Într-un triunghi obtuzunghic, care dintre punctele $$G$$, $$I$$, $$O$$, $$H$$ se pot afla în exteriorul triunghiului?

niciunul, toate rămân în interior

Triunghiul $$DEF$$ este dreptunghic în $$E$$, cu ipotenuza $$DF = 22$$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $$O$$ și cât este raza cercului circumscris?

$$O$$ este pe mijlocul ipotenuzei $$DF$$, iar $$R = 11$$ cm

$$O$$ este în interior, iar $$R = 11$$ cm

$$O$$ este pe mijlocul ipotenuzei $$DF$$, iar $$R = 22$$ cm

$$O$$ este în exterior, iar $$R = 11$$ cm

Triunghiul $$PQR$$ este dreptunghic în $$Q$$, cu ipotenuza $$PR=34$$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $$O$$ și cât este raza cercului circumscris?

$$O$$ este pe mijlocul ipotenuzei $$PR$$, iar $$R=17$$ cm

$$O$$ este în interior, iar $$R=17$$ cm

$$O$$ este pe mijlocul ipotenuzei $$PR$$, iar $$R=34$$ cm

$$O$$ este în exterior, iar $$R=17$$ cm

Care sunt punctele importante ale triunghiului?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Punctele de concurență ale triunghiului

Sunt patru, câte unul pentru fiecare familie de linii. Bisectoarele se adună în centrul cercului înscris, notat $I$ , care stă la fel de departe de toate laturile. Mediatoarele se adună în centrul cercului circumscris, $O$ , aflat la aceeași depărtare de vârfuri. Înălțimile dau ortocentrul $H$ , iar medianele dau centrul de greutate $G$ . Punctele $G$ și $I$ rămân mereu înăuntru, în timp ce $O$ și $H$ ies afară la triunghiurile obtuzunghice.

Un triunghi are patru linii importante — bisectoarea, mediatoarea, înălțimea și mediana — și fiecare dintre ele, luată de trei ori (câte una pentru fiecare vârf/latură), formează un grup de trei drepte concurente, adică se întâlnesc într-un singur punct:

Linii	Punct de concurență	Proprietate
bisectoare	centrul înscris $I$	egal depărtat de laturi
mediatoare	centrul circumscris $O$	egal depărtat de vârfuri
înălțimi	ortocentrul $H$	—
mediane	centrul de greutate $G$	împarte mediana în raport $2 : 1$

$G$ și $I$ sunt mereu în interior. $O$ și $H$ ies în exterior la triunghiul obtuzunghic, iar la cel dreptunghic $O$ ajunge pe mijlocul ipotenuzei și $H$ coincide cu vârful unghiului drept.

Exemplu. Dacă mediana $A M = 24$ cm, atunci $A G = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ cm și $GM = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$ cm.

De reținut

bisectoarele se întâlnesc în centrul cercului înscris $I$
mediatoarele se întâlnesc în centrul cercului circumscris $O$
înălțimile dau ortocentrul $H$ , medianele dau centrul de greutate $G$
în triunghiul echilateral cele patru puncte se suprapun

Greșeala tipică

Se confundă înălțimea cu mediana, deși una cade perpendicular pe latură, iar cealaltă ajunge la mijlocul ei. Ele coincid numai la triunghiul isoscel, când pornesc din vârful dintre laturile egale.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi obtuzunghic, care dintre punctele $G$ , $I$ , $O$ , $H$ se pot afla în exteriorul triunghiului?
- a) $G$ și $I$
- b) $O$ și $H$
- c) doar $G$
- d) niciunul, toate rămân în interior
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $O$ și $H$

Centrul de greutate $G$ (punctul de echilibru) și centrul cercului înscris $I$ sunt mereu în interior, indiferent de forma triunghiului. În schimb, centrul cercului circumscris $O$ și ortocentrul $H$ ies în exteriorul triunghiului atunci când acesta este obtuzunghic.
Triunghiul $D E F$ este dreptunghic în $E$ , cu ipotenuza $D F = 22$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $O$ și cât este raza cercului circumscris?
- a) $O$ este în interior, iar $R = 11$ cm
- b) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $D F$ , iar $R = 22$ cm
- c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $D F$ , iar $R = 11$ cm
- d) $O$ este în exterior, iar $R = 11$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $D F$ , iar $R = 11$ cm

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află exact pe mijlocul ipotenuzei. Raza este distanța de la $O$ la un vârf, adică $R = \frac{D F}{2} = \frac{22}{2} = 11$ cm.
Triunghiul $P QR$ este dreptunghic în $Q$ , cu ipotenuza $P R = 34$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $O$ și cât este raza cercului circumscris?
- a) $O$ este în interior, iar $R = 17$ cm
- b) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $P R$ , iar $R = 34$ cm
- c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $P R$ , iar $R = 17$ cm
- d) $O$ este în exterior, iar $R = 17$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $P R$ , iar $R = 17$ cm

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află exact pe mijlocul ipotenuzei. Raza este distanța de la $O$ la un vârf, adică $R = \frac{P R}{2} = \frac{34}{2} = 17$ cm.

Întrebări conexe

Ce este mediatoarea unei laturi?

Este dreapta perpendiculară pe latură, dusă chiar prin mijlocul ei. Orice punct de pe ea se află la aceeași depărtare de capetele laturii. Spre deosebire de înălțime și de mediană, mediatoarea nu pleacă dintr-un vârf, ci ține de latură.

Cât măsoară $A G$ dacă mediana $A M$ are 30 cm?

Centrul de greutate taie mediana în raport de doi la unu, socotit dinspre vârf, deci $A G = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ cm, iar $GM = 10$ cm. Bucata mare stă întotdeauna lângă vârf, nu lângă mijlocul laturii.

Care punct de concurență se află mereu în interiorul figurii?

Centrul de greutate și centrul cercului înscris rămân întotdeauna înăuntru, oricum ar arăta triunghiul. Ortocentrul și centrul cercului circumscris ies afară la figurile cu un unghi obtuz. La triunghiul echilateral toate patru se suprapun în același loc.

Ce este dreapta lui Euler?

Dreapta pe care se așază, la orice triunghi, ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris, cu cel din mijloc între celelalte două. La triunghiul echilateral cele trei puncte se suprapun, așa că dreapta nu se mai poate desena.

Unde se află ortocentrul unui triunghi dreptunghic?

Chiar în vârful unghiului drept. Două dintre înălțimi sunt catetele însele, fiindcă fiecare cade perpendicular pe cealaltă, iar ele se întâlnesc în acel vârf. A treia înălțime, dusă din vârful unghiului drept spre ipotenuză, trece tot pe acolo.

Oamenii mai întreabă și: punctele de concurență ale triunghiului · liniile importante în triunghi · incentru ortocentru centru de greutate · unde se întâlnesc medianele și înălțimile