Ce se întâmplă cu valorile funcției $$f(x)=\dfrac{3}{x-4}$$ când $$x$$ se apropie de $$4$$ dinspre dreapta?

cresc peste orice prag (spre $$+\infty$$)

Funcția $$g(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$$, în apropierea lui $$x=3$$, are:

o «gaură» în $$(3,6)$$, nu o asimptotă

o asimptotă verticală $$x=3$$

o ruptură cu valori nemărginite

Ce este o asimptotă, pe înțelesul tuturor?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Comportament asimptotic pe grafic

O asimptotă este o dreaptă spre care curba se strânge din ce în ce mai tare, fără să ajungă vreodată la ea. Lângă o valoare interzisă care nu se simplifică, valorile explodează, iar dreapta verticală de acolo este asimptotă verticală. Când, la numere foarte mari, valorile se așază pe un nivel, acel nivel dă o asimptotă orizontală. Pentru $2 + \frac{5}{x - 3}$ ele sunt $x = 3$ și $y = 2$ .

Comportamentul asimptotic răspunde la două întrebări despre grafic: ce se întâmplă cu valorile funcției când $x$ crește sau scade foarte mult, și ce se întâmplă lângă o valoare interzisă.

Lângă o valoare interzisă, dacă fracția nu se simplifică, valorile cresc peste orice prag dintr-o parte și scad sub orice prag din cealaltă parte; graficul se apropie de o dreaptă verticală, numită asimptotă verticală, fără să o atingă vreodată.

La capete, dacă valorile funcției se așază pe un nivel $k$ (fără să-l atingă), acel nivel este o asimptotă orizontală. Pentru un cât de funcții afine, cel mai simplu instrument este rescrierea $\frac{a x + b}{c x + d} = k + \frac{r}{c x + d}$ : constanta $k$ dă direct asimptota orizontală, iar zeroul numitorului dă asimptota verticală.

Nu orice valoare interzisă produce o asimptotă verticală: dacă numărătorul și numitorul au un zero comun, fracția se simplifică, iar în acel punct apare doar o gaură, cu valorile din jur comportându-se liniștit.

De asemenea, nu orice creștere nemărginită are asimptotă orizontală — funcțiile afine, de gradul al doilea și radical cresc peste orice prag, dar în ritmuri diferite, fără să se apropie de vreo dreaptă orizontală.

De reținut

asimptotă verticală: din valoarea interzisă care nu se simplifică
asimptotă orizontală: nivelul spre care se așază valorile la capete
un zero comun la numărător și numitor dă doar o gaură

Greșeala tipică

Orice valoare scoasă din domeniu este declarată asimptotă verticală, deși un zero comun cu numărătorul lasă doar o gaură în grafic; verifică întâi dacă fracția se simplifică.

Exerciții din această mini-lecție

Ce se întâmplă cu valorile funcției $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ când $x$ se apropie de $4$ dinspre dreapta?
- a) cresc peste orice prag (spre $+ \infty$ )
- b) scad sub orice prag
- c) se apropie de $0$
- d) rămân constante
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cresc peste orice prag (spre $+ \infty$ )

Pentru $x > 4$ apropiat de $4$ , numitorul $x - 4$ este pozitiv și oricât de mic, deci fracția $\frac{3}{x - 4}$ devine oricât de mare: de exemplu $f (4, 001) = 3000$ . Valorile cresc peste orice prag.
Funcția $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ se poate rescrie $f (x) = 2 + \frac{5}{x - 3}$ . Care este asimptota orizontală a graficului?
- a) $y = 2$
- b) $y = 5$
- c) $y = 3$
- d) $y = - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 2$

Când $x$ crește sau scade mult, termenul $\frac{5}{x - 3}$ devine oricât de mic, deci valorile lui $f$ se apropie de $2$ . Asimptota orizontală este $y = 2$ (asimptota verticală fiind $x = 3$ ).
Funcția $g (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ , în apropierea lui $x = 3$ , are:
- a) o «gaură» în $(3, 6)$ , nu o asimptotă
- b) o asimptotă verticală $x = 3$
- c) o asimptotă orizontală
- d) o ruptură cu valori nemărginite
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) o «gaură» în $(3, 6)$ , nu o asimptotă

Fracția se simplifică: $g (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ pentru $x \neq = 3$ . Valorile se apropie liniștit de $6$ (de exemplu $g (2, 99) = 5, 99$ ), fără explozie — deci graficul are doar o gaură în $(3, 6)$ .

Întrebări conexe

Ce asimptote are graficul funcției unu supra x?

Are axa verticală drept asimptotă verticală, fiindcă lângă zero valorile cresc sau scad fără margine, și axa orizontală drept asimptotă orizontală, fiindcă la numere mari fracția devine oricât de mică. Graficul nu atinge niciodată vreuna dintre ele.

Cum se scrie ecuația unei asimptote?

O asimptotă verticală se scrie punând variabila egală cu numărul care anulează numitorul, de exemplu $x = 3$ . Una orizontală se scrie punând ordonata egală cu nivelul spre care se așază valorile, de exemplu $y = 2$ . Sunt ecuații de drepte, nu numere singure.

Ce asimptotă orizontală are funcția exponențială?

Are axa orizontală, adică dreapta $y = 0$ . Valorile rămân mereu strict pozitive, dar la exponenți foarte mici, când baza este supraunitară, ele coboară oricât de aproape de zero fără să îl atingă. De aceea graficul nu taie niciodată acea axă.

Ce înseamnă că valorile unei funcții tind spre un număr?

Înseamnă că, luând variabila din ce în ce mai mare, diferența dintre valoarea funcției și acel număr devine oricât de mică. Nu se cere ca valoarea să fie atinsă vreodată. Costul pe participant, de exemplu, se apropie de partea variabilă, dar rămâne mereu deasupra ei.

Cum recunosc pe un tabel de valori un comportament asimptotic?

Alegi numere din ce în ce mai mari și urmărești rezultatele: dacă ele se strâng în jurul unui număr, ai o asimptotă orizontală. Dacă te apropii de o valoare interzisă și rezultatele cresc din ce în ce mai mult, ai una verticală.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă asimptotă · asimptotă verticală și orizontală · cum recunosc o asimptotă pe grafic · graficul se apropie de o dreaptă