Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct

Gândește-te cum îi spui unui prieten unde te afli într-o sală de cinema: „rândul 7, locul 12". Cu doar două numere ai indicat exact un singur scaun din toată sala. Exact aceeași idee stă la baza uneia dintre cele mai puternice invenții din matematică: sistemul de axe ortogonale, numit și reperul cartezian. Cu ajutorul lui, orice punct din plan primește o „adresă" formată din două numere, iar geometria și algebra se întâlnesc pe aceeași foaie. În lecția de față vei învăța cum este construit acest reper, ce înseamnă abscisa și ordonata unui punct și cum citești corect coordonatele punctelor deja marcate. Este fundația pe care vei construi apoi reprezentarea punctelor, distanța dintre ele și graficele — teme centrale ale clasei a VII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici axele ($Ox$ și $Oy$), originea $O$ și cele patru cadrane ale unui sistem de axe ortogonale.
• Vei ști să citești abscisa și ordonata unui punct reprezentat în plan și să scrii corect perechea $(x,y)$.
• Vei ști să precizezi cadranul unui punct pe baza semnelor coordonatelor sale.
• Vei ști ce coordonate au originea și punctele situate pe axe.
• Vei ști să eviți confuziile clasice dintre abscisă și ordonată și dintre perechea $(x,y)$ și perechea $(y,x)$.

Hai să descoperim împreună

De la o axă la două axe

În lecțiile trecute ai lucrat cu axa numerelor: o dreaptă pe care ai fixat un punct de origine ($O$, care corespunde lui $0$), un sens pozitiv și o unitate de măsură. Pe axa numerelor, fiecare număr real avea locul lui, iar fiecare punct de pe dreaptă corespundea unui singur număr. Cu o singură axă poți descrie poziția pe o linie — de exemplu, pe câți metri ai avansat pe o pistă de alergare.

Dar lumea nu este o linie. O piesă de șah stă pe o tablă, un oraș este marcat pe o hartă, un pixel se află pe un ecran. Ca să indici poziția pe o suprafață plană, o singură axă nu-ți ajunge: îți trebuie două informații — cât de mult mergi în lateral și cât de mult mergi în sus sau în jos.

Ideea genială, atribuită matematicianului și filozofului francez René Descartes (de la numele căruia vine cuvântul „cartezian"), este simplă: luăm două axe ale numerelor perpendiculare una pe cealaltă, care se intersectează în originea lor comună. Astfel obținem un sistem de axe ortogonale. Cuvântul „ortogonal" înseamnă chiar „care formează unghi drept" — cele două axe fac între ele un unghi de $90°$.

Construcția reperului cartezian $xOy$

Să construim, pas cu pas, sistemul de axe ortogonale.

Pasul 1. Prima axă — axa absciselor $Ox$. Desenăm o dreaptă orizontală și o transformăm în axă a numerelor: alegem un punct $O$ (originea), un sens pozitiv spre dreapta (marcat cu o săgeată) și o unitate de măsură. Această axă orizontală se numește axa absciselor și se notează $Ox$. Pe ea, valorile cresc spre dreapta și scad spre stânga.

Pasul 2. A doua axă — axa ordonatelor $Oy$. Prin același punct $O$ ducem o a doua dreaptă, perpendiculară pe prima, deci verticală. O transformăm și pe ea în axă a numerelor: aceeași origine $O$, sensul pozitiv în sus (săgeată în sus) și aceeași unitate de măsură ca la prima axă. Această axă verticală se numește axa ordonatelor și se notează $Oy$. Pe ea, valorile cresc în sus și scad în jos.

Pasul 3. Originea $O$. Punctul comun al celor două axe, unde ele se intersectează, se numește originea reperului și se notează cu $O$. El corespunde valorii $0$ pe ambele axe.

Ansamblul format din cele două axe perpendiculare $Ox$ și $Oy$, cu originea comună $O$ și cu aceeași unitate de măsură, se numește sistem de axe ortogonale sau reper cartezian, notat pe scurt $xOy$. Observă ordinea literelor în notație: mai întâi $x$ (axa orizontală), apoi $O$ (originea), apoi $y$ (axa verticală). Planul pe care am construit acest reper se numește plan cartezian.

Un detaliu important: cerem aceeași unitate pe ambele axe pentru ca desenul să nu fie deformat. Dacă unitatea de pe $Ox$ ar fi mult mai mare decât cea de pe $Oy$, figurile ar arăta strâmbe — un pătrat ar părea un dreptunghi. De aceea, când desenăm un reper, avem grijă ca diviziunile de pe cele două axe să fie egale.

Adresa unui punct: perechea $(x,y)$

Acum vine partea cea mai importantă. Cum descriem poziția unui punct oarecare $M$ din plan?

Ideea este să folosim cele două axe ca „rigle" de referință. De la punctul $M$ „coborâm" (sau „ridicăm") perpendiculare pe fiecare axă și citim valorile în care acestea intersectează axele.

• Proiectăm $M$ pe axa $Ox$: ducem din $M$ o perpendiculară pe axa orizontală. Ea taie axa $Ox$ într-un punct care corespunde unui număr real. Acest număr se numește abscisa punctului $M$ și îl notăm de obicei cu $x$. Abscisa îți spune cât de la stânga la dreapta se află punctul.
• Proiectăm $M$ pe axa $Oy$: ducem din $M$ o perpendiculară pe axa verticală. Ea taie axa $Oy$ într-un punct care corespunde altui număr real. Acest număr se numește ordonata punctului $M$ și îl notăm de obicei cu $y$. Ordonata îți spune cât de jos sau de sus se află punctul.

Cele două numere, luate în această ordine strictă — întâi abscisa, apoi ordonata — formează o pereche ordonată de numere reale, pe care o scriem între paranteze și o separăm cu virgulă:

$$M(x,y)$$

Numim această pereche coordonatele punctului $M$. Numărul $x$ este prima coordonată (abscisa), iar $y$ este a doua coordonată (ordonata).

Ține minte legătura cu numele axelor: pe axa absciselor $Ox$ se citește abscisa, iar pe axa ordonatelor $Oy$ se citește ordonata. Un truc de memorare: „abscisa" începe cu litere asemănătoare cu „axa orizontală" — o găsești pe orizontală; iar în notația $M(x,y)$, litera $x$ (orizontala) vine mereu prima, exact ca în alfabet unde $x$ e înaintea lui $y$.

De ce contează ordinea: perechea este ordonată

Este esențial să înțelegi că perechea $(x,y)$ este ordonată: dacă schimbi ordinea numerelor, obții, în general, alt punct. De exemplu, punctul $A(3,1)$ și punctul $B(1,3)$ sunt puncte diferite. La $A$ mergem $3$ unități la dreapta și $1$ în sus; la $B$ mergem doar $1$ unitate la dreapta, dar $3$ în sus. Sunt două scaune diferite din „sala de cinema".

Această idee o cunoști deja din lecția despre produsul cartezian a două mulțimi: o pereche ordonată $(a,b)$ nu este același lucru cu $(b,a)$ decât atunci când $a=b$. Reperul cartezian este exact locul geometric unde perechile ordonate de numere reale „prind viață" ca puncte. Fiecărei perechi de numere reale $(x,y)$ îi corespunde un singur punct din plan, și fiecărui punct din plan îi corespunde o singură pereche de coordonate. Este o corespondență perfectă, „unu-la-unu", între mulțimea $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ și punctele planului.

Cele patru cadrane

Cele două axe împart planul în patru regiuni, numite cadrane. Ele se numerotează cu cifre romane, începând din dreapta-sus și mergând în sens invers acelor de ceasornic:

• Cadranul I — sus-dreapta;
• Cadranul II — sus-stânga;
• Cadranul III — jos-stânga;
• Cadranul IV — jos-dreapta.

Cel mai util lucru despre cadrane este că semnele coordonatelor îți spun imediat în ce cadran se află un punct (și invers). Motivul e simplu: abscisa $x$ este pozitivă la dreapta lui $O$ și negativă la stânga; ordonata $y$ este pozitivă deasupra lui $O$ și negativă dedesubt. Combinând semnele, obținem:

Poți reține regula astfel: în cadranul I ambele coordonate sunt pozitive; mergând invers acelor de ceas, mai întâi devine negativă abscisa (cadranul II), apoi devin negative amândouă (cadranul III), apoi rămâne negativă doar ordonata (cadranul IV). Semnele „se rotesc" odată cu cadranele.

Atenție: un punct se află într-un cadran doar dacă niciuna dintre coordonatele lui nu este zero. Dacă o coordonată este $0$, punctul se află pe o axă, nu în interiorul unui cadran. Vom vedea imediat de ce.

Puncte speciale: originea și punctele de pe axe

Anumite puncte au coordonate „rotunde" și merită reținute separat.

Originea $O$. Ea se află pe ambele axe, deci corespunde valorii $0$ atât pe $Ox$, cât și pe $Oy$. Prin urmare: $$O(0,0)$$ Abscisa și ordonata originii sunt amândouă zero.

Puncte de pe axa absciselor $Ox$. Un punct care se află pe axa orizontală nu este nici deasupra, nici dedesubtul ei, deci ordonata lui este $0$. Astfel, orice punct de pe $Ox$ are forma: $$(x,0)$$ De exemplu, $A(4,0)$, $B(-2,0)$, $C(\frac{1}{2},0)$ sunt toate pe axa absciselor. Regula scurtă: un punct este pe axa $Ox$ dacă și numai dacă ordonata lui este $0$.

Puncte de pe axa ordonatelor $Oy$. Un punct care se află pe axa verticală nu este nici la stânga, nici la dreapta ei, deci abscisa lui este $0$. Astfel, orice punct de pe $Oy$ are forma: $$(0,y)$$ De exemplu, $D(0,3)$, $E(0,-5)$, $F(0,\sqrt{2})$ sunt toate pe axa ordonatelor. Regula scurtă: un punct este pe axa $Oy$ dacă și numai dacă abscisa lui este $0$.

Observă cât de logic se leagă totul: „a fi pe o axă" înseamnă „a avea coordonata corespunzătoare celeilalte direcții egală cu zero". Pe $Ox$ (orizontală) anulăm deplasarea verticală, deci $y=0$; pe $Oy$ (verticală) anulăm deplasarea orizontală, deci $x=0$.

Cum citim coordonatele unui punct deja marcat

Să presupunem că îți dă cineva un desen cu un punct $P$ marcat în reper și te întreabă care sunt coordonatele lui. Procedăm ordonat, în trei pași:

Pasul 1 — abscisa. Din punctul $P$ cobori (sau urci) o perpendiculară pe axa $Ox$ (o linie verticală). Citești numărul din locul unde această linie taie axa orizontală. Acesta este $x$.

Pasul 2 — ordonata. Din același punct $P$ duci o perpendiculară pe axa $Oy$ (o linie orizontală). Citești numărul din locul unde această linie taie axa verticală. Acesta este $y$.

Pasul 3 — scrii perechea. Scrii coordonatele în ordine, întâi abscisa, apoi ordonata: $P(x,y)$.

Să facem un exemplu de citire. Presupunem că, urmând liniile punctate din desen, perpendiculara pe $Ox$ dusă din $P$ taie axa orizontală în dreptul lui $2$, iar perpendiculara pe $Oy$ o taie în dreptul lui $3$. Atunci $x=2$, $y=3$, deci $P(2,3)$. Cum ambele coordonate sunt pozitive, punctul se află în cadranul I. Verificăm cu tabelul: da, $x>0$ și $y>0$ înseamnă cadranul I.

Un sfat practic: citește întotdeauna în aceeași ordine — mai întâi cât te-ai deplasat pe orizontală (abscisa), apoi cât pe verticală (ordonata). Dacă respecți mereu ordinea $(x,y)$, nu vei mai încurca niciodată cele două numere. Această ordine este o convenție universală în matematică: în toată lumea, prima coordonată este abscisa.

O analogie care fixează totul

Imaginează-ți un lift într-un mall cu subsoluri. Axa $Ox$ este ca deplasarea pe hol (dreapta = pozitiv, stânga = negativ față de intrare), iar axa $Oy$ este ca deplasarea cu liftul (etajele sunt pozitive, subsolurile sunt negative). Ca să spui exact unde e un magazin, ai nevoie de amândouă: „la $3$ magazine spre dreapta și cu $2$ etaje mai sus", adică $(3,2)$ — cadranul I. Un magazin „la $3$ magazine spre dreapta, dar $2$ etaje sub pământ" ar fi $(3,-2)$ — cadranul IV. Iar recepția de la intrare, punctul de referință, este chiar originea $O(0,0)$. Vezi cum semnele descriu direcția, iar cele două numere împreună fixează poziția exactă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Precizarea cadranului după semne

Enunț. Fără să desenezi, precizează în ce cadran sau pe ce axă se află fiecare punct: $A(5,2)$, $B(-4,7)$, $C(-1,-3)$, $D(6,-8)$, $E(0,4)$, $F(-9,0)$.

Rezolvare. Analizăm semnele coordonatelor fiecărui punct.

• $A(5,2)$: $x=5>0$ și $y=2>0$ → ambele pozitive → cadranul I.
• $B(-4,7)$: $x=-4<0$ și $y=7>0$ → abscisă negativă, ordonată pozitivă → cadranul II.
• $C(-1,-3)$: $x=-1<0$ și $y=-3<0$ → ambele negative → cadranul III.
• $D(6,-8)$: $x=6>0$ și $y=-8<0$ → abscisă pozitivă, ordonată negativă → cadranul IV.
• $E(0,4)$: abscisa este $0$ → punctul este pe axa $Oy$ (nu într-un cadran).
• $F(-9,0)$: ordonata este $0$ → punctul este pe axa $Ox$.

Exemplul 2 — Citirea coordonatelor din desen

Enunț. Într-un reper cartezian sunt marcate patru puncte. Perpendicularele duse din ele arată următoarele: $M$ taie $Ox$ în $-3$ și $Oy$ în $1$; $N$ taie $Ox$ în $2$ și $Oy$ în $-4$; $P$ este chiar pe axa $Ox$, în dreptul lui $5$; $Q$ este chiar în origine. Scrie coordonatele fiecărui punct și precizează cadranul (dacă e cazul).

Rezolvare. Aplicăm regula: abscisa se citește pe $Ox$, ordonata pe $Oy$.

• $M$: abscisa $-3$, ordonata $1$, deci $M(-3,1)$. Cum $x<0$ și $y>0$ → cadranul II.
• $N$: abscisa $2$, ordonata $-4$, deci $N(2,-4)$. Cum $x>0$ și $y<0$ → cadranul IV.
• $P$: se află pe axa $Ox$, deci ordonata este $0$; abscisa este $5$, deci $P(5,0)$. Este pe axa $Ox$.
• $Q$: este în origine, deci $Q(0,0)$. Este chiar originea.

Exemplul 3 — Perechea ordonată contează

Enunț. Fie punctele $A(2,7)$ și $B(7,2)$. Sunt ele același punct? Justifică și precizează cadranul fiecăruia.

Rezolvare. Coordonatele sunt aceleași două numere, $2$ și $7$, dar în ordine diferită. Cum perechea $(x,y)$ este ordonată, ordinea contează. La $A$ avem abscisa $2$ și ordonata $7$: ne deplasăm $2$ la dreapta și $7$ în sus. La $B$ avem abscisa $7$ și ordonata $2$: ne deplasăm $7$ la dreapta și $2$ în sus. Ajungem în locuri diferite, deci $A\ne B$.

Ambele puncte au însă coordonate pozitive ($x>0$, $y>0$), deci amândouă se află în cadranul I — puncte distincte, dar în același cadran.

Exemplul 4 — Punct pe axă din condiție

Enunț. Se dă punctul $T(a-3,2a+4)$, unde $a$ este un număr real. Determină valoarea lui $a$ astfel încât punctul $T$ să se afle: a) pe axa $Oy$; b) pe axa $Ox$.

Rezolvare.

a) Pe axa $Oy$ înseamnă că abscisa este $0$. Punem condiția: $$a-3=0⟹a=3.$$ Verificăm ordonata pentru $a=3$: $2a+4=2\cdot 3+4=10\ne 0$, deci punctul nu cade în origine, ci într-un punct veritabil de pe $Oy$. Atunci $T(0,10)$. Răspuns: $a=3$.

b) Pe axa $Ox$ înseamnă că ordonata este $0$. Punem condiția: $$2a+4=0⟹2a=-4⟹a=-2.$$ Pentru $a=-2$: abscisa este $a-3=-2-3=-5$, deci $T(-5,0)$, un punct de pe axa $Ox$. Răspuns: $a=-2$.

Observație: pentru ca $T$ să fie chiar în origine, ar trebui ca ambele coordonate să fie zero simultan. Dar $a=3$ din prima condiție și $a=-2$ din a doua nu pot fi adevărate în același timp, deci $T$ nu poate coincide cu originea pentru nicio valoare a lui $a$.

Exemplul 5 — Adevărat sau fals, cu justificare

Enunț. Stabilește dacă afirmațiile sunt adevărate (A) sau false (F) și motivează: a) Punctul $(0,-6)$ se află în cadranul III. b) Abscisa oricărui punct de pe axa $Oy$ este $0$. c) Punctele $(-2,-2)$ și $(2,2)$ sunt în cadrane diferite.

Rezolvare.

a) Fals. Deși ordonata $-6$ este negativă, abscisa este $0$. Un punct cu o coordonată nulă nu aparține niciunui cadran; el este pe o axă. Aici, $x=0$ înseamnă că punctul $(0,-6)$ este pe axa $Oy$, sub origine.

b) Adevărat. Prin definiție, punctele de pe axa ordonatelor $Oy$ au forma $(0,y)$, deci abscisa lor este întotdeauna $0$.

c) Adevărat. Punctul $(-2,-2)$ are ambele coordonate negative → cadranul III. Punctul $(2,2)$ are ambele coordonate pozitive → cadranul I. Cadranele I și III sunt diferite, deci afirmația e adevărată.

Exemplul 6 — Reconstituirea unui dreptunghi

Enunț. Trei vârfuri ale unui dreptunghi cu laturile paralele cu axele sunt $A(-1,-2)$, $B(4,-2)$ și $C(4,3)$. Găsește coordonatele celui de-al patrulea vârf $D$ și precizează cadranul fiecărui vârf.

Rezolvare. Într-un dreptunghi cu laturile paralele cu axele, laturile orizontale au aceeași ordonată la ambele capete, iar laturile verticale au aceeași abscisă.

• Latura $AB$ este orizontală ($A$ și $B$ au aceeași ordonată $-2$).
• Latura $BC$ este verticală ($B$ și $C$ au aceeași abscisă $4$).
• Vârful $D$ trebuie să „închidă" dreptunghiul: el este vecin cu $A$ pe verticală și cu $C$ pe orizontală. Deci $D$ are aceeași abscisă ca $A$ (pentru ca $AD$ să fie verticală) și aceeași ordonată ca $C$ (pentru ca $DC$ să fie orizontală).

Prin urmare: abscisa lui $D$ este $-1$ (ca la $A$), iar ordonata lui $D$ este $3$ (ca la $C$). Obținem: $$D(-1,3).$$

Cadranele: $A(-1,-2)$ → cadranul III; $B(4,-2)$ → cadranul IV; $C(4,3)$ → cadranul I; $D(-1,3)$ → cadranul II. Interesant: cele patru vârfuri se află câte unul în fiecare cadran, iar dreptunghiul „îmbracă" originea.

Să exersăm

1. Desenează pe caiet un sistem de axe ortogonale $xOy$ cu unitatea de $1$ cm și diviziuni de la $-5$ la $5$ pe fiecare axă. Etichetează axele $Ox$ și $Oy$, originea $O$ și marchează cele patru cadrane cu cifre romane.

2. Completează: axa orizontală se numește axa ______, iar pe ea se citește ______ unui punct; axa verticală se numește axa ______, iar pe ea se citește ______ unui punct.

3. Pentru fiecare punct, precizează în ce cadran sau pe ce axă se află: $A(7,3)$, $B(-2,5)$, $C(-6,-1)$, $D(8,-4)$, $E(0,-7)$, $F(3,0)$, $G(0,0)$.

4. Scrie coordonatele a: (a) trei puncte din cadranul II; (b) două puncte de pe axa $Ox$; (c) un punct de pe axa $Oy$ situat sub origine.

5. Adevărat sau fals (motivează): (a) Originea are coordonatele $(0,0)$. (b) Punctul $(-5,0)$ se află în cadranul III. (c) Orice punct cu abscisa negativă se află în cadranul II.

6. Punctele $P(3,8)$ și $Q(8,3)$ sunt același punct? Explică folosind noțiunea de pereche ordonată.

7. Un punct are ambele coordonate negative. În ce cadran se află? Dă un exemplu concret de astfel de punct.

8. Precizează abscisa și ordonata pentru fiecare punct: $M(-4,9)$, $N(2,-6)$, $R(0,5)$, $S(-7,0)$.

9. Se dă punctul $V(a+2,a-5)$. Determină $a$ astfel încât $V$ să se afle pe axa $Oy$. Care sunt atunci coordonatele lui $V$?

10. Se dă punctul $W(3b-6,b+1)$. Determină $b$ astfel încât $W$ să se afle pe axa $Ox$. Care sunt atunci coordonatele lui $W$?

11. Un punct se află atât pe axa $Ox$, cât și pe axa $Oy$. Ce punct este acesta și care sunt coordonatele lui? Justifică.

12. În ce cadran se află un punct care are abscisa pozitivă și ordonata negativă? Scrie două exemple.

13. Punctul $K(-3,4)$ este reflectat (oglindit) față de axa $Oy$, obținând punctul $K^{\prime }$. Oglindirea față de axa $Oy$ schimbă doar semnul abscisei. Scrie coordonatele lui $K^{\prime }$ și precizează cadranul lui.

14. Trei vârfuri ale unui dreptunghi cu laturile paralele cu axele sunt $A(2,1)$, $B(6,1)$, $C(6,4)$. Găsește al patrulea vârf $D$.

15. Ordonează crescător abscisele punctelor $A(-3,2)$, $B(5,-1)$, $C(0,4)$, $D(-7,8)$. Care punct este cel mai la stânga?

16. Un patrulater are vârfurile $P(-2,0)$, $Q(0,3)$, $R(2,0)$, $S(0,-3)$. Precizează pe ce axă se află fiecare vârf și explică ce fel de figură pare a fi (raportându-te la simetrie), fără a face calcule de lungimi.

17. Găsește toate punctele cu coordonate numere întregi care se află pe axa $Ox$ și au abscisa cuprinsă între $-3$ și $2$ (inclusiv capetele).

18. Se dă punctul $Z(m-4,m^2-9)$. Pentru ce valori ale lui $m$ punctul $Z$ se află pe axa $Ox$? (Indicație: pui ordonata egală cu $0$; folosește ecuația de forma $x^2=a$ studiată anterior.)

Răspunsuri și explicații

1. Verificare desen. Reperul trebuie să aibă: două axe perpendiculare cu origine comună $O$, săgeți pe sensurile pozitive (dreapta pentru $Ox$, sus pentru $Oy$), diviziuni egale pe ambele axe și cadranele I (dreapta-sus), II (stânga-sus), III (stânga-jos), IV (dreapta-jos).

2. Axa absciselor ($Ox$), pe ea se citește abscisa; axa ordonatelor ($Oy$), pe ea se citește ordonata.

3. $A(7,3)$ → cadranul I; $B(-2,5)$ → cadranul II; $C(-6,-1)$ → cadranul III; $D(8,-4)$ → cadranul IV; $E(0,-7)$ → pe axa $Oy$ (abscisa $0$); $F(3,0)$ → pe axa $Ox$ (ordonata $0$); $G(0,0)$ → originea $O$.

4. Exemple posibile (răspunsurile pot varia): (a) cadranul II are $x<0$, $y>0$: de exemplu $(-1,2)$, $(-4,5)$, $(-3,1)$. (b) axa $Ox$ are $y=0$: de exemplu $(2,0)$, $(-5,0)$. (c) axa $Oy$ sub origine are $x=0$, $y<0$: de exemplu $(0,-4)$.

5. (a) A — prin definiție originea este $(0,0)$. (b) F — abscisa $-5$ e negativă, dar ordonata este $0$, deci punctul e pe axa $Ox$, nu într-un cadran. (c) F — abscisa negativă apare atât în cadranul II ($y>0$), cât și în cadranul III ($y<0$); depinde și de semnul ordonatei.

6. Nu sunt același punct. Perechea $(x,y)$ este ordonată; $P$ are abscisa $3$ și ordonata $8$, iar $Q$ are abscisa $8$ și ordonata $3$. Fiindcă $3\ne 8$, ordinea diferită duce la poziții diferite, deci $P\ne Q$ (ambele sunt totuși în cadranul I).

7. Cadranul III (ambele coordonate negative). Exemplu: $(-4,-5)$.

8. $M$: abscisa $-4$, ordonata $9$. $N$: abscisa $2$, ordonata $-6$. $R$: abscisa $0$, ordonata $5$. $S$: abscisa $-7$, ordonata $0$.

9. Pe axa $Oy$ înseamnă abscisa $0$: $a+2=0⟹a=-2$. Atunci ordonata este $a-5=-2-5=-7$, deci $V(0,-7)$.

10. Pe axa $Ox$ înseamnă ordonata $0$: $b+1=0⟹b=-1$. Atunci abscisa este $3b-6=3(-1)-6=-9$, deci $W(-9,0)$.

11. Este originea $O(0,0)$. Un punct de pe $Ox$ are $y=0$; un punct de pe $Oy$ are $x=0$. Dacă e pe amândouă simultan, atunci $x=0$ și $y=0$, deci punctul este exact intersecția axelor, adică originea.

12. Cadranul IV. Exemple: $(5,-2)$, $(1,-9)$.

13. Oglindirea față de axa $Oy$ schimbă semnul abscisei și păstrează ordonata: din $K(-3,4)$ obținem $K^{\prime }(3,4)$. Cum $x>0$ și $y>0$, $K^{\prime }$ este în cadranul I.

14. Laturile fiind paralele cu axele, $D$ are abscisa lui $A$ (adică $2$) și ordonata lui $C$ (adică $4$): $D(2,4)$. Verificare: $AB$ și $DC$ sunt orizontale (ordonata $1$, respectiv $4$), iar $AD$ și $BC$ sunt verticale (abscisa $2$, respectiv $6$).

15. Abscisele sunt: $A\to -3$, $B\to 5$, $C\to 0$, $D\to -7$. În ordine crescătoare: $-7<-3<0<5$, deci $D,A,C,B$. Cel mai la stânga este $D(-7,8)$ (abscisa cea mai mică).

16. $P(-2,0)$ și $R(2,0)$ sunt pe axa $Ox$; $Q(0,3)$ și $S(0,-3)$ sunt pe axa $Oy$. Punctele sunt simetrice două câte două față de origine ($P$ cu $R$, $Q$ cu $S$), iar figura $PQRS$ pare un romb (patrulater cu diagonalele pe axe, care se taie în origine și au aceeași „jumătate" de o parte și de alta). Recunoașterea riguroasă a rombului o vei face în geometrie; aici ne bazăm pe simetria coordonatelor.

17. Punctele de pe $Ox$ au ordonata $0$. Cu abscisa întreagă între $-3$ și $2$ inclusiv: $(-3,0)$, $(-2,0)$, $(-1,0)$, $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,0)$ — șase puncte.

18. Pe axa $Ox$ înseamnă ordonata $0$: $m^2-9=0⟹m^2=9$. Ecuația de forma $x^2=a$ (cu $a=9>0$) are două soluții: $m=3$ sau $m=-3$. Pentru $m=3$: abscisa $m-4=-1$, deci $Z(-1,0)$. Pentru $m=-3$: abscisa $m-4=-7$, deci $Z(-7,0)$. Ambele valori sunt corecte.

De reținut

• Reperul cartezian $xOy$ este format din două axe ale numerelor perpendiculare, cu origine comună $O$ și aceeași unitate: axa orizontală a absciselor $Ox$ și axa verticală a ordonatelor $Oy$.
• Coordonatele unui punct sunt o pereche ordonată $(x,y)$: prima este abscisa $x$ (citită pe $Ox$), a doua este ordonata $y$ (citită pe $Oy$). Ordinea contează: $(x,y)\ne (y,x)$ când $x\ne y$.
• Semnele coordonatelor dau cadranul: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$, numerotate invers acelor de ceas pornind din dreapta-sus.
• Punctele speciale: originea $O(0,0)$; pe axa $Ox$ punctele au forma $(x,0)$ (ordonata $0$); pe axa $Oy$ punctele au forma $(0,y)$ (abscisa $0$).
• Un punct cu o coordonată nulă este pe o axă, nu într-un cadran.

Greșeli frecvente

• Inversarea abscisei cu ordonata. Mulți scriu $(y,x)$ în loc de $(x,y)$. Reține regula fixă: întâi orizontala ($x$), apoi verticala ($y$) — exact ordinea literelor din alfabet și din notația $xOy$.
• A pune un punct cu o coordonată zero într-un cadran. Punctele de forma $(x,0)$ sau $(0,y)$ sunt pe axe, nu în cadrane. Cadranele conțin doar puncte cu ambele coordonate nenule.
• Confundarea cadranelor II și IV. Cadranul II este sus-stânga $(-,+)$, iar cadranul IV este jos-dreapta $(+,-)$. Verifică mereu semnul fiecărei coordonate separat, nu „din ochi".
• Unități diferite pe cele două axe. Dacă desenezi cu diviziuni inegale, figurile ies deformate și citirea coordonatelor devine greșită. Păstrează aceeași unitate pe $Ox$ și pe $Oy$.

Aplică acasă

• Harta camerei tale. Alege un colț al camerei drept origine $O$ și două margini perpendiculare drept axe $Ox$ și $Oy$ (măsurate în pași sau în metri). Notează „coordonatele" a $5$ obiecte (birou, pat, ușă etc.) sub forma $(x,y)$. Verifică apoi cu un membru al familiei dacă poate găsi obiectul folosind doar perechea de numere pe care i-o dai.
• Bătălia navală / X și O pe coordonate. Joacă cu un prieten o partidă de „bătălia navală" pe o grilă $8\times 8$, dar în loc de „A5" folosiți coordonate carteziene $(x,y)$. Vei exersa citirea rapidă și corectă a perechilor ordonate.
• Detectivul cadranelor. Cere-i unui părinte să-ți dicteze $10$ perechi de numere cu semne diferite. Pentru fiecare, spune în mai puțin de $5$ secunde cadranul sau axa pe care se află. Cronometrează-te și încearcă să te îmbunătățești.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul face saltul de la o dimensiune (axa numerelor, deja cunoscută) la două dimensiuni (planul). Cel mai important lucru de consolidat este caracterul ordonat al perechii $(x,y)$: mulți elevi de clasa a VII-a înțeleg noțiunea, dar inversează abscisa cu ordonata la scriere. Insistați pe regula „întâi orizontala, apoi verticala".

Întrebări bune de verificare: „Ce înseamnă abscisă și ce înseamnă ordonată?"; „Pe ce axă se află un punct dacă are ordonata zero?"; „În ce cadran e punctul $(-3,5)$ și de ce?"; „Sunt $(2,5)$ și $(5,2)$ același punct?". Dacă răspunde corect și, mai ales, motivează cu semnele coordonatelor, a înțeles esența.

Un semn clar de stăpânire a temei: elevul poate porni în ambele sensuri — din desen scrie coordonatele, iar din coordonate spune cadranul fără să deseneze. Dacă aceste două operații merg fluent, este pregătit pentru lecția următoare, reprezentarea punctelor în plan, unde va marca el însuși punctele date prin coordonate.

Întrebări frecvente

Ce este un sistem de axe ortogonale la clasa a 7-a? Este ansamblul format din două axe ale numerelor perpendiculare (axa orizontală $Ox$ și axa verticală $Oy$) care au aceeași origine $O$ și aceeași unitate de măsură. Se mai numește reper cartezian sau plan cartezian și servește la localizarea oricărui punct din plan prin două numere.

Care este diferența dintre abscisă și ordonată? Abscisa este prima coordonată a unui punct, citită pe axa orizontală $Ox$, și arată deplasarea la stânga-dreapta. Ordonata este a doua coordonată, citită pe axa verticală $Oy$, și arată deplasarea sus-jos. În scrierea $(x,y)$, abscisa vine mereu prima.

Cum citești coordonatele unui punct dintr-un desen? Din punct duci o perpendiculară pe axa $Ox$ și citești numărul unde o taie — aceasta e abscisa; apoi duci o perpendiculară pe axa $Oy$ și citești numărul unde o taie — aceasta e ordonata. Scrii perechea în ordinea $(x,y)$.

În ce cadran se află un punct cu coordonate negative? Dacă ambele coordonate sunt negative, punctul se află în cadranul III (stânga-jos). Dacă doar abscisa e negativă și ordonata pozitivă, e în cadranul II; dacă doar ordonata e negativă și abscisa pozitivă, e în cadranul IV.

Ce coordonate are originea sistemului de axe? Originea $O$ are coordonatele $(0,0)$, pentru că se află simultan pe ambele axe și corespunde valorii zero atât pe $Ox$, cât și pe $Oy$. Este punctul de referință față de care se măsoară toate celelalte poziții.

Cum recunoști dacă un punct este pe axa Ox sau pe axa Oy? Un punct este pe axa $Ox$ dacă ordonata lui este $0$ (are forma $(x,0)$) și este pe axa $Oy$ dacă abscisa lui este $0$ (are forma $(0,y)$). Un punct cu o coordonată nulă nu se află într-un cadran, ci pe o axă.

De ce contează ordinea numerelor în perechea $(x,y)$? Pentru că este o pereche ordonată: primul număr este mereu abscisa, al doilea mereu ordonata. Schimbând ordinea obții, în general, alt punct — de exemplu $(2,7)$ și $(7,2)$ sunt puncte diferite ale planului, chiar dacă folosesc aceleași cifre.

Câte cadrane are un sistem de axe ortogonale și cum se numerotează? Are patru cadrane, numerotate cu cifre romane de la I la IV, pornind din regiunea dreapta-sus și mergând în sens invers acelor de ceasornic: I (dreapta-sus), II (stânga-sus), III (stânga-jos), IV (dreapta-jos).