Bisectoarele unui triunghi. Cercul înscris

Îți amintești cum, cu rigla și compasul, ai învățat să împarți un unghi în două unghiuri egale? Acea linie magică se numea bisectoare. Astăzi facem un pas mai departe: ducem bisectoarele în toate cele trei unghiuri ale unui triunghi și descoperim ceva surprinzător — toate trei se întâlnesc fix în același punct. Iar acel punct ascunde un secret: este centrul unui cerc perfect, care atinge toate cele trei laturi pe dinăuntru. Hai să vedem cum funcționează această bijuterie a geometriei.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești bisectoarele unui triunghi și să le desenezi corect în fiecare dintre cele trei unghiuri.
• Vei ști că cele trei bisectoare sunt concurente, adică se întâlnesc într-un singur punct.
• Vei ști că acel punct comun este centrul cercului înscris în triunghi.
• Vei ști să folosești proprietatea punctelor de pe bisectoare: orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului.
• Vei ști să afli raza cercului înscris ca distanță de la centru la fiecare latură și să rezolvi probleme simple cu măsuri de unghiuri.

Hai să descoperim împreună

Pasul 1. Ne reamintim ce este o bisectoare

Înainte de a vorbi despre triunghi, să fixăm bine cuvântul-cheie de astăzi: bisectoarea.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în două unghiuri congruente (egale ca măsură).

Dacă avem unghiul $\widehat{AOB}$ și ducem bisectoarea $(OM)$, atunci ea taie unghiul exact pe la jumătate: $$\widehat{AOM}\equiv \widehat{MOB},\text{adica˘}m(\widehat{AOM})=m(\widehat{MOB})=\frac{m(\widehat{AOB})}{2}.$$

Cuvântul „bisectoare" vine de la latinescul bi-secare, adică „a tăia în două". E ca atunci când tai o felie de pizza exact prin mijloc: cele două bucăți rezultate sunt la fel.

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre cum se construiește exact bisectoarea cu compasul, poți reciti lecția Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei.

Pasul 2. Proprietatea uimitoare a bisectoarei

Acum vine partea cu adevărat importantă, pe care o vom folosi tot restul lecției. Bisectoarea nu este doar o linie care taie unghiul pe la jumătate; ea are o proprietate ascunsă, legată de distanțe.

Îți amintești că distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară (e cel mai scurt drum). Dacă ai nevoie să-ți reamintești, ai lecția Distanța de la un punct la o dreaptă.

Iată proprietatea:

Proprietatea bisectoarei: Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului.

Cu alte cuvinte, dacă iei un punct $P$ oriunde pe bisectoare și măsori distanța de la $P$ până la o latură, apoi distanța de la $P$ până la cealaltă latură, vei obține mereu aceeași valoare.

Hai să înțelegem de ce este adevărat, fără să ne sperie demonstrația. Luăm punctul $P$ pe bisectoarea $(OM)$. Coborâm din $P$ perpendiculara $PD$ pe latura $OA$ și perpendiculara $PE$ pe latura $OB$. Vrem să arătăm că $PD=PE$.

Privește triunghiurile $OPD$ și $OPE$. Ele au:

• $\widehat{POD}\equiv \widehat{POE}$ — pentru că $(OP)$ este bisectoare, deci taie unghiul în două părți egale;
• $\widehat{ODP}\equiv \widehat{OEP}$ — ambele sunt unghiuri drepte, de $90°$, pentru că $PD\perp OA$ și $PE\perp OB$;
• latura $(OP)$ comună amândurora.

Dacă două perechi de unghiuri sunt congruente, atunci și a treia pereche este congruentă (suma unghiurilor unui triunghi este mereu $180°$): $\widehat{OPD}\equiv \widehat{OPE}$. Astfel, latura comună $(OP)$ este cuprinsă între două unghiuri respectiv congruente. Conform criteriului ULU (unghi-latură-unghi), pe care îl știi din lecția Criteriul de congruență ULU, cele două triunghiuri sunt congruente: $$△OPD\equiv △OPE.$$

Iar dacă triunghiurile sunt congruente, atunci și laturile care se corespund sunt egale. În particular: $$PD=PE.$$

Gata! Am demonstrat că punctul de pe bisectoare este la fel de departe de ambele laturi. Reține bine acest rezultat, fiindcă este cheia întregii lecții.

Această proprietate are și reciproca ei, la fel de utilă: dacă un punct este egal depărtat de laturile unui unghi, atunci el se află pe bisectoarea acelui unghi. Cele două afirmații împreună ne spun că bisectoarea este exact „drumul" tuturor punctelor egal depărtate de laturi.

Pasul 3. Trei unghiuri, trei bisectoare

Un triunghi $ABC$ are trei vârfuri: $A$, $B$ și $C$. În fiecare vârf se află câte un unghi: $\hat{A}$, $\hat{B}$ și $\hat{C}$. Asta înseamnă că putem duce trei bisectoare, câte una pentru fiecare unghi.

• Din vârful $A$ pornește bisectoarea unghiului $\widehat{BAC}$. Ea pleacă din $A$ și ajunge undeva pe latura opusă, $BC$.
• Din vârful $B$ pornește bisectoarea unghiului $\widehat{ABC}$. Ea ajunge pe latura $AC$.
• Din vârful $C$ pornește bisectoarea unghiului $\widehat{ACB}$. Ea ajunge pe latura $AB$.

Bisectoarea unui triunghi este segmentul de bisectoare cuprins între un vârf și latura opusă.

Ai grijă să nu confunzi bisectoarea cu alte „linii importante" ale triunghiului. Bisectoarea pleacă din vârf și taie unghiul în două. Ea nu pleacă neapărat spre mijlocul laturii opuse (aceea ar fi mediana) și nici nu este neapărat perpendiculară pe latură (aceea ar fi înălțimea). Aceste alte linii le vei studia în lecțiile imediat următoare: Mediatoarele unui triunghi. Cercul circumscris, Înălțimile unui triunghi. Ortocentrul și Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.

Pasul 4. Marea descoperire: bisectoarele se întâlnesc într-un punct

Acum vine momentul de „wow". Ia o foaie, desenează un triunghi oarecare — fie el ascuțit, obtuz, oricum — și construiește cu grijă cele trei bisectoare. Ce observi?

Te-ai aștepta ca trei linii desenate la întâmplare să formeze un mic triunghi în mijloc, intersectându-se câte două în trei puncte diferite. Și totuși, cu bisectoarele nu se întâmplă așa. Toate trei trec exact prin același punct!

Teoremă (concurența bisectoarelor): Cele trei bisectoare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente, adică se întâlnesc într-un singur punct.

Cuvântul „concurente" înseamnă, în geometrie, „care trec toate prin același punct". (În viața de zi cu zi, „concurent" înseamnă cineva care participă la un concurs; în matematică, gândește-te la trei drumuri care „concurează" spre aceeași destinație și se întâlnesc acolo.)

Acest punct comun se notează de obicei cu litera $I$ (de la cuvântul incentru, sau de la „înscris").

În clasa a VI-a nu demonstrăm această teoremă (este în programă fără demonstrație), dar putem înțelege ușor de ce e adevărată, folosind proprietatea de la Pasul 2. Iată ideea, pe scurt:

• Punctul în care se întâlnesc bisectoarele din $A$ și din $B$ să-l numim $I$.
• Pentru că $I$ este pe bisectoarea din $A$, el este egal depărtat de laturile $AB$ și $AC$.
• Pentru că $I$ este și pe bisectoarea din $B$, el este egal depărtat de laturile $AB$ și $BC$.
• Punând la un loc: $I$ este la fel de departe de toate trei laturile. În special, este egal depărtat de $AC$ și de $BC$.
• Dar punctele egal depărtate de laturile unghiului $\hat{C}$ se află pe bisectoarea din $C$ (reciproca proprietății). Deci $I$ este și pe bisectoarea din $C$.

Concluzie: toate trei bisectoarele trec prin $I$. Frumos, nu? Proprietatea distanțelor explică totul.

Pasul 5. De ce este $I$ atât de special: cercul înscris

Am aflat ceva extrem de important în raționamentul de mai sus: punctul $I$ este egal depărtat de toate cele trei laturi ale triunghiului. Să notăm această distanță comună cu $r$.

Acum gândește-te ce înseamnă asta. Avem un punct $I$ și o distanță $r$ care este aceeași până la fiecare latură. Dacă desenăm un cerc cu centrul în $I$ și raza $r$, acel cerc va atinge fiecare latură exact o singură dată, fără să o depășească. Un cerc care atinge o dreaptă într-un singur punct se numește tangent la acea dreaptă (revezi Pozițiile unei drepte față de un cerc).

Definiție: Cercul cu centrul în punctul de concurență al bisectoarelor și care este tangent la toate cele trei laturi se numește cercul înscris în triunghi.

Câteva lucruri importante despre cercul înscris:

• Centrul lui se numește incentru și se notează $I$. Este punctul de concurență al bisectoarelor.
• Raza lui, notată $r$, este distanța (pe perpendiculară) de la $I$ la oricare dintre laturi. Toate trei aceste distanțe sunt egale.
• Cercul se află complet în interiorul triunghiului. De aceea spunem că este „înscris" — stă cuminte înăuntru și se sprijină pe pereți.
• Punctele unde cercul atinge laturile se numesc puncte de tangență. Raza dusă la un punct de tangență este perpendiculară pe latură.

O imagine din viața reală: imaginează-ți un teren de joacă în formă de triunghi și vrei să așezi un bazin rotund cât mai mare, dar care să nu treacă de garduri. Centrul bazinului trebuie pus exact în incentrul $I$, iar raza maximă este $r$. Orice altă poziție ar lăsa bazinul fie prea mic, fie l-ar face să iasă peste un gard.

De ce este raza dusă la punctul de tangență perpendiculară pe latură? Pentru că raza $r$ este distanța de la centrul $I$ la latură, iar distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară mereu pe perpendiculară — este cel mai scurt drum posibil. Dacă cercul ar atinge latura „pieziș", el ar tăia de fapt latura în două puncte, nu ar fi tangent. Tocmai egalitatea celor trei distanțe perpendiculare ($r=r=r$) garantează că un singur cerc, cu centrul în $I$, se sprijină simultan pe toate cele trei laturi. Schimbă centrul și se strică imediat egalitatea: cercul se va depărta de o latură și va intra în alta. De aceea incentrul este singurul loc din care „se vede" la fel de departe spre fiecare perete al triunghiului.

Pasul 6. Cum construim, pas cu pas, incentrul și cercul înscris

Vrei să desenezi tu însuți cercul înscris? Iată rețeta cu rigla și compasul:

1. Desenează triunghiul $ABC$ pe care îl dorești.
2. Construiește bisectoarea unghiului $\hat{A}$: cu compasul în $A$ tai laturile, apoi din cele două tăieturi tai un arc în interior și unești $A$ cu punctul de tăiere.
3. Construiește la fel bisectoarea unghiului $\hat{B}$.
4. Marchează punctul $I$, acolo unde cele două bisectoare se taie. (A treia bisectoare ar trece tot prin $I$ — o poți desena ca verificare; dacă nu trece prin $I$, ai greșit undeva construcția.)
5. Coboară din $I$ o perpendiculară pe una dintre laturi, de exemplu pe $BC$. Piciorul perpendicularei este punctul de tangență, iar lungimea de la $I$ până acolo este raza $r$.
6. Pune vârful compasului în $I$, deschide-l cât $r$ și trasează cercul. Vei vedea cum atinge perfect toate trei laturile.

Un truc practic: pentru a găsi incentrul îți ajung două bisectoare, fiindcă a treia oricum trece prin același punct. A doua și a treia sunt doar pentru verificare.

Pasul 7. Un caz frumos: triunghiul echilateral

În triunghiul echilateral (cu toate laturile egale) se întâmplă ceva special. Pentru că totul este simetric, bisectoarea fiecărui unghi este, în același timp, și mediană, și înălțime, și mediatoare. Drept urmare, incentrul $I$ coincide cu centrul de greutate și cu toate celelalte „centre" ale triunghiului — toate sunt în același punct, fix în mijloc. Vei aprofunda asta în lecția Triunghiul echilateral. Proprietăți. Pentru moment, reține doar că la triunghiul echilateral cercul înscris stă perfect centrat, ca o țintă în mijlocul unei plăci.

Acum că am descoperit ideile, hai să le punem la treabă pe exemple concrete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Folosim proprietatea distanțelor

Enunț. Punctul $P$ se află pe bisectoarea unghiului $\widehat{xOy}$. Distanța de la $P$ la latura $Ox$ este de $5$ cm. Cât este distanța de la $P$ la latura $Oy$?

Rezolvare. Aici nu trebuie să calculăm nimic complicat. Folosim direct proprietatea bisectoarei: orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de cele două laturi. Deci distanța de la $P$ la $Oy$ este egală cu distanța de la $P$ la $Ox$. $$d(P,Oy)=d(P,Ox)=5\text{ cm}.$$

Răspuns: $5$ cm. Reține ideea: pe bisectoare, distanțele la cele două laturi sunt mereu „gemene".

Exemplul 2 — Distanțele de la incentru la laturi

Enunț. În triunghiul $ABC$, bisectoarele se întâlnesc în punctul $I$. Distanța de la $I$ la latura $AB$ este de $3,2$ cm. Cât sunt distanțele de la $I$ la laturile $BC$ și $AC$? Ce reprezintă această valoare?

Rezolvare. Punctul $I$ este incentrul, deci este egal depărtat de toate cele trei laturi. Dacă distanța la $AB$ este $3,2$ cm, atunci și distanțele la $BC$ și la $AC$ sunt tot $3,2$ cm.

Această valoare comună este chiar raza cercului înscris: $$r=3,2\text{ cm}.$$

Răspuns: Ambele distanțe sunt $3,2$ cm, iar valoarea reprezintă raza $r$ a cercului înscris.

Exemplul 3 — Jumătate de unghi

Enunț. În triunghiul $ABC$, unghiul $\hat{A}$ are măsura de $64°$. $(AI$ este bisectoarea unghiului $\hat{A}$. Cât este măsura unghiului $\widehat{BAI}$?

Rezolvare. Bisectoarea taie unghiul exact în jumătate. Așadar: $$m(\widehat{BAI})=\frac{m(\hat{A})}{2}=\frac{64°}{2}=32°.$$

Răspuns: $m(\widehat{BAI})=32°$. La fel, $m(\widehat{IAC})=32°$.

Exemplul 4 — Unghiul $\widehat{BIC}$ format de două bisectoare

Enunț. În triunghiul $ABC$ avem $m(\hat{B})=70°$ și $m(\hat{C})=50°$. Bisectoarele unghiurilor $\hat{B}$ și $\hat{C}$ se întâlnesc în $I$. Află măsura unghiului $\widehat{BIC}$.

Rezolvare. Privim triunghiul mic $BIC$. Cele trei unghiuri ale lui sunt $\widehat{IBC}$, $\widehat{ICB}$ și $\widehat{BIC}$, iar suma lor este $180°$ (suma unghiurilor oricărui triunghi — vezi Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi).

Pentru că $BI$ este bisectoarea lui $\hat{B}$, avem $m(\widehat{IBC})=\frac{70°}{2}=35°$.

Pentru că $CI$ este bisectoarea lui $\hat{C}$, avem $m(\widehat{ICB})=\frac{50°}{2}=25°$.

Atunci: $$m(\widehat{BIC})=180°-35°-25°=120°.$$

Răspuns: $m(\widehat{BIC})=120°$.

Observație utilă: există o formulă scurtă, $m(\widehat{BIC})=90°+\frac{m(\hat{A})}{2}$. Aici $m(\hat{A})=180°-70°-50°=60°$, deci $90°+30°=120°$ — același rezultat. Dar este mai sigur să raționezi pas cu pas, ca mai sus.

Exemplul 5 — Aflăm un unghi al triunghiului pornind de la bisectoare

Enunț. În triunghiul $MNP$, $(MI$ este bisectoarea unghiului $\hat{M}$ și se știe că $m(\widehat{NMI})=27°$. Cât este măsura unghiului $\hat{M}$?

Rezolvare. Bisectoarea împarte unghiul $\hat{M}$ în două unghiuri egale, fiecare de $27°$. Deci unghiul întreg este de două ori mai mare: $$m(\hat{M})=2\cdot 27°=54°.$$

Răspuns: $m(\hat{M})=54°$.

Exemplul 6 — O mică problemă combinată

Enunț. În triunghiul $ABC$, $m(\hat{A})=80°$ și $m(\hat{B})=60°$. Bisectoarele celor trei unghiuri se întâlnesc în $I$. a) Află $m(\hat{C})$. b) Află $m(\widehat{IAB})$ și $m(\widehat{IBA})$. c) Află $m(\widehat{AIB})$.

Rezolvare.

a) Folosim suma unghiurilor triunghiului: $$m(\hat{C})=180°-80°-60°=40°.$$

b) $AI$ este bisectoarea lui $\hat{A}$, deci $m(\widehat{IAB})=\frac{80°}{2}=40°$. $BI$ este bisectoarea lui $\hat{B}$, deci $m(\widehat{IBA})=\frac{60°}{2}=30°$.

c) În triunghiul $AIB$, suma unghiurilor este $180°$: $$m(\widehat{AIB})=180°-m(\widehat{IAB})-m(\widehat{IBA})=180°-40°-30°=110°.$$

Răspuns: a) $40°$; b) $40°$ și $30°$; c) $110°$. (Verificare cu formula: $90°+\frac{m(\hat{C})}{2}=90°+20°=110°$. ✓)

Exemplul 7 — Bisectoarea într-un triunghi isoscel

Enunț. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\hat{B})=50°$. Bisectoarele celor trei unghiuri se întâlnesc în $I$. a) Află $m(\hat{C})$ și $m(\hat{A})$. b) Află $m(\widehat{BIC})$.

Rezolvare.

a) Într-un triunghi isoscel cu $AB=AC$, unghiurile de la bază sunt egale, deci $m(\hat{C})=m(\hat{B})=50°$. Atunci, din suma unghiurilor: $$m(\hat{A})=180°-50°-50°=80°.$$

b) În triunghiul $BIC$, $BI$ și $CI$ sunt bisectoare, deci: $$m(\widehat{IBC})=\frac{50°}{2}=25°,m(\widehat{ICB})=\frac{50°}{2}=25°.$$ $$m(\widehat{BIC})=180°-25°-25°=130°.$$

Răspuns: a) $m(\hat{C})=50°$, $m(\hat{A})=80°$; b) $m(\widehat{BIC})=130°$. (Verificare: $90°+\frac{m(\hat{A})}{2}=90°+40°=130°$. ✓) Observă că la triunghiul isoscel bisectoarea din vârful $A$ cade pe mijlocul bazei $BC$ și este perpendiculară pe ea — adică este, în același timp, mediană și înălțime. La celelalte două vârfuri însă bisectoarele rămân doar bisectoare.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Acolo unde apare un desen, fă-l cu rigla. La sfârșit verifică-te cu cheia de răspunsuri.

1. Completează: Bisectoarea unui unghi împarte unghiul în două unghiuri ____________ .

2. Adevărat sau fals? „Cele trei bisectoare ale unui triunghi se întâlnesc în trei puncte diferite." Justifică.

3. Punctul $T$ se află pe bisectoarea unghiului $\widehat{xOy}$. Distanța de la $T$ la latura $Ox$ este de $4,5$ cm. Cât este distanța de la $T$ la latura $Oy$?

4. Cum se numește punctul în care se întâlnesc bisectoarele unui triunghi? Dar cercul care are centrul în acel punct și atinge laturile?

5. Unghiul $\hat{A}$ al unui triunghi are $48°$. Cât măsoară fiecare dintre cele două unghiuri formate de bisectoarea lui $\hat{A}$?

6. Bisectoarea unui unghi formează cu o latură un unghi de $39°$. Cât măsoară unghiul întreg?

7. Încercuiește răspunsul corect. Raza cercului înscris este: a) distanța de la incentru la un vârf; b) distanța de la incentru la o latură; c) lungimea celei mai lungi laturi.

8. În triunghiul $ABC$, incentrul $I$ se află la distanța de $2,7$ cm de latura $AC$. Cât sunt distanțele de la $I$ la $AB$ și la $BC$? Cum se mai numește această valoare?

9. Adevărat sau fals? „Cercul înscris într-un triunghi se află în interiorul triunghiului." Justifică.

10. În triunghiul $DEF$, $m(\hat{E})=84°$. $(EI$ este bisectoarea lui $\hat{E}$. Cât este $m(\widehat{DEI})$?

11. În triunghiul $ABC$, $m(\hat{B})=50°$ și $m(\hat{C})=60°$. Bisectoarele din $B$ și din $C$ se întâlnesc în $I$. Află $m(\widehat{IBC})$, $m(\widehat{ICB})$ și apoi $m(\widehat{BIC})$.

12. Potrivește fiecare termen cu definiția lui: A. incentru B. cerc înscris C. punct de tangență D. rază $r$

1. cercul care atinge toate laturile pe interior
2. punctul comun al bisectoarelor
3. distanța de la incentru la o latură
4. punctul în care cercul atinge o latură

13. Desenează un triunghi $ABC$ ascuțitunghic cu laturile de aproximativ $6$ cm, $7$ cm și $8$ cm. Construiește două bisectoare, marchează incentrul $I$ și trasează cercul înscris.

14. În triunghiul $MNP$, $m(\hat{M})=70°$ și $m(\hat{N})=60°$. Bisectoarele celor trei unghiuri se întâlnesc în $I$. a) Află $m(\hat{P})$. b) Află $m(\widehat{IMN})$ și $m(\widehat{INM})$. c) Află $m(\widehat{MIN})$.

15. Adevărat sau fals? „Bisectoarea pleacă mereu spre mijlocul laturii opuse." Explică ce confuzie se ascunde aici.

16. În triunghiul $ABC$, bisectoarea din $A$ formează cu latura $AB$ un unghi de $25°$. Știind că $m(\hat{B})=90°$, află $m(\hat{C})$. (Indiciu: află întâi $m(\hat{A})$.)

17. Triunghiul $ABC$ este echilateral. Câte grade are fiecare dintre unghiurile formate de o bisectoare cu laturile vecine din același vârf? Unde se află incentrul față de centrul triunghiului?

18. Problemă. Un grădinar are un strat de flori în formă de triunghi și vrea să așeze în el un cap de stropitoare rotativă care udă în cerc, cât mai mare, dar fără să stropească dincolo de margini. În ce punct trebuie să-l fixeze și cum se numește raza zonei udate?

19. Triunghiul $RST$ este isoscel, cu $RS=RT$ și $m(\hat{R})=96°$. Bisectoarele celor trei unghiuri se întâlnesc în $I$. a) Află $m(\hat{S})$ și $m(\hat{T})$. b) Află $m(\widehat{SIT})$.

20. În triunghiul $ABC$, bisectoarele din $B$ și din $C$ se întâlnesc în $I$ și se știe că $m(\widehat{BIC})=115°$. Cât este $m(\hat{A})$? (Indiciu: folosește relația $m(\widehat{BIC})=90°+\frac{m(\hat{A})}{2}$.)

Răspunsuri și explicații

1. congruente (egale ca măsură). Asta înseamnă „bisectoare": taie unghiul în două părți egale.

2. Fals. Cele trei bisectoare sunt concurente: se întâlnesc într-un singur punct, numit incentru. Nu formează trei puncte diferite.

3. $4,5$ cm. Punctul de pe bisectoare este egal depărtat de cele două laturi, deci aceeași distanță.

4. Punctul se numește incentru (centrul cercului înscris), iar cercul se numește cerc înscris în triunghi.

5. $\frac{48°}{2}=24°$. Fiecare unghi are $24°$.

6. Unghiul întreg este dublul: $2\cdot 39°=78°$. Răspuns: $78°$.

7. b) distanța de la incentru la o latură. (Distanța la vârf nu este rază a cercului înscris.)

8. Distanțele la $AB$ și la $BC$ sunt tot $2,7$ cm, pentru că incentrul este egal depărtat de toate laturile. Valoarea se numește raza cercului înscris, $r$.

9. Adevărat. Cercul înscris este tangent la laturi pe interior și se află complet în interiorul triunghiului — de aceea se numește „înscris".

10. Bisectoarea taie $\hat{E}$ în jumătate: $m(\widehat{DEI})=\frac{84°}{2}=42°$.

11. $m(\widehat{IBC})=\frac{50°}{2}=25°$; $m(\widehat{ICB})=\frac{60°}{2}=30°$. În triunghiul $BIC$: $m(\widehat{BIC})=180°-25°-30°=125°$.

12. A–2, B–1, C–4, D–3. (Incentru = punct comun al bisectoarelor; cerc înscris = atinge laturile; punct de tangență = unde atinge cercul latura; rază $r$ = distanța incentru–latură.)

13. Verificare practică: după ce construiești două bisectoare și marchezi $I$, dacă desenezi și a treia bisectoare, ea trebuie să treacă tot prin $I$. Cercul cu centrul $I$ și raza egală cu distanța de la $I$ la o latură trebuie să atingă toate trei laturile. Construcție corectă = cele trei tangențe ies exact pe laturi.

14. a) $m(\hat{P})=180°-70°-60°=50°$. b) $m(\widehat{IMN})=\frac{70°}{2}=35°$; $m(\widehat{INM})=\frac{60°}{2}=30°$. c) $m(\widehat{MIN})=180°-35°-30°=115°$. (Verificare: $90°+\frac{50°}{2}=115°$. ✓)

15. Fals. Linia care pleacă spre mijlocul laturii opuse este mediana, nu bisectoarea. Bisectoarea taie unghiul în două părți egale; ea ajunge pe latura opusă, dar nu neapărat la mijloc. (Excepție: la triunghiul isoscel/echilateral ele pot coincide.)

16. Bisectoarea taie $\hat{A}$ în jumătate, iar jumătatea este $25°$, deci $m(\hat{A})=2\cdot 25°=50°$. Apoi $m(\hat{C})=180°-m(\hat{A})-m(\hat{B})=180°-50°-90°=40°$.

17. Fiecare unghi al triunghiului echilateral are $60°$; bisectoarea îl taie în două unghiuri de $\frac{60°}{2}=30°$. Incentrul coincide cu centrul triunghiului (și cu centrul de greutate, ortocentrul etc.) — totul este în același punct, din cauza simetriei perfecte.

18. Capul de stropitoare trebuie fixat în incentru (punctul de întâlnire al bisectoarelor), pentru că el este egal depărtat de toate cele trei margini. Raza zonei udate maxime este raza cercului înscris, $r$ — distanța de la incentru la o margine.

19. a) Triunghiul fiind isoscel cu $RS=RT$, unghiurile de la bază sunt egale: $m(\hat{S})=m(\hat{T})=\frac{180°-96°}{2}=42°$. b) În triunghiul $SIT$: $m(\widehat{IST})=\frac{42°}{2}=21°$ și $m(\widehat{ITS})=\frac{42°}{2}=21°$, deci $m(\widehat{SIT})=180°-21°-21°=138°$. (Verificare: $90°+\frac{96°}{2}=138°$. ✓)

20. Din $m(\widehat{BIC})=90°+\frac{m(\hat{A})}{2}$ obținem $115°=90°+\frac{m(\hat{A})}{2}$, adică $\frac{m(\hat{A})}{2}=25°$, deci $m(\hat{A})=50°$.

De reținut

• Bisectoarea taie unghiul în două unghiuri congruente; orice punct de pe ea este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului.
• Cele trei bisectoare ale unui triunghi sunt concurente: se întâlnesc într-un singur punct, numit incentru și notat $I$.
• Incentrul $I$ este egal depărtat de toate cele trei laturi; această distanță comună este raza $r$ a cercului înscris.
• Cercul înscris are centrul în $I$, raza $r$, este tangent la toate laturile și se află complet în interiorul triunghiului.
• La triunghiul echilateral, incentrul stă fix în mijloc și coincide cu toate celelalte centre.

Greșeli frecvente

• Confuzia bisectoare ↔ mediană ↔ înălțime. Bisectoarea taie unghiul în două; mediana merge spre mijlocul laturii; înălțimea este perpendiculară pe latură. Sunt linii diferite (cu excepții doar la triunghiuri particulare). Întreabă-te mereu: „ce împarte/atinge această linie?".
• A măsura distanța de la incentru la un vârf în loc de la o latură. Raza cercului înscris este distanța pe perpendiculară până la latură, nu până la vârf. Distanța la vârf este mai mare și nu are legătură cu raza.
• A crede că bisectoarele se taie în trei puncte. Ele se taie într-un singur punct. Dacă în desenul tău ies trei puncte, înseamnă că ai construit imprecis bisectoarele — refă-le cu compasul, cu grijă.
• A uita că raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe latură. Tocmai această perpendicularitate face ca cercul să „atingă" latura, nu să o taie. Când calculezi distanțe la laturi, măsoară mereu pe perpendiculară.

Joc acasă

1. Vânătoarea de incentru cu hârtia. Decupează din carton un triunghi oarecare. Îndoaie hârtia astfel încât o latură să se suprapună exact peste latura vecină, pornind dintr-un vârf — cuta obținută este chiar bisectoarea acelui unghi. Repetă din alt vârf. Punctul unde se intersectează cele două cute este incentrul $I$. Verifică minunea: îndoaie și din al treilea vârf — cuta va trece fix prin același punct.

2. Cercul perfect dinăuntru. Pe triunghiul de mai sus, pune vârful unui creion în incentrul $I$ și deschide un compas până atinge cea mai apropiată latură. Trasează cercul. Observă cum atinge toate trei laturile, dar nu iese din triunghi. Ai desenat cercul înscris! Încearcă apoi să muți centrul cu câțiva milimetri — vei vedea că cercul fie devine mai mic, fie iese peste o latură. Doar incentrul dă cercul maxim.

3. Provocarea celor trei forme. Desenează trei triunghiuri foarte diferite: unul ascuțit, unul dreptunghic și unul obtuz (cu un unghi mai mare de $90°$). Construiește incentrul la fiecare. Surpriza pe care o vei descoperi: incentrul este mereu în interior, indiferent de forma triunghiului (spre deosebire de alte centre, care pot ieși afară). Notează observația în caiet.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce prima dintre „liniile importante" ale triunghiului și pune bazele intuiției despre puncte de concurență. Iată cum o puteți sprijini:

• Începeți de la mână, nu de la formulă. Lăsați copilul să îndoaie hârtia (jocul 1) înainte de orice teorie. Experiența fizică a faptului că „cele trei cute trec prin același punct" rămâne mult mai bine întipărită decât o teoremă citită.
• Insistați pe proprietatea distanțelor. Inima lecției este: un punct de pe bisectoare este egal depărtat de cele două laturi. Întrebați: „Dacă punctul e pe bisectoare și e la $5$ cm de o latură, la ce distanță e de cealaltă?". Răspunsul instant „$5$ cm" arată că a prins ideea.
• Verificați diferența dintre linii. O confuzie tipică este bisectoare–mediană–înălțime. Întrebați: „Bisectoarea ce taie în două?" (răspuns: unghiul). Aceasta clarifică totul înainte de lecțiile următoare.
• Cereți raționamentul cu suma unghiurilor. La problemele cu $\widehat{BIC}$, lăsați copilul să folosească suma $180°$ în triunghiul mic, în loc să memoreze formula. Înțelegerea trece înaintea formulei rapide.
• Cum verificați că a înțeles: rugați-l să vă explice, cu desenul în față, de ce centrul cercului înscris trebuie să fie tocmai în incentru („pentru că e egal depărtat de toate laturile"). Dacă poate spune asta cu cuvintele lui, lecția este stăpânită.

Întrebări frecvente

Ce este bisectoarea unui triunghi? Este segmentul care pleacă dintr-un vârf al triunghiului și împarte unghiul din acel vârf în două unghiuri egale, ajungând pe latura opusă. Un triunghi are trei bisectoare, câte una pentru fiecare unghi.

Unde se întâlnesc bisectoarele unui triunghi? Cele trei bisectoare se întâlnesc într-un singur punct, numit incentru și notat de obicei $I$. Faptul că trec toate prin același punct se numește concurența bisectoarelor.

Ce este cercul înscris într-un triunghi? Este cercul care are centrul în incentru și este tangent la toate cele trei laturi, atingându-le pe fiecare într-un singur punct. El se află complet în interiorul triunghiului.

Cum se numește centrul cercului înscris? Se numește incentru. Este chiar punctul de concurență al bisectoarelor și este egal depărtat de toate cele trei laturi ale triunghiului.

Ce reprezintă raza cercului înscris? Raza $r$ a cercului înscris este distanța, măsurată pe perpendiculară, de la incentru la oricare dintre laturi. Pentru că incentrul este egal depărtat de toate laturile, toate aceste distanțe sunt egale.

Care este diferența dintre bisectoare și mediană? Bisectoarea împarte unghiul din vârf în două unghiuri egale, în timp ce mediana unește vârful cu mijlocul laturii opuse. Sunt linii diferite, deși la triunghiul echilateral ele coincid.

De ce incentrul este mereu în interiorul triunghiului? Pentru că el este egal depărtat de cele trei laturi și este înconjurat de ele din toate părțile, punctul nu poate „ieși" afară. Indiferent dacă triunghiul este ascuțit, dreptunghic sau obtuz, incentrul rămâne în interior.

Cum aflu unghiul format de două bisectoare, de exemplu $\widehat{BIC}$? Calculezi jumătățile unghiurilor din $B$ și din $C$, apoi le scazi din $180°$ în triunghiul $BIC$. Există și formula rapidă $m(\widehat{BIC})=90°+\frac{m(\hat{A})}{2}$, dar raționamentul pas cu pas este mai sigur.