Mediatoarele unui triunghi. Cercul circumscris

Îți amintești că orice triunghi are trei laturi. Ce s-ar întâmpla dacă am ridica „granița corectă” a fiecărei laturi — adică mediatoarea ei? Surpriza geometriei este că aceste trei drepte nu se plimbă haotic prin desen, ci se întâlnesc fix într-un singur punct, iar acel punct ascunde un secret: este centrul unui cerc care trece exact prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului. În această lecție despre mediatoarele unui triunghi (clasa 6) vei descoperi pas cu pas cum se construiește acest punct magic și cum desenăm cercul circumscris triunghiului.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești mediatoarea fiecărei laturi a unui triunghi și să recunoști unde se întâlnesc.
• Vei ști că cele trei mediatoare ale unui triunghi sunt concurente (se taie într-un singur punct).
• Vei ști că punctul de concurență al mediatoarelor este centrul cercului circumscris triunghiului.
• Vei ști să folosești proprietatea mediatoarei (orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului) pentru a justifica rezultate.
• Vei ști să desenezi cercul circumscris și să calculezi raza lui în situații simple.

Hai să descoperim împreună

Pasul 1. Ne reamintim ce este mediatoarea unui segment

Înainte de a vorbi despre triunghi, trebuie să fim siguri pe „cărămida” de bază: mediatoarea unui segment. Ai studiat-o deja la lecția Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei, așa că aici doar o reactivăm.

Definiție. Fie un segment $[AB]$. Mediatoarea segmentului $[AB]$ este dreapta care este perpendiculară pe segment și trece prin mijlocul lui.

Cu alte cuvinte, mediatoarea îndeplinește simultan două condiții:

1. trece prin mijlocul $M$ al segmentului (deci $MA=MB$);
2. este perpendiculară pe segment (formează unghi de $90°$ cu el).

Imaginează-ți mediatoarea ca pe o „linie de echilibru” perfectă între cele două capete. Dacă $A$ ar fi casa ta și $B$ casa unui prieten, mediatoarea ar fi exact șirul de locuri aflate la fel de aproape de tine ca și de prietenul tău — locul ideal pentru o întâlnire la jumătatea drumului.

Pasul 2. Proprietatea „de aur” a mediatoarei

Aici se află inima întregii lecții. Vom folosi această proprietate de zeci de ori, așa că merită s-o citești de două ori.

Proprietatea caracteristică a mediatoarei. Un punct $P$ se află pe mediatoarea segmentului $[AB]$ dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele $A$ și $B$: $$P\in \text{mediatoarea }[AB]⟺PA=PB.$$

Hai s-o citim în două direcții, pentru că „dacă și numai dacă” înseamnă tocmai asta — merge în ambele sensuri:

• Sensul 1 (direct): dacă un punct $P$ este pe mediatoare, atunci el este la fel de departe de $A$ și de $B$, adică $PA=PB$.
• Sensul 2 (reciproc): dacă un punct $P$ are aceeași distanță până la $A$ și până la $B$ (adică $PA=PB$), atunci $P$ se află obligatoriu pe mediatoarea lui $[AB]$.

De ce este adevărată? O putem justifica scurt, ca la geometrie. Fie $M$ mijlocul lui $[AB]$ și $P$ un punct oarecare de pe mediatoare. Comparăm triunghiurile $PMA$ și $PMB$:

• $MA=MB$ (pentru că $M$ e mijloc);
• $\widehat{PMA}=\widehat{PMB}=90°$ (pentru că mediatoarea e perpendiculară pe $AB$);
• latura $PM$ este comună.

Avem deci două laturi și unghiul dintre ele egale: prin criteriul LUL (vezi Criteriul de congruență LUL), triunghiurile sunt congruente: $△PMA\equiv △PMB$. De aici rezultă că laturile corespondente sunt egale, deci $PA=PB$. Exact ce voiam!

Reține imaginea: mediatoarea = mulțimea tuturor punctelor egal depărtate de cele două capete. Această frază scurtă îți va rezolva multe probleme.

Pasul 3. De la o latură la trei: mediatoarele triunghiului

Acum facem saltul. Un triunghi $ABC$ are trei laturi: $[AB]$, $[BC]$ și $[CA]$. Fiecare latură este un segment, deci fiecare are propria mediatoare.

Definiție. Se numesc mediatoarele unui triunghi cele trei drepte care sunt mediatoarele celor trei laturi ale triunghiului.

• mediatoarea laturii $[AB]$ — o numim $d_{AB}$;
• mediatoarea laturii $[BC]$ — o numim $d_{BC}$;
• mediatoarea laturii $[CA]$ — o numim $d_{CA}$.

Atenție la o deosebire importantă: mediatoarea unei laturi nu pornește din vârful opus, așa cum se întâmplă la bisectoare, la înălțimi sau la mediane. Mediatoarea „aparține” laturii, nu vârfului. Ea trece prin mijlocul laturii și este perpendiculară pe ea, indiferent unde se află celelalte vârfuri.

Pasul 4. Marea descoperire: mediatoarele sunt concurente

Dacă desenezi cu grijă cele trei mediatoare, vei observa ceva uimitor: toate trei trec prin același punct. Nu se taie două câte două în locuri diferite, ci se adună într-un singur punct comun.

Teoremă (concurența mediatoarelor). Mediatoarele celor trei laturi ale unui triunghi sunt concurente (se întâlnesc într-un singur punct). Acest punct se notează de obicei cu $O$.

De ce se întâmplă asta? Curriculumul de clasa a VI-a nu cere demonstrația completă, dar ideea este atât de frumoasă încât merită povestită — și o putem justifica folosind exact proprietatea de aur de la Pasul 2.

Hai să raționăm. Luăm mai întâi doar două mediatoare, de exemplu $d_{AB}$ și $d_{BC}$. Ele nu sunt paralele (laturile $AB$ și $BC$ nu sunt paralele într-un triunghi), deci se taie undeva. Notăm punctul lor de intersecție cu $O$.

• Punctul $O$ este pe $d_{AB}$ $\Rightarrow$ după proprietatea mediatoarei, $OA=OB$.
• Punctul $O$ este și pe $d_{BC}$ $\Rightarrow$ tot după proprietatea mediatoarei, $OB=OC$.

Punem cele două egalități cap la cap: $$OA=OB\text{și}OB=OC\Rightarrow OA=OC.$$

Dar dacă $OA=OC$, înseamnă că $O$ este egal depărtat de capetele segmentului $[AC]$. Iar proprietatea de aur, citită în sensul reciproc, ne spune: un punct egal depărtat de $A$ și de $C$ se află pe mediatoarea lui $[AC]$. Deci $O$ este și pe $d_{CA}$!

Concluzie: punctul $O$, unde se întâlnesc primele două mediatoare, se află automat și pe a treia. Cele trei drepte trec prin același punct. Magia se explică perfect, fără niciun calcul complicat, doar din ideea „egal depărtat de capete”.

Și mai mult: am descoperit pe parcurs o egalitate prețioasă: $$OA=OB=OC.$$ Punctul $O$ este egal depărtat de toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Ține minte această relație — este cheia pasului următor.

Pasul 5. Cercul circumscris triunghiului

Reia ultima egalitate: $OA=OB=OC$. Distanțele de la $O$ la cele trei vârfuri sunt egale. Notează această distanță comună cu $R$.

Ce înseamnă „un punct fix $O$ și mai multe puncte aflate la aceeași distanță $R$ de el”? Exact definiția cercului! (vezi Cercul: definiție și elemente). Punctele $A$, $B$, $C$ se află toate pe cercul cu centrul $O$ și raza $R$.

Definiție. Cercul circumscris unui triunghi este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Centrul lui este punctul $O$ de concurență al mediatoarelor, iar raza $R=OA=OB=OC$.

Despre triunghi spunem că este înscris în cerc, iar despre cerc spunem că este circumscris triunghiului. Sunt două fețe ale aceleiași imagini: triunghiul stă „înăuntru”, cu vârfurile pe cerc; cercul „îmbrățișează” triunghiul pe la vârfuri.

O comparație utilă cu lecția anterioară: la Bisectoarele unui triunghi. Cercul înscris ai învățat că bisectoarele se întâlnesc în centrul cercului înscris (cercul dinăuntru, care atinge laturile). Acum, mediatoarele se întâlnesc în centrul cercului circumscris (cercul din afară, care trece prin vârfuri). Nu le confunda:

Pasul 6. Unde stă centrul $O$? Depinde de felul triunghiului

Un detaliu foarte interesant: punctul $O$ nu este mereu în interiorul triunghiului. Poziția lui depinde de unghiurile triunghiului.

• Triunghi ascuțitunghic (toate unghiurile mai mici de $90°$): centrul $O$ se află în interiorul triunghiului.
• Triunghi dreptunghic (un unghi de $90°$): centrul $O$ se află chiar pe mijlocul ipotenuzei (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept). Aici apare un rezultat foarte util: într-un triunghi dreptunghic, cercul circumscris are centrul la mijlocul ipotenuzei, iar ipotenuza este chiar un diametru al cercului.
• Triunghi obtuzunghic (un unghi mai mare de $90°$): centrul $O$ se află în exteriorul triunghiului.

Indiferent de poziția lui $O$, lucrul esențial rămâne neschimbat: $OA=OB=OC=R$. Cercul circumscris există întotdeauna și este unic pentru orice triunghi.

Pasul 7. Cum construim practic, pas cu pas

Hai să vedem rețeta de construcție cu rigla negradată și compasul, exact ca la geometrie:

1. Desenează triunghiul $ABC$.
2. Construiește mediatoarea laturii $[AB]$: pune vârful compasului în $A$ și apoi în $B$, cu aceeași deschidere (mai mare decât jumătatea segmentului), și trasează două arce care se taie de o parte și de alta a segmentului; unește cele două puncte de intersecție — ai obținut $d_{AB}$.
3. Construiește la fel mediatoarea laturii $[BC]$ și obții $d_{BC}$.
4. Notează cu $O$ punctul în care se taie cele două mediatoare.
5. Pentru verificare, construiește și mediatoarea lui $[CA]$ — trebuie să treacă tot prin $O$. (Dacă a ieșit prin alt loc, ai o mică eroare de desen; reia mai atent.)
6. Pune vârful compasului în $O$, deschide-l până la unul dintre vârfuri (de exemplu până în $A$) și rotește: vei desena cercul circumscris, care trece prin toate trei vârfurile.

Truc util: pentru a găsi centrul $O$ îți ajung doar două mediatoare. A treia trece automat prin $O$ (am demonstrat asta la Pasul 4), deci o desenezi doar ca să verifici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Folosim proprietatea mediatoarei

Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $[AB]$. Știm că $PA=6,5$ cm. Cât este $PB$?

Rezolvare. Proprietatea de aur spune: orice punct de pe mediatoarea lui $[AB]$ este egal depărtat de capete, deci $PA=PB$. Cum $PA=6,5$ cm, rezultă imediat $$PB=6,5\text{ cm}.$$ Nu avem nevoie de niciun calcul: egalitatea distanțelor este însăși proprietatea mediatoarei.

Exemplul 2 — Recunoaștem că un punct e pe mediatoare

În triunghiul $ABC$, un punct $O$ are proprietățile $OA=OB$ și $OB=OC$. Arată că $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare. Citim proprietatea mediatoarei în sensul reciproc.

• $OA=OB$ $\Rightarrow$ $O$ este egal depărtat de $A$ și $B$ $\Rightarrow$ $O$ se află pe mediatoarea lui $[AB]$.
• $OB=OC$ $\Rightarrow$ $O$ este egal depărtat de $B$ și $C$ $\Rightarrow$ $O$ se află pe mediatoarea lui $[BC]$.

Deci $O$ este pe două dintre mediatoarele triunghiului, adică este chiar punctul lor de concurență. Acesta este, prin definiție, centrul cercului circumscris. În plus, $OA=OB=OC$ este raza acestui cerc.

Exemplul 3 — Raza cercului circumscris

Centrul cercului circumscris triunghiului $MNP$ este $O$, iar $OM=5$ cm. Cât sunt $ON$ și $OP$? Cât este raza cercului circumscris?

Rezolvare. Centrul cercului circumscris este egal depărtat de toate vârfurile, deci $$OM=ON=OP=R.$$ Cum $OM=5$ cm, obținem $$ON=5\text{ cm},OP=5\text{ cm},R=5\text{ cm}.$$ Toate trei vârfurile sunt pe cercul cu centrul $O$ și raza de $5$ cm.

Exemplul 4 — Triunghiul dreptunghic și mijlocul ipotenuzei

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (unghiul drept este în $A$), iar ipotenuza $[BC]$ are lungimea $10$ cm. Unde se află centrul $O$ al cercului circumscris și cât este raza lui?

Rezolvare. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află la mijlocul ipotenuzei. Deci $O$ este mijlocul lui $[BC]$.

Ipotenuza este un diametru al cercului circumscris, deci diametrul este $10$ cm. Raza este jumătate din diametru: $$R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$$ Verificare cu proprietatea $OA=OB=OC$: $OB=OC=5$ cm (pentru că $O$ e mijlocul ipotenuzei), iar $OA$ trebuie să fie tot $5$ cm — într-adevăr, $A$ se află și el pe cerc.

Exemplul 5 — O mică problemă de „distanță egală”

Două orașe, $A$ și $B$, vor să construiască împreună un releu de telefonie. Inginerii vor ca releul să fie la distanță egală de cele două orașe. Pe ce linie de pe hartă trebuie să fie amplasat releul?

Rezolvare. Cerința „distanță egală de $A$ și de $B$” înseamnă $PA=PB$, unde $P$ este locul releului. Mulțimea tuturor punctelor cu această proprietate este, conform proprietății de aur, mediatoarea segmentului $[AB]$. Deci releul poate fi amplasat în orice punct de pe mediatoarea lui $[AB]$ — toate aceste puncte sunt la fel de aproape de ambele orașe.

Dacă ar apărea și un al treilea oraș $C$ și am vrea distanță egală de toate trei, locul ar fi unic: punctul $O$ de concurență al mediatoarelor — centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Exemplul 6 — Calcul cu lungimi pe mediatoare

Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Se știe că $OA=2x+1$ și $OB=13$ (în centimetri). Află $x$ și apoi raza cercului.

Rezolvare. Centrul cercului circumscris este egal depărtat de vârfuri, deci $OA=OB$: $$2x+1=13.$$ Scădem $1$ din ambii membri: $$2x=12.$$ Împărțim la $2$: $$x=6.$$ Raza este $R=OB=13$ cm (sau, verificat, $OA=2\cdot 6+1=13$ cm). Cele două lungimi coincid, exact cum trebuie pentru raze ale aceluiași cerc.

Să exersăm

1. Completează: mediatoarea unui segment este dreapta ………… pe segment care trece prin ………… lui.

2. Adevărat sau fals? Orice punct de pe mediatoarea lui $[AB]$ are aceeași distanță până la $A$ și până la $B$.

3. Adevărat sau fals? Mediatoarea unei laturi a triunghiului pleacă din vârful opus laturii.

4. Punctul $T$ este pe mediatoarea segmentului $[CD]$ și $TC=9$ cm. Cât este $TD$?

5. Câte mediatoare are un triunghi? Prin câte puncte trec ele toate?

6. Completează: punctul de concurență al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului ………… triunghiului.

7. Încercuiește varianta corectă. Centrul cercului circumscris este egal depărtat de: a) laturile triunghiului; b) vârfurile triunghiului; c) mijloacele bisectoarelor.

8. Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ și $OA=7$ cm. Cât sunt $OB$, $OC$ și raza $R$?

9. Potrivește fiecare linie importantă cu cercul ei:

   • (A) bisectoarele — (1) cercul circumscris
   • (B) mediatoarele — (2) cercul înscris

10. Într-un triunghi dreptunghic în $A$, ipotenuza $[BC]=16$ cm. Cât este raza cercului circumscris?

11. Desenează un triunghi ascuțitunghic, construiește două mediatoare cu rigla și compasul, marchează punctul $O$ și apoi desenează cercul circumscris.

12. Adevărat sau fals? Centrul cercului circumscris este întotdeauna în interiorul triunghiului.

13. Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $MNP$. Știind că $OM=3y-2$ și $ON=10$ (cm), află $y$.

14. Un punct $P$ are $PA=PB$ și $PB=PC$. Pe câte mediatoare ale triunghiului $ABC$ se află $P$? Ce reprezintă $P$ pentru triunghi?

15. În triunghiul $ABC$, mediatoarea lui $[AB]$ taie mediatoarea lui $[AC]$ în punctul $O$. Justifică, în două rânduri, de ce $O$ se află și pe mediatoarea lui $[BC]$.

16. Triunghiul $RST$ este obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $S$. Unde se află centrul cercului circumscris: în interior, pe o latură sau în exterior?

17. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este $R=6$ cm, iar $O$ este centrul lui. Care este lungimea segmentului $OA$? Dar distanța de la $O$ la vârful $B$?

18. Problemă. Trei copaci $A$, $B$, $C$ sunt plantați astfel încât formează un triunghi. Grădinarul vrea să sape o fântână aflată la distanță egală de toți trei copacii. Unde trebuie să sape și cum găsește locul cu rigla și compasul? Explică în 2–3 propoziții.

Răspunsuri și explicații

1. perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui. Acestea sunt cele două condiții din definiția mediatoarei.

2. Adevărat. Este chiar proprietatea caracteristică a mediatoarei: $P\in$ mediatoarea $[AB]\Rightarrow PA=PB$.

3. Fals. Mediatoarea „aparține” laturii: trece prin mijlocul laturii și este perpendiculară pe ea, nu pleacă din vârful opus. (Din vârful opus pleacă bisectoarea, înălțimea sau mediana.)

4. $TD=9$ cm. $T$ fiind pe mediatoarea lui $[CD]$, avem $TC=TD$.

5. Un triunghi are 3 mediatoare și toate trec prin un singur punct (sunt concurente).

6. cercul circumscris triunghiului.

7. b) vârfurile triunghiului. Centrul cercului circumscris satisface $OA=OB=OC$, adică e egal depărtat de vârfuri. (Egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris.)

8. $OB=7$ cm, $OC=7$ cm, $R=7$ cm. Centrul cercului circumscris e egal depărtat de toate vârfurile: $OA=OB=OC=R$.

9. (A) bisectoarele — (2) cercul înscris; (B) mediatoarele — (1) cercul circumscris.

10. $R=\frac{16}{2}=8$ cm. În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametru, iar raza e jumătate din ipotenuză.

11. Construcție practică (verifică desenul). Cele două mediatoare trebuie să se taie în $O$; cercul cu centrul $O$ și raza $OA$ trebuie să treacă prin toate trei vârfurile. Indiciu de control: a treia mediatoare trebuie să treacă tot prin $O$.

12. Fals. Doar la triunghiul ascuțitunghic $O$ e în interior; la cel dreptunghic e pe mijlocul ipotenuzei, iar la cel obtuzunghic e în exterior.

13. $OM=ON\Rightarrow 3y-2=10\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4$. (Raza este $10$ cm.)

14. $PA=PB\Rightarrow P$ pe mediatoarea lui $[AB]$; $PB=PC\Rightarrow P$ pe mediatoarea lui $[BC]$; de aici $PA=PC\Rightarrow P$ și pe mediatoarea lui $[AC]$. Deci $P$ se află pe toate cele 3 mediatoare și reprezintă centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$.

15. Pentru că $O$ este pe mediatoarea lui $[AB]$, avem $OA=OB$; pentru că $O$ este pe mediatoarea lui $[AC]$, avem $OA=OC$. Atunci $OB=OC$, deci $O$ este egal depărtat de $B$ și $C$, prin urmare se află pe mediatoarea lui $[BC]$.

16. În exterior. Triunghiul fiind obtuzunghic, centrul cercului circumscris cade în afara triunghiului.

17. $OA=6$ cm și distanța de la $O$ la $B$ este tot $6$ cm. Ambele sunt raze ale cercului circumscris: $OA=OB=R=6$ cm.

18. Fântâna trebuie săpată în centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, adică în punctul $O$ unde se întâlnesc mediatoarele. Practic: construiește mediatoarele a două dintre segmentele $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$ cu rigla și compasul; punctul lor de intersecție $O$ este egal depărtat de toți trei copacii ($OA=OB=OC$), deci acolo se sapă fântâna.

De reținut

• Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui; un punct este pe ea dacă și numai dacă este egal depărtat de capete: $PA=PB$.
• Cele trei mediatoare ale unui triunghi sunt concurente într-un punct $O$.
• Punctul $O$ este egal depărtat de cele trei vârfuri: $OA=OB=OC=R$, deci este centrul cercului circumscris.
• Cercul circumscris trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului; raza lui este $R=OA=OB=OC$.
• Poziția lui $O$: în interior (triunghi ascuțitunghic), pe mijlocul ipotenuzei (dreptunghic), în exterior (obtuzunghic).

Greșeli frecvente

• Confuzia mediatoare ↔ bisectoare. Mediatoarea ține de o latură (egal depărtat de vârfuri → cerc circumscris); bisectoarea ține de un unghi (egal depărtat de laturi → cerc înscris). Memorează tabelul de la Pasul 5.
• Crezi că mediatoarea pleacă din vârf. Nu! Ea pleacă din mijlocul laturii și e perpendiculară pe latură. Din vârf pleacă bisectoarea, înălțimea și mediana.
• Crezi că centrul $O$ este mereu în interiorul triunghiului. Fals la triunghiul obtuzunghic (e în exterior) și la cel dreptunghic (e pe ipotenuză). Verifică tipul triunghiului înainte de a-l plasa.
• Uiți că $OA=OB=OC$. Aceasta este relația-cheie: toate distanțele de la centru la vârfuri sunt egale și reprezintă raza. Dacă într-o problemă ai $OA$, ai automat și $OB$ și $OC$.

Joc acasă

1. Fântâna corectă (hârtie, riglă, compas). Marchează trei puncte pe o coală — orașele $A$, $B$, $C$. Construiește mediatoarele a două segmente cu compasul și găsește $O$. Apoi măsoară cu rigla $OA$, $OB$, $OC$: trebuie să iasă (aproape) egale. Ai găsit locul fântânii la distanță egală de cele trei orașe!

2. Cercul perfect prin trei puncte (sfoară și pioneze). Înfige trei pioneze (vârfurile) într-un carton. Folosind metoda de mai sus, găsește centrul $O$. Leagă un creion de o sfoară, fixează capătul sforii în $O$ cu lungimea $OA$ și trasează cercul. Surpriză: cercul trece exact prin toate trei pionezele — ai construit cercul circumscris.

3. Vânătoarea de centre (3 triunghiuri). Desenează un triunghi ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic. Găsește centrul $O$ pentru fiecare. Observă cu ochii tăi: la primul $O$ e înăuntru, la al doilea e pe mijlocul ipotenuzei, la al treilea e afară. Notează ce ai descoperit.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care elevul le are deja: mediatoarea unui segment și definiția cercului. Cel mai eficient drum este să porniți de la proprietatea „egal depărtat de capete” și să arătați că totul se deduce de acolo — inclusiv concurența mediatoarelor și existența cercului circumscris.

Întrebări bune de adresat:

• „Ce înseamnă că un punct e pe mediatoarea lui $[AB]$?” (răspuns țintă: $PA=PB$).
• „Dacă $OA=OB$ și $OB=OC$, ce putem spune despre $OA$ și $OC$?” (egale → $O$ pe a treia mediatoare).
• „De ce este $O$ centrul cercului circumscris și nu al celui înscris?” (pentru că e egal depărtat de vârfuri, nu de laturi).

Sprijiniți partea de construcție cu rigla și compasul: mulți elevi greșesc deschiderea compasului. Insistați ca deschiderea să fie mai mare decât jumătatea segmentului și aceeași din ambele capete. Verificarea că a înțeles se face cerându-i să prezică unde va cădea centrul înainte de a-l construi, apoi să confirme. Dacă rezolvă corect exercițiile 14, 15 și 18, a stăpânit atât raționamentul, cât și aplicația practică.

Întrebări frecvente

Ce sunt mediatoarele unui triunghi la clasa a 6-a? Sunt cele trei drepte care reprezintă mediatoarele celor trei laturi ale triunghiului. Fiecare trece prin mijlocul unei laturi și este perpendiculară pe acea latură. Cele trei mediatoare se întâlnesc într-un singur punct.

Unde se întâlnesc mediatoarele unui triunghi? Se întâlnesc într-un singur punct, notat de obicei $O$, numit punctul de concurență al mediatoarelor. Acest punct este egal depărtat de cele trei vârfuri ($OA=OB=OC$) și este centrul cercului circumscris triunghiului.

Ce este cercul circumscris unui triunghi? Este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Centrul lui este punctul de concurență al mediatoarelor, iar raza este distanța de la acest centru la oricare dintre vârfuri.

Care este diferența dintre cercul înscris și cercul circumscris? Cercul înscris este cel din interior, care atinge laturile triunghiului, iar centrul lui este la întâlnirea bisectoarelor. Cercul circumscris este cel din exterior, care trece prin vârfuri, iar centrul lui este la întâlnirea mediatoarelor.

Unde se află centrul cercului circumscris? Depinde de triunghi: în interior la triunghiul ascuțitunghic, pe mijlocul ipotenuzei la triunghiul dreptunghic și în exterior la triunghiul obtuzunghic. Indiferent de poziție, el rămâne egal depărtat de toate vârfurile.

De ce sunt mediatoarele concurente? Pentru că dacă un punct e pe două mediatoare, atunci este egal depărtat de toate trei vârfurile, deci automat se află și pe a treia mediatoare. Din $OA=OB$ și $OB=OC$ rezultă $OA=OC$, ceea ce plasează punctul pe mediatoarea celei de-a treia laturi.

Cum aflu raza cercului circumscris? Raza este distanța de la centrul $O$ până la oricare vârf: $R=OA=OB=OC$. La triunghiul dreptunghic există o scurtătură: raza este jumătate din ipotenuză.

Ce înseamnă că un triunghi este înscris într-un cerc? Înseamnă că toate cele trei vârfuri ale triunghiului se află pe cerc. În acest caz, cercul se numește circumscris triunghiului, iar cele două denumiri descriu aceeași configurație din puncte de vedere diferite.