Liniile importante în triunghi — recapitulare și probleme

Ai parcurs deja, una câte una, cele patru linii importante ale triunghiului: bisectoarele, mediatoarele, înălțimile și medianele. Fiecare ascunde o mică minune de geometrie — trei drepte care, oricât de „strâmb" ar fi triunghiul, se întâlnesc mereu într-un singur punct. În această lecție recapitulativă punem totul cap la cap: comparăm cele patru puncte de concurență, învățăm să le deosebim rapid și rezolvăm probleme care le folosesc. La final vei putea citi o configurație geometrică așa cum citești o hartă.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești cele patru linii importante ale triunghiului și definiția fiecăreia.
• Vei ști să recunoști cele patru puncte de concurență: centrul înscris, centrul circumscris, ortocentrul și centrul de greutate.
• Vei ști unde se află fiecare punct (în interior sau în exterior) în funcție de tipul triunghiului.
• Vei ști să rezolvi probleme care folosesc proprietățile liniilor importante și ale triunghiurilor particulare.
• Vei ști să construiești o configurație geometrică pornind de la proprietăți date și să-ți justifici pașii.

Hai să descoperim împreună

Cele patru linii — recapitulare scurtă, dar exactă

Înainte de orice, hai să așezăm în aceeași pagină cele patru linii importante. Pentru fiecare reținem trei lucruri: ce este (definiția), din ce pleacă și unde ajunge. Vom lucra pe un triunghi oarecare $ABC$.

1. Bisectoarea unui unghi. Bisectoarea este semidreapta care pleacă din vârful unui unghi și îl împarte în două unghiuri congruente (egale ca măsură). Bisectoarea din $A$ împarte unghiul $\widehat{BAC}$ în două părți egale. Cuvântul-cheie pentru bisectoare este unghi: ea „taie unghiul la jumătate".

2. Mediatoarea unei laturi. Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe o latură, dusă prin mijlocul ei. Atenție: mediatoarea nu pleacă dintr-un vârf! Ea ține de o latură. Are două proprietăți într-una: trece prin mijloc și este perpendiculară. Cuvântul-cheie pentru mediatoare este latură (mijlocul ei). Reține și proprietatea de aur: orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele laturii.

3. Înălțimea. Înălțimea pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). Cuvântul-cheie pentru înălțime este perpendicular pe latura opusă. Înălțimea din $A$ formează unghi drept cu latura $BC$.

4. Mediana. Mediana pleacă dintr-un vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse. Cuvântul-cheie pentru mediană este mijlocul laturii opuse. Mediana din $A$ unește $A$ cu mijlocul lui $BC$.

Atenție la confuzia clasică: înălțime vs. mediană vs. mediatoare

Cele trei seamănă, dar nu sunt la fel. Hai să le punem față în față, pentru că aici greșesc cei mai mulți elevi:

• Înălțimea pleacă dintr-un vârf și este perpendiculară pe latura opusă, dar nu nimerește neapărat mijlocul.
• Mediana pleacă dintr-un vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse, dar nu este neapărat perpendiculară.
• Mediatoarea este perpendiculară pe o latură ȘI trece prin mijlocul ei, dar nu pleacă dintr-un vârf — este o dreaptă legată doar de latură.

Un truc de memorare: înălțime = „unghi drept", mediană = „mijloc", mediatoare = „mijloc + unghi drept, dar fără vârf", bisectoare = „jumătate de unghi".

Marea minune: concurența

Iată proprietatea care leagă totul. Pentru fiecare tip de linie, cele trei linii de același fel se întâlnesc într-un singur punct. Spunem că sunt concurente, iar punctul comun se numește punct de concurență. Nu contează ce formă are triunghiul: oricât l-ai întinde sau l-ai strâmba, cele trei bisectoare se vor întâlni mereu într-un punct, cele trei mediatoare în altul, și așa mai departe.

Fiecare punct are nume și o „putere" specială:

De ce „înscris" și „circumscris"? O imagine care lipește totul

Cuvintele acestea par grele, dar ideea e simplă.

Centrul înscris $I$ (din bisectoare) este egal depărtat de cele trei laturi. Deci dacă pui acolo vârful unui compas și măsori distanța până la o latură, aceeași distanță te duce și la celelalte două laturi. Cu acea rază desenezi un cerc care stă fix înăuntru și atinge fiecare latură o singură dată. Cercul este „înscris" în triunghi — stă cuminte înăuntru.

Centrul circumscris $O$ (din mediatoare) este egal depărtat de cele trei vârfuri. Cu acea distanță ca rază desenezi un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri și înconjoară triunghiul pe dinafară. Cercul este „circumscris" — îmbrățișează triunghiul.

Ca să ții minte: înscris ține de înlăuntru și de laturi (atins de dinăuntru); circumscris ține de conturul exterior și de vârfuri.

Unde se ascunde fiecare punct? Compararea pozițiilor

Aici e partea cea mai interesantă a recapitulării. Unele puncte stau mereu în interiorul triunghiului, altele se pot „plimba" în afară, în funcție de forma triunghiului. Hai să comparăm:

Centrul de greutate $G$ — mereu în interior, în orice triunghi. Are sens: el este „punctul de echilibru", locul în care triunghiul ar sta perfect echilibrat pe vârful unui creion. Un punct de echilibru nu poate fi pe dinafară.

Centrul cercului înscris $I$ — mereu în interior. Cum cercul înscris trebuie să încapă înăuntru și să atingă laturile pe dinăuntru, centrul lui nu are cum să iasă afară.

Centrul cercului circumscris $O$ — se mută după unghiuri:

• în triunghi ascuțitunghic (toate unghiurile mai mici de $90°$): $O$ este în interior;
• în triunghi dreptunghic: $O$ este chiar pe mijlocul ipotenuzei (pe latura cea mare);
• în triunghi obtuzunghic (un unghi mai mare de $90°$): $O$ este în exterior.

Ortocentrul $H$ — se mută la fel:

• în triunghi ascuțitunghic: $H$ este în interior;
• în triunghi dreptunghic: $H$ coincide cu vârful unghiului drept;
• în triunghi obtuzunghic: $H$ este în exterior.

Hai să strângem totul într-un mic tabel de comparat pozițiile, foarte util la examen:

Observă frumusețea: $G$ și $I$ stau cuminți mereu înăuntru, iar $O$ și $H$ se „aventurează" în afară când triunghiul devine obtuzunghic.

Proprietatea $2:1$ a centrului de greutate

Centrul de greutate $G$ are o proprietate numerică pe care o vei folosi des în probleme. $G$ împarte fiecare mediană în raport $2:1$, măsurând dinspre vârf. Adică, pe mediana din $A$ care ajunge în mijlocul $M$ al laturii $BC$:

$$AG=\frac{2}{3}\cdot AM\text{și}GM=\frac{1}{3}\cdot AM.$$

Cu alte cuvinte, distanța de la vârf la $G$ este de două ori mai mare decât distanța de la $G$ la mijlocul laturii. Bucata dinspre vârf e mare (două părți), bucata dinspre latură e mică (o parte).

O surpriză frumoasă: triunghiurile particulare

În triunghiul oarecare, cele patru puncte $I$, $O$, $H$, $G$ sunt de obicei patru puncte diferite. Dar în triunghiurile particulare apare magie:

• În triunghiul isoscel, din vârful dintre laturile egale, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea bazei coincid — sunt aceeași dreaptă! Deci toate cele patru puncte $I$, $O$, $H$, $G$ se așază pe această axă de simetrie.
• În triunghiul echilateral, lucrurile merg până la capăt: cele patru puncte coincid complet într-un singur punct, numit pur și simplu centrul triunghiului. Bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea fiecărei laturi sunt una și aceeași.

Asta e o idee de aur pentru probleme: dacă vezi „echilateral", știi că nu trebuie să cauți patru puncte, ci unul singur. Dacă vezi „isoscel", știi că pe axa de simetrie se aliniază totul.

De ce se întâmplă asta? Gândește-te la axa de simetrie a triunghiului isoscel: ea „pliază" figura exact peste ea însăși, suprapunând latura $AB$ peste $AC$. Dacă o linie importantă pornește din vârful principal $A$, simetria o obligă să ajungă fix în mijlocul bazei și, în același timp, perpendicular pe ea — deci o singură dreaptă joacă patru roluri deodată. La echilateral, fiecare dintre cele trei vârfuri este „vârf principal" al unei axe de simetrie, așa că efectul se repetă în toate cele trei direcții și toate liniile se strâng într-un singur centru. Această observație îți scurtează enorm multe probleme: în loc să construiești patru figuri diferite, recunoști de la prima privire că ai de-a face cu o singură dreaptă sau cu un singur punct.

Dacă vrei să recitești definițiile fiecărei linii în detaliu, te poți întoarce la lecțiile despre bisectoarele triunghiului și cercul înscris, mediatoarele triunghiului și cercul circumscris, înălțimile triunghiului și ortocentrul și medianele triunghiului și centrul de greutate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaște linia după descriere

Enunț: În triunghiul $ABC$, dreapta $d$ trece prin mijlocul laturii $AB$ și este perpendiculară pe $AB$. Ce linie importantă este $d$ și ce proprietate are orice punct de pe ea?

Rezolvare. Cuvintele-cheie sunt „mijlocul laturii" și „perpendiculară pe latură", fără să pornească dintr-un vârf. Aceasta este definiția mediatoarei laturii $AB$. Proprietatea de aur a mediatoarei: orice punct $P$ de pe ea este egal depărtat de capetele laturii, adică $PA=PB$.

Răspuns: $d$ este mediatoarea laturii $AB$; orice punct $P$ de pe $d$ verifică $PA=PB$.

Exemplul 2 — Cele patru puncte într-un echilateral

Enunț: Triunghiul $MNP$ este echilateral. Câte puncte de concurență distincte au, împreună, cele patru tipuri de linii importante? Justifică.

Rezolvare. În triunghiul echilateral, pentru fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid. Prin urmare cele patru puncte de concurență — centrul înscris $I$, centrul circumscris $O$, ortocentrul $H$ și centrul de greutate $G$ — se suprapun toate într-un singur punct.

Răspuns: Un singur punct distinct ($I=O=H=G$), numit centrul triunghiului echilateral.

Exemplul 3 — Poziția lui $O$ într-un triunghi dreptunghic

Enunț: Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=10$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $O$ și cât este raza cercului circumscris?

Rezolvare. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află exact pe mijlocul ipotenuzei. Ipotenuza este $BC$ (latura opusă unghiului drept din $A$). Deci $O$ este mijlocul lui $BC$.

Raza cercului circumscris este distanța de la $O$ la oricare vârf. Cum $O$ este mijlocul lui $BC$, avem: $$R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$$

Răspuns: $O$ este mijlocul ipotenuzei $BC$; raza este $R=5$ cm.

Exemplul 4 — Proprietatea $2:1$ a centrului de greutate

Enunț: În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar $G$ este centrul de greutate. Mediana $AM=18$ cm. Calculează $AG$ și $GM$.

Rezolvare. Centrul de greutate împarte mediana în raport $2:1$ dinspre vârf. Deci: $$AG=\frac{2}{3}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot 18=12\text{ cm},$$ $$GM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 18=6\text{ cm}.$$

Verificare: $AG+GM=12+6=18=AM$. Corect. Și raportul $AG:GM=12:6=2:1$.

Răspuns: $AG=12$ cm, $GM=6$ cm.

Exemplul 5 — Bisectoarea și unghiurile

Enunț: În triunghiul $ABC$, $AI$ este bisectoarea unghiului $\hat{A}$, unde $I$ este centrul cercului înscris. Știind că $\widehat{BAC}=64°$, calculează $\widehat{BAI}$.

Rezolvare. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente. Deci: $$\widehat{BAI}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{64°}{2}=32°.$$

Răspuns: $\widehat{BAI}=32°$.

Exemplul 6 — O mică problemă de raționament

Enunț: Punctul $O$ este egal depărtat de cele trei vârfuri ale triunghiului $ABC$, iar $OA=7$ cm. Cât sunt $OB$ și $OC$? Pe ce linii importante se află $O$?

Rezolvare. „Egal depărtat de cele trei vârfuri" este chiar proprietatea centrului cercului circumscris. Deci $O$ se află la intersecția mediatoarelor celor trei laturi. Fiind egal depărtat de vârfuri, distanțele sunt egale între ele: $$OA=OB=OC=7\text{ cm}.$$ Aceasta este și raza cercului circumscris.

Răspuns: $OB=OC=7$ cm; $O$ este punctul de concurență al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).

Exemplul 7 — Construcția unei configurații cu proprietăți date

Enunț: Construiește un triunghi $ABC$ și marchează centrul de greutate $G$. Apoi explică pașii prin care ai obținut $G$ și verifică proprietatea $2:1$.

Rezolvare (pas cu pas).

1. Desenez un triunghi oarecare $ABC$.
2. Construiesc mijlocul $M$ al laturii $BC$ (măsor $BC$ și iau jumătate, sau folosesc compasul ca la mediatoare). Trasez mediana $AM$.
3. Construiesc mijlocul $N$ al laturii $AC$. Trasez mediana $BN$.
4. Punctul în care medianele $AM$ și $BN$ se taie este centrul de greutate $G$.
5. (Verificare) Dacă vreau să fiu sigur, construiesc și a treia mediană $CP$ (unde $P$ este mijlocul lui $AB$): ar trebui să treacă tot prin $G$. Apoi măsor pe $AM$ și verific că $AG$ este de două ori $GM$.

Răspuns: $G$ este intersecția medianelor; el împarte fiecare mediană în raport $2:1$ dinspre vârf.

Exemplul 8 — Linia magică din triunghiul isoscel

Enunț: Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$ și $\widehat{BAC}=40°$. Din $A$ se duce linia $AD$ care este în același timp bisectoare, înălțime și mediană (cu $D$ pe $BC$). Calculează măsurile unghiurilor $\widehat{ABC}$ și $\widehat{ADB}$, precum și $\widehat{BAD}$.

Rezolvare. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale. Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$, deci: $$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-40°}{2}=\frac{140°}{2}=70°.$$

Linia $AD$ este înălțime, adică este perpendiculară pe bază. Prin urmare: $$\widehat{ADB}=90°.$$

Linia $AD$ este și bisectoare a unghiului $\hat{A}$, deci îl împarte în două unghiuri egale: $$\widehat{BAD}=\frac{40°}{2}=20°.$$

Verificare, în triunghiul $ABD$: $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=20°+70°+90°=180°$. Corect.

Răspuns: $\widehat{ABC}=70°$, $\widehat{ADB}=90°$, $\widehat{BAD}=20°$.

Exemplul 9 — De la o bucată de mediană la întreg

Enunț: În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$. Pe mediana $BN$ se cunoaște $BG=20$ cm. Calculează $GN$ și lungimea totală a medianei $BN$.

Rezolvare. Centrul de greutate împarte mediana în raport $2:1$ dinspre vârf. Aici vârful este $B$, deci $BG$ reprezintă cele două părți, iar $GN$ reprezintă o parte. Dacă $BG=20$ cm înseamnă două părți, atunci o parte are $20:2=10$ cm: $$GN=10\text{ cm},BN=BG+GN=20+10=30\text{ cm}.$$

Putem verifica și cu formula: $BG=\frac{2}{3}\cdot BN=\frac{2}{3}\cdot 30=20$ cm. Corect.

Răspuns: $GN=10$ cm, $BN=30$ cm.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Fă desene acolo unde te ajută — la geometrie, un desen bun e jumătate din rezolvare.

1. Completează: linia care pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe latura opusă se numește ____________.

2. Completează: cele trei mediatoare ale unui triunghi se întâlnesc în ____________, care este egal depărtat de cele trei ____________.

3. Adevărat sau fals? Centrul de greutate al unui triunghi poate fi în exteriorul triunghiului.

4. Adevărat sau fals? În triunghiul dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept.

5. Încercuiește răspunsul corect. Punctul egal depărtat de cele trei laturi ale triunghiului este: a) ortocentrul; b) centrul de greutate; c) centrul cercului înscris; d) centrul cercului circumscris.

6. Potrivește fiecare linie cu punctul ei de concurență: (I) bisectoarele — (II) mediatoarele — (III) înălțimile — (IV) medianele cu: (a) ortocentrul $H$, (b) centrul înscris $I$, (c) centrul de greutate $G$, (d) centrul circumscris $O$.

7. În triunghiul $ABC$, $AD$ este bisectoarea unghiului $\hat{A}=70°$. Cât este $\widehat{BAD}$?

8. Mediana $CN=24$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $CG$ și $GN$.

9. Triunghiul $PQR$ este dreptunghic în $Q$, cu ipotenuza $PR=16$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris și cât este raza lui?

10. Punctul $I$ este egal depărtat de cele trei laturi ale triunghiului $ABC$, distanța fiind $3$ cm. Ce reprezintă $I$ și cât este raza cercului înscris?

11. Adevărat sau fals? În triunghiul echilateral, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris sunt puncte diferite.

12. Pentru un triunghi obtuzunghic, spune pentru fiecare punct dacă este în interior sau în exterior: $G$, $I$, $O$, $H$.

13. În triunghiul $ABC$, $O$ este centrul cercului circumscris și $OB=5,5$ cm. Cât este $OA$? Justifică.

14. Mediana $AM$ a unui triunghi măsoară $27$ cm. Centrul de greutate $G$ este pe $AM$. Calculează $AG$ și $GM$ și verifică raportul.

15. Desenează un triunghi isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ și trasează din $A$ linia care este în același timp bisectoare, înălțime și mediană. Pe ce latură cade ea perpendicular?

16. Problemă. Pe mediana $AM$ a triunghiului $ABC$, centrul de greutate $G$ verifică $GM=4$ cm. Cât este $AG$ și cât este toată mediana $AM$?

17. Adevărat sau fals? Mediatoarea unei laturi pleacă dintr-un vârf al triunghiului.

18. Problemă de construcție. Descrie pașii prin care construiești centrul cercului circumscris $O$ al unui triunghi $ABC$, folosind doar două mediatoare.

19. Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$ și $\widehat{BAC}=50°$. Cât măsoară fiecare dintre unghiurile de la bază, $\widehat{ABC}$ și $\widehat{ACB}$?

20. Pe mediana $AM$ a triunghiului $ABC$, centrul de greutate $G$ verifică $AG=14$ cm. Calculează $GM$ și lungimea totală a medianei $AM$.

21. Adevărat sau fals? Într-un triunghi ascuțitunghic, toate cele patru puncte $G$, $I$, $O$, $H$ se află în interiorul triunghiului.

22. Triunghiul $DEF$ este dreptunghic în $D$. Unde se află ortocentrul $H$ al acestui triunghi? Justifică pe scurt.

Răspunsuri și explicații

1. Înălțime. Pleacă din vârf, perpendiculară pe latura opusă.

2. Mediatoarele se întâlnesc în centrul cercului circumscris ($O$), egal depărtat de cele trei vârfuri.

3. Fals. Centrul de greutate $G$ este mereu în interiorul triunghiului, fiind punctul de echilibru.

4. Adevărat. În triunghiul dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept (cele două catete sunt chiar înălțimi).

5. c) centrul cercului înscris. El este egal depărtat de cele trei laturi.

6. (I)→(b), (II)→(d), (III)→(a), (IV)→(c). Bisectoare→înscris, mediatoare→circumscris, înălțimi→ortocentru, mediane→centru de greutate.

7. $\widehat{BAD}=\frac{70°}{2}=35°$. Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale.

8. $CG=\frac{2}{3}\cdot 24=16$ cm; $GN=\frac{1}{3}\cdot 24=8$ cm. Verificare: $16+8=24$, iar $16:8=2:1$.

9. Centrul cercului circumscris este la mijlocul ipotenuzei $PR$; raza este $R=\frac{PR}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm.

10. $I$ este centrul cercului înscris (egal depărtat de laturi). Raza cercului înscris este chiar distanța la laturi: $r=3$ cm.

11. Fals. În triunghiul echilateral cele patru puncte $I$, $O$, $H$, $G$ coincid; deci $I$ și $O$ sunt același punct.

12. $G$ — interior; $I$ — interior; $O$ — exterior; $H$ — exterior. (În obtuzunghic, $O$ și $H$ ies din triunghi.)

13. $OA=5,5$ cm. Centrul cercului circumscris este egal depărtat de cele trei vârfuri, deci $OA=OB=OC$.

14. $AG=\frac{2}{3}\cdot 27=18$ cm; $GM=\frac{1}{3}\cdot 27=9$ cm. Verificare: $18+9=27$ și $18:9=2:1$.

15. Linia din $A$ cade perpendicular pe baza $BC$ (latura dintre unghiurile egale). În triunghiul isoscel, din vârful principal, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea bazei coincid.

triunghi isoscel ABC cu AB = AC și o singură linie din A spre mijlocul lui BC, perpendiculară pe BC.

16. $GM$ este o parte (din 3); $AG$ sunt două părți. Deci $AG=2\cdot GM=2\cdot 4=8$ cm, iar $AM=AG+GM=8+4=12$ cm.

17. Fals. Mediatoarea este legată de o latură (mijlocul ei, perpendicular), nu pleacă dintr-un vârf.

18. Pași: (1) construiesc mediatoarea laturii $AB$ (perpendiculara prin mijlocul lui $AB$); (2) construiesc mediatoarea laturii $BC$; (3) punctul în care cele două mediatoare se taie este $O$, centrul cercului circumscris. (A treia mediatoare ar trece tot prin $O$, deci nu e nevoie de ea.)

19. Unghiurile de la bază sunt egale, iar suma celor trei unghiuri este $180°$: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-50°}{2}=\frac{130°}{2}=65°$.

20. $AG$ reprezintă cele două părți, iar $GM$ o parte. O parte are $14:2=7$ cm, deci $GM=7$ cm și $AM=AG+GM=14+7=21$ cm. Verificare: $AG=\frac{2}{3}\cdot 21=14$ cm.

21. Adevărat. În triunghiul ascuțitunghic toate cele patru puncte sunt în interior (vezi tabelul pozițiilor: pe coloana „ascuțitunghic" apare peste tot „interior").

22. Ortocentrul $H$ se află în vârful $D$ (vârful unghiului drept). Catetele $DE$ și $DF$ sunt chiar înălțimi (fiecare e perpendiculară pe cealaltă, adică pe latura opusă vârfului din care pleacă), iar ele se întâlnesc în $D$.

De reținut

• Cele patru linii: bisectoarea (taie unghiul la jumătate), mediatoarea (perpendiculară prin mijlocul laturii), înălțimea (din vârf, perpendiculară pe latura opusă), mediana (din vârf, la mijlocul laturii opuse).
• Cele patru puncte de concurență: bisectoarele → centrul înscris $I$ (egal depărtat de laturi); mediatoarele → centrul circumscris $O$ (egal depărtat de vârfuri); înălțimile → ortocentrul $H$; medianele → centrul de greutate $G$.
• Poziții: $G$ și $I$ sunt mereu în interior; $O$ și $H$ ies în exterior la triunghiul obtuzunghic, iar la cel dreptunghic $O$ e pe mijlocul ipotenuzei și $H$ e în vârful unghiului drept.
• Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport $2:1$ dinspre vârf ($AG=\frac{2}{3}AM$).
• În triunghiul echilateral cele patru puncte coincid într-unul singur.

Greșeli frecvente

• Confunzi înălțimea cu mediana. Înălțimea înseamnă „unghi drept", mediana înseamnă „mijloc". Nu sunt la fel decât în cazuri speciale (isoscel, echilateral). Întreabă-te mereu: enunțul spune „perpendicular" sau „mijloc"?
• Crezi că mediatoarea pleacă dintr-un vârf. Nu! Mediatoarea ține de o latură (mijlocul ei), nu de un vârf. Înălțimea și mediana pleacă din vârf; mediatoarea, nu.
• Schimbi între ele „înscris" și „circumscris". Reține: înscris = atinge laturile pe dinăuntru (centrul $I$, din bisectoare); circumscris = trece prin vârfuri pe dinafară (centrul $O$, din mediatoare).
• Aplici raportul $2:1$ invers. Bucata mare ($\frac{2}{3}$) este dinspre vârf, bucata mică ($\frac{1}{3}$) dinspre mijlocul laturii. Nu invers.

Joc acasă

1. Triunghiul de carton care stă în echilibru. Decupează din carton un triunghi oarecare. Cu rigla, găsește mijlocul fiecărei laturi și trasează cele trei mediane — se vor întâlni într-un punct, centrul de greutate $G$. Pune vârful unui creion exact sub $G$ și încearcă să echilibrezi triunghiul pe el. Va sta! Ai descoperit de ce $G$ se numește „centru de greutate".

2. Cercul care îmbrățișează vârfurile. Desenează pe o foaie un triunghi. Construiește mediatoarele a două laturi (perpendiculare prin mijloc) cu rigla și echerul; intersecția lor este $O$. Pune compasul în $O$ și deschide-l până la un vârf. Rotește compasul complet: cercul desenat trebuie să treacă fix prin toate cele trei vârfuri. Acesta este cercul circumscris.

3. Detectivul de puncte. Roagă un părinte să-ți deseneze trei triunghiuri: unul ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic, fără să-ți spună care e care. Sarcina ta: doar privind unde ar cădea ortocentrul (în interior / pe vârf / în exterior), ghicește ce fel de triunghi este fiecare. Verifică apoi cu echerul.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o recapitulare-sinteză: scopul nu este predarea de conținut nou, ci așezarea într-o singură imagine a celor patru linii și a celor patru puncte de concurență, deja întâlnite separat. Cel mai eficient sprijin este să cereți copilului să verbalizeze diferențele dintre linii, nu doar să le recite.

Întrebări bune de pus:

• „Care linie pornește din vârf și care nu?" (înălțimea, mediana, bisectoarea pornesc din vârf; mediatoarea, nu).
• „Ce înseamnă, în cuvintele tale, că un punct e egal depărtat de laturi? Dar de vârfuri?" (leagă $I$ de laturi, $O$ de vârfuri).
• „Dacă triunghiul devine obtuzunghic, care puncte ies afară?" ($O$ și $H$).

Pentru a verifica înțelegerea, cereți-i să deseneze efectiv un triunghi și să marcheze unul dintre puncte, justificând fiecare pas. Construcția concretă (cu rigla, echerul și compasul) consolidează mult mai bine decât memorarea tabelului. Dacă elevul greșește, cel mai des confuzia este înălțime–mediană sau înscris–circumscris; reveniți la cuvintele-cheie („unghi drept" vs. „mijloc"; „laturi" vs. „vârfuri"). Lăudați raționamentul corect, chiar dacă desenul nu e perfect.

Întrebări frecvente

Care sunt cele patru linii importante în triunghi? Bisectoarea (împarte un unghi în două unghiuri egale), mediatoarea (perpendiculară pe o latură prin mijlocul ei), înălțimea (din vârf, perpendiculară pe latura opusă) și mediana (din vârf la mijlocul laturii opuse). Fiecare are trei „exemplare" într-un triunghi.

Ce sunt punctele de concurență ale triunghiului? Sunt punctele în care se întâlnesc cele trei linii de același fel. Bisectoarele se întâlnesc în centrul cercului înscris $I$, mediatoarele în centrul cercului circumscris $O$, înălțimile în ortocentrul $H$, iar medianele în centrul de greutate $G$.

Care punct este mereu în interiorul triunghiului? Centrul de greutate $G$ și centrul cercului înscris $I$ sunt întotdeauna în interior, indiferent de forma triunghiului. Centrul circumscris $O$ și ortocentrul $H$ pot ieși în exterior la triunghiul obtuzunghic.

Unde este centrul cercului circumscris la un triunghi dreptunghic? Exact pe mijlocul ipotenuzei. De aceea raza cercului circumscris este jumătate din lungimea ipotenuzei, iar cercul trece prin toate cele trei vârfuri.

Ce înseamnă că centrul de greutate împarte mediana în raport 2:1? Înseamnă că, pe fiecare mediană, bucata dinspre vârf este de două ori mai lungă decât bucata dinspre mijlocul laturii. Adică $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$.

Care e diferența dintre cercul înscris și cercul circumscris? Cercul înscris stă în interior și atinge cele trei laturi; centrul lui ($I$) e egal depărtat de laturi. Cercul circumscris înconjoară triunghiul și trece prin cele trei vârfuri; centrul lui ($O$) e egal depărtat de vârfuri.

De ce în triunghiul echilateral toate punctele coincid? Pentru că, datorită simetriei perfecte, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea fiecărei laturi sunt una și aceeași dreaptă. Deci toate cele patru linii dau aceleași trei drepte, care se întâlnesc într-un singur punct: centrul triunghiului.

Cum deosebesc rapid înălțimea de mediană? Caută cuvântul-cheie din enunț: dacă apare „perpendicular" sau „unghi drept", e înălțime; dacă apare „mijloc", e mediană. Coincid doar în triunghiul isoscel (din vârful principal) și în cel echilateral.

Unde se află ortocentrul într-un triunghi obtuzunghic? În exteriorul triunghiului. La triunghiul obtuzunghic, două dintre înălțimi cad pe prelungirile laturilor, iar punctul lor de concurență iese în afara figurii. Tot în exterior se mută și centrul cercului circumscris $O$.

Cum aflu raza cercului înscris dintr-o problemă simplă? Raza cercului înscris este chiar distanța de la centrul $I$ la oricare dintre cele trei laturi (toate aceste distanțe sunt egale). Dacă problema îți spune că $I$ este la $3$ cm de o latură, atunci raza cercului înscris este $r=3$ cm, fără niciun calcul suplimentar.