Cum știu dacă un număr e într-un interval?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Apartenența la un interval

Compari numărul cu cele două capete. Dacă stă strict între ele, aparține sigur, indiferent ce paranteze sunt folosite. Toată grija este la capete: paranteza pătrată înseamnă capăt inclus, cea rotundă înseamnă capăt exclus. Pentru radicali, ridici la pătrat: din $1 < 2 < 4$ rezultă $1 < 2 < 2$ , deci $2$ intră în $[1, 2)$ .

Un număr real aparține unui interval dacă „se așază" între capetele lui. Pentru numerele strict între capete nu contează tipul parantezei — aparțin oricum. Toată subtilitatea e la capete: paranteza pătrată $[]$ înseamnă capăt inclus, iar paranteza rotundă $()$ înseamnă capăt exclus. De aceea $x \in [a, b] ⟺ a \leq x \leq b$ , dar $x \in (a, b) ⟺ a < x < b$ .

Pentru radicali, cea mai sigură metodă e să ridici la pătrat: dacă $a^{2} < n < b^{2}$ (cu $a, b > 0$ ), atunci $a < n < b$ .

Exemplu minimal. Aparține $2$ intervalului $[1, 2)$ ? Avem $1^{2} = 1$ și $2^{2} = 4$ ; din $1 < 2 < 4$ rezultă $1 < 2 < 2$ , deci $2$ este strict între capete și $2 \in [1, 2)$ , indiferent de paranteze.

De reținut

$x \in [a, b]$ înseamnă $a \leq x \leq b$
$x \in (a, b)$ înseamnă $a < x < b$
la radicali compari pătratele: din $a^{2} < n < b^{2}$ iese $a < n < b$

Greșeala tipică

Se ia paranteza rotundă drept capăt inclus, iar numărul din capăt este trecut greșit în interval. Rotundă înseamnă exclus, iar pătrată înseamnă inclus.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele afirmații despre intervalul $(3, 8]$ este adevărată?
- a) $3 \in (3, 8]$
- b) $8 \in (3, 8]$
- c) $3 \in (3, 8)$
- d) $8 \in / (3, 8]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8 \in (3, 8]$

Capătul din stânga (3) are paranteză rotundă → exclus, deci $3 \in / (3, 8]$ . Capătul din dreapta (8) are paranteză pătrată → inclus, deci $8 \in (3, 8]$ este adevărată.
Ridicând la pătrat, stabilește cărui interval îi aparține $11$ .
- a) $(2, 3)$
- b) $(3, 4)$
- c) $(1, 2)$
- d) $(4, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(3, 4)$

Comparăm $3^{2} = 9$ și $4^{2} = 16$ . Cum $9 < 11 < 16$ , rezultă $3 < 11 < 4$ , deci $11 \in (3, 4)$ .
Care dintre următoarele afirmații despre intervalul $[- 2, 5)$ este adevărată?
- a) $- 2 \in [- 2, 5)$
- b) $5 \in [- 2, 5)$
- c) $- 2 \in (- 2, 5)$
- d) $- 2 \in / [- 2, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 2 \in [- 2, 5)$

Capătul din stânga ( $- 2$ ) are paranteză pătrată → inclus, deci $- 2 \in [- 2, 5)$ este adevărată. Capătul din dreapta ( $5$ ) are paranteză rotundă → exclus, deci $5 \in / [- 2, 5)$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă intervalul deschis și cel închis?

Un interval închis își cuprinde capetele și se scrie cu paranteze pătrate, ca $[2, 7]$ . Unul deschis le lasă afară și se scrie cu paranteze rotunde, ca $(2, 7)$ . Există și forme amestecate, precum $[2, 7)$ , unde primul capăt intră, iar al doilea rămâne pe dinafară.

Cum arăt că un interval nu conține niciun număr întreg?

Cauți cel mai mic număr întreg mai mare decât capătul din stânga și vezi dacă el trece de capătul din dreapta. La $(2; 2, 5)$ primul candidat este $3$ , care iese deja din interval, deci acolo nu se află niciun număr întreg.

Câte numere naturale are intervalul de la minus 2 la 5?

Numerele naturale încep de la zero, deci nu iei în seamă partea negativă. Rămân $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ și, dacă $5$ este inclus, și el. Cu paranteză pătrată la dreapta ai șase numere, iar cu paranteză rotundă doar cinci.

Cum scriu ca interval condiția x mai mare decât 3?

Se scrie $(3, + \infty)$ , cu paranteză rotundă la amândouă capetele. La stânga, fiindcă $3$ nu intră, iar la dreapta fiindcă infinitul nu este un număr care să poată fi atins. Dacă și $3$ ar fi permis, ai scrie $[3, + \infty)$ .

Aparține radical din 10 intervalului de la 3 la 4?

Da. Ridici capetele la pătrat și obții $9$ și $16$ ; cum $10$ stă între ele, radicalul stă între $3$ și $4$ . Fiind strict înăuntru, aparține intervalului oricum ar fi parantezele. Valoarea aproximativă, $3, 16$ , confirmă rezultatul.

Ce interval descrie condiția „cel puțin minus unu și cel mult patru”?

Intervalul $[- 1, 4]$ : amândouă capetele intră, fiindcă „cel puțin” și „cel mult” îngăduie egalitatea. Se scrie cu paranteze pătrate, iar pe axă capetele se marchează cu buline pline. Dacă una dintre condiții ar fi strictă, acolo paranteza s-ar rotunji.

Oamenii mai întreabă și: apartenența la un interval · ce înseamnă paranteza pătrată la interval · cum verific dacă un număr aparține unui interval · intervale de numere reale · simbolul aparține