Calcule cu măsuri de unghiuri în grade și minute sexagesimale

Până acum ai învățat să recunoști un unghi, să-l măsori cu raportorul și să-l clasifici în ascuțit, drept sau obtuz. Acum facem pasul următor: învățăm să calculăm cu măsurile unghiurilor — să le adunăm, să le scădem și să trecem de la grade la minute și invers. Vestea bună? Calculele cu unghiuri seamănă foarte mult cu socotitul orelor și minutelor de pe ceas, doar că în loc de „ore și minute" avem „grade și minute". Hai să descoperim cum funcționează acest mic ceas al geometriei!

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești relația de bază 1° = 60' (un grad are 60 de minute sexagesimale).
• Vei ști să transformi o măsură din grade și minute în minute, și invers.
• Vei ști să aduni măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute.
• Vei ști să scazi măsuri de unghiuri, inclusiv când trebuie să „împrumuți" un grad.
• Vei ști să înmulțești măsura unui unghi cu un număr natural și să o împarți în părți egale.
• Vei ști să rezolvi probleme practice cu măsuri de unghiuri, din viața de zi cu zi.

Hai să descoperim împreună

Un grad nu e cel mai mic — există și minutele

Când măsori un unghi cu raportorul, citești de obicei un număr întreg de grade: 30°, 45°, 90° și așa mai departe. Dar realitatea este mai fină de atât. Imaginează-ți acul unei busole sau brațul unei macarale: ele nu se opresc întotdeauna exact pe un grad rotund. Uneori un unghi măsoară „între 37° și 38°". Cum exprimăm cu precizie acea bucățică în plus?

Aici intră în scenă minutul sexagesimal. La fel cum un metru se împarte în 100 de centimetri ca să măsurăm mai fin lungimile, gradul se împarte în 60 de părți egale, iar fiecare parte se numește minut. Relația fundamentală pe care o vei folosi în toată lecția este:

$$1°=60^{\prime }$$

Citim: „un grad este egal cu șaizeci de minute". Semnul ° se citește „grade", iar semnul ' (un mic apostrof în dreapta sus a numărului) se citește „minute".

De ce „sexagesimal"? Cuvântul vine din latinescul sexaginta, care înseamnă șaizeci. Sistemul sexagesimal (în baza 60) a fost folosit acum mii de ani de babilonieni, iar noi îl moștenim până astăzi în două locuri: la ceas (1 oră = 60 de minute) și la unghiuri (1 grad = 60 de minute). Practic, dacă te pricepi la ceas, ai deja jumătate din lecție învățată!

Analogia cu ceasul — cheia întregii lecții

Ține minte această asemănare, fiindcă te va salva de multe ori:

Exact ca la ceas: dacă aduni 40 de minute cu 30 de minute, obții 70 de minute, dar nu spui „70 de minute" — spui „1 oră și 10 minute". La fel facem și cu unghiurile.

Cum scriem o măsură în grade și minute

O măsură de unghi exprimată în grade și minute se scrie lipit: numărul de grade, simbolul °, numărul de minute, simbolul '. De exemplu:

• 37°24' se citește „treizeci și șapte de grade și douăzeci și patru de minute".
• 5°08' se citește „cinci grade și opt minute".

Regulă importantă: numărul de minute dintr-o scriere corectă este întotdeauna mai mic decât 60. Dacă obții 60 de minute sau mai mult, trebuie să le transformi în grade. La fel cum nu spui niciodată „ceasul arată 75 de minute", nu scrii niciodată un unghi ca „12°75'" — îl corectezi.

Transformarea din grade în minute

Uneori avem nevoie să exprimăm totul numai în minute. E ca și cum am transforma „2 ore și 30 de minute" în „150 de minute". Cum facem?

Fiecare grad înseamnă 60 de minute. Deci înmulțim numărul de grade cu 60 și apoi adăugăm minutele care erau deja acolo.

Exemplu simplu: Cât înseamnă 3°20' exprimat doar în minute?

Pas cu pas:

1. Cele 3 grade înseamnă: $3\times 60=180$ minute.
2. Adăugăm cele 20 de minute existente: $180+20=200$ minute.
3. Rezultat: $3°20^{\prime }=200^{\prime }$.

Transformarea din minute în grade și minute

Drumul invers: avem o grămadă de minute și vrem să le grupăm frumos în grade și minute. Asta înseamnă împărțire la 60. Câtul ne dă gradele, iar restul ne dă minutele care rămân.

Exemplu simplu: Transformă 200' în grade și minute.

Pas cu pas:

1. Împărțim la 60: $200:60=3$ rest $20$ (pentru că $3\times 60=180$, iar $200-180=20$).
2. Câtul, 3, sunt gradele. Restul, 20, sunt minutele.
3. Rezultat: $200^{\prime }=3°20^{\prime }$.

Observă cum am ajuns înapoi de unde plecasem în exemplul anterior — transformările sunt drumuri dus-întors pe aceeași șosea.

Adunarea măsurilor de unghiuri

Când lipim două unghiuri unul lângă altul (au o latură comună), măsurile lor se adună. Procedeul are doi pași simpli:

Pasul 1: Adună separat gradele cu gradele și minutele cu minutele. Pasul 2: Dacă suma minutelor a ajuns la 60 sau mai mult, transformă 60 de minute într-un grad și mută acel grad la coloana gradelor.

Exemplu: Adună 24°35' cu 18°40'.

1. Grade cu grade: $24+18=42$.
2. Minute cu minute: $35+40=75$. Dar 75 ≥ 60, deci trebuie corectat.
3. Corectăm: $75^{\prime }=1°15^{\prime }$ (fiindcă $75-60=15$). Mutăm acel 1° la grade.
4. Grade: $42+1=43$. Minute rămase: $15$.
5. Rezultat: $24°35^{\prime }+18°40^{\prime }=43°15^{\prime }$.

Scăderea măsurilor de unghiuri

Scăderea funcționează tot pe coloane (grade din grade, minute din minute), dar apare uneori o mică problemă: ce facem dacă minutele de sus sunt mai puține decât minutele de jos? Atunci împrumutăm un grad și îl transformăm în 60 de minute — exact ca la scăderea cu împrumut de la numerele naturale, ori ca atunci când socotești cât timp a trecut pe ceas.

Exemplu fără împrumut: $58°47^{\prime }-23°15^{\prime }$.

• Minute: $47-15=32$.
• Grade: $58-23=35$.
• Rezultat: $35°32^{\prime }$.

Exemplu cu împrumut: $60°20^{\prime }-25°45^{\prime }$.

1. Vrem să facem $20^{\prime }-45^{\prime }$, dar 20 este mai mic decât 45. Nu merge direct.
2. Împrumutăm 1° de la cele 60 de grade. Acel grad devine 60'. Acum avem: $59°$ și $20^{\prime }+60^{\prime }=80^{\prime }$.
3. Minute: $80-45=35$.
4. Grade: $59-25=34$.
5. Rezultat: $60°20^{\prime }-25°45^{\prime }=34°35^{\prime }$.

Înmulțirea măsurii unui unghi cu un număr natural

Imaginează-ți o roată de bicicletă cu spițe egale sau feliile egale ale unei pizza. Dacă ai mai multe unghiuri egale lipite unul lângă altul, în loc să aduni mereu aceeași măsură, e mult mai rapid să înmulțești. A înmulți cu 3 înseamnă, de fapt, a aduna același unghi de trei ori — exact ca la numerele naturale, unde $4\times 5$ este o scurtătură pentru $5+5+5+5$.

Procedeul are tot doi pași:

Pasul 1: Înmulțești separat gradele cu numărul și minutele cu numărul. Pasul 2: Dacă produsul minutelor a ajuns la 60 sau mai mult, regrupezi: transformi fiecare 60 de minute într-un grad și-l muți la coloana gradelor — exact ca la adunare.

Exemplu: Cât măsoară un unghi de trei ori mai mare decât $25°20^{\prime }$? Calculăm $3\times 25°20^{\prime }$.

1. Grade: $3\times 25=75$.
2. Minute: $3\times 20=60$. Dar $60^{\prime }\ge 60^{\prime }$, deci regrupăm: $60^{\prime }=1°00^{\prime }$.
3. Mutăm acel $1°$ la grade: $75+1=76$; minute rămase: $0$.
4. Rezultat: $3\times 25°20^{\prime }=76°$.

Observă că minutele se pot „aduna" și aici peste 60 — uneori chiar peste 120 sau mai mult dacă numărul cu care înmulțim este mare. Atunci împărțim numărul de minute la 60 ca să vedem câte grade noi se formează, exact ca la transformarea minute → grade.

Împărțirea măsurii unui unghi în părți egale

Drumul invers al înmulțirii: avem un unghi mare și vrem să-l împărțim în mai multe unghiuri egale. Gândește-te că tai o felie de tort în bucăți egale sau că împarți o întoarcere completă a unei macarale în pași egali.

Aici apare un truc important. Împărțim întâi gradele la numărul cerut. Dacă rămâne un rest, acel rest sunt grade care „nu s-au putut împărți" — așa că le transformăm în minute (înmulțindu-le cu 60), le adăugăm la minutele existente și abia apoi împărțim minutele.

Exemplu: Un unghi drept de $90°$ este împărțit în 4 unghiuri egale. Cât măsoară fiecare?

1. Împărțim gradele: $90:4=22$ rest $2$. Adică fiecare bucată are 22 de grade întregi, dar rămân $2°$ neîmpărțite.
2. Transformăm restul în minute: $2°=2\times 60=120^{\prime }$. Le adăugăm la cele $0^{\prime }$ pe care le aveam: $120^{\prime }$.
3. Împărțim minutele: $120:4=30^{\prime }$.
4. Rezultat: fiecare unghi măsoară $22°30^{\prime }$.

Verificăm prin înmulțire: $4\times 22°30^{\prime }=88°120^{\prime }=90°$. ✓ Se potrivește.

Calculul în coloană — cum așezi frumos numerele

Pentru a nu amesteca gradele cu minutele, mulți elevi preferă să scrie calculul pe coloane, exact ca la adunarea și scăderea numerelor naturale. Trasezi o linie verticală care desparte gradele de minute, așezi unul sub altul gradele, respectiv minutele, și lucrezi pe fiecare coloană separat.

Iată cum arată adunarea $24°35^{\prime }+18°40^{\prime }$ așezată pe coloane:

   grade │ minute
     24  │  35
   + 18  │  40
   ──────┼──────
     42  │  75   →  75' = 1°15'  →  43°15'

Întâi aduni fiecare coloană, apoi te uiți la minute: dacă au depășit 59, „cari" un grad spre stânga, exact ca atunci când duci o zecime mai departe la adunarea obișnuită. Singura diferență este că aici „duci mai departe" la fiecare 60, nu la fiecare 10. Această așezare îngrijită previne cele mai multe greșeli, mai ales la început.

Cum verifici dacă rezultatul e corect

La matematică e bine să-ți verifici singur munca. Pentru calculele cu unghiuri ai două metode rapide:

• La scădere, aduni rezultatul cu scăzătorul; trebuie să-ți dea descăzutul. De exemplu, am obținut $60°20^{\prime }-25°45^{\prime }=34°35^{\prime }$. Verificăm: $34°35^{\prime }+25°45^{\prime }=59°80^{\prime }=60°20^{\prime }$. ✓ Se potrivește, deci scăderea e corectă.
• La transformări, faci drumul invers. Dacă ai spus $7°50^{\prime }=470^{\prime }$, verifici împărțind: $470:60=7$ rest $50$, adică $7°50^{\prime }$. ✓

Verificarea durează câteva secunde și te scapă de note mici din neatenție.

O poveste scurtă ca să nu uiți

Gândește-te la grade și minute ca la lei și bani (subdiviziuni). Un leu are 100 de bani; un grad are 60 de „minute-bănuți". Când aduni sume de bani și treci de 100 de bani, schimbi o sută de bani pe un leu. Când aduni unghiuri și treci de 60 de minute, schimbi 60 de minute pe un grad. Iar la scădere, dacă nu-ți ajung minutele, „rupi" un grad și-l schimbi în 60 de minute mărunte, ca să ai de unde scădea. Geometria și portofelul folosesc același truc — doar moneda diferă: la unghiuri „moneda mare" se schimbă pe 60, nu pe 100.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Transformare grade → minute

Cerință: Transformă 7°50' în minute.

Rezolvare:

• Cele 7 grade: $7\times 60=420^{\prime }$.
• Adăugăm minutele: $420+50=470^{\prime }$.

Răspuns: $7°50^{\prime }=470^{\prime }$.

Exemplul 2 — Transformare minute → grade și minute

Cerință: Scrie 305' în grade și minute.

Rezolvare:

• Împărțim la 60: $305:60=5$ rest $5$ (deoarece $5\times 60=300$ și $305-300=5$).
• Câtul 5 = grade, restul 5 = minute.

Răspuns: $305^{\prime }=5°05^{\prime }$.

Exemplul 3 — Adunare cu corectare a minutelor

Cerință: Calculează $36°48^{\prime }+27°27^{\prime }$.

Rezolvare:

1. Grade: $36+27=63$.
2. Minute: $48+27=75$.
3. $75^{\prime }\ge 60^{\prime }$, deci $75^{\prime }=1°15^{\prime }$. Mutăm 1° la grade.
4. Grade: $63+1=64$; minute rămase: $15$.

Răspuns: $36°48^{\prime }+27°27^{\prime }=64°15^{\prime }$.

Exemplul 4 — Scădere cu împrumut

Cerință: Calculează $90°-53°38^{\prime }$.

Rezolvare: Observă că $90°$ înseamnă $90°00^{\prime }$ (zero minute).

1. Vrem $00^{\prime }-38^{\prime }$, dar nu se poate. Împrumutăm 1° din 90°.
2. Rămân $89°$, iar minutele devin $0^{\prime }+60^{\prime }=60^{\prime }$.
3. Minute: $60-38=22$.
4. Grade: $89-53=36$.

Răspuns: $90°-53°38^{\prime }=36°22^{\prime }$. (Acest tip de calcul apare des când lucrezi cu unghiuri complementare — vezi lecția Unghiuri complementare, suplementare și opuse la vârf.)

Exemplul 5 — Trei unghiuri adunate

Cerință: Trei unghiuri au măsurile 12°25', 18°50' și 9°40'. Cât măsoară unghiul format prin alăturarea tuturor?

Rezolvare:

1. Grade: $12+18+9=39$.
2. Minute: $25+50+40=115$.
3. $115^{\prime }=1°55^{\prime }$ (fiindcă $115-60=55$). Mutăm 1° la grade.
4. Grade: $39+1=40$; minute: $55$.

Răspuns: $40°55^{\prime }$.

Exemplul 6 — Problemă practică

Cerință: Un robot de jucărie pornește cu brațul orientat la un unghi de 28°45' față de masă. Îl rotim în sus cu încă 36°35'. Ce unghi face acum brațul față de masă? Este un unghi ascuțit, drept sau obtuz?

Rezolvare:

1. Adunăm: grade $28+36=64$; minute $45+35=80$.
2. $80^{\prime }=1°20^{\prime }$, deci adăugăm 1° la grade: $64+1=65$; minute $20$.
3. Unghiul brațului: $65°20^{\prime }$.
4. Cum $65°20^{\prime }$ este mai mic decât $90°$, unghiul este ascuțit. (Reamintește-ți criteriile din lecția Clasificarea unghiurilor: drept, ascuțit, obtuz.)

Răspuns: Brațul face un unghi de $65°20^{\prime }$, care este un unghi ascuțit.

Exemplul 7 — Aflarea unghiului care lipsește

Cerință: Două unghiuri alăturate formează împreună un unghi de $58°12^{\prime }$. Dacă unul dintre ele măsoară $21°35^{\prime }$, cât măsoară celălalt?

Rezolvare: Dacă întregul este $58°12^{\prime }$ și o parte este $21°35^{\prime }$, cealaltă parte se află prin scădere.

1. Calculăm $58°12^{\prime }-21°35^{\prime }$.
2. $12^{\prime }-35^{\prime }$ nu merge: împrumutăm 1°. Avem $57°$ și $72^{\prime }$.
3. Minute: $72-35=37$.
4. Grade: $57-21=36$.
5. Verificare: $36°37^{\prime }+21°35^{\prime }=57°72^{\prime }=58°12^{\prime }$. ✓

Răspuns: Celălalt unghi măsoară $36°37^{\prime }$.

Exemplul 8 — Înmulțirea unei măsuri

Cerință: Cinci unghiuri egale, fiecare de $14°25^{\prime }$, sunt alăturate. Cât măsoară unghiul total?

Rezolvare: A alătura cinci unghiuri egale înseamnă să înmulțim măsura cu 5.

1. Grade: $5\times 14=70$.
2. Minute: $5\times 25=125$.
3. Regrupăm minutele: $125:60=2$ rest $5$, adică $125^{\prime }=2°05^{\prime }$.
4. Mutăm cele $2°$ la grade: $70+2=72$; minute rămase: $5$.

Răspuns: $5\times 14°25^{\prime }=72°05^{\prime }$.

Exemplul 9 — Împărțirea unei măsuri în părți egale

Cerință: Un unghi de $115°$ este împărțit în 6 unghiuri egale. Cât măsoară fiecare?

Rezolvare:

1. Împărțim gradele: $115:6=19$ rest $1$. Rămâne $1°$ neîmpărțit.
2. Transformăm restul în minute: $1°=60^{\prime }$. Adăugăm la cele $0^{\prime }$ existente: $60^{\prime }$.
3. Împărțim minutele: $60:6=10^{\prime }$.
4. Verificare: $6\times 19°10^{\prime }=114°60^{\prime }=115°$. ✓

Răspuns: Fiecare unghi măsoară $19°10^{\prime }$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La transformări și calcule, scrie pașii, nu doar rezultatul.

1. Completează: $1°={\underline{}}^{\prime }$.
2. Transformă în minute: $2°30^{\prime }$.
3. Transformă în minute: $4°15^{\prime }$.
4. Transformă în grade și minute: $180^{\prime }$.
5. Transformă în grade și minute: $135^{\prime }$.
6. Calculează: $14°20^{\prime }+23°35^{\prime }$.
7. Calculează: $40°50^{\prime }+12°25^{\prime }$.
8. Calculează: $48°36^{\prime }-17°21^{\prime }$.
9. Calculează: $63°10^{\prime }-28°40^{\prime }$.
10. Adevărat sau fals? Scrierea $25°72^{\prime }$ este corectă.
11. Încercuiește scrierea corectă a unei măsuri de unghi: a) $30°60^{\prime }$ b) $30°59^{\prime }$ c) $30°75^{\prime }$.
12. Calculează: $90°-41°27^{\prime }$.
13. Calculează: $180°-96°53^{\prime }$.
14. Două unghiuri alăturate au $33°44^{\prime }$ și $26°16^{\prime }$. Cât măsoară unghiul total?
15. Potrivește fiecare măsură din stânga cu echivalentul din dreapta:
    • A. $1°30^{\prime }$ • B. $2°$ • C. $0°45^{\prime }$
    • 1. $120^{\prime }$ • 2) $45^{\prime }$ • 3) $90^{\prime }$
16. Un ceainic are capacul deschis la $52°38^{\prime }$. Îl mai deschidem cu $19°47^{\prime }$. La ce unghi este acum capacul?
17. Suma a două unghiuri este $90°$. Unul măsoară $34°55^{\prime }$. Cât măsoară celălalt?
18. Problemă: La un meci de fotbal, un jucător își mișcă piciorul pentru a șuta. La început piciorul face un unghi de $15°50^{\prime }$ cu solul, iar la final $73°35^{\prime }$. Cu cât a crescut unghiul în timpul mișcării?
19. Transformă în minute: $1°59^{\prime }$. Apoi adaugă încă $1^{\prime }$ și rescrie rezultatul în grade și minute. Ce observi?
20. Verifică prin adunare dacă scăderea $50°15^{\prime }-22°40^{\prime }=27°35^{\prime }$ este corectă.
21. Problemă: Pe un patinoar, un sportiv face o piruetă. Întâi se rotește cu $47°55^{\prime }$, apoi cu încă $58°20^{\prime }$, apoi cu încă $33°50^{\prime }$. Cât a rotit în total? Rezultatul este mai mic sau mai mare decât un unghi alungit ($180°$)?
22. Calculează: $4\times 18°15^{\prime }$.
23. Calculează: $3\times 27°40^{\prime }$.
24. Un unghi de $84°36^{\prime }$ este împărțit în 3 unghiuri egale. Cât măsoară fiecare?
25. Împarte un unghi de $50°$ în 4 unghiuri egale. Cât măsoară fiecare?
26. Calculează: $2\times 46°38^{\prime }$.
27. Trei unghiuri egale formează împreună un unghi de $111°45^{\prime }$. Cât măsoară fiecare?

Răspunsuri și explicații

1. 60'. Relația de bază a lecției: un grad are 60 de minute sexagesimale.
2. 150'. $2\times 60=120$; $120+30=150$.
3. 255'. $4\times 60=240$; $240+15=255$.
4. 3°00' (adică 3°). $180:60=3$ rest $0$.
5. 2°15'. $135:60=2$ rest $15$ (fiindcă $2\times 60=120$ și $135-120=15$).
6. 37°55'. Grade: $14+23=37$; minute: $20+35=55$. Minutele sunt sub 60, nu corectăm.
7. 53°15'. Grade: $40+12=52$; minute: $50+25=75=1°15^{\prime }$; deci $52+1=53$ grade și $15^{\prime }$.
8. 31°15'. Minute: $36-21=15$; grade: $48-17=31$. Fără împrumut.
9. 34°30'. $10^{\prime }-40^{\prime }$ nu merge: împrumutăm 1°. Avem $62°$ și $70^{\prime }$; minute $70-40=30$; grade $62-28=34$.
10. Fals. Minutele trebuie să fie mai mici decât 60. $72^{\prime }=1°12^{\prime }$, deci scrierea corectă ar fi $26°12^{\prime }$.
11. b) 30°59'. La a) și c) numărul de minute este 60 sau mai mare, deci sunt incorecte.
12. 48°33'. $90°=89°60^{\prime }$; minute $60-27=33$; grade $89-41=48$.
13. 83°07'. $180°=179°60^{\prime }$; minute $60-53=7$; grade $179-96=83$.
14. 60°. Grade: $33+26=59$; minute: $44+16=60=1°00^{\prime }$; deci $59+1=60$ grade și $0^{\prime }$. (Cele două unghiuri sunt complementare!)
15. A–3, B–1, C–2. $1°30^{\prime }=90^{\prime }$; $2°=120^{\prime }$; $0°45^{\prime }=45^{\prime }$.
16. 72°25'. Grade: $52+19=71$; minute: $38+47=85=1°25^{\prime }$; deci $71+1=72$ grade și $25^{\prime }$.
17. 55°05'. $90°=89°60^{\prime }$; minute $60-55=5$; grade $89-34=55$.
18. 57°45'. Scădem: $73°35^{\prime }-15°50^{\prime }$. $35^{\prime }-50^{\prime }$ nu merge: împrumutăm 1°, avem $72°$ și $95^{\prime }$; minute $95-50=45$; grade $72-15=57$. Unghiul a crescut cu $57°45^{\prime }$.
19. $1°59^{\prime }=119^{\prime }$; după $+1^{\prime }$ obținem $120^{\prime }=2°$. $1\times 60+59=119$; $119+1=120$; $120:60=2$ rest $0$. Observăm că exact când minutele ating 60 se formează un grad nou — de aceea minutele nu trec niciodată de 59 într-o scriere corectă.
20. Corectă. Verificăm: $27°35^{\prime }+22°40^{\prime }=49°75^{\prime }=50°15^{\prime }$, adică tocmai descăzutul. Deci scăderea este corectă.
21. 140°05'; mai mic decât 180°. Grade: $47+58+33=138$; minute: $55+20+50=125=2°05^{\prime }$; deci $138+2=140$ grade și $05^{\prime }$. Cum $140°05^{\prime }<180°$, rotația totală este mai mică decât un unghi alungit.
22. 73°. Grade: $4\times 18=72$; minute: $4\times 15=60=1°00^{\prime }$; deci $72+1=73$ grade și $0^{\prime }$.
23. 83°. Grade: $3\times 27=81$; minute: $3\times 40=120=2°00^{\prime }$; deci $81+2=83$ grade și $0^{\prime }$.
24. 28°12'. Gradele: $84:3=28$ rest $0$; minutele: $36:3=12$. Fiecare unghi are $28°12^{\prime }$.
25. 12°30'. Gradele: $50:4=12$ rest $2$; restul $2°=120^{\prime }$, plus $0^{\prime }$ existente $=120^{\prime }$; minutele: $120:4=30^{\prime }$. Deci $12°30^{\prime }$. (Verificare: $4\times 12°30^{\prime }=48°120^{\prime }=50°$.)
26. 93°16'. Grade: $2\times 46=92$; minute: $2\times 38=76=1°16^{\prime }$; deci $92+1=93$ grade și $16^{\prime }$.
27. 37°15'. Gradele: $111:3=37$ rest $0$; minutele: $45:3=15$. Fiecare unghi are $37°15^{\prime }$.

De reținut

• 1° = 60' — relația-cheie a întregii lecții. Gradul se împarte în 60 de minute sexagesimale.
• Grade → minute: înmulțești gradele cu 60 și adaugi minutele.
• Minute → grade: împarți la 60; câtul dă gradele, restul dă minutele.
• Adunare: aduni grade cu grade și minute cu minute; dacă minutele ≥ 60, transformi 60' într-un 1° și-l muți la grade.
• Scădere: scazi pe coloane; dacă minutele de sus sunt prea puține, împrumuți 1° (= 60') de la grade.
• Înmulțire cu un număr natural: înmulțești și gradele, și minutele cu numărul; dacă minutele ajung la 60 sau mai mult, regrupezi (le împarți la 60 și muți gradele obținute).
• Împărțire în părți egale: împarți întâi gradele; restul de grade îl transformi în minute (× 60), îl adaugi la minutele existente și apoi împarți minutele.
• Într-o scriere corectă, numărul de minute este întotdeauna sub 60.

Greșeli frecvente

• Confuzia 1° = 100'. Mintea ne trage spre 100 (ca la centimetri sau bani), dar la unghiuri „moneda mică" se schimbă pe 60, exact ca la minutele ceasului. Repetă-ți: 1° = 60'.
• Uiți să corectezi minutele peste 60. Dacă la adunare obții, de exemplu, 75', nu lași $...°75^{\prime }$. Transformi: $75^{\prime }=1°15^{\prime }$ și muți gradul. La fel, nu lași niciodată un rezultat cu 60 sau mai multe minute.
• Scădere fără împrumut. Când minutele de sus sunt mai puține decât cele de jos, mulți încearcă să scadă „invers" sau să pună 0. Corect este să împrumuți un grad (= 60') și apoi să scazi.
• Aduni gradele cu minutele de-a valma. Gradele se adună doar cu gradele, minutele doar cu minutele — ca merele cu merele și perele cu perele. Ține-le pe coloane separate.

Joc acasă

1. Ceasul-unghi. Ia un ceas cu ace (sau desenează unul). Stabilește că „o oră" pe ceas este ca „un grad", iar „un minut" pe ceas este ca „un minut de unghi". Alege două ore-minute (ex. 1h40min și 2h35min), adună-le ca pe ceas, apoi rescrie totul ca unghiuri (1°40' + 2°35'). Vei vedea că rezultatul e identic — fiindcă ambele folosesc baza 60.

2. Raportor de hârtie. Decupează un raportor de hârtie (sau folosește-l pe cel din penar). Desenează două unghiuri lipite, măsoară-le pe fiecare cu raportorul (citește gradele) și apoi „prefă-te" că fiecare are și câteva minute în plus (alege tu, sub 60). Adună-le în grade și minute și verifică dacă unghiul total citit pe raportor se potrivește aproximativ.

3. Cursa împrumuturilor. Scrie pe bilețele 6 scăderi de unghiuri (jumătate fără împrumut, jumătate cu împrumut, ca $70°10^{\prime }-25°45^{\prime }$). Amestecă-le. Cronometrează-te: cât de repede rezolvi corect toate șase? Repetă a doua zi și încearcă să-ți bați recordul. Verifică fiecare răspuns adunând la loc (rezultat + scăzător = descăzut).

Pentru părinți și învățători

Această lecție îmbină geometria cu un mic „antrenament" de calcul în baza 60, ceea ce o face foarte potrivită pentru consolidat și gândirea proporțională.

Cum introduceți lecția: Porniți de la ceas. Întrebați copilul „câte minute are o oră?" și apoi „dacă 1 oră se împarte în 60 de minute, oare gradul nu s-ar putea împărți și el în 60 de bucățele?". Această punte spre ceva deja cunoscut reduce mult anxietatea în fața noțiunii noi.

Întrebări bune de pus:

• „De ce nu scriem niciodată un unghi ca $20°75^{\prime }$?" (Răspuns așteptat: pentru că 75 de minute fac deja peste un grad — trebuie regrupate.)
• „Când scădem $90°-53°38^{\prime }$, de ce împrumutăm un grad?" (Răspuns: pentru că nu putem scădea 38' din 0'.)
• „Cum verificăm o scădere de unghiuri?" (Răspuns: adunând rezultatul cu scăzătorul; trebuie să obținem descăzutul.)

Cum sprijiniți la dificultate: Dacă copilul greșește corectarea minutelor, cereți-i să rezolve mai întâi aceeași operație ca timp pe ceas, apoi să o „traducă" în grade. Dacă încurcă coloanele, scrieți gradele și minutele în două coloane separate, cu o linie verticală între ele, ca la adunarea în coloană.

Cum verificați înțelegerea: Dați trei mini-sarcini: o transformare grade↔minute, o adunare cu corectare și o scădere cu împrumut. Dacă le rezolvă corect pe toate trei, lecția este stăpânită. Reamintiți legătura cu lecțiile Măsura unui unghi și Clasificarea unghiurilor.

Întrebări frecvente

Câte minute are un grad? Un grad are exact 60 de minute sexagesimale, adică $1°=60^{\prime }$. Este aceeași idee ca la ceas, unde o oră are 60 de minute. Gradul se împarte în 60 de părți egale, fiecare numită minut.

Cum transform grade în minute? Înmulțești numărul de grade cu 60 și adaugi minutele pe care le aveai deja. De exemplu, $3°20^{\prime }=3\times 60+20=180+20=200^{\prime }$. Practic, fiecare grad „se desface" în 60 de minute.

Cum transform minutele în grade și minute? Împarți numărul de minute la 60. Câtul îți dă gradele, iar restul îți dă minutele rămase. De exemplu, $200^{\prime }:60=3$ rest $20$, deci $200^{\prime }=3°20^{\prime }$.

De ce minutele trebuie să fie mai mici decât 60? Pentru că 60 de minute formează deja un grad întreg. Dacă ai 60 sau mai multe minute, le regrupezi: schimbi fiecare 60 de minute pe un grad. La fel cum ceasul nu arată niciodată „75 de minute", un unghi nu se scrie niciodată cu 60 sau mai multe minute.

Cum adun două unghiuri date în grade și minute? Aduni separat gradele cu gradele și minutele cu minutele. Dacă suma minutelor ajunge la 60 sau mai mult, transformi 60 de minute într-un grad și-l muți la coloana gradelor. De exemplu, $24°35^{\prime }+18°40^{\prime }=43°15^{\prime }$.

Ce fac când scad și minutele de sus sunt mai puține? Împrumuți un grad de la coloana gradelor și îl transformi în 60 de minute, pe care le adaugi la minutele de sus. Apoi scazi normal. De exemplu, la $60°20^{\prime }-25°45^{\prime }$ împrumuți: $59°80^{\prime }-25°45^{\prime }=34°35^{\prime }$.

Ce înseamnă „sexagesimal"? Înseamnă „în baza șaizeci". Cuvântul vine din latină (sexaginta = șaizeci). Sistemul a fost inventat de babilonieni și se folosește și azi la măsurarea unghiurilor și a timpului, ambele bazate pe împărțirea în 60 de părți.

Cum înmulțesc sau împart măsura unui unghi cu un număr? La înmulțire, înmulțești și gradele, și minutele cu numărul, apoi regrupezi minutele dacă au ajuns la 60 sau mai mult (de exemplu $3\times 25°20^{\prime }=75°60^{\prime }=76°$). La împărțire, împarți întâi gradele; dacă rămâne un rest de grade, îl transformi în minute înmulțindu-l cu 60, îl adaugi la minutele existente și abia apoi împarți minutele (de exemplu $90°:4=22°30^{\prime }$).

Sunt minutele de la unghiuri la fel cu minutele de la ceas? Ideea de regrupare este identică (ambele folosesc 60), dar sunt mărimi diferite: la ceas măsoară timp, la unghiuri măsoară deschiderea unui unghi. De aceea folosim simbolul ' pentru minutele de unghi și le calculăm exact ca minutele de pe ceas.