Unghiul nul și unghiul alungit

Până acum ai învățat să măsori unghiuri cu raportorul și să le clasifici în ascuțite, drepte și obtuze. Dar ce se întâmplă la cele două capete ale „scării" unghiurilor — atunci când deschiderea dintre laturi este cât se poate de mică, adică zero, sau atunci când laturile se desfac complet și ajung să formeze o linie dreaptă? Aici intervin două unghiuri speciale, cu nume aparte: unghiul nul și unghiul alungit. În această lecție le vei recunoaște dintr-o privire și vei ști exact ce măsură au.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști unghiul nul după laturile suprapuse și după măsura lui de 0°.
• Vei ști să recunoști unghiul alungit după laturile care sunt semidrepte opuse și după măsura lui de 180°.
• Vei ști să precizezi corect măsura fiecăruia: unghiul nul are 0°, iar unghiul alungit are 180°.
• Vei ști să compari unghiul nul și unghiul alungit cu unghiul drept (90°).
• Vei ști să identifici aceste unghiuri speciale în figuri și desene.

Hai să descoperim împreună

Reamintim, foarte pe scurt, ce este un unghi

Un unghi este figura formată din două semidrepte care pornesc din același punct. Punctul comun se numește vârful unghiului, iar cele două semidrepte se numesc laturile unghiului. Despre toate acestea ai citit pe larg în lecția Unghiul: definiție, notații și elemente, iar despre cum se măsoară un unghi în grade, cu raportorul, ai învățat în Măsura unui unghi. Măsurarea și construcția cu raportorul.

Imaginează-ți unghiul ca pe o pereche de foarfeci. Vârful foarfecii este vârful unghiului, iar cele două lame sunt laturile. Cu cât deschizi mai mult foarfeca, cu atât unghiul este mai mare; cu cât o închizi, cu atât unghiul este mai mic.

Scara unghiurilor: de la cel mai mic la cel mai mare

Ca să înțelegi bine unghiul nul și unghiul alungit, gândește-te la unghi ca la o ușă care se deschide. Stă fixată în balamale (acolo este vârful) și se rotește.

• Când ușa este complet închisă, lipită de tocul ușii, nu există niciun spațiu între ele. Deschiderea este zero. Acesta este unghiul nul.
• Când deschizi ușa puțin, obții un unghi ascuțit (mai mic decât 90°).
• Când ușa este deschisă fix la sfert, „în echer", obții unghiul drept (exact 90°).
• Când o deschizi și mai mult, obții un unghi obtuz (între 90° și 180°).
• Când ușa se deschide complet, până ajunge perfect în linie dreaptă cu peretele, deschiderea este maximă. Acesta este unghiul alungit.

Vom merge acum la cele două capete ale acestei scări: deschiderea zero și deschiderea maximă.

Unghiul nul: deschiderea zero

Unghiul nul este unghiul ale cărui laturi sunt suprapuse, adică stau exact una peste cealaltă, ca două creioane așezate perfect unul peste altul. Între ele nu rămâne niciun spațiu, nicio deschidere.

Pentru că nu există nicio deschidere între laturi, măsura unghiului nul este 0° (zero grade). Citim „zero grade".

Cum scriem un unghi nul? Dacă vârful este $O$ și ambele laturi pornesc spre același punct $A$, notăm $\angle AOA$, dar de obicei spunem simplu că unghiul are măsura $0°$ și scriem:

$$\angle AOB=0°$$

unde semidreptele $OA$ și $OB$ sunt suprapuse (merg în aceeași direcție).

Gândește-te la ceasul de perete. La ora 12:00 fix, acul mare (minutarul) și acul mic (orarul) stau aproape unul peste celălalt, îndreptate amândouă spre 12. Deschiderea dintre ele este foarte mică — aproape un unghi nul. Dacă cele două ace ar fi perfect suprapuse, ar forma exact un unghi nul de 0°.

Unghiul alungit: deschiderea maximă

Acum mergem la celălalt capăt al scării. Unghiul alungit este unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte opuse. Asta înseamnă că cele două laturi pornesc din vârf în direcții exact contrare, astfel încât împreună formează o linie dreaptă.

Despre semidrepte opuse ai mai citit; dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria, vezi lecția Semidreapta și segmentul. Reține ideea cheie: două semidrepte opuse, puse cap la cap în vârful $O$, dau o dreaptă întreagă.

Deschiderea dintre laturile unui unghi alungit este cea mai mare deschidere posibilă pentru un unghi: un semicerc întreg. De aceea măsura unghiului alungit este 180° (o sută optzeci de grade). Scriem:

$$\angle AOB=180°$$

unde $OA$ și $OB$ sunt semidrepte opuse.

De ce tocmai 180°? Amintește-ți că un cerc complet are 360°. Un unghi alungit „taie" cercul exact în jumătate, deci are jumătate din 360°, adică:

$$360°:2=180°$$

Un exemplu din viața de zi cu zi: privește un balansoar (leagăn cu scândură) sau brațele întinse ale unei persoane. Când cineva întinde brațele complet în lateral, în cruce, mâna stângă merge într-o direcție, iar mâna dreaptă în direcția exact opusă. Umărul este vârful, iar cele două brațe sunt laturile. Împreună formează aproape o linie dreaptă — un unghi alungit de 180°.

Compararea cu unghiul drept

Acum ai cunoscut trei „borne" importante pe scara unghiurilor. Hai să le punem alături, ca să le compari corect. (Despre unghiul drept și ceilalți „vecini" ai lui — ascuțitul și obtuzul — ai învățat în Clasificarea unghiurilor: drept, ascuțit, obtuz.)

Acum compară măsurile:

• Unghiul nul (0°) este mai mic decât unghiul drept (90°), pentru că $0°<90°$.
• Unghiul alungit (180°) este mai mare decât unghiul drept (90°), pentru că $180°>90°$.
• Unghiul drept este chiar la mijloc între ele: $0°<90°<180°$. De fapt, $90°$ este exact jumătatea lui $180°$, fiindcă $180°:2=90°$.

Putem spune și că un unghi alungit este „cât două unghiuri drepte puse cap la cap":

$$90°+90°=180°$$

Această ultimă imagine este foarte importantă și o vei folosi mereu: dacă într-un punct de pe o dreaptă ridici o perpendiculară, ea împarte unghiul alungit (180°) în două unghiuri drepte (90° fiecare).

Hai să așezăm toate cele cinci tipuri de unghiuri într-o singură „bandă", de la cel mai mic la cel mai mare, ca să vezi unde se află fiecare:

• 0° — unghi nul (capătul de jos al scării);
• între 0° și 90° — unghi ascuțit;
• 90° — unghi drept;
• între 90° și 180° — unghi obtuz;
• 180° — unghi alungit (capătul de sus al scării).

Observă că unghiul nul și unghiul alungit sunt capetele acestei benzi: nimic nu este mai mic decât 0° și niciun unghi obișnuit nu este mai mare decât 180°. Ele sunt, dacă vrei, „pereții" între care trăiesc toate celelalte unghiuri.

Recunoașterea unghiului nul și a celui alungit în figuri

Cum le „prinzi" repede într-o figură? Ai doar două întrebări de pus:

1. Laturile stau una peste cealaltă, în aceeași direcție? → este unghi nul (0°).
2. Laturile formează împreună o linie dreaptă, mergând în direcții opuse? → este unghi alungit (180°).

Atenție la o capcană! Un unghi alungit arată „ca o linie dreaptă", așa că s-ar putea să nu-l observi că este, de fapt, un unghi. Trucul este să cauți vârful: dacă pe o dreaptă este marcat un punct și de acolo pleacă, în cele două sensuri, cele două laturi, atunci ai un unghi alungit cu vârful în acel punct.

O scurtă poveste ca să nu uiți

Gândește-te la un evantai (un instrument în formă de evantai pe care îl deschizi în mână). Când evantaiul este complet strâns, toate lamelele sunt una peste alta — atunci „unghiul" evantaiului este nul, 0°. Pe măsură ce îl deschizi, unghiul crește: trece prin ascuțit, ajunge la drept (când e deschis la sfert), urcă spre obtuz, și dacă l-ai putea deschide complet, până când marginile lui ar fi în linie perfect dreaptă, ai obține unghiul alungit, 180°. Evantaiul îți arată întreaga scară a unghiurilor, de la 0° la 180°, doar mișcând mâna.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem unghiul nul

Enunț. Două semidrepte, $OM$ și $ON$, pornesc din punctul $O$ și sunt suprapuse (merg amândouă spre dreapta, pe aceeași direcție). Ce fel de unghi formează și ce măsură are?

Rezolvare. Laturile $OM$ și $ON$ stau una peste cealaltă, deci între ele nu există nicio deschidere. Un unghi cu laturile suprapuse este, prin definiție, unghi nul. Măsura lui este $0°$.

Răspuns: $\angle MON=0°$ (unghi nul).

Exemplul 2 — Recunoaștem unghiul alungit

Enunț. Pe o dreaptă $d$ se află punctul $O$. Semidreptele $OA$ și $OB$ pornesc din $O$ în direcții opuse, de-a lungul dreptei $d$ (una spre stânga, cealaltă spre dreapta). Ce fel de unghi este $\angle AOB$?

Rezolvare. Pentru că $OA$ și $OB$ sunt semidrepte opuse, ele formează împreună întreaga dreaptă $d$. Un unghi cu laturile semidrepte opuse este unghi alungit, iar măsura lui este $180°$.

Răspuns: $\angle AOB=180°$ (unghi alungit).

Exemplul 3 — Comparăm cu unghiul drept

Enunț. Avem trei unghiuri: $\angle A=0°$, $\angle B=90°$ și $\angle C=180°$. Ordonează-le crescător și spune câte unghiuri drepte „încap" în unghiul alungit.

Rezolvare. Comparăm direct măsurile:

$$0°<90°<180°$$

deci ordinea crescătoare este: unghi nul, unghi drept, unghi alungit, adică $\angle A<\angle B<\angle C$.

Câte unghiuri drepte încap în cel alungit? Împărțim:

$$180°:90°=2$$

În unghiul alungit încap exact două unghiuri drepte.

Răspuns: $\angle A<\angle B<\angle C$; în unghiul alungit încap 2 unghiuri drepte.

Exemplul 4 — Adevărat sau fals, cu justificare

Enunț. Decide dacă afirmația este adevărată sau falsă: „Un unghi alungit este mai mic decât un unghi drept." Justifică.

Rezolvare. Unghiul alungit are $180°$, iar unghiul drept are $90°$. Comparăm: $180°>90°$, deci unghiul alungit este, de fapt, mai mare decât unghiul drept, nu mai mic.

Răspuns: Fals. Unghiul alungit (180°) este mai mare decât unghiul drept (90°).

Exemplul 5 — Un mic calcul

Enunț. Un unghi alungit este împărțit de o semidreaptă $OC$ în două unghiuri. Unul dintre ele măsoară $110°$. Cât măsoară celălalt?

Rezolvare. Cele două unghiuri, puse cap la cap, formează unghiul alungit de $180°$. Așadar suma lor este $180°$. Dacă unul are $110°$, celălalt are:

$$180°-110°=70°$$

Răspuns: Celălalt unghi măsoară $70°$.

Exemplul 6 — Recunoaștere într-o figură

Enunț. Pe ceas, la ora exactă 6:00, ce fel de unghi formează cele două ace (orarul și minutarul)? La ora 12:00 (dacă acele ar fi perfect suprapuse)?

Rezolvare. La ora 6:00, minutarul arată spre 12 (în sus), iar orarul arată spre 6 (în jos). Cele două ace merg în direcții exact opuse, pornind din centrul ceasului — sunt deci semidrepte opuse și formează un unghi alungit de 180°.

La ora 12:00, dacă ambele ace ar fi suprapuse, îndreptate spre 12, laturile (acele) ar fi una peste cealaltă — un unghi nul de 0°.

Răspuns: La 6:00 → unghi alungit (180°); la 12:00 cu ace suprapuse → unghi nul (0°).

Exemplul 7 — Trei unghiuri într-un alungit

Enunț. Din punctul $O$, aflat pe o dreaptă, pornesc două semidrepte care împart unghiul alungit în trei unghiuri. Primele două măsoară $35°$ și $90°$. Cât măsoară al treilea și ce fel de unghi este el?

Rezolvare. Cele trei unghiuri, puse cap la cap, umplu unghiul alungit de $180°$. Deci suma lor este $180°$. Scădem din $180°$ cele două unghiuri cunoscute:

$$180°-35°-90°=55°$$

Al treilea unghi are $55°$. Deoarece $55°$ este mai mic decât $90°$, este un unghi ascuțit.

Răspuns: Al treilea unghi măsoară $55°$ și este ascuțit.

Exemplul 8 — De la nul la alungit

Enunț. Ce unghi obții dacă „adaugi" la un unghi nul un unghi alungit? Dar dacă dintr-un unghi alungit scoți un unghi nul?

Rezolvare. Unghiul nul are $0°$, iar cel alungit are $180°$. Adunarea dă:

$$0°+180°=180°$$

deci obținem tot un unghi alungit (a adăuga $0°$ nu schimbă nimic). Scăderea dă:

$$180°-0°=180°$$

tot un unghi alungit. Asta arată că unghiul nul este „neutru": adăugat sau scos, nu modifică măsura.

Răspuns: În ambele cazuri rămâne $180°$ (unghi alungit).

Să exersăm

1. Completează: Unghiul cu laturile suprapuse se numește unghi ______ și are măsura de ______ grade.

2. Completează: Unghiul cu laturile semidrepte opuse se numește unghi ______ și are măsura de ______ grade.

3. Încercuiește răspunsul corect. Măsura unui unghi alungit este: a) 90° b) 180° c) 0° d) 360°.

4. Încercuiește răspunsul corect. Un unghi nul are măsura de: a) 0° b) 45° c) 90° d) 100°.

5. Adevărat sau fals: Un unghi alungit are măsura mai mare decât un unghi drept.

6. Adevărat sau fals: Un unghi nul are laturile semidrepte opuse.

7. Adevărat sau fals: În interiorul unui unghi alungit încap exact două unghiuri drepte.

8. Ordonează crescător (de la cel mai mic la cel mai mare) unghiurile cu măsurile: $180°$, $0°$, $90°$.

9. Potrivește fiecare unghi cu măsura lui:

• A. unghi drept

• B. unghi nul

• C. unghi alungit

  cu măsurile: 0°, 90°, 180°.

10. Pe o dreaptă, în punctul $O$, o semidreaptă împarte unghiul alungit în două unghiuri. Unul are $130°$. Cât are celălalt?

11. Calculează: cât este suma dintre măsura unui unghi nul și măsura unui unghi alungit? ($0°+180°=?$)

12. Calculează: cu cât este mai mare un unghi alungit decât un unghi drept? ($180°-90°=?$)

13. Desenează o dreaptă, marchează pe ea un punct $O$ și colorează cele două laturi ale unghiului alungit care au vârful în $O$. Scrie măsura lui.

14. Un unghi alungit este împărțit de o semidreaptă în două unghiuri egale. Cât măsoară fiecare? Ce fel de unghiuri sunt?

15. La ce oră fixă acele unui ceas formează un unghi alungit de 180°? (Indiciu: gândește-te când acele sunt în direcții opuse.)

16. Adevărat sau fals: Dacă două laturi ale unui unghi merg în aceeași direcție, suprapuse, atunci unghiul are 180°.

17. Problemă. Un unghi alungit este împărțit de două semidrepte în trei unghiuri. Două dintre ele măsoară $60°$ și $40°$. Cât măsoară al treilea?

18. Mică problemă de logică. Andrei spune: „Unghiul meu are 0°." Maria spune: „Unghiul meu are laturile pe aceeași dreaptă, dar în sensuri opuse." Ce fel de unghi are fiecare și care unghi este mai mare?

Răspunsuri și explicații

1. Unghi nul, 0 grade. (Laturile suprapuse, deci nicio deschidere.)

2. Unghi alungit, 180 grade. (Laturile sunt semidrepte opuse și formează o dreaptă.)

3. b) 180°. Aceasta este măsura unghiului alungit.

4. a) 0°. Unghiul nul are măsura zero.

5. Adevărat. $180°>90°$, deci alungitul este mai mare decât dreptul.

6. Fals. Unghiul nul are laturile suprapuse, nu opuse. Cel cu laturi opuse este unghiul alungit.

7. Adevărat. $180°:90°=2$, deci două unghiuri drepte.

8. $0°<90°<180°$, adică: unghi nul, unghi drept, unghi alungit.

9. A → 90°; B → 0°; C → 180°.

10. $180°-130°=50°$. Celălalt unghi are 50°. (Cele două formează împreună unghiul alungit de 180°.)

11. $0°+180°=180°$.

12. $180°-90°=90°$. Alungitul este cu 90° mai mare decât dreptul (adică exact cu un unghi drept mai mult).

13. Desen verificat de profesor/părinte: o dreaptă cu punctul $O$ pe ea, cele două laturi pornind din $O$ în direcții opuse; măsura scrisă: 180°.

14. $180°:2=90°$. Fiecare are 90°, deci sunt unghiuri drepte. (Semidreapta este perpendiculară pe dreapta inițială.)

15. La ora 6:00 (și la 18:00). Atunci un ac arată în sus, celălalt în jos — direcții opuse, deci 180°.

16. Fals. Laturile suprapuse, în aceeași direcție, dau unghi nul (0°), nu 180°.

17. $180°-60°-40°=80°$. Al treilea unghi are 80°. (Cele trei unghiuri umplu împreună unghiul alungit de 180°.)

18. Andrei are un unghi nul (0°). Maria descrie laturi pe aceeași dreaptă, în sensuri opuse — adică semidrepte opuse — deci are un unghi alungit (180°). Unghiul Mariei este mai mare, fiindcă $180°>0°$.

De reținut

• Unghiul nul are laturile suprapuse și măsura de 0°.
• Unghiul alungit are laturile semidrepte opuse (formează o dreaptă) și măsura de 180°.
• Ordinea pe scara unghiurilor: $0°<90°<180°$ — unghiul nul, unghiul drept, unghiul alungit.
• Un unghi alungit este cât două unghiuri drepte: $90°+90°=180°$.
• Caută întotdeauna vârful marcat pe dreaptă ca să recunoști un unghi alungit.

Greșeli frecvente

• Confuzia 0° cu 180°. Mulți încurcă unghiul nul (laturi suprapuse, în aceeași direcție) cu cel alungit (laturi în direcții opuse). Trucul: dacă laturile merg la fel → 0°; dacă merg în sensuri contrare și fac o dreaptă → 180°.
• „O linie dreaptă nu este unghi." Ba da, dacă pe ea este un vârf marcat din care pornesc cele două laturi. Caută punctul (vârful) de pe dreaptă.
• Crezi că alungitul este mai mic decât dreptul. Nu! $180°>90°$. Alungitul este de fapt cel mai mare dintre cele studiate.
• Spui că unghiul alungit are 360°. Nu, $360°$ este un cerc complet (rotația întreagă). Alungitul taie cercul în jumătate: $360°:2=180°$.

Joc acasă

1. Ceasul-unghi. Ia un ceas cu ace (sau desenează unul) și mută acele. Găsește o oră la care formează un unghi alungit (ace în direcții opuse, ex. 6:00) și o poziție în care ar forma un unghi nul (ace suprapuse, ex. 12:00). Verifică de fiecare dată ce direcții au acele.

2. Creioanele suprapuse. Pune două creioane identice unul peste celălalt, cu vârfurile în același punct. Acela este un unghi nul (0°). Acum ține un capăt fix și rotește celălalt creion până ajung în linie dreaptă, cu vârfurile în sensuri opuse: ai obținut un unghi alungit (180°). Treci încet de la 0° la 180° și observă cum „crește" unghiul.

3. Brațele în cruce. Întinde brațele complet în lateral. Umerii sunt vârful, brațele sunt laturile — formezi aproape un unghi alungit de 180°. Apoi lipește brațele unul peste celălalt în față: ai un unghi aproape nul (0°).

Pentru părinți și învățători

Această lecție așază două „borne" speciale pe scara unghiurilor, completând clasificarea (ascuțit, drept, obtuz) cu cele două extreme: 0° și 180°. Ideea-cheie pe care vrem să o fixăm este că un unghi nu trebuie neapărat „să arate ca un colț" — și o linie dreaptă cu vârf marcat este un unghi (cel alungit), iar două laturi suprapuse formează tot un unghi (cel nul).

Întrebări utile de pus copilului:

• „Arată-mi cu brațele/cu creioanele un unghi nul. Dar unul alungit. Care e mai mare?"
• „Câte unghiuri drepte încap într-unul alungit? Cum ai aflat?" (verifici raționamentul $180°:90°=2$).
• „Pe această dreaptă am pus un punct — ce unghi vezi cu vârful aici?" (urmărim recunoașterea alungitului).

Cum sprijini elevul: insistă pe diferența între „aceeași direcție" (nul) și „direcții opuse" (alungit). Mulți copii memorează cifrele 0 și 180, dar le inversează; legarea de gesturi concrete (creioane, brațe, ceas) fixează corect asocierea. Cum verifici înțelegerea: cere-i să ordoneze 0°, 90°, 180° și să justifice de ce alungitul e mai mare decât dreptul — nu doar să recite măsurile. Lecția se leagă înainte de Calcule cu măsuri de unghiuri în grade și minute și de unghiurile suplementare (suma 180°), de care vor avea nevoie ulterior.

Întrebări frecvente

Ce este unghiul nul în clasa a 5-a? Unghiul nul este unghiul cu laturile suprapuse, adică una exact peste cealaltă, în aceeași direcție. Între laturi nu există nicio deschidere, de aceea măsura lui este 0°.

Ce măsură are unghiul alungit? Unghiul alungit are măsura de 180°. Laturile lui sunt semidrepte opuse și formează împreună o linie dreaptă, care reprezintă jumătate dintr-un cerc complet (360° : 2 = 180°).

Care este diferența dintre unghiul nul și unghiul alungit? La unghiul nul laturile merg în aceeași direcție (suprapuse) și măsura este 0°. La unghiul alungit laturile merg în direcții opuse, formează o dreaptă, iar măsura este 180°. Practic, sunt cele două capete ale scării unghiurilor.

Unghiul alungit este mai mare sau mai mic decât unghiul drept? Este mai mare. Unghiul alungit are 180°, iar unghiul drept are 90°, și 180° > 90°. De fapt, unghiul alungit este cât două unghiuri drepte la un loc (90° + 90° = 180°).

Câte unghiuri drepte încap într-un unghi alungit? Exact două. Împărțim 180° : 90° = 2. Dacă într-un punct de pe o dreaptă ridici o perpendiculară, ea împarte unghiul alungit de 180° în două unghiuri drepte de câte 90°.

O linie dreaptă poate fi un unghi? Da, dacă pe ea este marcat un vârf din care pornesc cele două laturi în sensuri opuse. Atunci este un unghi alungit de 180°. De aceea, când cauți un unghi alungit, cauți mai întâi vârful marcat pe dreaptă.

La ce oră acele ceasului formează un unghi alungit? La ora 6:00 (și la 18:00), când un ac arată în sus și celălalt în jos, în direcții exact opuse. Cele două ace, pornind din centru, sunt semidrepte opuse și formează un unghi de 180°.

De ce unghiul alungit are 180° și nu 360°? Pentru că 360° este rotația completă (un cerc întreg). Unghiul alungit acoperă doar jumătate din cerc, adică un semicerc, deci 360° : 2 = 180°.