Aplicații: triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat

Ai învățat teorema lui Pitagora, sinusul, cosinusul și cum se „rezolvă" un triunghi dreptunghic. Acum vine partea cea mai satisfăcătoare: pui totul la lucru pe cele mai frumoase și mai des întâlnite figuri din geometrie — triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat. Le vezi zilnic: plăcuța de avertizare din trafic e un triunghi echilateral, gresia din baie e pătrată, iar fagurele albinelor și multe piulițe metalice au formă de hexagon. În această lecție vei descoperi câteva formule scurte, elegante, care îți spun instantaneu înălțimea, apotema, aria și perimetrul acestor figuri — și vei vedea cum aceleași idei ajută un inginer să aproximeze o distanță pe teren.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi înălțimea, apotema și aria triunghiului echilateral pornind de la latură.
• Vei ști să calculezi diagonala, apotema și aria pătratului.
• Vei ști să calculezi latura, apotema, aria și perimetrul hexagonului regulat.
• Vei ști să aplici relațiile metrice și trigonometria (sin, cos, tg) în figuri regulate.
• Vei ști să aproximezi distanțe în situații practice cu ajutorul triunghiurilor dreptunghice.

Hai să descoperim împreună

Ideea centrală a întregii lecții este una singură și merită subliniată de la început:

Orice figură regulată ascunde în interiorul ei triunghiuri dreptunghice. Dacă le vezi, ai rezolvat problema.

Un poligon regulat este un poligon care are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat sunt trei exemple. Fiecare are un centru (centrul cercului înscris și, în același timp, al cercului circumscris) și un element numit apotemă.

Apotema unui poligon regulat este distanța de la centrul poligonului până la mijlocul unei laturi. Ea este perpendiculară pe latura respectivă. O notăm de obicei cu $a$.

Apotema apare de fiecare dată când calculăm aria unui poligon regulat cu formula generală:

$$A=\frac{P\cdot a}{2}$$

unde $P$ este perimetrul. Este exact aceeași idee ca la triunghi: „bază ori înălțime pe doi", dar aplicată pe tot poligonul. De aceea apotema e vedeta lecției.

Hai să luăm figurile pe rând și să extragem, de fiecare dată, triunghiul dreptunghic ascuns.

1. Triunghiul echilateral

Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale și toate unghiurile de $60°$. Îl notăm $ABC$ cu latura $AB=BC=CA=l$.

Coborâm înălțimea din vârful $A$ pe latura $BC$; piciorul ei îl notăm $M$. La triunghiul echilateral se întâmplă un lucru minunat: înălțimea este în același timp și mediană, deci $M$ este mijlocul laturii $BC$. Prin urmare:

$$BM=MC=\frac{l}{2}.$$

Acum privește triunghiul $ABM$: are un unghi drept în $M$, ipotenuza $AB=l$ și cateta $BM=\frac{l}{2}$. Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm cealaltă catetă, care este chiar înălțimea $h=AM$:

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2\Rightarrow l^2=h^2+{\left(\frac{l}{2}\right)}^2.$$

De aici:

$$h^2=l^2-\frac{l^2}{4}=\frac{4l^2-l^2}{4}=\frac{3l^2}{4}\Rightarrow h=\frac{l\sqrt{3}}{2}.$$

Am obținut prima formulă-cheie, pe care merită s-o memorezi:

$$\boxed{h=\frac{l\sqrt{3}}{2}}$$

Înălțimea triunghiului echilateral este latura înmulțită cu $\frac{\sqrt{3}}{2}$. De exemplu, pentru $l=6$ cm obținem $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm $\approx 5,20$ cm.

Cunoscând înălțimea, aria este imediată. Aria oricărui triunghi este $\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}$, deci:

$$A=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{l\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}.$$

$$\boxed{A_{\text{echilateral}}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}}$$

Apotema. Centrul $O$ al triunghiului echilateral este punctul de intersecție al medianelor, adică centrul de greutate. Știi din lecția despre centrul de greutate că el împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ dinspre vârf. Apotema este distanța de la $O$ la mijlocul unei laturi, adică segmentul $OM$, care reprezintă $\frac{1}{3}$ din înălțime:

$$a=\frac{h}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{6}.$$

$$\boxed{a_{\text{echilateral}}=\frac{l\sqrt{3}}{6}}$$

Iar raza cercului circumscris (de la centru la un vârf) este restul de $\frac{2}{3}$ din înălțime: $R=\frac{2h}{3}=\frac{l\sqrt{3}}{3}$. Observă legătura simplă și frumoasă: $R=2a$. Raza cercului circumscris este dublul apotemei.

Poți verifica formula generală a ariei: $A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{3l\cdot \frac{l\sqrt{3}}{6}}{2}=\frac{\frac{3l^2\sqrt{3}}{6}}{2}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Se potrivește perfect cu ce am găsit direct — un semn bun că raționamentul e corect.

2. Pătratul

Pătratul $ABCD$ are latura $l$ și toate unghiurile de $90°$. Aici triunghiul dreptunghic ascuns se vede și mai ușor: îl obții trasând o diagonală.

Diagonala $AC$ împarte pătratul în triunghiul dreptunghic $ABC$, cu catetele $AB=BC=l$ și ipotenuza $AC=d$ (diagonala). Teorema lui Pitagora dă:

$$d^2=l^2+l^2=2l^2\Rightarrow d=l\sqrt{2}.$$

$$\boxed{d_{\text{pa˘trat}}=l\sqrt{2}}$$

Diagonala pătratului este latura înmulțită cu $\sqrt{2}$. Pentru $l=5$ cm avem $d=5\sqrt{2}\approx 7,07$ cm.

Această formulă se poate „citi" și invers: dacă știi diagonala și vrei latura, împarți la $\sqrt{2}$ și raționalizezi (temă tratată în lecția raționalizarea numitorului):

$$l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{d\sqrt{2}}{2}.$$

Aria pătratului o știi din clasele trecute și din lecția aria dreptunghiului și a pătratului:

$$A=l^2.$$

Uneori însă cunoști diagonala, nu latura. Atunci e util să știi și formula ariei în funcție de diagonală. Din $d=l\sqrt{2}$ rezultă $l^2=\frac{d^2}{2}$, deci:

$$A=\frac{d^2}{2}.$$

Apotema pătratului este distanța de la centru (intersecția diagonalelor) la mijlocul unei laturi. Centrul se află exact la jumătatea distanței dintre două laturi opuse, deci apotema este jumătate din latură:

$$a_{\text{pa˘trat}}=\frac{l}{2}.$$

Iar raza cercului circumscris este jumătate din diagonală: $R=\frac{d}{2}=\frac{l\sqrt{2}}{2}$.

Verificare cu formula generală: $A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{4l\cdot \frac{l}{2}}{2}=\frac{2l^2}{2}=l^2$. Corect.

3. Hexagonul regulat

Hexagonul regulat $ABCDEF$ are șase laturi egale de lungime $l$ și șase unghiuri de $120°$ fiecare. Este figura cu cel mai frumos „secret".

Unește centrul $O$ cu toate cele șase vârfuri. Obții șase triunghiuri, toate identice. Fiecare are în vârful $O$ un unghi de $\frac{360°}{6}=60°$. Fiindcă cele două laturi care pleacă din $O$ sunt raze egale ($OA=OB$), triunghiul $OAB$ este isoscel; iar un triunghi isoscel cu un unghi de $60°$ la vârf este de fapt echilateral! Deci toate cele trei laturi ale lui sunt egale:

$$OA=OB=AB=l.$$

De aici iese cel mai important lucru despre hexagonul regulat:

Latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris: $R=l$.

Aceasta explică de ce hexagonul se construiește atât de ușor cu compasul: deschizi compasul la o rază oarecare și „pași" de șase ori pe cerc — vârfurile se închid exact.

Apotema hexagonului este înălțimea unuia dintre aceste triunghiuri echilaterale de latură $l$. Dar tocmai am calculat înălțimea triunghiului echilateral! Deci:

$$a_{\text{hexagon}}=\frac{l\sqrt{3}}{2}.$$

$$\boxed{a_{\text{hexagon}}=\frac{l\sqrt{3}}{2}}$$

Fii atent la o capcană frecventă: apotema hexagonului este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ (adică înălțimea triunghiului echilateral), în timp ce apotema triunghiului echilateral era $\frac{l\sqrt{3}}{6}$. Sunt lucruri diferite, deși ambele conțin $\sqrt{3}$.

Perimetrul este evident $P=6l$. Aria hexagonului este suma ariilor celor șase triunghiuri echilaterale, fiecare cu aria $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$:

$$A=6\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}.$$

$$\boxed{A_{\text{hexagon}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}}$$

Verificare cu formula generală: $A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{6l\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$. Corect din nou.

Un mic tabel de reținut

4. Aproximarea distanțelor în situații practice

La ce folosesc toate acestea în viața reală? Adesea nu putem măsura direct o distanță (înălțimea unui bloc, lățimea unui râu), dar putem construi un triunghi dreptunghic ale cărui elemente le cunoaștem și le aplicăm relațiile metrice sau trigonometria (vezi și lecția rezolvarea triunghiului dreptunghic).

Ideea de bază: dacă cunoști un unghi ascuțit și o latură a unui triunghi dreptunghic, poți afla oricare altă latură cu:

$$\sin =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}},\cos =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}},\mathrm{tg}=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}.$$

Pentru aproximări păstrăm de obicei valorile utile: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$, iar unghiurile speciale au valorile din lecția valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°. Vom vedea în exemple cum un topograf sau un elev cu un raportor pot afla o distanță pe care nu o pot măsura direct.

Merită să reținem un tipar de lucru pe care îl vom folosi în toate problemele practice. Mai întâi facem un desen cu situația reală și marcăm ce cunoaștem (o latură și un unghi). Apoi recunoaștem triunghiul dreptunghic din desen și scriem ce este cateta opusă, cateta alăturată și ipotenuza față de unghiul cunoscut. În pasul următor alegem relația potrivită: dacă avem o catetă și căutăm cealaltă catetă, folosim tangenta sau cotangenta; dacă avem o catetă și ipotenuza, folosim sinusul sau cosinusul. La final înlocuim valorile, calculăm și dăm rezultatul cu unitatea de măsură corectă. Acest tipar în patru pași — desen, identificare, relație, calcul — este cheia oricărei aproximări de distanță și îl vei folosi și în clasele următoare.

De ce ne mulțumim cu o aproximare și nu cu o valoare „exactă"? Fiindcă în practică datele de plecare sunt ele însele măsurate cu o mică eroare (rigla, raportorul), iar valori precum $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{3}$ sunt numere iraționale, cu o infinitate de zecimale. De aceea rotunjim la câteva zecimale și spunem „aproximativ". Important este ca metoda să fie corectă; precizia rezultatului depinde apoi de cât de bine am măsurat datele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Triunghi echilateral complet

Un triunghi echilateral are latura de $8$ cm. Calculează înălțimea, apotema, aria și perimetrul.

Rezolvare. Aplicăm formulele, cu $l=8$:

• Înălțimea: $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm $\approx 6,93$ cm.
• Apotema: $a=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm $\approx 2,31$ cm.
• Aria: $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$ cm² $\approx 27,71$ cm².
• Perimetrul: $P=3l=24$ cm.

Observă coerența: $a=\frac{h}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Corect.

Exemplul 2 — De la arie la latură (drum invers)

Aria unui triunghi echilateral este $9\sqrt{3}$ cm². Cât este latura lui?

Rezolvare. Pornim de la formula ariei și o „citim invers":

$$\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.$$

Împărțim ambele părți la $\sqrt{3}$:

$$\frac{l^2}{4}=9\Rightarrow l^2=36\Rightarrow l=6\text{ cm}.$$

Latura este $6$ cm. Aceasta e o ecuație de forma $x^2=a$, întâlnită în lecția ecuația de forma x² = a; luăm doar soluția pozitivă, fiindcă latura e o lungime.

Exemplul 3 — Pătratul și diagonala

O piesă pătrată de metal are diagonala de $10\sqrt{2}$ cm. Află latura, aria și perimetrul.

Rezolvare. Din $d=l\sqrt{2}$ scoatem latura:

$$l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10\text{ cm}.$$

Deci:

• Aria: $A=l^2=100$ cm².
• Perimetrul: $P=4l=40$ cm.
• Apotema (utilă dacă vrem raza cercului înscris): $a=\frac{l}{2}=5$ cm.

Verificare a diagonalei: $d=10\sqrt{2}$, ceea ce coincide cu datele. Corect.

Exemplul 4 — Hexagonul unei piulițe

O piuliță hexagonală are latura de $4$ mm. Calculează apotema, perimetrul și aria hexagonului regulat.

Rezolvare. Cu $l=4$:

• Perimetrul: $P=6l=24$ mm.
• Apotema: $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ mm $\approx 3,46$ mm. (Aceasta este „distanța dintre două fețe paralele" ale piuliței, împărțită la doi — de fapt distanța „la cheie" este $2a=4\sqrt{3}\approx 6,93$ mm.)
• Aria: $A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 16\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$ mm² $\approx 41,57$ mm².

Exemplul 5 — Hexagon dintr-un cerc dat

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R=12$ cm. Cât sunt latura și aria hexagonului?

Rezolvare. Cheia e proprietatea specială a hexagonului: latura este egală cu raza cercului circumscris, deci

$$l=R=12\text{ cm}.$$

Aria:

$$A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 144\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{432\sqrt{3}}{2}=216\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\approx 374,12{\text{ cm}}^2.$$

Legătura cu cercul o poți aprofunda în lecția poligoane regulate înscrise într-un cerc.

Exemplul 6 — Aproximarea unei distanțe pe teren

Un elev vrea să afle înălțimea unui stâlp. Se așază la $15$ m de baza stâlpului și, cu un instrument, măsoară că vârful stâlpului se vede sub un unghi de $60°$ față de orizontală (unghiul de la ochi, considerat la nivelul solului). Ce înălțime are stâlpul?

Rezolvare. Modelăm situația printr-un triunghi dreptunghic: cateta orizontală (alăturată unghiului de $60°$) este distanța de $15$ m, iar cateta verticală (opusă unghiului) este înălțimea $h$ căutată.

Folosim tangenta, fiindcă leagă cele două catete:

$$\mathrm{tg}60°=\frac{h}{15}\Rightarrow h=15\cdot \mathrm{tg}60°=15\sqrt{3}\approx 15\cdot 1,73=25,95\text{ m}.$$

Stâlpul are aproximativ $26$ m. Fără să urcăm pe el, am aflat înălțimea folosind un triunghi dreptunghic — exact spiritul aplicațiilor practice ale relațiilor metrice.

Exemplul 7 — Comparăm o figură cu cercul din care provine

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $6$ cm. Cu cât este mai mică aria hexagonului decât aria discului? (folosește $\pi \approx 3,14$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$)

Rezolvare. Latura hexagonului este egală cu raza: $l=R=6$ cm. Aria hexagonului:

$$A_{\text{hex}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 36\cdot \sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}\approx 54\cdot 1,73=93,42{\text{ cm}}^2.$$

Aria discului (vezi lecția aria discului și aria sectorului de cerc):

$$A_{\text{disc}}=\pi R^2=3,14\cdot 36=113,04{\text{ cm}}^2.$$

Diferența este $113,04-93,42=19,62$ cm². Hexagonul „umple" cea mai mare parte a discului, dar rămân cele șase mici „calote" dintre laturi și cerc — de aceea aria lui este ceva mai mică. Este o ilustrare frumoasă a legăturii dintre poligoanele regulate și cerc.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Folosește $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$ acolo unde ți se cere valoare aproximativă.

1. Un triunghi echilateral are latura $10$ cm. Calculează înălțimea (exact și aproximativ).
2. Calculează aria unui triunghi echilateral cu latura $6$ cm.
3. Află apotema unui triunghi echilateral cu latura $12$ cm.
4. Perimetrul unui triunghi echilateral este $30$ cm. Cât este aria lui?
5. Un pătrat are latura $7$ cm. Calculează diagonala (exact și aproximativ).
6. Diagonala unui pătrat este $6\sqrt{2}$ cm. Află latura, perimetrul și aria.
7. Aria unui pătrat este $49$ cm². Cât este diagonala lui?
8. Un hexagon regulat are latura $5$ cm. Calculează perimetrul și apotema.
9. Calculează aria hexagonului regulat cu latura $2$ cm.
10. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $9$ cm. Cât este latura hexagonului și perimetrul lui?
11. Adevărat sau fals (justifică): „Apotema unui hexagon regulat de latură $l$ este egală cu înălțimea unui triunghi echilateral de latură $l$."
12. Adevărat sau fals (justifică): „La orice pătrat, diagonala este de două ori mai mare decât latura."
13. Un triunghi echilateral și un pătrat au același perimetru, egal cu $24$ cm. Care dintre ele are aria mai mare?
14. Aria unui triunghi echilateral este $25\sqrt{3}$ cm². Află latura și perimetrul.
15. O plăcuță rutieră de avertizare are formă de triunghi echilateral cu latura $70$ cm. Câți cm² de tablă are fața plăcuței? (dă și valoarea aproximativă)
16. Aplicație practică. Un topograf se află la $40$ m de baza unui turn și măsoară vârful sub unghiul de $30°$ față de orizontală. Aproximează înălțimea turnului.
17. Un hexagon regulat are aria $54\sqrt{3}$ cm². Află latura lui.
18. Problemă de sinteză. Un pătrat cu latura $6$ cm și un hexagon regulat au același perimetru. Care este latura hexagonului? Care figură are aria mai mare?

Răspunsuri și explicații

1. $h=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,65$ cm.
2. $A=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx 15,59$ cm².
3. $a=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\approx 3,46$ cm.
4. Din $P=3l=30$ rezultă $l=10$ cm; aria $A=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\approx 43,25$ cm².
5. $d=7\sqrt{2}\approx 9,87$ cm.
6. $l=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6$ cm; $P=24$ cm; $A=36$ cm².
7. $A=49\Rightarrow l=7$ cm; $d=7\sqrt{2}\approx 9,87$ cm.
8. $P=6\cdot 5=30$ cm; $a=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4,33$ cm.
9. $A=\frac{3\cdot 2^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39$ cm².
10. Latura $=R=9$ cm; perimetrul $P=6\cdot 9=54$ cm.
11. Adevărat. Apotema hexagonului este înălțimea unuia dintre cele șase triunghiuri echilaterale de latură $l$ din care e format, adică exact $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ — înălțimea unui triunghi echilateral de latură $l$.
12. Fals. Diagonala este $d=l\sqrt{2}\approx 1,41l$, deci aproximativ de $1,41$ ori latura, nu de două ori. (Ar fi de două ori doar dacă diagonala ar fi $2l$, ceea ce e imposibil, căci ipotenuza nu poate fi dublul catetei aici.)
13. Perimetru $24$ cm. Triunghi: $l=8\Rightarrow A=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\approx 27,71$ cm². Pătrat: $l=6\Rightarrow A=36$ cm². Pătratul are aria mai mare ($36>27,71$).
14. $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\Rightarrow \frac{l^2}{4}=25\Rightarrow l^2=100\Rightarrow l=10$ cm; $P=30$ cm.
15. $A=\frac{70^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4900\sqrt{3}}{4}=1225\sqrt{3}\approx 2119,25$ cm².
16. $\mathrm{tg}30°=\frac{h}{40}$, iar $\mathrm{tg}30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Deci $h=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx \frac{40\cdot 1,73}{3}\approx 23,07$ m. Turnul are aproximativ $23$ m.
17. $\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}\Rightarrow \frac{3l^2}{2}=54\Rightarrow 3l^2=108\Rightarrow l^2=36\Rightarrow l=6$ cm.
18. Perimetrul pătratului $=4\cdot 6=24$ cm. Latura hexagonului: $6l=24\Rightarrow l=4$ cm. Aria pătratului $=36$ cm². Aria hexagonului $=\frac{3\cdot 4^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\approx 41,57$ cm². Hexagonul are aria mai mare ($41,57>36$). Concluzie interesantă: la același perimetru, cu cât figura regulată are mai multe laturi, cu atât aria e mai mare.

De reținut

• Triunghi echilateral (latura $l$): $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$, apotema $a=\frac{l\sqrt{3}}{6}$, aria $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, $P=3l$.
• Pătrat (latura $l$): diagonala $d=l\sqrt{2}$, apotema $a=\frac{l}{2}$, aria $A=l^2=\frac{d^2}{2}$, $P=4l$.
• Hexagon regulat (latura $l$): $R=l$ (latura egală cu raza cercului circumscris), apotema $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}$, aria $A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$, $P=6l$.
• Aria oricărui poligon regulat: $A=\frac{P\cdot a}{2}$ (perimetru ori apotemă, pe doi).
• Pentru distanțe practice: construiește un triunghi dreptunghic și folosește $\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$; adesea $\mathrm{tg}$ leagă cele două catete (înălțime și distanță pe orizontală).

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre apotemă și rază. Apotema ajunge la mijlocul unei laturi (perpendiculară pe latură), iar raza cercului circumscris ajunge la un vârf. La triunghiul echilateral $R=2a$, iar la hexagon $R=l$ dar $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Nu le amesteca.
• Apotema triunghiului confundată cu apotema hexagonului. La triunghi este $\frac{l\sqrt{3}}{6}$, la hexagon este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Deși ambele au $\sqrt{3}$, numitorii diferă mult.
• „Diagonala pătratului = $2l$". Fals. Corect este $l\sqrt{2}\approx 1,41l$. Provine din teorema lui Pitagora, nu din dublarea laturii.
• Uitarea unităților de măsură sau amestecarea lor (aria în cm² dacă latura e în cm). Verifică mereu că lungimea e la puterea întâi, iar aria la pătrat.

Aplică acasă

• Piulița sau șurubul hexagonal. Găsește o piuliță hexagonală în casă. Măsoară cu rigla lungimea unei laturi $l$, apoi calculează apotema $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ și verific-o măsurând distanța dintre două fețe paralele (care ar trebui să fie dublul apotemei). Compară rezultatul calculat cu cel măsurat.
• Gresia pătrată. Alege o placă de gresie sau o dală pătrată. Măsoară latura, calculează diagonala cu $l\sqrt{2}$, apoi verifică întinzând centimetrul pe diagonală. Cât de aproape ești?
• Măsoară un obiect înalt. La fel ca în Exemplul 6, alege un copac sau un stâlp. Măsoară distanța până la bază, estimează unghiul spre vârf (cu un raportor și un fir cu greutate) și calculează înălțimea folosind tangenta. Compară estimarea cu o valoare cunoscută, dacă există.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează întreaga unitate de relații metrice și trigonometrie, aplicând-o pe figuri regulate familiare. Cel mai important lucru pe care elevul trebuie să-l „vadă" este triunghiul dreptunghic ascuns în fiecare figură — înălțimea la echilateral, diagonala la pătrat, raza la hexagon. Dacă elevul poate desena singur acest triunghi și scrie teorema lui Pitagora pe el, a înțeles esența; formulele devin doar consecințe.

Întrebări bune de verificare: „De ce înălțimea triunghiului echilateral cade în mijlocul laturii?", „De ce latura hexagonului este egală cu raza cercului?", „Cum obții diagonala pătratului fără să o memorezi?". Dacă răspunde reconstruind raționamentul (nu recitând formula), înțelegerea e solidă. Un semn bun suplimentar este când elevul verifică singur aria cu formula generală $\frac{P\cdot a}{2}$ și obține același rezultat — semn că leagă ideile între ele.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei triunghiului echilateral la clasa a VII-a? Aria este $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, unde $l$ este latura. Se obține din aria obișnuită a triunghiului, $\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}$, folosind înălțimea $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Cum calculez apotema unui hexagon regulat? Apotema hexagonului regulat de latură $l$ este $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Ea este chiar înălțimea unuia dintre cele șase triunghiuri echilaterale în care se împarte hexagonul unind centrul cu vârfurile.

De ce latura hexagonului este egală cu raza cercului circumscris? Pentru că cele șase triunghiuri formate din centru au fiecare un unghi de $60°$ la centru și două laturi egale (raze), deci sunt echilaterale. Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale, așa că latura hexagonului este egală cu raza, $R=l$.

Care este diagonala pătratului cu latura dată? Diagonala pătratului de latură $l$ este $d=l\sqrt{2}$. Rezultatul vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic format de două laturi și diagonală: $d^2=l^2+l^2=2l^2$.

Cum aproximez o distanță pe teren folosind trigonometria? Construiești un triunghi dreptunghic în care cunoști o latură (de exemplu distanța pe orizontală) și un unghi ascuțit. Apoi folosești $\mathrm{tg}$, $\sin$ sau $\cos$ pentru a afla latura necunoscută; de obicei $\mathrm{tg}$ leagă înălțimea de distanța orizontală.

Ce este apotema unui poligon regulat? Apotema este distanța de la centrul poligonului până la mijlocul unei laturi și este perpendiculară pe acea latură. Ea apare în formula generală a ariei: $A=\frac{P\cdot a}{2}$, unde $P$ este perimetrul.

Care figură regulată are aria cea mai mare la același perimetru? Dintre triunghi echilateral, pătrat și hexagon, cu același perimetru, hexagonul are aria cea mai mare, iar triunghiul cea mai mică. În general, cu cât un poligon regulat are mai multe laturi, cu atât aria lui este mai mare la perimetru fix.

Cum aflu latura dacă știu aria triunghiului echilateral? Pornești de la $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=A$, împarți la $\sqrt{3}$, apoi înmulțești cu $4$ ca să obții $l^2$ și, în final, extragi rădăcina pătrată. De exemplu, pentru $A=9\sqrt{3}$ obții $l^2=36$, deci $l=6$.