Compararea metodelor. Sisteme cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții

Până acum ai învățat două „unelte" puternice pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute: metoda substituției și metoda reducerii. Un elev bun știe să folosească fiecare unealtă; un elev foarte bun știe și care unealtă e mai potrivită pentru fiecare situație — la fel cum un mecanic alege cheia potrivită pentru fiecare piuliță. În plus, apare o întrebare surprinzătoare, dar foarte importantă: oare orice sistem are exact o soluție? Vom descoperi că răspunsul este „nu": unele sisteme au o singură pereche-soluție, altele nu au nicio soluție, iar altele au o infinitate de soluții. A ști să recunoști din timp în ce caz te afli te scutește de calcule inutile și de greșeli — exact tipul de gândire cerut la testele naționale și în viața de zi cu zi, când modelezi o problemă cu bani, mișcare sau amestecuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi metoda potrivită (substituție sau reducere) în funcție de forma sistemului, ca să lucrezi rapid și fără erori.
• Vei ști să recunoști dacă un sistem are soluție unică (compatibil determinat).
• Vei ști să recunoști un sistem fără soluție (incompatibil), după apariția unei egalități false.
• Vei ști să recunoști un sistem cu o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat), după apariția unei egalități mereu adevărate.
• Vei ști să interpretezi cele trei cazuri prin puncte în reperul cartezian și să justifici tipul obținut.

Hai să descoperim împreună

1. Recapitulare-fulger: ce înseamnă „soluția unui sistem"

Reține ideea de bază de la lecția Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Soluția unui sistem: o soluție a unui sistem este o pereche ordonată de numere $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Nu e de ajuns ca perechea să potrivească doar prima ecuație; ea trebuie să potrivească și pe a doua, în același timp.

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are, de obicei, forma:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$

unde $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ sunt numere cunoscute, iar $x$ și $y$ sunt necunoscutele.

Întrebarea centrală a lecției este: câte astfel de perechi $(x,y)$ pot exista? Vom vedea că sunt exact trei posibilități, și nu mai multe.

2. Compararea celor două metode: când aleg substituția, când aleg reducerea

Ambele metode duc, corect aplicate, la același rezultat. Diferența e doar de comoditate: uneori una dintre ele cere mult mai puțin calcul. Iată reperele practice.

Alege metoda substituției (revezi Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției) când:

• una dintre necunoscute este deja „singură", adică are coeficientul $1$ sau $-1$ (de exemplu apare $y=\dots$ sau $x=\dots$);
• poți exprima ușor o necunoscută în funcție de cealaltă, fără să apară fracții urâte.

Alege metoda reducerii (revezi Rezolvarea sistemelor prin metoda reducerii) când:

• ambele ecuații sunt „aranjate frumos", de forma $ax+by=c$, cu necunoscutele aliniate;
• coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși (de exemplu $3x$ în ambele, sau $2y$ și $-2y$), pentru că atunci scazi ori aduni direct;
• coeficienții se pot face egali cu o simplă înmulțire (de exemplu $2y$ și $3y$ devin $6y$ după înmulțiri potrivite).

Hai să vedem diferența pe un exemplu concret. Fie sistemul:

$$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+2y=12\end{array}$$

Aici prima ecuație ne dă deja $y$ „la vedere": $y=2x-1$. Ar fi o pierdere de timp să potrivim coeficienți pentru reducere. Substituția e alegerea naturală: înlocuim $y$ din prima ecuație în a doua:

$$3x+2(2x-1)=12\Rightarrow 3x+4x-2=12\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2.$$

Apoi $y=2\cdot 2-1=3$. Soluția este $(2,3)$.

Acum privește alt sistem:

$$\{\begin{array}{l}5x+3y=19\\ 5x-2y=4\end{array}$$

Aici ambele ecuații au $5x$. Dacă am face substituție, ar trebui să scoatem $x=\frac{19-3y}{5}$ și ar apărea fracții. Mult mai simplu: reducere. Scădem a doua ecuație din prima, iar $5x$ se anulează:

$$(5x+3y)-(5x-2y)=19-4\Rightarrow 5y=15\Rightarrow y=3.$$

Din prima ecuație: $5x+3\cdot 3=19\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$. Soluția: $(2,3)$.

Concluzia comparației: nu există o metodă „mai bună" în general. E o chestiune de a citi forma sistemului și de a alege drumul mai scurt. Cu puțin exercițiu, vei „vedea" într-o clipă ce metodă cere mai puțin scris.

3. Marea surpriză: nu orice sistem are o singură soluție

Până acum, toate sistemele pe care le-ai rezolvat aveau exact o soluție. E momentul să afli adevărul complet. Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute poate fi în unul din trei cazuri:

1. Soluție unică — o singură pereche $(x,y)$. Numim sistemul compatibil determinat.
2. Nicio soluție — nu există nicio pereche $(x,y)$ care să verifice ambele ecuații. Numim sistemul incompatibil.
3. O infinitate de soluții — există o infinitate de perechi $(x,y)$ care verifică ambele ecuații. Numim sistemul compatibil nedeterminat.

Cuvintele-cheie de reținut: compatibil = „are cel puțin o soluție"; incompatibil = „nu are nicio soluție"; determinat = „exact una"; nedeterminat = „o infinitate".

Vestea excelentă este că nu trebuie să ghicești în ce caz ești. Metodele pe care le știi (substituție și reducere) îți spun singure cazul, prin ce se întâmplă la final. Hai să vedem cum.

4. Cazul 1 — Sistem cu soluție unică (compatibil determinat)

Acesta e cazul „obișnuit", pe care l-ai întâlnit mereu. Când rezolvi, ajungi la o ecuație de forma $x=\text{un numa˘r}$ (sau $y=\text{un numa˘r}$), deci obții o valoare precisă pentru fiecare necunoscută.

Exemplu:

$$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-y=1\end{array}$$

Prin reducere, adunăm ecuațiile: $(x+y)+(x-y)=7+1\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. Apoi $4+y=7\Rightarrow y=3$. Soluție unică: $(4,3)$.

Ce e caracteristic? La un moment dat ai obținut $2x=8$, o ecuație cu o singură necunoscută, care are exact o soluție. De aici a rezultat un singur $x$ și un singur $y$. Sistemul are exact o pereche-soluție.

Interpretarea în reperul cartezian (informal). Fiecare ecuație liniară cu două necunoscute reprezintă un „traseu drept" de puncte în plan — practic, o dreaptă. Ne uităm la punctele $(x,y)$ care fac egalitatea adevărată. Pentru un sistem cu soluție unică, cele două trasee se intersectează într-un singur punct, iar coordonatele acelui punct sunt tocmai soluția. Pentru exemplul de sus, punctul de intersecție este $(4,3)$.

5. Cazul 2 — Sistem fără soluție (incompatibil)

Aici se întâmplă ceva neașteptat: în timpul rezolvării, dispar amândouă necunoscutele și rămâi cu o egalitate falsă, de tipul $0=5$ sau $7=2$. O astfel de egalitate este imposibilă, deci nicio pereche $(x,y)$ nu poate verifica sistemul. Concluzia: sistemul nu are soluție.

Exemplu:

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=8\end{array}$$

Chiar cu ochiul liber vezi problema: cum ar putea suma $x+y$ să fie și $3$, și $8$, în același timp? Imposibil. Să verificăm și cu metoda reducerii: scădem prima ecuație din a doua:

$$(x+y)-(x+y)=8-3\Rightarrow 0=5.$$

Am obținut $0=5$, o egalitate falsă. Acesta este semnalul clar că sistemul este incompatibil (fără soluție).

Să luăm un exemplu care nu e la fel de evident:

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=6\\ x+2y=5\end{array}$$

Folosim substituția: din a doua ecuație, $x=5-2y$. Înlocuim în prima:

$$2(5-2y)+4y=6\Rightarrow 10-4y+4y=6\Rightarrow 10=6.$$

Din nou o egalitate falsă, $10=6$. Deci sistemul nu are soluție. (Observă un mic „truc de detectare": prima ecuație este exact dublul lui $x+2y$, adică $2x+4y=2(x+2y)$, deci partea stângă dublă ar trebui să dea partea dreaptă dublă: $2\cdot 5=10$, nu $6$. Contradicție.)

Interpretarea în reper (informal). Cele două trasee de puncte sunt paralele — merg în aceeași direcție dar nu se ating niciodată. Nu au niciun punct comun, deci sistemul nu are nicio soluție. Este ca și cum două trenuri ar merge pe două șine paralele: oricât ar înainta, nu se întâlnesc niciodată.

6. Cazul 3 — Sistem cu o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)

Al treilea caz e cel mai curios. Aici, în timpul rezolvării, dispar iarăși amândouă necunoscutele, dar rămâi cu o egalitate mereu adevărată, de tipul $0=0$ sau $5=5$. O astfel de egalitate este întotdeauna adevărată, indiferent de valori. Asta înseamnă că cele două ecuații spun, de fapt, același lucru: a doua nu adaugă nicio informație nouă față de prima. Rezultatul: o infinitate de perechi $(x,y)$ verifică sistemul.

Exemplu:

$$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+2y=8\end{array}$$

Observă că a doua ecuație este exact prima înmulțită cu $2$: dacă $x+y=4$, atunci automat $2x+2y=8$. Cele două ecuații sunt „gemene". Să vedem ce se întâmplă la reducere: înmulțim prima ecuație cu $2$, obținem $2x+2y=8$, apoi o scădem din a doua:

$$(2x+2y)-(2x+2y)=8-8\Rightarrow 0=0.$$

Egalitatea $0=0$ este mereu adevărată. Semnalul spune: sistem compatibil nedeterminat, cu o infinitate de soluții.

Cum arată aceste soluții? Toate perechile $(x,y)$ pentru care $x+y=4$. De exemplu: $(0,4)$, $(1,3)$, $(2,2)$, $(4,0)$, $(10,-6)$ și așa mai departe — o infinitate. Le putem descrie compact: alegem $x$ liber și atunci $y=4-x$. Perechea $(x,4-x)$ este soluție pentru orice valoare a lui $x$.

Verificare pe câteva: pentru $(1,3)$: $1+3=4$ ✓ și $2\cdot 1+2\cdot 3=2+6=8$ ✓. Pentru $(4,0)$: $4+0=4$ ✓ și $8+0=8$ ✓. Toate funcționează.

Interpretarea în reper (informal). Cele două trasee de puncte sunt de fapt același traseu (drepte suprapuse, care coincid perfect). Fiecare punct al traseului este comun ambelor ecuații, deci există o infinitate de puncte comune — o infinitate de soluții.

7. Regula de recunoaștere — cheat sheet mental

Când rezolvi un sistem (prin oricare metodă), privește ce rămâne la final, după ce ai făcut înlocuirile sau reducerile:

• Rămâne o ecuație cu o necunoscută, tip $x=4$ → soluție unică (compatibil determinat).
• Dispar necunoscutele și rămâne o egalitate falsă ($0=5$) → nicio soluție (incompatibil).
• Dispar necunoscutele și rămâne o egalitate mereu adevărată ($0=0$) → o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat).

Un truc rapid, valabil când ambele ecuații sunt de forma $ax+by=c$: compară rapoartele coeficienților. Fie sistemul cu $a_{1}x+b_{1}y=c_1$ și $a_{2}x+b_{2}y=c_2$. Pentru al doilea și al treilea caz, ecuațiile sunt „proporționale" la stânga (una e multiplu al celeilalte). Diferența dintre „fără soluție" și „infinit de multe" o dă partea dreaptă: dacă și numerele libere respectă aceeași proporție, ecuațiile sunt identice (infinitate de soluții); dacă nu, sunt contradictorii (nicio soluție). Nu memora formule cu litere — e suficient să observi când o ecuație e multiplul celeilalte, apoi verifici numărul din dreapta. Metoda de rezolvare îți confirmă oricum cazul, prin $0=0$ sau $0=\text{numa˘r}$.

8. Legătura cu ecuațiile liniare pe care le știi deja

Poate ți se pare cunoscut acest tipar „una / niciuna / o infinitate". Exact! L-ai întâlnit la o singură ecuație, în lecția Cazurile unei ecuații liniare: una, niciuna sau o infinitate de soluții. Acolo, o ecuație putea ajunge la $0\cdot x=0$ (infinitate) sau $0\cdot x=5$ (niciuna). La sisteme se întâmplă exact același fenomen, doar că acum lucrăm cu perechi $(x,y)$. Matematica este coerentă: aceleași idei revin, la un nivel nou. Faptul că metoda reduce sistemul la o ecuație cu o necunoscută explică de ce reapare exact același tipar cu trei cazuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Alege metoda potrivită și rezolvă

$$\{\begin{array}{l}x=3y+1\\ 2x-5y=4\end{array}$$

Alegere: prima ecuație ne dă $x$ „la vedere" → substituție.

Înlocuim $x=3y+1$ în a doua: $$2(3y+1)-5y=4\Rightarrow 6y+2-5y=4\Rightarrow y+2=4\Rightarrow y=2.$$ Apoi $x=3\cdot 2+1=7$.

Verificare: $2\cdot 7-5\cdot 2=14-10=4$ ✓. Soluție unică: $(7,2)$. Sistem compatibil determinat.

Exemplul 2 — Alege metoda potrivită și rezolvă

$$\{\begin{array}{l}4x+3y=18\\ 4x-y=2\end{array}$$

Alegere: ambele au $4x$ → reducere. Scădem a doua din prima: $$(4x+3y)-(4x-y)=18-2\Rightarrow 4y=16\Rightarrow y=4.$$ Din a doua: $4x-4=2\Rightarrow 4x=6\Rightarrow x=\frac{3}{2}$.

Verificare: $4\cdot \frac{3}{2}+3\cdot 4=6+12=18$ ✓. Soluție unică: $\left(\frac{3}{2},4\right)$. Compatibil determinat.

Exemplul 3 — Recunoaște un sistem fără soluție

$$\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 6x-2y=7\end{array}$$

Din prima: $y=3x-5$. Substituim în a doua: $$6x-2(3x-5)=7\Rightarrow 6x-6x+10=7\Rightarrow 10=7.$$ Egalitate falsă ($10\ne 7$). Sistemul nu are soluție — este incompatibil.

Observație: a doua ecuație are partea stângă dublul primei ($6x-2y=2(3x-y)$), deci ar trebui ca partea dreaptă să fie $2\cdot 5=10$, nu $7$. Traseele sunt paralele.

Exemplul 4 — Recunoaște un sistem cu o infinitate de soluții

$$\{\begin{array}{l}2x+6y=8\\ x+3y=4\end{array}$$

Din a doua: $x=4-3y$. Substituim în prima: $$2(4-3y)+6y=8\Rightarrow 8-6y+6y=8\Rightarrow 8=8.$$ Egalitate mereu adevărată. Sistem compatibil nedeterminat — o infinitate de soluții.

Toate soluțiile: perechile $(4-3y,y)$, cu $y$ oarecare. Exemple: $y=0\Rightarrow (4,0)$; $y=1\Rightarrow (1,1)$; $y=2\Rightarrow (-2,2)$. Verificare pentru $(1,1)$: $2+6=8$ ✓ și $1+3=4$ ✓.

Exemplul 5 — Sistem care cere puțină pregătire înainte de a alege metoda

$$\{\begin{array}{l}2(x+y)=x+10\\ 3x-y=5\end{array}$$

Mai întâi aducem prima ecuație la forma standard $ax+by=c$: $$2x+2y=x+10\Rightarrow 2x-x+2y=10\Rightarrow x+2y=10.$$ Acum sistemul e: $$\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ 3x-y=5\end{array}$$ Alegere: prima are $x$ cu coeficient $1$ → substituție comodă. Din prima: $x=10-2y$. În a doua: $$3(10-2y)-y=5\Rightarrow 30-6y-y=5\Rightarrow -7y=-25\Rightarrow y=\frac{25}{7}.$$ Atunci $x=10-2\cdot \frac{25}{7}=10-\frac{50}{7}=\frac{70-50}{7}=\frac{20}{7}$.

Verificare (a doua ecuație): $3\cdot \frac{20}{7}-\frac{25}{7}=\frac{60-25}{7}=\frac{35}{7}=5$ ✓. Soluție unică: $\left(\frac{20}{7},\frac{25}{7}\right)$. Compatibil determinat.

Lecția acestui exemplu: uneori trebuie mai întâi să rearanjezi ecuațiile (desfaci paranteze, muți termeni) și abia apoi decizi metoda. Nu te grăbi să alegi metoda înainte de a aduce sistemul la forma standard.

Exemplul 6 — Decide tipul fără să afli neapărat soluțiile

Se dă sistemul: $$\{\begin{array}{l}5x-10y=15\\ x-2y=3\end{array}$$ Fără să rezolvăm complet, observăm: prima ecuație este exact a doua înmulțită cu $5$ (căci $5(x-2y)=5x-10y$ și $5\cdot 3=15$). Cele două ecuații sunt identice ca informație. Deci sistem compatibil nedeterminat — o infinitate de soluții, toate perechile cu $x-2y=3$, adică $(3+2y,y)$.

Confirmăm rapid prin reducere: înmulțim a doua cu $5$ → $5x-10y=15$, apoi scădem din prima → $0=0$. ✓ Într-adevăr, infinitate de soluții.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare sistem, spune și tipul (soluție unică / fără soluție / infinitate de soluții) și, unde ai de ales, precizează ce metodă ai folosit și de ce.

1. Rezolvă prin metoda cea mai potrivită: $$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 3x+y=10\end{array}$$

2. Rezolvă prin reducere: $$\{\begin{array}{l}2x+y=9\\ 2x-y=3\end{array}$$

3. Ce metodă alegi și de ce? Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}x=4-y\\ 5x+2y=14\end{array}$$

4. Stabilește tipul sistemului și, dacă are, află soluțiile: $$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 2x+2y=20\end{array}$$

5. Stabilește tipul și, dacă are, dă câteva soluții: $$\{\begin{array}{l}3x-y=4\\ 9x-3y=12\end{array}$$

6. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}4x+5y=22\\ 4x+3y=18\end{array}$$

7. Rezolvă prin substituție: $$\{\begin{array}{l}y=2x\\ 3x-y=4\end{array}$$

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are întotdeauna exact o soluție."

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă în timpul rezolvării obții $0=0$, sistemul nu are nicio soluție."

10. Adu mai întâi la forma standard, apoi rezolvă: $$\{\begin{array}{l}2(x-1)+y=7\\ x-y=1\end{array}$$

11. Fără a rezolva complet, arată că sistemul nu are soluție: $$\{\begin{array}{l}x-3y=2\\ 2x-6y=9\end{array}$$

12. Determină tipul sistemului: $$\{\begin{array}{l}7x+2y=5\\ 14x+4y=10\end{array}$$

13. Rezolvă și interpretează în reper (câte puncte comune au traseele?): $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=5\end{array}$$

14. Problemă aplicată: La un automat, $2$ sucuri și $3$ batoane costă $19$ lei, iar $2$ sucuri și $1$ baton costă $11$ lei. Notează cu $s$ prețul unui suc și cu $b$ prețul unui baton, scrie sistemul, alege o metodă potrivită și află prețurile.

15. Găsește numărul $m$ pentru care sistemul are o infinitate de soluții: $$\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 3x+6y=m\end{array}$$

16. Găsește o valoare a lui $m$ pentru care sistemul de la exercițiul 15 nu are nicio soluție.

17. Provocare (raționament). Se dă sistemul: $$\{\begin{array}{l}kx+y=4\\ 2x+y=4\end{array}$$ Pentru ce valoare a lui $k$ sistemul are o infinitate de soluții? Justifică. (Indiciu: când devin cele două ecuații identice?)

18. Provocare. Un elev spune: „Am rezolvat un sistem și mi-a ieșit $x=2$, dar nu și $y$; deci sistemul are o infinitate de soluții." Explică unde greșește în raționament și ce ar trebui să facă mai departe.

Răspunsuri și explicații

1. Substituție (avem $y=x+2$). $3x+(x+2)=10\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$, $y=4$. Soluție unică $(2,4)$. Verificare: $3\cdot 2+4=10$ ✓.

2. Reducere. Adunăm: $4x=12\Rightarrow x=3$; apoi $6+y=9\Rightarrow y=3$. Soluție unică $(3,3)$. Verificare: $2\cdot 3-3=3$ ✓.

3. Substituție, fiindcă $x=4-y$ e deja izolat. $5(4-y)+2y=14\Rightarrow 20-5y+2y=14\Rightarrow -3y=-6\Rightarrow y=2$, $x=2$. Soluție unică $(2,2)$. Verificare: $5\cdot 2+2\cdot 2=14$ ✓.

4. A doua ecuație împărțită la $2$ dă $x+y=10$, dar prima spune $x+y=6$. Contradicție ($6\ne 10$). Prin reducere: înmulțim prima cu $2$ → $2x+2y=12$, scădem din a doua → $0=8$ (fals). Fără soluție — sistem incompatibil.

5. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$ ($9x-3y=3(3x-y)$ și $12=3\cdot 4$). Prin reducere apare $0=0$. O infinitate de soluții — compatibil nedeterminat. Câteva: din $3x-y=4$ luăm $y=3x-4$; $x=0\Rightarrow (0,-4)$; $x=1\Rightarrow (1,-1)$; $x=2\Rightarrow (2,2)$.

6. Reducere (ambele au $4x$). Scădem: $(4x+5y)-(4x+3y)=22-18\Rightarrow 2y=4\Rightarrow y=2$; apoi $4x+6=18\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$. Soluție unică $(3,2)$. Verificare: $4\cdot 3+5\cdot 2=12+10=22$ ✓.

7. $y=2x$ în a doua: $3x-2x=4\Rightarrow x=4$, $y=8$. Soluție unică $(4,8)$. Verificare: $3\cdot 4-8=4$ ✓.

8. Fals. Un sistem poate avea o soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Exemplu fără soluție: $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=8\end{array}$.

9. Fals. $0=0$ este o egalitate mereu adevărată și înseamnă o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat). „Nicio soluție" apare când rămâne o egalitate falsă, de exemplu $0=5$.

10. Forma standard a primei: $2x-2+y=7\Rightarrow 2x+y=9$. Sistem: $\{\begin{array}{l}2x+y=9\\ x-y=1\end{array}$. Adunăm (reducere): $3x=10\Rightarrow x=\frac{10}{3}$; apoi $y=x-1=\frac{7}{3}$. Soluție unică $\left(\frac{10}{3},\frac{7}{3}\right)$. Verificare: $2\cdot \frac{10}{3}+\frac{7}{3}=\frac{20+7}{3}=9$ ✓.

11. A doua ecuație are partea stângă dublul primei: $2x-6y=2(x-3y)$. Dacă $x-3y=2$, atunci $2x-6y$ ar trebui să fie $2\cdot 2=4$, dar ecuația cere $9$. Cum $4\ne 9$, e imposibil. Prin reducere: înmulțim prima cu $2$ → $2x-6y=4$, scădem din a doua → $0=5$ (fals). Fără soluție.

12. A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$ ($14x+4y=2(7x+2y)$ și $10=2\cdot 5$). Sunt identice ca informație. O infinitate de soluții — compatibil nedeterminat.

13. Adunăm: $2x=10\Rightarrow x=5$; apoi $5+y=5\Rightarrow y=0$. Soluție unică $(5,0)$. În reper, cele două trasee se intersectează într-un singur punct, $(5,0)$.

14. $\{\begin{array}{l}2s+3b=19\\ 2s+b=11\end{array}$. Reducere (ambele au $2s$): scădem a doua din prima → $2b=8\Rightarrow b=4$; apoi $2s+4=11\Rightarrow 2s=7\Rightarrow s=3,5$. Un suc costă $3,5$ lei, un baton $4$ lei. Verificare: $2\cdot 3,5+3\cdot 4=7+12=19$ ✓.

15. Pentru infinitate de soluții, a doua ecuație trebuie să fie prima înmulțită cu $3$ (căci $3x+6y=3(x+2y)$). Atunci partea dreaptă trebuie să fie $3\cdot 3=9$. $m=9$.

16. Dacă $m\ne 9$, ecuațiile devin contradictorii (partea stângă e proporțională, dreapta nu). Orice valoare diferită de $9$ merge, de exemplu $m=10$: prin reducere apare $0=1$ (fals), deci fără soluție.

17. Ecuațiile devin identice când coeficienții lui $x$ coincid (ceilalți termeni sunt deja la fel: $+y$ și $=4$). Deci $k=2$. Pentru $k=2$ cele două ecuații sunt identice → o infinitate de soluții. (Pentru $k\ne 2$ avem soluție unică; nu există valoare a lui $k$ care să dea „fără soluție", pentru că părțile drepte sunt deja egale.)

18. Elevul greșește: dacă a obținut $x=2$, sistemul are, de fapt, o valoare precisă pentru $x$ — semn de soluție unică, nu de infinitate. „Infinitate de soluții" apare doar când dispar amândouă necunoscutele și rămâne o egalitate mereu adevărată ($0=0$). Ce trebuie să facă: înlocuiește $x=2$ într-una dintre ecuațiile inițiale și află $y$, apoi scrie perechea-soluție $(2,y)$.

De reținut

• Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are una din trei posibilități: o singură soluție (compatibil determinat), nicio soluție (incompatibil) sau o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat).
• Semnalul de la final îți spune cazul: $x=\text{numa˘r}$ → soluție unică; $0=\text{numa˘r nenul}$ (egalitate falsă) → nicio soluție; $0=0$ (mereu adevărat) → infinitate de soluții.
• Alegerea metodei: substituție când o necunoscută e izolată sau ușor de izolat; reducere când coeficienții unei necunoscute sunt egali/opuși sau ușor de potrivit. Ambele dau același rezultat corect.
• Interpretare în reper: soluție unică = trasee care se taie într-un punct; nicio soluție = trasee paralele; infinitate = trasee suprapuse (aceeași dreaptă).
• Când o ecuație este multiplu al celeilalte pe partea stângă, verifică partea dreaptă: dacă respectă aceeași proporție → infinitate; dacă nu → nicio soluție.

Greșeli frecvente

• Confuzia $0=0$ cu „nicio soluție". $0=0$ este adevărat și înseamnă o infinitate de soluții. Doar o egalitate falsă ($0=5$) înseamnă „nicio soluție". Ține minte: fals → zero soluții; mereu adevărat → infinit de soluții.
• Te grăbești să alegi metoda înainte de a aranja sistemul. Dacă apar paranteze sau termeni de mutat, adu întâi ambele ecuații la forma $ax+by=c$, apoi decizi metoda.
• Uiți să afli a doua necunoscută. După ce găsești $x$, mai ai de făcut un pas: înlocuiești și afli $y$ (și invers). O soluție e o pereche $(x,y)$, nu un singur număr.
• Nu verifici în ambele ecuații. O pereche trebuie să potrivească simultan ambele ecuații. Verifică mereu în amândouă, nu doar în una.

Aplică acasă

1. Meniul de la magazin. Alege două produse (de exemplu apă și covrig) și inventează două „bonuri" cu combinații și prețuri totale, ca la exercițiul 14. Scrie sistemul, alege metoda potrivită și află prețul fiecărui produs. Apoi verifică-ți răspunsul pe un bon real din casă.

2. Fabrica de sisteme. Construiește tu trei sisteme, câte unul pentru fiecare tip: unul cu soluție unică, unul fără soluție și unul cu o infinitate de soluții. Trucul: pornește de la o ecuație simplă (ex. $x+y=5$) și, pentru „infinitate", scrie a doua ca multiplu al ei; pentru „fără soluție", păstrează partea stângă multiplu, dar strică numărul din dreapta. Provoacă un coleg sau un părinte să ghicească tipul fiecăruia.

3. Detectivul de sisteme. Ia trei sisteme dintr-o culegere și, fără a le rezolva complet, prezice tipul fiecăruia doar comparând coeficienții (vezi dacă o ecuație e multiplu al celeilalte). Apoi rezolvă-le ca să verifici dacă ai ghicit — ca un detectiv care își confirmă bănuiala cu probe.

Pentru părinți și profesori

Această lecție are două scopuri: (1) să dezvolte judecata strategică — alegerea metodei potrivite, nu doar aplicarea mecanică — și (2) să introducă ideea, adesea surprinzătoare pentru elevi, că un sistem poate avea zero sau infinit de soluții.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i, la fiecare sistem, să spună cu voce tare ce metodă alege și de ce înainte de a scrie. Verbalizarea deciziei consolidează gândirea strategică.
• Verificați înțelegerea celor trei cazuri cu întrebări scurte: „Dacă la final îți iese $0=0$, câte soluții are sistemul?" (răspuns: o infinitate); „Dar dacă îți iese $0=7$?" (răspuns: niciuna).
• Un bun test de înțelegere: dați-i două ecuații identice scrise diferit (ex. $x+y=3$ și $2x+2y=6$) și întrebați câte soluții are sistemul. Dacă răspunde „o infinitate" și explică de ce (aceeași informație de două ori), a înțeles esența.

Semnale că a înțeles: recunoaște tipul fără a fi nevoie să calculeze tot; nu confundă $0=0$ cu $0=$ număr nenul; și, la un sistem obișnuit, scrie soluția ca pereche $(x,y)$, verificată în ambele ecuații.

Întrebări frecvente

Câte soluții poate avea un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute? Exact una din trei variante: o singură soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Nu există „două" sau „trei" soluții pentru astfel de sisteme — între „una" și „o infinitate" nu e nimic la mijloc.

Ce înseamnă că un sistem este compatibil determinat? Înseamnă că are soluție („compatibil") și că aceasta este unică („determinat"), adică o singură pereche $(x,y)$. Este cazul cel mai des întâlnit la exerciții.

Cum îmi dau seama că un sistem nu are soluție? Rezolvi cu orice metodă și, dacă la un moment dat dispar amândouă necunoscutele și rămâne o egalitate falsă (de exemplu $0=5$ sau $10=6$), sistemul este incompatibil, adică nu are nicio soluție.

Ce înseamnă că un sistem are o infinitate de soluții? Înseamnă că cele două ecuații spun, de fapt, același lucru (una e multiplu al celeilalte). La rezolvare obții o egalitate mereu adevărată, tip $0=0$, iar soluțiile sunt toate perechile care verifică o singură ecuație.

Ce metodă e mai bună, substituția sau reducerea? Niciuna nu e „mai bună" în general; ambele dau același rezultat. Alegi substituția când o necunoscută e deja izolată (tip $y=\dots$) și reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși. Cu practică, vezi rapid ce metodă cere mai puțin calcul.

$0=0$ înseamnă că sistemul nu are soluție? Nu, dimpotrivă! $0=0$ este adevărat mereu și înseamnă o infinitate de soluții. „Nicio soluție" apare doar când rămâne o egalitate falsă, de exemplu $0=3$.

Pot să știu tipul sistemului fără să-l rezolv complet? Adesea da: dacă o ecuație este multiplul celeilalte pe partea stângă, verifici partea dreaptă. Dacă și numerele libere respectă aceeași proporție, ai infinitate de soluții; dacă nu, nu are soluție. Dacă ecuațiile nu sunt proporționale, sistemul are soluție unică.

Cum interpretez cele trei cazuri în reperul cartezian? Fiecare ecuație e un traseu de puncte (o dreaptă). Soluție unică = traseele se taie într-un punct; nicio soluție = trasee paralele (nu se ating); infinitate = trasee suprapuse (aceeași dreaptă). Poți vedea mai multe despre puncte și coordonate în lecția Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct.