Cum aflu volumul prismei drepte?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria și volumul prismei drepte

Înmulțești aria bazei cu înălțimea, niciodată aria laterală. Aria bazei depinde de figura de jos: pătrat $l^{2}$ , triunghi echilateral $\frac{l ^{2} 3}{4}$ , hexagon regulat $\frac{3 l ^{2} 3}{2}$ . Pentru o prismă patrulateră cu latura $4$ cm și înălțimea $6$ cm obții $16 \cdot 6 = 96$ cm³. Rezultatul se scrie în unități cubice, spre deosebire de arie.

O prismă dreaptă are două baze congruente și fețe laterale dreptunghiulare. Aproape orice problemă se rezolvă cu trei formule:

Aria laterală: $A_{l} = P_{ba z \overset{a}{˘}} \cdot h$ (perimetrul bazei ori înălțimea) — vine din faptul că fețele laterale, desfășurate, formează un singur dreptunghi mare.
Aria totală: $A_{t} = A_{l} + 2 \cdot A_{ba z \overset{a}{˘}}$ — adaugi de două ori aria bazei, pentru că prisma are două baze.
Volumul: $V = A_{ba z \overset{a}{˘}} \cdot h$ — aria bazei ori înălțimea, niciodată aria laterală!

Pentru aria bazei: triunghi echilateral $A = \frac{l ^{2} 3}{4}$ , pătrat $A = l^{2}$ , hexagon regulat $A = \frac{3 l ^{2} 3}{2}$ (adică 6 triunghiuri echilaterale).

Exemplu minimal. Prismă patrulateră regulată, $l = 4$ cm, $h = 6$ cm: $A_{ba z \overset{a}{˘}} = 16$ cm², $A_{l} = 4 \cdot 4 \cdot 6 = 96$ cm², $A_{t} = 96 + 32 = 128$ cm², $V = 16 \cdot 6 = 96$ cm³.

De reținut

$V = A_{b} \cdot h$ , cu $A_{b}$ aria bazei
$A_{l} = P_{b} \cdot h$
$A_{t} = A_{l} + 2 A_{b}$

Greșeala tipică

Se înmulțește aria laterală cu înălțimea, ca să se afle volumul. Volumul cere aria bazei, adică suprafața de jos, nu suprafața din jur.

Exerciții din această mini-lecție

O prismă triunghiulară regulată are latura bazei $l = 5$ cm și înălțimea $h = 7$ cm. Cât este aria laterală $A_{l}$ ?
- a) $35 cm^{2}$
- b) $70 cm^{2}$
- c) $105 cm^{2}$
- d) $150 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $105 cm^{2}$

$P_{ba z \overset{a}{˘}} = 3 \cdot 5 = 15$ cm, deci $A_{l} = P_{ba z \overset{a}{˘}} \cdot h = 15 \cdot 7 = 105 cm^{2}$ .
O prismă hexagonală regulată are latura bazei $l = 8$ cm. Cât este aria bazei $A_{ba z \overset{a}{˘}}$ , în formă exactă?
- a) $963 cm^{2}$
- b) $483 cm^{2}$
- c) $1923 cm^{2}$
- d) $243 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $963 cm^{2}$

Pentru hexagon regulat, $A_{ba z \overset{a}{˘}} = \frac{3 l ^{2} 3}{2} = \frac{3 \cdot 8 ^{2} \cdot 3}{2} = \frac{192 3}{2} = 963 cm^{2}$ (adică 6 triunghiuri echilaterale de latură 8).
O prismă patrulateră regulată (bază pătrat) are latura bazei $l = 6$ cm și înălțimea $h = 10$ cm. Cât este aria laterală $A_{l}$ ?
- a) $240 cm^{2}$
- b) $60 cm^{2}$
- c) $360 cm^{2}$
- d) $480 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $240 cm^{2}$

$P_{ba z \overset{a}{˘}} = 4 \cdot 6 = 24$ cm, deci $A_{l} = P_{ba z \overset{a}{˘}} \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 cm^{2}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu aria laterală a unei prisme hexagonale?

Aduni cele șase laturi ale bazei și înmulțești cu înălțimea. Pentru o latură de $3$ cm perimetrul este $18$ cm, deci la o înălțime de $10$ cm aria laterală iese $180$ cm². Fețele laterale sunt șase dreptunghiuri egale, care desfășurate formează unul singur.

De ce aria totală adună de două ori aria bazei?

Fiindcă prisma are o bază jos și una sus, amândouă la fel. Aria totală înseamnă tot ce se vede din afară, deci se adaugă amândouă. La piramidă însă există o singură bază, așa că acolo se adună o singură dată.

Cum aflu latura bazei dacă știu volumul și înălțimea?

Împarți volumul la înălțime și afli aria bazei, apoi scoți latura din formula figurii. Dintr-un volum de $200$ cm³ și o înălțime de $8$ cm rezultă o bază de $25$ cm², deci la un pătrat latura are $5$ cm. La alte forme extragi latura din formula ariei potrivite.

Cât cântărește apa dintr-un bazin în formă de prismă?

Calculezi volumul în decimetri cubi, fiindcă un decimetru cub ține exact un litru de apă. Un bazin cu baza de $20$ dm² și adâncimea de $10$ dm are $200$ dm³, deci $200$ de litri. Cum un litru de apă cântărește un kilogram, ies $200$ kg.

Ce diagonală are o prismă patrulateră regulată?

Diagonala corpului unește două vârfuri opuse și se află aplicând Pitagora de două ori. Pentru o prismă cu latura bazei $3$ cm și înălțimea $4$ cm, diagonala bazei are $32$ cm, iar cea a corpului $18 + 16 = 34$ cm.

Cum deosebesc prisma dreaptă de cea oblică?

La prisma dreaptă muchiile laterale cad perpendicular pe baze, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri. La cea oblică muchiile sunt aplecate, iar fețele devin paralelograme. Formulele de la aria laterală merg doar la prisma dreaptă, iar volumul rămâne aria bazei înmulțită cu înălțimea la amândouă.

Oamenii mai întreabă și: volumul prismei drepte · cum calculez volumul unei prisme · formula volumului prismei · volumul prismei patrulatere regulate · cum se află volumul unei prisme drepte