Figuri congruente (prin suprapunere)

Ai pus vreodată două foi de hârtie una peste alta și ai observat că se potrivesc perfect, fără să iasă nimic în afară? Sau ai văzut cum două piese de puzzle identice ocupă exact același loc? În matematică, acest „a se potrivi perfect" are un nume precis: congruență. În această lecție vei învăța ce înseamnă figuri congruente și cum poți verifica, prin suprapunere, dacă două figuri sunt cu adevărat la fel.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă că două figuri sunt congruente.
• Vei ști să verifici dacă două figuri sunt congruente prin suprapunere.
• Vei ști să recunoști elementele care se corespund în două figuri congruente (vârfuri, laturi, unghiuri).
• Vei ști să folosești corect notația matematică pentru congruență, semnul ≅.
• Vei ști să dai exemple de figuri congruente: segmente, unghiuri, poligoane.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „congruent"?

Cuvântul congruent vine din latină și înseamnă, simplu spus, „care se potrivește". În geometrie, spunem că:

Două figuri sunt congruente dacă, mutând una dintre ele (fără să o întindem, fără să o micșorăm și fără să o rupem), o putem așeza exact peste cealaltă, astfel încât să se suprapună perfect.

Cu alte cuvinte, două figuri congruente au aceeași formă și aceeași mărime. Sunt ca două copii identice ale aceluiași desen.

Gândește-te la o cheie și la duplicatul ei făcut la fierărie: cele două chei sunt congruente, pentru că au exact aceeași formă și aceeași dimensiune. Dacă le-ai pune una peste alta, s-ar acoperi complet.

Ce înseamnă „prin deplasare"?

Când mutăm o figură ca să verificăm dacă se suprapune peste alta, avem voie să facem trei lucruri:

1. Să o alunecăm (s-o tragem în sus, în jos, la stânga sau la dreapta) — ca atunci când împingi o carte pe masă.
2. Să o rotim (s-o învârtim) — ca atunci când rotești o piesă de puzzle ca să intre la locul ei.
3. Să o întoarcem pe partea cealaltă (s-o oglindim) — ca atunci când întorci o foaie transparentă cu fața în jos.

Toate aceste mișcări se numesc deplasări și au o proprietate foarte importantă: nu schimbă nici forma, nici mărimea figurii. Tocmai de aceea ne putem baza pe ele ca să testăm congruența.

Ce nu avem voie să facem: să întindem figura, să o turtim, să o mărim sau să o micșorăm. Dacă a trebuit să mărești o figură ca să se potrivească peste alta, înseamnă că cele două nu erau congruente de la început.

Metoda hârtiei de calc (calul de bătaie al congruenței)

Cea mai sigură metodă, pe care o poți face chiar tu acasă, este metoda hârtiei de calc (hârtie transparentă):

• Pasul 1: Pui o foaie transparentă peste prima figură și o copiezi exact, urmărind contururile.
• Pasul 2: Iei foaia transparentă cu desenul copiat și încerci s-o așezi peste a doua figură. Poți s-o aluneci, s-o rotești sau s-o întorci.
• Pasul 3: Dacă reușești să faci copia să acopere perfect a doua figură — fără să iasă nimic în afară și fără să rămână goluri — atunci cele două figuri sunt congruente.
• Dacă, oricât te-ai chinui, copia tot nu se potrivește, atunci figurile nu sunt congruente.

Aceasta este chiar ideea de „suprapunere" din titlul lecției: două figuri sunt congruente exact atunci când se pot suprapune perfect.

O analogie cu fotocopiatorul

Gândește-te la un fotocopiator (xerox). Când apeși butonul „copie 100%", aparatul scoate o foaie identică cu originalul: aceeași formă, aceeași mărime. Copia și originalul sunt congruente — dacă le-ai pune una peste alta în lumină, literele s-ar suprapune perfect.

Dar dacă apeși „mărire 150%", copia iese mai mare decât originalul. Acum cele două foi seamănă (au aceeași formă, aceleași litere), dar nu sunt congruente, fiindcă au mărimi diferite. Această imagine te ajută să ții minte: congruent = copie la $100\%$, nici mărită, nici micșorată.

Cum scriem congruența: semnul ≅

În matematică folosim un semn special pentru congruență: ≅. Este semnul de „egal" (=) cu un mic val deasupra (~). Valul ne amintește de „aceeași formă", iar liniile de „aceeași mărime".

De exemplu, dacă figura $F_1$ este congruentă cu figura $F_2$, scriem:

$$F_1\cong F_2$$

și citim: „$F_1$ este congruent cu $F_2$".

Atenție la diferența dintre = și ≅: semnul = (egal) îl folosim pentru numere și mărimi (de exemplu, lungimi sau măsuri de unghiuri: $AB=5$ cm), iar semnul ≅ (congruent) îl folosim pentru figuri (segmente, unghiuri, triunghiuri etc.). Deci scriem $[AB]\cong [CD]$ pentru segmente, dar $AB=CD$ pentru lungimile lor.

Elementele care se corespund

Acesta este unul dintre cele mai importante lucruri din lecție. Când suprapunem două figuri congruente, fiecare parte a primei figuri „cade" exact peste o parte a celei de-a doua. Spunem că aceste părți se corespund sau că sunt corespunzătoare.

Să luăm două triunghiuri congruente, $ABC$ și $DEF$, astfel încât $ABC\cong DEF$. Când le suprapunem:

• vârful $A$ cade peste vârful $D$ → spunem că $A$ corespunde lui $D$;
• vârful $B$ cade peste vârful $E$ → $B$ corespunde lui $E$;
• vârful $C$ cade peste vârful $F$ → $C$ corespunde lui $F$.

Odată ce știm cum se corespund vârfurile, știm și cum se corespund laturile și unghiurile:

• latura $[AB]$ corespunde laturii $[DE]$, deci $[AB]\cong [DE]$ și $AB=DE$;
• latura $[BC]$ corespunde laturii $[EF]$, deci $[BC]\cong [EF]$ și $BC=EF$;
• latura $[CA]$ corespunde laturii $[FD]$, deci $[CA]\cong [FD]$ și $CA=FD$;
• unghiul $\hat{A}$ corespunde unghiului $\hat{D}$, deci au aceeași măsură: $\hat{A}=\hat{D}$;
• la fel, $\hat{B}=\hat{E}$ și $\hat{C}=\hat{F}$.

Regula de aur: în două figuri congruente, elementele care se corespund sunt egale — laturile corespunzătoare au lungimi egale, iar unghiurile corespunzătoare au măsuri egale.

Un mic secret de notație: matematicienii scriu adins $ABC\cong DEF$ (și nu, de exemplu, $ABC\cong EFD$) pentru ca ordinea literelor să spună singură cum se corespund vârfurile. Prima literă cu prima, a doua cu a doua, a treia cu a treia. Este ca un cod prin care, doar citind, știi imediat ce cade peste ce.

Exemple de figuri congruente

Congruența nu există doar la triunghiuri. Hai să o vedem la cele mai simple figuri pe care le-ai studiat deja.

1. Segmente congruente. Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. De exemplu, dacă $AB=4$ cm și $CD=4$ cm, atunci $[AB]\cong [CD]$. Suprapunându-le (suprapunând capetele), ele se acoperă perfect. (Ai întâlnit asta în lecția despre segmente congruente.)

2. Unghiuri congruente. Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură. De exemplu, dacă $\widehat{AOB}=50°$ și $\widehat{COD}=50°$, atunci $\widehat{AOB}\cong \widehat{COD}$. Atenție: la unghiuri nu contează cât de lungi sunt desenate laturile — contează doar deschiderea dintre ele! (Despre măsura unghiurilor ai învățat în lecția Măsura unui unghi.)

3. Poligoane congruente. Două poligoane (de exemplu, două pătrate, două dreptunghiuri sau două triunghiuri) sunt congruente dacă au toate laturile corespunzătoare egale și toate unghiurile corespunzătoare egale. Două pătrate cu latura de 3 cm sunt congruente. Două dreptunghiuri cu dimensiunile $5$ cm $\times$ $2$ cm sunt și ele congruente.

Atenție: „seamănă" nu înseamnă „congruent"

Două figuri pot avea aceeași formă, dar mărimi diferite — de pildă, un pătrat mic și un pătrat mare. Acestea se aseamănă, dar nu sunt congruente, fiindcă nu se pot suprapune perfect (cel mic nu acoperă cât cel mare). Pentru congruență ne trebuie și aceeași formă, și aceeași mărime.

La fel, două figuri pot avea aceeași arie, dar forme diferite — de exemplu un dreptunghi de $6\times 1$ și un pătrat de... ei bine, nu există pătrat cu aceeași arie întreagă aici, dar ideea e că aria egală nu garantează congruența. Un dreptunghi de $2\times 3$ și unul de $1\times 6$ au amândouă aria $6$, dar nu se suprapun. Deci ai grijă: congruența cere ca forma și mărimea să fie identice, nu doar o singură mărime.

O poveste scurtă: fabrica de piese

Imaginează-ți o fabrică ce produce piese metalice pentru biciclete. O mașinărie taie, una după alta, sute de plăcuțe la fel: aceeași formă, aceeași grosime, aceleași găuri în aceleași locuri. De ce este atât de important ca toate plăcuțele să fie congruente? Pentru că, dacă o piesă ar fi cât de cât diferită — un milimetru mai lungă sau cu gaura puțin mutată — nu s-ar mai potrivi în bicicletă. Întreaga industrie modernă se bazează pe ideea de congruență: piesele „de schimb" funcționează tocmai pentru că sunt congruente cu cele originale. Așa, dacă ți se strică o roată dințată, poți cumpăra exact aceeași piesă, care se suprapune perfect peste cea veche.

Tot pe congruență se bazează și bancnotele, cărțile de joc dintr-un pachet sau dalele de pe trotuar: toate trebuie să fie identice pentru a se potrivi și a arăta ordonat. Geometria pe care o înveți acum nu este, deci, doar pentru caiet — este chiar regula după care funcționează lumea fabricată în jurul tău.

Trei pași pentru a decide rapid dacă două figuri sunt congruente

Când întâlnești o problemă, urmează acești pași simpli:

1. Verifică forma. Sunt amândouă triunghiuri? Amândouă pătrate? Dacă una e triunghi și alta pătrat, gata — nu sunt congruente.
2. Verifică mărimile corespunzătoare. Compară laturile care s-ar așeza una peste alta și unghiurile care s-ar potrivi. Toate trebuie să fie egale.
3. Imaginează-ți suprapunerea. Dacă, mutând una peste alta, se acoperă perfect, sunt congruente. Dacă rămâne un colț pe dinafară sau un gol, nu sunt.

Cu acești trei pași și cu regula de aur („elementele corespunzătoare sunt egale"), poți rezolva aproape orice exercițiu din această lecție.

Trei adevăruri simple despre congruență

Congruența se comportă „cuminte", după trei reguli pe care le poți verifica oricând cu mintea sau cu hârtia de calc:

1. Orice figură este congruentă cu ea însăși. Pare evident, dar e util: dacă pui o figură exact peste ea însăși, fără s-o miști deloc, se suprapune perfect. Scriem $F\cong F$.
2. Dacă prima figură este congruentă cu a doua, atunci și a doua este congruentă cu prima. Congruența nu are „sens unic": dacă $F_1\cong F_2$, atunci automat $F_2\cong F_1$. Suprapunerea funcționează în ambele direcții.
3. Dacă prima figură este congruentă cu a doua, iar a doua cu a treia, atunci prima este congruentă cu a treia. Adică: dacă $F_1\cong F_2$ și $F_2\cong F_3$, atunci $F_1\cong F_3$. Gândește-te la trei plăcuțe tăiate de aceeași mașinărie: dacă prima se potrivește peste a doua, iar a doua peste a treia, atunci sigur și prima se potrivește peste a treia.

Aceste trei adevăruri îți permit să compari rapid mai multe figuri fără să le suprapui pe toate, două câte două. Sunt „regulile de bun-simț" ale congruenței și le vei folosi des când studiezi triunghiurile.

Unde mai întâlnești congruența la matematică

Congruența nu apare doar în această lecție. O regăsești ascunsă în multe alte locuri din geometrie:

• La simetria unei figuri: jumătatea din stânga a unui fluture desenat este congruentă cu jumătatea din dreapta (oglindită).
• La pavaje (mozaicuri): un trotuar din dale identice este, de fapt, o mulțime de poligoane congruente puse unul lângă altul.
• La figurile decupate dintr-o foaie îndoită: dacă îndoi hârtia în două și decupezi o formă, cele două bucăți care cad sunt congruente.

Vei vedea că, odată ce „prinzi" ideea de suprapunere perfectă, o vei recunoaște peste tot.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Segmente congruente

Enunț: Se dau segmentele $[MN]$ cu $MN=7$ cm și $[PQ]$ cu $PQ=7$ cm. Sunt cele două segmente congruente? Scrie relația corectă.

Rezolvare: Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. Aici $MN=7$ cm și $PQ=7$ cm, deci lungimile sunt egale. Dacă suprapunem capătul $M$ peste $P$ și ducem segmentul în lungul aceleiași direcții, capătul $N$ va cădea exact peste $Q$. Prin urmare segmentele se suprapun perfect.

Răspuns: $[MN]\cong [PQ]$ (citim: segmentul $MN$ este congruent cu segmentul $PQ$).

Exemplul 2 — Unghiuri congruente

Enunț: Unghiul $\widehat{AOB}$ are măsura $35°$, iar unghiul $\widehat{XOY}$ are măsura $35°$. Laturile unghiului $\widehat{AOB}$ sunt desenate mult mai lungi decât ale lui $\widehat{XOY}$. Sunt unghiurile congruente?

Rezolvare: La unghiuri, congruența depinde doar de măsură, adică de cât de mult sunt „deschise" laturile — nu de cât de lung le desenăm. Ambele unghiuri au $35°$, deci aceeași deschidere. Dacă am suprapune vârful $O$ al unuia peste vârful $O$ al celuilalt și o latură peste o latură, a doua latură s-ar suprapune și ea.

Răspuns: Da, $\widehat{AOB}\cong \widehat{XOY}$, deoarece au aceeași măsură ($35°=35°$). Lungimea laturilor desenate nu contează.

Exemplul 3 — Elemente corespunzătoare în triunghiuri

Enunț: Se știe că $△ABC\cong △MNP$. Se cunosc: $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $\hat{A}=70°$. Află $MN$, $NP$ și $\hat{M}$.

Rezolvare: Folosim ordinea literelor pentru a găsi elementele care se corespund. Din $ABC\cong MNP$:

• $A$ corespunde lui $M$, $B$ lui $N$, $C$ lui $P$.
• Deci latura $[AB]$ corespunde laturii $[MN]$ → $MN=AB=6$ cm.
• Latura $[BC]$ corespunde laturii $[NP]$ → $NP=BC=8$ cm.
• Unghiul $\hat{A}$ corespunde unghiului $\hat{M}$ → $\hat{M}=\hat{A}=70°$.

Răspuns: $MN=6$ cm, $NP=8$ cm, $\hat{M}=70°$.

Exemplul 4 — Decid dacă sunt sau nu congruente

Enunț: Un pătrat are latura de $5$ cm. Altul are latura de $5$ cm. Al treilea pătrat are latura de $7$ cm. Care dintre pătrate sunt congruente între ele?

Rezolvare: Două pătrate sunt congruente dacă au laturile egale (la pătrat e suficientă latura, fiindcă toate unghiurile sunt drepte și toate laturile egale între ele). Primele două au latura $5$ cm = $5$ cm, deci se suprapun perfect → sunt congruente. Al treilea are latura $7$ cm, mai mare, deci nu acoperă același loc → nu este congruent cu celelalte.

Răspuns: Primul și al doilea pătrat sunt congruente; al treilea nu este congruent cu ele.

Exemplul 5 — Capcana ariei egale

Enunț: Dreptunghiul $R_1$ are dimensiunile $4$ cm $\times$ $3$ cm. Dreptunghiul $R_2$ are dimensiunile $6$ cm $\times$ $2$ cm. Ana spune: „Au amândouă aria $12$ cm², deci sunt congruente." Are dreptate?

Rezolvare: Verificăm ariile: $R_1$ are aria $4\times 3=12$ cm², iar $R_2$ are $6\times 2=12$ cm². Ariile sunt într-adevăr egale. Dar congruența cere ca forma și mărimea să se potrivească, adică laturile corespunzătoare să fie egale. Laturile lui $R_1$ sunt $4$ și $3$, iar ale lui $R_2$ sunt $6$ și $2$ — sunt diferite. Dacă am încerca să le suprapunem, $R_2$ ar fi mai lung și mai îngust, deci ar ieși în afară. Nu se suprapun perfect.

Răspuns: Ana nu are dreptate. Aria egală nu înseamnă figuri congruente. $R_1$ și $R_2$ nu sunt congruente.

Exemplul 6 — Citim corespondența din notație

Enunț: Se dă $△DEF\cong △KLM$. Elevul Mihai afirmă că latura $[DF]$ corespunde laturii $[KL]$. Are dreptate? Care este, de fapt, corespondentul lui $[DF]$?

Rezolvare: Citim ordinea: $D\to K$, $E\to L$, $F\to M$. Latura $[DF]$ este formată din vârfurile $D$ și $F$. Corespondentul lui $D$ este $K$, iar al lui $F$ este $M$. Deci $[DF]$ corespunde laturii $[KM]$, nu lui $[KL]$. Latura $[KL]$ este, de fapt, corespondenta laturii $[DE]$.

Răspuns: Mihai greșește. $[DF]\cong [KM]$, iar $[KL]\cong [DE]$.

Exemplul 7 — Suprapunere prin întoarcere (oglindire)

Enunț: Maria desenează un triunghi pe o folie transparentă. Apoi întoarce folia pe partea cealaltă (ca o oglindire) și o așază peste un al doilea triunghi, care se acoperă perfect. Sunt cele două triunghiuri congruente, deși a trebuit să întoarcă folia?

Rezolvare: Întoarcerea pe partea cealaltă (oglindirea) este una dintre cele trei deplasări permise, alături de alunecare și rotație. Niciuna dintre ele nu schimbă forma sau mărimea figurii. Pentru congruență, contează doar dacă suprapunerea reușește, nu ce mișcări ai folosit ca să ajungi la ea. Din moment ce triunghiurile se acoperă perfect, sunt congruente.

Răspuns: Da, triunghiurile sunt congruente. Întoarcerea foliei este o deplasare permisă și nu strică deloc congruența.

Să exersăm

1. Completează: Două figuri sunt congruente dacă, prin deplasare, se pot ............ perfect una peste cealaltă.

2. Adevărat sau fals? Două segmente cu lungimile de $9$ cm și $9$ cm sunt congruente.

3. Adevărat sau fals? Două unghiuri sunt congruente doar dacă au laturile desenate la fel de lungi.

4. Încercuiește semnul corect pentru figuri congruente: $=\cong <$

5. Se dă $[AB]$ cu $AB=12$ cm și $[CD]$ cu $CD=15$ cm. Sunt segmentele congruente? Justifică pe scurt.

6. Unghiurile $\hat{P}$ și $\hat{Q}$ au măsurile $48°$, respectiv $48°$. Scrie relația de congruență dintre ele.

7. Potrivește fiecare pereche cu „congruente" sau „NU sunt congruente": a) două pătrate cu latura de $4$ cm; b) un unghi de $30°$ și un unghi de $60°$; c) două segmente de $10$ cm fiecare; d) un pătrat cu latura $2$ cm și un pătrat cu latura $5$ cm.

8. Se știe că $△ABC\cong △DEF$. Cărui vârf îi corespunde vârful $B$?

9. Pentru $△ABC\cong △DEF$, completează: latura $[AC]$ corespunde laturii ............ .

10. Se dă $△MNP\cong △RST$, cu $MN=5$ cm, $NP=9$ cm, $MP=7$ cm. Află lungimile laturilor $[RS]$, $[ST]$ și $[RT]$.

11. Se dă $△ABC\cong △XYZ$, cu $\hat{A}=80°$ și $\hat{B}=55°$. Află $\hat{X}$, $\hat{Y}$ și $\hat{Z}$. (Indicație: suma unghiurilor unui triunghi este $180°$.)

12. Adevărat sau fals? Dacă două dreptunghiuri au aceeași arie, atunci ele sunt sigur congruente.

13. Desenează (sau imaginează-ți) două triunghiuri congruente și marchează cu aceleași semne laturile corespunzătoare. Descrie în cuvinte ce ai marcat.

14. Se dă $△KLM\cong △PQR$. Elevul spune că $[KM]\cong [PQ]$. Are dreptate? Care este corespondentul corect al lui $[KM]$?

15. Mică problemă: O firmă taie plăci dreptunghiulare de gresie, toate de $30$ cm $\times$ $20$ cm. Două astfel de plăci sunt congruente? De ce este util ca toate plăcile să fie congruente?

16. Se dau trei segmente: $[AB]=6$ cm, $[CD]=6$ cm, $[EF]=8$ cm. Câte perechi de segmente congruente poți forma? Care sunt ele?

17. Adevărat sau fals? Dacă $△ABC\cong △DEF$, atunci $\hat{C}=\hat{F}$.

18. Problemă de gândire: Un unghi $\widehat{AOB}$ are $90°$. Câte unghiuri congruente cu el poți găsi în patru colțuri ale unei foi dreptunghiulare de caiet? Explică.

19. Se dă $△ABC\cong △DEF$ și se mai știe că $△DEF\cong △GHI$. Putem fi siguri că $△ABC\cong △GHI$? Justifică folosind regulile congruenței.

20. Adevărat sau fals? Orice triunghi este congruent cu el însuși.

21. Se dau două triunghiuri congruente $△ABC\cong △DEF$, cu $\hat{A}=90°$, $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Cât măsoară unghiul $\hat{D}$ și laturile $[DE]$ și $[DF]$?

Răspunsuri și explicații

1. suprapune (sau „așeza"). Aceasta este chiar definiția congruenței prin suprapunere.

2. Adevărat. Au aceeași lungime ($9=9$), deci se suprapun perfect: $[AB]\cong [CD]$.

3. Fals. La unghiuri contează doar măsura (deschiderea), nu lungimea laturilor desenate.

4. Semnul corect este $\cong$. (Semnul $=$ se folosește pentru numere/mărimi, $<$ pentru comparare.)

5. Nu sunt congruente, pentru că au lungimi diferite: $12$ cm $\ne 15$ cm. Nu s-ar suprapune perfect (al doilea ar fi mai lung).

6. $\hat{P}\cong \hat{Q}$, deoarece au aceeași măsură ($48°=48°$).

7. a) congruente (pătrate cu aceeași latură); b) NU sunt congruente ($30°\ne 60°$); c) congruente (segmente cu aceeași lungime); d) NU sunt congruente (laturi diferite, $2$ cm față de $5$ cm).

8. Vârful $B$ corespunde vârfului $E$. (Citim ordinea: $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$.)

9. $[AC]$ corespunde laturii $[DF]$. ($A\to D$, $C\to F$.)

10. Din $MNP\cong RST$: $M\to R$, $N\to S$, $P\to T$. Deci $[RS]\cong [MN]=5$ cm, $[ST]\cong [NP]=9$ cm, $[RT]\cong [MP]=7$ cm. Răspuns: $RS=5$ cm, $ST=9$ cm, $RT=7$ cm.

11. Unghiurile corespunzătoare sunt egale: $\hat{X}=\hat{A}=80°$ și $\hat{Y}=\hat{B}=55°$. Al treilea unghi: $\hat{C}=180°-80°-55°=45°$, deci $\hat{Z}=\hat{C}=45°$. Răspuns: $\hat{X}=80°$, $\hat{Y}=55°$, $\hat{Z}=45°$.

12. Fals. Aria egală nu garantează congruența. De exemplu, $4\times 3$ și $6\times 2$ au amândouă aria $12$ cm², dar nu se suprapun (vezi Exemplul 5).

13. Răspuns deschis. Trebuie marcate cu același semn (de exemplu, o liniuță) laturile care se corespund, iar cu același arc unghiurile corespunzătoare. Verificarea: laturile cu același semn trebuie să aibă lungimi egale.

14. Nu are dreptate. Din $KLM\cong PQR$: $K\to P$, $L\to Q$, $M\to R$. Latura $[KM]$ corespunde laturii $[PR]$ (nu $[PQ]$). Latura $[PQ]$ corespunde de fapt lui $[KL]$.

15. Da, sunt congruente, pentru că au aceleași dimensiuni ($30$ cm $\times$ $20$ cm). Este util fiindcă plăcile congruente se așază perfect una lângă alta, fără goluri și fără să iasă în afară, formând o suprafață ordonată.

16. Poți forma o singură pereche de segmente congruente: $[AB]$ și $[CD]$ (ambele de $6$ cm). $[EF]$ are $8$ cm și nu se potrivește cu niciunul.

17. Adevărat. Din $ABC\cong DEF$, $C$ corespunde lui $F$, deci unghiurile corespunzătoare sunt egale: $\hat{C}=\hat{F}$.

18. Poți găsi patru unghiuri congruente cu el. Cele patru colțuri ale unei foi dreptunghiulare sunt toate unghiuri drepte, fiecare de $90°$. Toate au aceeași măsură ca $\widehat{AOB}=90°$, deci sunt congruente cu el (și între ele).

19. Da, putem fi siguri. Folosim a treia regulă a congruenței: dacă $△ABC\cong △DEF$ și $△DEF\cong △GHI$, atunci $△ABC\cong △GHI$. Prima se suprapune peste a doua, a doua peste a treia, deci prima se suprapune și peste a treia.

20. Adevărat. Orice figură este congruentă cu ea însăși: o așezi exact peste ea, fără s-o miști, și se suprapune perfect ($△ABC\cong △ABC$).

21. Din $ABC\cong DEF$: $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$. Deci $\hat{D}=\hat{A}=90°$, $[DE]\cong [AB]$ → $DE=6$ cm și $[DF]\cong [AC]$ → $DF=8$ cm. Răspuns: $\hat{D}=90°$, $DE=6$ cm, $DF=8$ cm.

De reținut

• Două figuri sunt congruente dacă, prin deplasare (alunecare, rotație sau întoarcere), se suprapun perfect — adică au aceeași formă și aceeași mărime.
• Pentru congruență folosim semnul $\cong$; pentru lungimi și măsuri folosim $=$.
• Segmentele sunt congruente dacă au aceeași lungime; unghiurile, dacă au aceeași măsură; poligoanele, dacă toate laturile și unghiurile corespunzătoare sunt egale.
• În figuri congruente, elementele care se corespund sunt egale, iar ordinea literelor din notație îți spune cum se corespund vârfurile.
• Aria egală sau o singură mărime egală nu este suficientă: e nevoie de potrivire completă.

Greșeli frecvente

• „Au aceeași arie, deci sunt congruente." Fals. Două dreptunghiuri pot avea aceeași arie, dar forme diferite (de exemplu $4\times 3$ și $6\times 2$), și nu se suprapun. Verifică întotdeauna laturile și unghiurile, nu doar aria.
• „Unghiul cu laturile mai lungi este mai mare." Fals. La unghiuri contează doar deschiderea (măsura), nu lungimea laturilor desenate. Două unghiuri de $40°$ sunt congruente chiar dacă unul e desenat cu laturile mult mai lungi.
• Citirea greșită a corespondenței. Când ai $ABC\cong DEF$, nu ghici — citește în ordine: $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$. Latura $[AC]$ corespunde lui $[DF]$, nu lui $[DE]$.
• Confuzia dintre $=$ și $\cong$. Pentru figuri (segmente, unghiuri, triunghiuri) se scrie $\cong$; pentru numere (lungimi, măsuri) se scrie $=$. Scrii $[AB]\cong [CD]$, dar $AB=CD$.

Joc acasă

1. Detectivul de potriviri. Ia două foi de hârtie de calc (sau hârtie subțire). Desenează pe prima foaie un triunghi oarecare, apoi copiază-l exact pe a doua foaie. Acum provoacă pe cineva din familie: amestecă pozițiile foilor, rotește-le, întoarce una pe dos și roagă persoana să verifice prin suprapunere dacă cele două triunghiuri sunt congruente. Discutați ce mișcări a folosit ca să le potrivească.

2. Vânătoarea de congruențe prin casă. Pornește prin casă cu un caiet și caută obiecte congruente: două plăci de gresie, două cărți de joc, două cuburi de zahăr, două piese identice de Lego, două monede de aceeași valoare. Notează cel puțin cinci perechi și explică, pentru fiecare, de ce sunt congruente (aceeași formă și aceeași mărime). Bonus: găsește două obiecte care seamănă, dar nu sunt congruente (de exemplu, o cană mare și una mică).

3. Constructorul de litere congruente. Decupează din carton litera „L". Acum, folosind aceeași literă ca șablon, mai decupează încă una. Întoarce a doua literă pe dos și încearcă să o suprapui peste prima. Se potrivesc? Discută de ce „întoarcerea pe dos" este o deplasare permisă și păstrează congruența.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune bazele intuitive ale congruenței, concept central în geometria de gimnaziu (revine masiv în clasa a VI-a la cazurile de congruență a triunghiurilor). Scopul aici nu este memorarea, ci înțelegerea prin acțiune: ideea că „a fi congruent" = „a se suprapune perfect prin mutare".

Cum sprijiniți elevul:

• Folosiți hârtia de calc sau folie transparentă pentru a face suprapunerile reale, fizice. Manipularea concretă cimentează ideea mult mai bine decât o definiție memorată.
• Insistați pe distincția „seamănă" vs. „congruent". Arătați un pătrat mic și unul mare: au aceeași formă, dar nu sunt congruente.
• Subliniați că la unghiuri lungimea laturilor desenate nu schimbă măsura — este o confuzie foarte des întâlnită.

Întrebări bune de pus:

• „Ce mișcări ai voie să faci ca să suprapui o figură peste alta?" (alunecare, rotație, întoarcere)
• „Dacă $△ABC\cong △DEF$, cărui vârf îi corespunde $B$?" (verifică citirea ordonată)
• „Două figuri cu aceeași arie sunt sigur congruente?" (răspuns: nu — un contraexemplu clar arată că a înțeles)

Cum verificați că a înțeles: cereți-i să construiască un contraexemplu propriu (două figuri cu aceeași arie, dar necongruente) și să citească corect corespondența laturilor dintr-o notație de tip $△ABC\cong △DEF$. Dacă reușește ambele, conceptul este solid.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă figuri congruente la clasa a 5-a? Sunt figuri care, mutate prin alunecare, rotație sau întoarcere, se suprapun perfect una peste cealaltă. Cu alte cuvinte, au aceeași formă și aceeași mărime. Le scriem cu semnul $\cong$.

Cum verific dacă două figuri sunt congruente prin suprapunere? Copiezi o figură pe hârtie de calc, apoi încerci să așezi copia peste cealaltă figură, alunecând-o, rotind-o sau întorcând-o pe dos. Dacă reușesc să se acopere perfect, fără goluri și fără să iasă nimic în afară, figurile sunt congruente.

Care este diferența dintre semnul = și semnul ≅? Semnul $=$ (egal) se folosește pentru numere și mărimi, de exemplu pentru lungimi: $AB=5$ cm. Semnul $\cong$ (congruent) se folosește pentru figuri: $[AB]\cong [CD]$. Pe scurt: numerele sunt egale, figurile sunt congruente.

Dacă două figuri au aceeași arie, sunt congruente? Nu neapărat. De exemplu, un dreptunghi de $4\times 3$ și unul de $6\times 2$ au amândouă aria $12$ cm², dar au forme diferite și nu se suprapun. Pentru congruență e nevoie ca forma și mărimea să fie identice.

Ce sunt elementele corespunzătoare în figuri congruente? Sunt părțile care „cad" una peste alta când suprapunem figurile: vârfuri peste vârfuri, laturi peste laturi, unghiuri peste unghiuri. Elementele corespunzătoare sunt întotdeauna egale între ele.

Cum știu care laturi se corespund dacă scrie $△ABC\cong △DEF$? Citești literele în ordine: $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$. Latura $[AB]$ corespunde lui $[DE]$, $[BC]$ lui $[EF]$, iar $[AC]$ lui $[DF]$. Ordinea literelor din notație îți spune singură corespondența.

Două unghiuri cu laturile de lungimi diferite pot fi congruente? Da. La unghiuri contează doar măsura (deschiderea dintre laturi), nu cât de lung le desenăm. Două unghiuri de $50°$ sunt congruente chiar dacă unul are laturile desenate mai scurte.

Congruența este același lucru cu simetria? Sunt legate, dar nu identice. Simetria față de o axă produce o figură congruentă cu cea inițială (oglindirea este o deplasare permisă). Vei studia mai mult în lecția despre axa de simetrie.