Măsura unui unghi. Măsurarea și construcția cu raportorul

Ai învățat deja ce este un unghi, care sunt vârful și laturile lui și cum se notează. Acum facem un pas important: vom afla cât de mare este un unghi, adică îi vom măsura deschiderea. Pentru asta avem un instrument special, raportorul, la fel cum pentru lungimi folosim rigla. La finalul acestei lecții vei ști să citești corect o măsură de unghi, să construiești singur un unghi de orice mărime și să recunoști când două unghiuri sunt la fel de „deschise".

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce înseamnă măsura unui unghi și ce este un grad sexagesimal.
• Vei ști să măsori un unghi cu raportorul, pas cu pas, fără greșeli de citire.
• Vei ști să construiești un unghi de măsură dată folosind raportorul și rigla.
• Vei ști să recunoști și să justifici când două unghiuri sunt congruente.
• Vei ști să eviți capcanele clasice ale raportorului (cele două șiruri de numere).

Hai să descoperim împreună

De ce avem nevoie de o „măsură" pentru unghiuri

Imaginează-ți două foarfece. Unul abia deschis și altul deschis larg, gata să taie. Amândouă au același vârf (șurubul din mijloc) și aceleași laturi (brațele), dar sunt diferite prin cât de mult sunt deschise. Această „deschidere" dintre laturi este exact ceea ce măsurăm la un unghi.

Un lucru foarte important, care îi surprinde pe mulți elevi: mărimea unui unghi nu depinde de cât de lungi sunt laturile. Dacă desenezi un unghi și apoi prelungești laturile cu rigla, deschiderea rămâne aceeași. Gândește-te la cele două ace ale unui ceas: un ceas de mână și un ceas de perete arată ora 3 cu aceeași deschidere între ace, deși acele ceasului de perete sunt mult mai lungi.

Gradul sexagesimal — unitatea de măsură pentru unghiuri

Pentru lungimi folosim metrul și centimetrul. Pentru unghiuri folosim gradul. Numele complet este grad sexagesimal, iar simbolul lui este un cerculeț mic scris sus, ca o putere: scriem 1° și citim „un grad".

De unde vine numărul de grade? Imaginează-ți că te învârți complet pe loc, o rotație întreagă, și ajungi exact de unde ai plecat. Această rotație completă a fost împărțită de matematicieni în 360 de părți egale. O singură astfel de parte este un grad.

$$\text{o rotație completa˘}=360°$$

De ce tocmai 360? Numărul vine de la babilonieni, care foloseau un sistem de numărare bazat pe 60 (de aici și cuvântul „sexagesimal", de la sexaginta = șaizeci în latină). Numărul 360 are foarte mulți divizori, deci se împarte ușor: la 2, la 3, la 4, la 5, la 6, la 8, la 9, la 10 și așa mai departe. Asta îl face foarte comod.

Reține câteva valori care apar tot timpul:

• Jumătate de rotație (când cele două laturi formează o linie dreaptă) are 180°.
• Un sfert de rotație (colțul unei foi, al unei cărți, al unei ferestre) are 90°.
• O optime de rotație are 45°.

Submultiplii gradului: minutul și secunda

Uneori un unghi nu are un număr „rotund" de grade, ci ceva între. La fel cum metrul se împarte în centimetri, gradul se împarte în părți mai mici. Acești submultipli sunt:

• Minutul sexagesimal, notat cu un semn '. Un grad are 60 de minute: $1°=60^{\prime }$.
• Secunda sexagesimală, notată cu ''. Un minut are 60 de secunde: $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$.

$$1°=60^{\prime }\text{și}{1}^{\prime }=60^{\prime \prime }$$

Atenție, aceste minute și secunde nu au legătură cu timpul de pe ceas; doar numele și împărțirea în 60 sunt asemănătoare. Le vei folosi mai des în lecția despre calcule cu măsuri de unghiuri în grade și minute. Deocamdată ne ajunge să știm că gradul se poate împărți și mai fin atunci când avem nevoie de precizie. În clasa a V-a vom lucra mai ales cu grade întregi.

Cum scriem și citim o măsură de unghi

Măsura unui unghi $AOB$ se notează punând litera m în fața numelui unghiului. De exemplu:

$$m(\widehat{AOB})=50°$$

Se citește: „măsura unghiului A O B este egală cu cincizeci de grade". Litera din mijloc este întotdeauna vârful unghiului — adică punctul $O$.

Este bine să faci diferența între unghi și măsura lui. Unghiul este figura geometrică (vârful și cele două laturi). Măsura este numărul care spune cât este de deschis. La fel cum un segment este figura, iar lungimea lui este numărul. Spunem „unghiul $\widehat{AOB}$" pentru figură și „$m(\widehat{AOB})=50°$" pentru numărul ei.

Raportorul — instrumentul nostru

Pentru a măsura un unghi folosim raportorul. Este de obicei o bucată de plastic transparent în formă de semicerc (jumătate de cerc). Hai să-l cunoaștem bine, pentru că dacă îi înțelegi părțile, nu vei mai greși niciodată.

Raportorul are trei părți pe care trebuie să le recunoști:

1. Centrul raportorului — un punct mic (uneori o crestătură sau o gaură) aflat la mijlocul marginii drepte. Aici vom așeza vârful unghiului.
2. Linia de bază (sau linia de 0°) — marginea dreaptă care trece prin centru. Pe ea vom așeza una dintre laturile unghiului.
3. Gradațiile — liniuțele de pe marginea curbă, numerotate din 10 în 10. Aici se citește măsura.

Cel mai important lucru de observat: pe marginea curbă există două șiruri de numere. Unul crește de la stânga la dreapta (0, 10, 20, … , 180), iar celălalt crește de la dreapta la stânga (0, 10, 20, … , 180). De ce două? Ca să poți măsura comod un unghi indiferent în ce parte se deschide. Vom învăța imediat care șir îl folosim, pentru că aici greșesc cei mai mulți elevi.

Cum măsurăm un unghi cu raportorul — pas cu pas

Hai să măsurăm împreună un unghi $\widehat{AOB}$. Urmează patru pași simpli. Spune-i în gând „centru, latură, zero, citesc" și nu vei rata niciodată.

Pasul 1 — Așază centrul raportorului peste vârf. Pune punctul-centru al raportorului exact peste vârful $O$ al unghiului. Dacă centrul nu stă fix pe vârf, toate cifrele vor fi greșite.

Pasul 2 — Suprapune linia de bază peste o latură. Rotește raportorul până când linia de 0° (marginea dreaptă) se așază perfect peste una dintre laturi, de exemplu peste latura $OA$. Acea latură trebuie să „intre" exact în dreptul lui 0.

Pasul 3 — Pornește de la 0, nu de la 180. Acum privește latura $OA$ peste care ai pus baza. Vezi că în dreptul ei sunt două numere: un 0 și un 180. Alege șirul care începe cu 0 chiar acolo unde stă latura ta. Acela este șirul corect; pe el vom număra.

Pasul 4 — Citește unde cade cealaltă latură. Urmărește cealaltă latură, $OB$, până la marginea curbă și citește numărul de pe șirul pe care l-ai ales (cel care pornea de la 0 pe latura $OA$). Acel număr este măsura unghiului.

Trucul de aur, ca să nu te încurci între cele două șiruri: întotdeauna începi să numeri de la 0 (de pe latura pe care ai pus baza) și mergi din 10 în 10 spre cealaltă latură. Dacă latura ta de bază arată 0, pleci de la 0; dacă din greșeală o pui pe 180, te încurci. Numără mereu „0, 10, 20, 30…" până ajungi la a doua latură.

Un exemplu povestit, ca să fie clar

Să zicem că Andrei desenează un unghi și vrea să-l măsoare. Pune centrul peste vârf — bun. Suprapune latura de jos peste linia de 0° — bun. Latura de jos cade pe 0 (în șirul de sus). Acum urcă cu privirea pe cealaltă latură și vede că trece prin liniuța dintre 60 și 70, mai aproape de 70. Citește 65°. A folosit corect șirul care pleca de la 0 de pe latura lui de bază. Dacă, din grabă, ar fi citit pe celălalt șir, ar fi văzut 115 — și ar fi greșit complet. De aceea repetăm: pleci de la 0.

Cum construim un unghi de măsură dată — pas cu pas

Acum facem operația inversă: nu măsurăm, ci desenăm un unghi de mărimea pe care o vrem noi. De exemplu, vrem să construim un unghi $\widehat{MON}$ cu $m(\widehat{MON})=70°$. Urmează tot patru pași.

Pasul 1 — Desenează o semidreaptă. Cu rigla, trasează o semidreaptă cu originea în $O$; vârful viitorului unghi va fi $O$, iar capătul îl numim $M$. Aceasta va fi prima latură.

Pasul 2 — Așază raportorul. Pune centrul raportorului exact pe $O$ și suprapune linia de 0° peste semidreapta $OM$, astfel încât $M$ să fie în dreptul lui 0.

Pasul 3 — Marchează 70°. Pornind de la 0 (de pe latura $OM$), numără pe marginea curbă din 10 în 10 — 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 — și fă un punct mic, pe care îl numim $N$, exact în dreptul gradației 70.

Pasul 4 — Unește și notează. Ia raportorul de pe foaie. Cu rigla, trasează semidreapta de la $O$ prin punctul $N$. Gata! Ai obținut unghiul $\widehat{MON}$ cu $m(\widehat{MON})=70°$. Verifică, dacă vrei, măsurându-l din nou.

Unghiuri congruente — când au „aceeași deschidere"

Acum că știm să măsurăm, putem compara două unghiuri. Spunem că două unghiuri sunt congruente atunci când au aceeași măsură. Asta înseamnă că, dacă le-am decupa și le-am suprapune, vârful peste vârf și o latură peste o latură, ele s-ar potrivi perfect, latură peste latură.

Pentru congruență folosim simbolul ≡ (trei liniuțe). Scriem:

$$\widehat{AOB}\equiv \widehat{MON}$$

și citim „unghiul A O B este congruent cu unghiul M O N". Această scriere înseamnă exact același lucru cu:

$$m(\widehat{AOB})=m(\widehat{MON})$$

Cu alte cuvinte: unghiurile sunt congruente ⟺ măsurile lor sunt egale. Reține diferența de scriere: la unghiuri (figuri) folosim semnul ≡ (congruent), iar la măsuri (numere) folosim semnul = (egal). E aceeași idee pe care ai întâlnit-o la segmente congruente: segmentele sunt congruente, lungimile lor sunt egale.

Un detaliu de fixat: la fel ca la unghi în general, congruența nu ține cont de cât de lungi sunt laturile și nici de cum este așezat unghiul pe foaie. Două unghiuri pot fi unul „cu vârful în sus" și altul „pe-o parte", dar dacă au aceeași măsură, sunt congruente.

Cum verifici dacă o măsură „are sens"

Înainte de a citi raportorul, e bine să ghicești cam cât are unghiul. Asta nu e pierdere de timp: estimarea te ferește de greșelile mari de citire. Ai deja în minte câteva unghiuri „de referință":

• Un unghi cât colțul foii are 90°.
• Un unghi mult mai închis decât colțul foii (laturile aproape lipite) are puține grade, sub 45°.
• Un unghi abia mai deschis decât colțul foii are puțin peste 90°.
• Un unghi cât o linie aproape dreaptă se apropie de 180°.

Așază unghiul pe care vrei să-l măsori, în gând, lângă aceste „repere". Dacă raportorul îți dă un număr mult diferit de estimarea ta, oprește-te: probabil ai citit pe șirul greșit. De exemplu, dacă un unghi pare clar mai închis decât colțul foii, dar raportorul „spune" 150°, ceva e greșit — un unghi sub 90° nu poate avea 150°. Această obișnuință de a estima întâi, citi apoi este una dintre cele mai folositoare deprinderi din toată geometria.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea corectă a măsurii

Maria a așezat raportorul corect: centrul pe vârf, latura $OA$ peste linia de 0°. A doua latură, $OB$, cade exact pe gradația 35 a șirului care pornește de la 0 de pe $OA$. Cât este $m(\widehat{AOB})$?

Rezolvare. Pentru că latura de bază $OA$ a fost așezată pe 0, citim direct pe șirul care pleacă de la 0 de pe acea latură. A doua latură arată 35.

$$m(\widehat{AOB})=35°$$

Dacă Maria ar fi citit din greșeală pe celălalt șir, ar fi văzut 145; dar acela ar fi fost greșit, pentru că ea a pornit de la 0, nu de la 180.

Exemplul 2 — Capcana celor două șiruri

Un elev măsoară un unghi. A pus latura de bază pe 0 și a doua latură cade între 40 și 50, exact la mijloc, pe liniuța 45. Dar el citește 135°, pentru că s-a uitat pe șirul greșit. Care este măsura corectă și cum își dă seama de greșeală?

Rezolvare. Latura de bază a fost pusă pe 0, deci trebuie citit pe șirul care pornește de la 0 de pe acea latură: răspunsul corect este 45°. Cum verifică elevul? Privește unghiul: este mai „închis" decât un colț de foaie (mai mic decât 90°), deci măsura lui trebuie să fie sub 90°. Numărul 135 este peste 90, deci este imposibil. Verificarea „cu ochiul" (mai mic sau mai mare de 90°) îți salvează multe greșeli.

$$m(\widehat{AOB})=45°$$

Exemplul 3 — Construcția unui unghi de 120°

Construiește un unghi $\widehat{POR}$ cu $m(\widehat{POR})=120°$.

Rezolvare. Urmăm pașii de construcție:

1. Trasăm cu rigla o semidreaptă $OP$ (vârful $O$, capătul $P$).
2. Așezăm centrul raportorului pe $O$ și suprapunem linia de 0° peste $OP$, cu $P$ în dreptul lui 0.
3. Pornind de la 0 de pe latura $OP$, numărăm pe marginea curbă: 10, 20, 30, …, 120 și marcăm punctul $R$ în dreptul gradației 120.
4. Trasăm cu rigla semidreapta $OR$.

Am obținut $\widehat{POR}$ cu $m(\widehat{POR})=120°$. Observăm că este un unghi „larg deschis", mai mare decât un colț de foaie (peste 90°), ceea ce se potrivește cu un rezultat de 120°.

Exemplul 4 — Recunoașterea unghiurilor congruente

Patru unghiuri au măsurile: $m(\hat{A})=60°$, $m(\hat{B})=75°$, $m(\hat{C})=60°$, $m(\hat{D})=90°$. Care unghiuri sunt congruente?

Rezolvare. Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură. Comparăm măsurile: $60°$, $75°$, $60°$, $90°$. Singurele măsuri egale sunt cele de $60°$, ale unghiurilor $\hat{A}$ și $\hat{C}$. Deci:

$$\hat{A}\equiv \hat{C}(\text{ambele au }60°)$$

Unghiurile $\hat{B}$ și $\hat{D}$ nu sunt congruente cu niciun altul, fiindcă măsurile lor (75° și 90°) nu se repetă.

Exemplul 5 — De la o rotație la grade

O rotație completă are 360°. Cât are un sfert de rotație? Dar trei sferturi de rotație?

Rezolvare. Un sfert de rotație înseamnă a împărți 360° la 4:

$$360°:4=90°$$

Trei sferturi de rotație înseamnă de trei ori un sfert:

$$3\times 90°=270°$$

Deci un sfert de rotație are $90°$ (cât un colț de foaie), iar trei sferturi au $270°$.

Exemplul 6 — Estimează, apoi măsoară

Un unghi pare, „cu ochiul", puțin mai deschis decât colțul foii. Raportorul, citit în grabă, pare să arate 65°. Are sens această valoare? Care e probabil măsura corectă?

Rezolvare. Dacă unghiul este mai deschis decât colțul foii, măsura lui trebuie să fie peste 90°, nu sub. Valoarea 65° este sub 90°, deci nu se potrivește cu ce vedem — a fost citit pe șirul greșit. Pe celălalt șir valoarea ar fi $180-65=115$, adică 115°, care chiar este peste 90° și se potrivește cu estimarea. Morala: estimarea cu reperul de 90° a prins greșeala.

$$m(\widehat{AOB})=115°$$

Exemplul 7 — Latura nu schimbă măsura

Ana desenează un unghi $\widehat{XOY}$ de $50°$. Apoi prelungește ambele laturi, făcându-le de două ori mai lungi. Care este acum măsura unghiului?

Rezolvare. Măsura unui unghi depinde doar de deschiderea dintre laturi, nu de lungimea lor. Prelungind laturile, deschiderea rămâne neschimbată. Prin urmare:

$$m(\widehat{XOY})=50°(\text{tot }50°,\text{ neschimbat})$$

Să exersăm

1. Completează: o rotație completă are ……… grade, iar jumătate de rotație are ……… grade.

2. Scrie corect, cu simboluri, propoziția: „măsura unghiului M O N este de șaptezeci de grade".

3. Adevărat sau fals? Mărimea unui unghi crește dacă prelungim laturile cu rigla.

4. Câte minute are un grad? Câte secunde are un minut? Completează: $1°=\dots {}^{\prime }$ și $1^{\prime }=\dots {}^{\prime \prime }$.

5. Un colț de carte (colț drept) are ……… grade. Un unghi mai mic decât el are o măsură mai ……… decât 90°.

6. Ordonează crescător măsurile: $35°$, $90°$, $12°$, $180°$, $67°$.

7. Încercuiește care literă din numele $\widehat{PQR}$ arată vârful unghiului: P, Q sau R.

8. La măsurarea unui unghi, latura de bază a fost așezată pe 0. A doua latură cade pe gradația 80 a șirului corect. Cât este măsura unghiului?

9. Un elev a pus latura de bază pe 0, dar a citit pe șirul greșit și a obținut 160° pentru un unghi care arată „mai închis decât un colț de foaie". De ce e sigur greșit răspunsul și care ar putea fi măsura corectă (dă valoarea de pe celălalt șir)?

10. Potrivește fiecare situație cu măsura ei: (a) un sfert de rotație; (b) o jumătate de rotație; (c) o optime de rotație. Măsuri: 45°, 90°, 180°.

11. Desenează o semidreaptă $OA$ și construiește cu raportorul un unghi $\widehat{AOB}$ cu $m(\widehat{AOB})=40°$.

12. Desenează și construiește un unghi $\widehat{COD}$ cu $m(\widehat{COD})=110°$.

13. Se dau unghiurile cu măsurile: $30°$, $85°$, $30°$, $85°$, $46°$. Grupează-le în perechi de unghiuri congruente. Câte perechi obții și ce unghi rămâne nepereche?

14. Adevărat sau fals? Dacă $\widehat{AOB}\equiv \widehat{COD}$, atunci $m(\widehat{AOB})=m(\widehat{COD})$.

15. Două sferturi de rotație lipite cap la cap formează un unghi. Câte grade are el? Ce nume primește în viața de zi cu zi (gândește-te la o linie dreaptă)?

16. Mică problemă: pe ceas, acele formează un unghi de $90°$ la ora 3 fix. La ora 6 fix, cele două ace stau pe o linie dreaptă. Câte grade are unghiul dintre ace la ora 6?

17. Mică problemă: vrei să construiești un unghi congruent cu un unghi dat de $63°$, dar cu laturile de două ori mai lungi. Ce măsură va avea unghiul tău și de ce?

18. Provocare: o pizza este tăiată în 8 felii egale, pornind din centru. Câte grade are unghiul de la vârful unei felii? (Indiciu: o rotație completă are 360° și se împarte în 8 părți egale.)

Răspunsuri și explicații

1. O rotație completă are 360°, iar jumătate de rotație are 180° (360 : 2 = 180).

2. $m(\widehat{MON})=70°$. Litera din mijloc, $O$, este vârful.

3. Fals. Măsura nu depinde de lungimea laturilor; prelungindu-le, deschiderea — deci măsura — rămâne aceeași.

4. $1°=60^{\prime }$ (șaizeci de minute) și $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$ (șaizeci de secunde).

5. Un colț de carte are 90°. Un unghi mai mic decât el are o măsură mai mică decât 90°.

6. Crescător: $12°,35°,67°,90°,180°$.

7. Vârful este Q (litera din mijloc arată întotdeauna vârful).

8. $m=80°$. Pentru că latura de bază a fost pe 0, citim direct: a doua latură arată 80, deci 80°.

9. Răspunsul 160° este sigur greșit pentru că unghiul „mai închis decât un colț de foaie" este mai mic de 90°, iar 160 > 90 — imposibil. Pe celălalt șir (cel corect, care pleacă de la 0 pe latura de bază) valoarea este $180-160=20$, deci măsura corectă probabilă este 20°. (Cele două șiruri ale raportorului adună mereu 180 în același loc.)

10. (a) un sfert de rotație → 90°; (b) o jumătate de rotație → 180°; (c) o optime de rotație → 45° (deoarece 360 : 8 = 45).

11. Construcție: trasezi $OA$, pui centrul pe $O$ și linia de 0° pe $OA$, marchezi $B$ în dreptul gradației 40, unești $O$ cu $B$. Verificare: unghiul este „mai închis" decât un colț de foaie (40° < 90°).

12. Construcție: la fel, dar marchezi $D$ în dreptul gradației 110 și trasezi $OD$. Verificare: unghiul este „mai deschis" decât un colț de foaie (110° > 90°).

13. Perechi congruente: $30°\equiv 30°$ și $85°\equiv 85°$ — deci 2 perechi. Rămâne nepereche unghiul de 46°.

14. Adevărat. Congruența unghiurilor înseamnă, prin definiție, egalitatea măsurilor lor.

15. Două sferturi: $90°+90°=180°$. În viața de zi cu zi laturile formează o linie dreaptă (unghiul „întins" / alungit, pe care îl vei studia separat).

16. La ora 6 acele sunt pe o linie dreaptă, deci unghiul are 180° (o jumătate de rotație).

17. Va avea tot 63°. Lungimea laturilor nu schimbă măsura unghiului; ca să fie congruent cu cel dat, trebuie să aibă aceeași măsură, adică 63°.

18. $360°:8=45°$. Fiecare felie are la vârf un unghi de 45°.

De reținut

• Măsura unui unghi se exprimă în grade sexagesimale (simbol °); o rotație completă are 360°, jumătate 180°, un sfert 90°.
• Gradul are submultipli: $1°=60^{\prime }$ (minute) și $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$ (secunde).
• Cu raportorul măsurăm așa: centrul pe vârf, linia de 0° pe o latură, pornește de la 0 și citește unde cade a doua latură.
• Pentru construcție: trasezi o semidreaptă, pui baza pe ea, marchezi gradația dorită, unești cu rigla.
• Două unghiuri sunt congruente (≡) dacă au aceeași măsură; lungimea laturilor și poziția pe foaie nu contează.

Greșeli frecvente

• Citirea pe șirul greșit al raportorului. Cea mai des întâlnită greșeală: confuzia între cele două numere din dreptul unei laturi (de exemplu 50 și 130). Cum o eviți: pune mereu latura de bază pe 0 și numără din 10 în 10 de la 0 spre a doua latură.
• Crezi că laturile mai lungi fac unghiul mai mare. Măsura depinde doar de deschidere. Cum o eviți: amintește-ți de cele două ceasuri care arată aceeași oră cu ace de lungimi diferite.
• Centrul raportorului nu este pe vârf. Dacă centrul „alunecă" de pe vârf, toate cifrele ies greșite. Cum o eviți: fixează bine centrul pe vârf înainte de a citi.
• Confuzia dintre = și ≡. La numere (măsuri) folosești =; la figuri (unghiuri congruente) folosești ≡. Cum o eviți: întreabă-te „compar numere sau figuri?".

Joc acasă

1. Raportorul din colț de hârtie. Ia o foaie pătrată. Colțul ei este un unghi drept (90°). Îndoaie foaia exact pe diagonală: obții 45°. Mai îndoaie o dată: 22°30' (aproximativ). Compară aceste „unghiuri din pliuri" cu desene din caiet, suprapunându-le — descoperi singur unghiuri congruente.

2. Vânătoarea de unghiuri. Plimbă-te prin casă cu raportorul și măsoară: colțul unei uși deschise, deschiderea unei foarfeci, unghiul dintre acele ceasului la diferite ore. Notează fiecare măsură în grade. Care a fost cel mai mic? Dar cel mai mare?

3. Construiește și verifică (cu un coleg sau părinte). Tu construiești în secret un unghi de o măsură aleasă de tine (de exemplu 65°). Celălalt îl măsoară cu raportorul și ghicește măsura. Apoi schimbați rolurile. Câștigă cine ghicește mai aproape de valoarea corectă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce primul instrument „nou" din geometria de gimnaziu — raportorul — și o idee cheie: măsura ca număr atașat unei figuri. Marele obstacol cognitiv este înțelegerea că mărimea unghiului nu depinde de lungimea laturilor; merită insistat aici, cu exemple concrete (ceasuri, foarfeci, ușă deschisă mai mult sau mai puțin).

Sprijiniți copilul mai întâi la mânuirea fizică a raportorului: așezarea centrului pe vârf și a liniei de 0° pe o latură sunt deprinderi motorii care cer exercițiu. Greșeala numărul unu este citirea pe șirul greșit; antidotul este regula „pune latura pe 0 și numără de la 0". Cereți copilului să estimeze înainte de a citi („e mai mic sau mai mare decât un colț de foaie?") — această verificare cu 90° prinde aproape toate erorile grosolane.

Întrebări utile de pus: „Care literă din nume este vârful?", „Pe ce șir citești și de ce?", „Cum verifici dacă răspunsul are sens?", „Două unghiuri cu laturi de lungimi diferite pot fi congruente?". Verificați înțelegerea cerându-i să construiască un unghi dat (de exemplu 80°) și apoi să îl măsoare pe al dumneavoastră — alternarea măsurare/construcție consolidează cel mai bine. Pentru continuare, unghiurile măsurate aici vor fi clasificate în lecția despre unghi drept, ascuțit și obtuz.

Întrebări frecvente

Ce este măsura unui unghi în clasa a 5-a? Măsura unui unghi este numărul care arată cât de deschise sunt laturile lui, exprimat în grade sexagesimale (simbol °). De exemplu, un colț de foaie are 90°, iar o linie dreaptă formează 180°.

Cum se măsoară un unghi cu raportorul, pas cu pas? Așezi centrul raportorului peste vârful unghiului, suprapui linia de 0° peste una dintre laturi, pornești numărătoarea de la 0 de pe acea latură și citești gradația în dreptul căreia cade cealaltă latură. Acel număr este măsura unghiului.

De ce are raportorul două șiruri de numere? Ca să poți măsura comod unghiuri deschise în orice parte. Tu folosești însă un singur șir: cel care începe cu 0 chiar pe latura peste care ai pus linia de bază. Numărând mereu de la 0, nu te încurci.

Ce este un grad sexagesimal? Este unitatea de măsură pentru unghiuri. Provine din împărțirea unei rotații complete în 360 de părți egale; o astfel de parte este un grad (1°). Gradul se împarte mai departe în 60 de minute, iar minutul în 60 de secunde.

Ce sunt unghiurile congruente? Sunt unghiuri care au exact aceeași măsură. Se scriu cu semnul ≡, de exemplu $\widehat{AOB}\equiv \widehat{COD}$. Dacă suprapunem două unghiuri congruente, vârf peste vârf și latură peste latură, ele se potrivesc perfect.

Mărimea unghiului depinde de lungimea laturilor? Nu. Măsura depinde doar de deschiderea dintre laturi. Dacă prelungești laturile cu rigla, unghiul rămâne la fel de mare, exact cum un ceas de perete și unul de mână arată aceeași oră cu ace de lungimi diferite.

Cum construiesc un unghi de măsură dată cu raportorul? Trasezi o semidreaptă cu rigla, pui centrul raportorului pe originea ei și linia de 0° pe semidreaptă, marchezi un punct în dreptul gradației dorite (de exemplu 70°), apoi unești originea cu acel punct. Ai obținut un unghi cu măsura cerută.

Câte grade are o rotație completă și cât are un sfert? O rotație completă are 360°. Jumătate de rotație are 180°, un sfert are 90° (cât un colț de foaie), iar o optime are 45°.

Cum îmi dau seama dacă am citit greșit raportorul? Estimează întâi mărimea unghiului față de colțul foii (90°). Dacă unghiul arată mai închis decât colțul foii, măsura lui trebuie să fie sub 90°; dacă arată mai deschis, peste 90°. Când numărul citit contrazice ce vezi, ai folosit aproape sigur șirul greșit al raportorului.

Ce înseamnă simbolul ≡ la unghiuri? Simbolul ≡ se citește „congruent" și se folosește între figuri. Scrierea $\widehat{AOB}\equiv \widehat{COD}$ înseamnă că cele două unghiuri au exact aceeași măsură. Pentru numere (măsurile lor) folosim semnul de egal: $m(\widehat{AOB})=m(\widehat{COD})$.