esențial la Evaluarea Națională. Elevul trebuie să treacă fluent între cele două reprezentări ale unei mulțimi (enumerare ↔ proprietate) și să folosească impecabil notațiile $\in ,\notin ,\{\},\varnothing$ — pentru că exact acest limbaj revine la intervale, inecuații și mai târziu la mulțimi de soluții.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Ce înseamnă bara $\mid$ din scriere?" (răspuns așteptat: „astfel încât").
• „De ce $\{x\in \mathbb{N}\mid 4<x<5\}$ este vidă, dar aceeași condiție cu $x\in \mathbb{R}$ nu?" (universul schimbă totul).
• „Câte întregi sunt de la $-7$ la $7$?" (verifici dacă aplică $n-m+1=15$, nu doar $14$).
• „$0$ aparține sau nu lui $\mathbb{N}$?" (da, în convenția din programa românească $0\in \mathbb{N}$).

Semne că elevul a înțeles: distinge corect $<$ de $\le$ când listează elementele, nu confundă $\varnothing$ cu $\{0\}$, verifică apartenența prin substituție și justifică în scris fiecare pas. La examen, itemii pe acest conținut apar de regulă la Subiectul I (răspuns scurt: „determinați elementele mulțimii", „câte elemente are") și ca punct de plecare în probleme cu intervale și inecuații de la Subiectul al II-lea. Un elev care „traduce" corect o condiție în listă câștigă puncte sigure și evită erorile de numărare care costă la barem.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să definești o mulțime printr-o proprietate la clasa a 8-a? Înseamnă să descrii mulțimea printr-o regulă (condiție) pe care o respectă exact elementele ei, în loc să le enumeri pe rând. Scrierea are forma $A=\{x\mid x\text{ are proprietatea }P\}$, unde bara verticală se citește „astfel încât". E util mai ales când elementele sunt multe sau infinite.

Cum se citește simbolul $\mid$ din scrierea unei mulțimi? Se citește „astfel încât" (uneori se folosesc două puncte în loc: $\{x:\dots \}$). Astfel, $\{x\in \mathbb{Z}\mid x\le 4\}$ se citește „mulțimea numerelor întregi $x$ astfel încât $x$ este mai mic sau egal cu $4$".

Care este diferența dintre $\in$ și $\notin$? $\in$ înseamnă că un element aparține mulțimii (de exemplu $3\in \{1,2,3\}$), iar $\notin$ înseamnă că nu aparține (de exemplu $5\notin \{1,2,3\}$). Ca să verifici, controlezi dacă numărul respectă și universul, și condiția mulțimii.

Ce este mulțimea vidă și cum se notează? Mulțimea vidă este mulțimea care nu are niciun element. Se notează cu $\varnothing$ (sau $\{\}$) și apare când condiția este imposibilă, de exemplu $\{x\in \mathbb{N}\mid 4<x<5\}=\varnothing$. Atenție: $\varnothing$ nu este același lucru cu $\{0\}$, care are un element.

Cum aflu câte elemente are o mulțime de numere întregi consecutive? Folosești formula $n-m+1$, unde $m$ este cel mai mic și $n$ cel mai mare element. De exemplu, de la $-3$ la $5$ sunt $5-(-3)+1=9$ elemente. Nu uita „$+1$" și fii atent la semnul minus.

De ce contează dacă inegalitatea este $<$ sau $\le$? Pentru că $\le$ (și $\ge$) includ capătul, iar $<$ (și $>$) îl exclud. De exemplu, $\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x\le 5\}$ conține pe $-3$ și pe $5$, dar $\{x\in \mathbb{Z}\mid -3<x<5\}$ nu le conține. Un singur semn schimbat modifică lista elementelor.

O mulțime dată prin proprietate poate fi infinită? Da. De exemplu $\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 10\}=\{10,11,12,\dots \}$ are o infinitate de elemente. Tocmai de aceea mulțimile infinite se descriu aproape întotdeauna prin proprietate, nu prin enumerare completă, iar la numere reale acest lucru duce direct la noțiunea de interval.

Contează ordinea sau repetarea elementelor într-o mulțime? Nu. Ordinea nu contează ($\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$), iar fiecare element se scrie o singură dată ($\{1,1,2\}$ este de fapt $\{1,2\}$). Contează doar care elemente fac parte din mulțime.