Triunghiul isoscel. Proprietăți

Gândește-te la un acoperiș de casă, la un cort de munte sau la semnul rutier triunghiular „Cedează trecerea". Toate au ceva în comun: două laturi care „cad" la fel, în oglindă, una de o parte, alta de cealaltă. Acesta este triunghiul isoscel, unul dintre cele mai elegante și mai folositoare triunghiuri din geometrie. În această lecție vei descoperi de ce unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt mereu egale și de ce, din vârful lui, bisectoarea, înălțimea și mediana se suprapun perfect, ca trei drumuri care duc în același loc. O să vezi că aceste proprietăți îți rezolvă rapid probleme care altfel par grele.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești triunghiul isoscel și să-i numești corect elementele: baza, laturile congruente, unghiurile de la bază și unghiul de la vârf.
• Vei ști să folosești proprietatea că unghiurile de la bază sunt congruente (au aceeași măsură) și reciproca ei.
• Vei ști că, dusă din vârf, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea bazei coincid — sunt una și aceeași dreaptă.
• Vei ști să calculezi măsuri de unghiuri și lungimi de laturi într-un triunghi isoscel, justificând fiecare pas.
• Vei ști să transpui o problemă practică în limbaj geometric și să o rezolvi folosind aceste proprietăți.

Hai să descoperim împreună

Ce este un triunghi isoscel

Ai studiat deja, în lecția Triunghiul: definiție, elemente și clasificare, că triunghiurile se pot clasifica după laturi. Acum ne oprim la unul anume.

Definiție. Un triunghi se numește isoscel dacă are două laturi congruente (de aceeași lungime).

Cuvântul „isoscel" vine din greacă: isos înseamnă „egal", iar skelos înseamnă „picior". Deci „isoscel" înseamnă, la propriu, „cu picioarele egale". Imaginează-ți un om care stă cu picioarele depărtate, sprijinite la fel pe pământ — exact așa arată cele două laturi egale ale triunghiului.

Elementele triunghiului isoscel: cum le numim corect

Într-un triunghi isoscel folosim niște nume speciale. Hai să le fixăm pe figura de mai sus, unde $AB=AC$.

• Laturile congruente (sau laturile laterale) sunt cele două laturi egale: $AB$ și $AC$. Ele se mai numesc și „brațele" triunghiului.
• Baza este a treia latură, cea care de obicei rămâne diferită: $BC$. Atenție, baza nu trebuie neapărat să fie jos pe desen — baza este, prin definiție, latura cuprinsă între cele două laturi congruente.
• Vârful triunghiului isoscel este punctul în care se întâlnesc cele două laturi congruente: aici, vârful este $A$. Nu confunda: orice triunghi are trei vârfuri, dar când spunem „vârful triunghiului isoscel" ne referim la cel dintre laturile egale.
• Unghiul de la vârf este unghiul din vârful $A$, adică $\hat{A}$ (sau $\widehat{BAC}$).
• Unghiurile de la bază sunt cele două unghiuri așezate pe bază: $\hat{B}$ și $\hat{C}$.

Un truc de memorare: unghiurile de la bază sunt mereu „lipite" de bază, adică au câte un vârf la fiecare capăt al bazei. Unghiul de la vârf este „sus", opus bazei.

Prima proprietate: unghiurile de la bază sunt congruente

Aceasta este vedeta lecției. Hai să o descoperim cu un experiment mental.

Ia o foaie de hârtie și decupează un triunghi isoscel cu $AB=AC$. Acum îndoaie foaia astfel încât latura $AB$ să cadă exact peste latura $AC$. Pentru că cele două laturi sunt egale, vârful $B$ va ajunge fix peste vârful $C$. Ce observi? Unghiul din $B$ se suprapune perfect peste unghiul din $C$. Deci cele două unghiuri sunt egale!

Teorema (proprietatea unghiurilor de la bază). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente.

În scriere matematică: dacă în triunghiul $ABC$ avem $AB=AC$, atunci $\hat{B}\equiv \hat{C}$ (citim: „unghiul B congruent cu unghiul C"), adică au aceeași măsură.

De ce este adevărat? O demonstrație simplă

În clasa a VI-a învățăm să justificăm, nu doar să credem pe cuvânt. Vom folosi un criteriu de congruență studiat în lecția Criteriul de congruență LUL.

Ipoteză: triunghiul $ABC$ cu $AB=AC$. Concluzie: $\hat{B}\equiv \hat{C}$.

Ducem din vârful $A$ bisectoarea unghiului $\hat{A}$. Ea intersectează baza $BC$ într-un punct, să-l numim $D$.

Comparăm triunghiurile $ABD$ și $ACD$:

1. $AB=AC$ — din ipoteză (laturile congruente);
2. $\widehat{BAD}\equiv \widehat{CAD}$ — pentru că $AD$ este bisectoare, deci taie unghiul $A$ în două unghiuri egale;
3. $AD=AD$ — este latură comună a celor două triunghiuri.

Avem latură – unghi – latură (LUL), deci $△ABD\equiv △ACD$. Triunghiurile fiind congruente, toate elementele corespondente sunt egale, în special $\hat{B}\equiv \hat{C}$. Gata, am demonstrat!

Nu-ți face griji dacă demonstrația ți se pare nouă; partea importantă pentru tine este rezultatul: laturi egale → unghiuri de la bază egale.

Reciproca: dacă două unghiuri sunt egale, triunghiul e isoscel

Proprietatea merge și „în sens invers", iar acest lucru e foarte util la probleme.

Teorema reciprocă. Dacă într-un triunghi două unghiuri sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel, iar laturile congruente sunt cele opuse acestor unghiuri.

Cu alte cuvinte: dacă $\hat{B}\equiv \hat{C}$ în triunghiul $ABC$, atunci $AB=AC$. Reține regula de aur: laturilor egale le corespund unghiuri egale, și invers. Latura mare „stă în fața" unghiului mare, latura mică în fața unghiului mic — iar laturile egale stau în fața unghiurilor egale.

Acest du-te-vino între laturi și unghiuri îți va prinde bine: uneori ai date despre laturi și afli ceva despre unghiuri, alteori invers.

A doua proprietate: liniile importante din vârf coincid

Aici se vede frumusețea triunghiului isoscel. În lecțiile despre bisectoarele triunghiului, înălțimile triunghiului și medianele triunghiului ai văzut că, într-un triunghi oarecare, bisectoarea, înălțimea și mediana duse dintr-un vârf sunt de obicei trei drepte diferite. La triunghiul isoscel se întâmplă ceva special.

Teoremă. În triunghiul isoscel, dreapta dusă din vârf (vârful dintre laturile congruente) este, în același timp:

• bisectoarea unghiului de la vârf,
• înălțimea corespunzătoare bazei (este perpendiculară pe bază),
• mediana corespunzătoare bazei (cade în mijlocul bazei),
• mediatoarea bazei.

Toate aceste patru linii importante coincid — sunt una și aceeași dreaptă.

De ce se întâmplă asta? Revino la demonstrația de mai sus, unde $AD$ era bisectoarea, și am obținut $△ABD\equiv △ACD$. Din această congruență ies mai multe lucruri deodată:

• $BD=DC$ → punctul $D$ este mijlocul bazei, deci $AD$ este mediană.
• $\widehat{ADB}\equiv \widehat{ADC}$, iar ele sunt unghiuri adiacente suplementare (împreună fac $180°$), deci fiecare are $90°$ → $AD\perp BC$, deci $AD$ este înălțime.
• $AD$ a fost luată bisectoare și trece prin mijlocul bazei perpendicular → este și mediatoarea bazei $BC$.

Practic, e suficient să dovedești UNA dintre aceste proprietăți pentru a le avea pe toate. De exemplu: dacă afli că într-un triunghi isoscel mediana din vârf este și înălțime, nu te mira — așa e mereu.

Atenție foarte importantă: această coincidență funcționează doar pentru linia dusă din vârf (din unghiul dintre laturile egale). Bisectoarea, înălțimea și mediana duse din celelalte două vârfuri (de la bază) NU coincid — acolo triunghiul se comportă ca unul obișnuit.

Un caz aparte: triunghiul echilateral

Dacă un triunghi are toate trei laturile egale, atunci el este isoscel „în trei feluri" în același timp (orice latură poate fi privită ca bază). Acesta este triunghiul echilateral, pe care îl vei studia separat în lecția Triunghiul echilateral. Proprietăți. Reține pentru moment: orice triunghi echilateral este și isoscel, dar nu orice triunghi isoscel este echilateral.

Suma unghiurilor ne ajută mereu

Nu uita instrumentul de aur din lecția Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi: în orice triunghi, suma celor trei unghiuri este $180°$. La triunghiul isoscel, unde două unghiuri sunt egale, această regulă devine extrem de utilă. Dacă notăm cu $b$ măsura fiecărui unghi de la bază și cu $v$ măsura unghiului de la vârf, atunci:

$$v+b+b=180°⟺v+2b=180°.$$

Din această relație, dacă știm un unghi, le aflăm pe celelalte. O vom folosi des în exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflăm unghiurile de la bază când știm vârful

Enunț. Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$ și $\hat{A}=50°$. Cât măsoară unghiurile de la bază?

Rezolvare. Vârful este $A$, deci unghiurile de la bază sunt $\hat{B}$ și $\hat{C}$, iar ele sunt egale: $\hat{B}=\hat{C}=b$. Folosim suma unghiurilor: $$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°\Rightarrow 50°+b+b=180°.$$ Atunci $2b=180°-50°=130°$, deci $b=130°:2=65°$.

Răspuns. $\hat{B}=\hat{C}=65°$.

Exemplul 2 — Aflăm vârful când știm un unghi de la bază

Enunț. În triunghiul isoscel $MNP$ cu $MN=MP$, unghiul de la bază $\hat{N}=72°$. Află $\hat{M}$ și $\hat{P}$.

Rezolvare. Laturile congruente sunt $MN$ și $MP$, deci vârful este $M$, iar baza este $NP$. Unghiurile de la bază sunt $\hat{N}$ și $\hat{P}$, congruente: $$\hat{P}=\hat{N}=72°.$$ Pentru unghiul de la vârf: $$\hat{M}=180°-\hat{N}-\hat{P}=180°-72°-72°=180°-144°=36°.$$

Răspuns. $\hat{P}=72°$ și $\hat{M}=36°$.

Exemplul 3 — Recunoaștem triunghiul isoscel din unghiuri (reciproca)

Enunț. Triunghiul $RST$ are $\hat{R}=40°$ și $\hat{S}=40°$. Ce fel de triunghi este? Care laturi sunt congruente?

Rezolvare. Două unghiuri sunt egale ($\hat{R}=\hat{S}=40°$), deci, conform reciprocei, triunghiul este isoscel. Laturile congruente sunt cele opuse unghiurilor egale. Latura opusă lui $\hat{R}$ este $ST$, iar latura opusă lui $\hat{S}$ este $RT$. Prin urmare $ST=RT$, iar baza este $RS$ (latura dintre unghiurile egale). Verificare: al treilea unghi $\hat{T}=180°-40°-40°=100°$.

Răspuns. Triunghi isoscel cu $ST=RT$; baza $RS$; $\hat{T}=100°$.

Exemplul 4 — Folosim coincidența liniilor importante

Enunț. Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$. Din vârful $A$ ducem mediana $AD$ ($D\in BC$). Știind că $BC=18$ cm, află $BD$ și măsura unghiului $\widehat{ADB}$.

Rezolvare. $AD$ este mediană dusă din vârf, deci $D$ este mijlocul bazei: $$BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}.$$ Dar într-un triunghi isoscel mediana din vârf este și înălțime, deci $AD\perp BC$. Așadar: $$\widehat{ADB}=90°.$$

Răspuns. $BD=9$ cm și $\widehat{ADB}=90°$.

Observă cât de mult ne-a ajutat proprietatea: nu am avut nevoie de niciun calcul complicat ca să știm că unghiul este drept — am folosit direct faptul că mediana din vârf coincide cu înălțimea.

Exemplul 5 — Unghiul de la vârf este drept

Enunț. Triunghiul $DEF$ este isoscel cu $DE=DF$ și are unghiul de la vârf $\hat{D}=90°$. Cât măsoară fiecare unghi de la bază?

Rezolvare. $$\hat{E}=\hat{F}=b,90°+2b=180°\Rightarrow 2b=90°\Rightarrow b=45°.$$

Răspuns. $\hat{E}=\hat{F}=45°$. Un astfel de triunghi, isoscel cu unghi drept la vârf, se numește triunghi dreptunghic isoscel și apare des în probleme; îl vei reîntâlni în lecția Triunghiul dreptunghic. Proprietăți.

Exemplul 6 — Problemă cu perimetru

Enunț. Un triunghi isoscel are baza de $14$ cm, iar perimetrul de $50$ cm. Cât măsoară fiecare dintre laturile congruente?

Rezolvare. Notăm cu $\ell$ lungimea unei laturi congruente. Perimetrul este suma laturilor: $$P=\text{baza˘}+\ell +\ell =14+2\ell .$$ Din $14+2\ell =50$ obținem $2\ell =50-14=36$, deci $\ell =18$ cm. Verificare: $14+18+18=50$ cm. ✓ De asemenea, controlăm inegalitatea triunghiului (Inegalități între laturi): $18+18=36>14$, deci triunghiul există.

Răspuns. Fiecare latură congruentă are $18$ cm.

Exemplul 7 — Unghiul exterior ne ajută

Enunț. Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC$, iar unghiul exterior din vârful $A$ (unghiul format de o latură cu prelungirea celeilalte) măsoară $100°$. Află măsurile celor trei unghiuri ale triunghiului.

Rezolvare. Unghiul exterior și unghiul interior din același vârf sunt suplementare (împreună fac $180°$). Deci unghiul de la vârf este: $$\hat{A}=180°-100°=80°.$$ Unghiurile de la bază sunt egale, iar $v+2b=180°$: $$2b=180°-80°=100°\Rightarrow b=50°.$$

Există și un drum mai scurt, dacă îți amintești din lecția Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi teorema unghiului exterior: un unghi exterior al triunghiului este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente. Aici, unghiul exterior din $A$ este egal cu $\hat{B}+\hat{C}=2b$, deci $2b=100°$ și $b=50°$. Ajungem, firește, la același rezultat.

Răspuns. $\hat{A}=80°$, $\hat{B}=\hat{C}=50°$.

Exemplul 8 — Bisectoarea unui unghi de la bază

Enunț. Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC$ și $\hat{A}=40°$. Bisectoarea unghiului $\hat{B}$ taie latura $AC$ în punctul $M$. Cât măsoară unghiul $\widehat{AMB}$?

Rezolvare. Mai întâi aflăm unghiurile de la bază: $$\hat{B}=\hat{C}=\frac{180°-40°}{2}=\frac{140°}{2}=70°.$$ Bisectoarea înjumătățește unghiul $\hat{B}$, deci unghiul $\widehat{ABM}=70°:2=35°$. Acum lucrăm în triunghiul $ABM$, unde cunoaștem două unghiuri ($\hat{A}=40°$ și $\widehat{ABM}=35°$). Suma unghiurilor într-un triunghi este $180°$: $$\widehat{AMB}=180°-\hat{A}-\widehat{ABM}=180°-40°-35°=105°.$$

Răspuns. $\widehat{AMB}=105°$.

Observă tehnica: am pornit de la proprietatea unghiurilor de la bază, am folosit definiția bisectoarei, apoi suma unghiurilor într-un triunghi „mai mic" din interiorul figurii. Acest lanț de pași — fiecare justificat — este exact felul de raționament cerut la gimnaziu.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde se cere. Justifică pașii — la geometrie, răspunsul „gol", fără explicație, valorează puțin.

1. Completează: Un triunghi este isoscel dacă are ………… laturi congruente. Latura a treia se numește ………… .

2. În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, cum se numește unghiul $\hat{A}$? Dar unghiurile $\hat{B}$ și $\hat{C}$?

3. Adevărat sau fals? Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt întotdeauna egale.

4. Adevărat sau fals? Bisectoarea, înălțimea și mediana duse din oricare vârf al unui triunghi isoscel coincid.

5. Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC$ și $\hat{A}=80°$. Află $\hat{B}$ și $\hat{C}$.

6. Într-un triunghi isoscel, un unghi de la bază are $55°$. Cât are unghiul de la vârf?

7. Triunghiul $PQR$ are $\hat{P}=70°$ și $\hat{Q}=70°$. Ce fel de triunghi este și care laturi sunt congruente?

8. Triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ are baza $BC=24$ cm. Din $A$ ducem mediana $AD$. Cât este $BD$? Cât este unghiul $\widehat{ADC}$?

9. Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de $100°$. Află măsura unghiurilor de la bază.

10. Încercuiește varianta corectă. Într-un triunghi isoscel, laturile congruente se numesc: a) baze; b) laturi laterale (brațe); c) înălțimi.

11. Un triunghi isoscel are perimetrul $42$ cm și fiecare latură congruentă de $15$ cm. Cât măsoară baza?

12. Potrivește fiecare element (coloana stângă) cu descrierea lui (coloana dreaptă), pentru un triunghi isoscel $ABC$ cu $AB=AC$:

• A. baza
• B. vârful
• C. unghi de la vârf
• D. unghiuri de la bază

1. punctul $A$; 2) latura $BC$; 3) unghiul $\hat{A}$; 4) unghiurile $\hat{B}$ și $\hat{C}$.

13. Desenează un triunghi isoscel cu $AB=AC$ și trasează din $A$ dreapta care este în același timp bisectoare, înălțime și mediană. Marchează unghiul drept și mijlocul bazei.

14. În triunghiul isoscel $MNP$ cu $MN=MP$, înălțimea din $M$ cade în punctul $H$ pe $NP$. Dacă $NP=30$ cm, cât este $NH$? Justifică.

15. Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de trei ori mai mare decât un unghi de la bază. Află toate unghiurile triunghiului.

16. Triunghiul isoscel $ABC$ ($AB=AC$) are $\hat{B}=2\cdot \hat{A}$. Află măsurile tuturor unghiurilor. (Indicație: $\hat{B}=\hat{C}$.)

17. Adevărat sau fals? Orice triunghi echilateral este și isoscel. Dar reciproca: orice triunghi isoscel este echilateral?

18. Mică problemă. Un steag în formă de triunghi isoscel are baza de $40$ cm și fiecare latură congruentă de $52$ cm. Croitorul coase un fir de bordură de jur împrejur. Câți centimetri de fir îi trebuie? (Calculează perimetrul.)

19. Triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ are unghiul exterior din vârful $A$ egal cu $120°$. Află măsurile tuturor unghiurilor triunghiului. Ce observi despre triunghi?

20. Un triunghi isoscel are perimetrul de $36$ cm, iar baza este cu $6$ cm mai mică decât o latură congruentă. Află lungimile celor trei laturi. (Indicație: notează latura congruentă cu $\ell$; baza este $\ell -6$.)

21. În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, unghiul $\hat{C}=64°$. Află $\hat{B}$ și $\hat{A}$.

22. Un triunghi isoscel are un unghi de $100°$. Câte cazuri sunt posibile pentru poziția acestui unghi (la vârf sau la bază)? Determină măsurile celor trei unghiuri. (Indicație: ce s-ar întâmpla dacă $100°$ ar fi un unghi de la bază?)

Răspunsuri și explicații

1. două laturi congruente; a treia se numește bază.

2. $\hat{A}$ este unghiul de la vârf; $\hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt unghiurile de la bază.

3. Adevărat. Este chiar proprietatea de bază: laturi congruente → unghiuri de la bază congruente.

4. Fals. Coincid doar liniile duse din vârf (unghiul dintre laturile egale). Din vârfurile de la bază, ele sunt drepte diferite.

5. $2b=180°-80°=100°$, deci $\hat{B}=\hat{C}=50°$.

6. Unghiurile de la bază sunt egale: ambele au $55°$. Vârful: $180°-55°-55°=180°-110°=70°$.

7. Două unghiuri egale ($70°$) → triunghi isoscel (reciproca). Laturile congruente sunt cele opuse unghiurilor egale: $QR=PR$ (baza $PQ$). Al treilea unghi: $\hat{R}=180°-140°=40°$.

8. Mediana din vârf cade în mijlocul bazei: $BD=24:2=12$ cm. Ea este și înălțime, deci $AD\perp BC$ și $\widehat{ADC}=90°$.

9. $2b=180°-100°=80°$, deci fiecare unghi de la bază are $40°$.

10. b) laturi laterale (brațe).

11. $P=\text{baza˘}+2\cdot 15$, deci $42=\text{baza˘}+30$, de unde baza $=42-30=12$ cm.

12. A–2 (baza = $BC$); B–1 (vârful = $A$); C–3 (unghi de la vârf = $\hat{A}$); D–4 (unghiuri de la bază = $\hat{B},\hat{C}$).

13. Desen: triunghi isoscel cu vârful sus; din $A$ cobori un segment $AD$ care întâlnește baza în mijloc ($BD=DC$), formând unghi drept cu baza. Acel segment este simultan bisectoare, înălțime și mediană. (Verifică desenul cu rigla și echerul.)

14. Înălțimea din vârf (din $M$) coincide cu mediana, deci $H$ este mijlocul bazei: $NH=30:2=15$ cm. Justificare: în triunghiul isoscel $MNP$ cu $MN=MP$, linia din vârful $M$ este și mediană, deci cade la mijlocul lui $NP$.

15. Fie unghiul de la bază $b$; vârful este $3b$. Avem $b+b+3b=180°$, adică $5b=180°$, deci $b=36°$. Unghiurile sunt $36°,36°$ (baza) și $3\cdot 36°=108°$ (vârful). Verificare: $36+36+108=180$. ✓

16. Notăm $\hat{A}=x$ (vârf). Atunci $\hat{B}=\hat{C}=2x$. Suma: $x+2x+2x=180°$, adică $5x=180°$, deci $x=36°$. Rezultă $\hat{A}=36°$, $\hat{B}=\hat{C}=72°$.

17. Orice echilateral e isoscel? Adevărat — având toate laturile egale, are și două egale. Orice isoscel e echilateral? Fals — un triunghi isoscel poate avea baza diferită de laturile congruente.

18. Perimetrul $=40+52+52=144$ cm de fir.

19. Unghiul interior din $A$ este $180°-120°=60°$. Atunci $2b=180°-60°=120°$, deci fiecare unghi de la bază are $60°$. Toate trei unghiurile au $60°$ — triunghiul este de fapt echilateral (un caz particular de triunghi isoscel)!

20. Fie $\ell$ latura congruentă; baza este $\ell -6$. Perimetrul: $\ell +\ell +(\ell -6)=3\ell -6=36$, deci $3\ell =42$ și $\ell =14$ cm. Baza $=14-6=8$ cm. Laturile sunt $14,14,8$ cm. Verificare cu inegalitatea triunghiului: $14+14=28>8$ și $14+8=22>14$. ✓

21. Laturile congruente sunt $AB$ și $AC$, deci unghiurile de la bază sunt $\hat{B}$ și $\hat{C}$, egale: $\hat{B}=\hat{C}=64°$. Vârful: $\hat{A}=180°-64°-64°=52°$.

22. Dacă $100°$ ar fi un unghi de la bază, atunci și celălalt unghi de la bază ar avea $100°$, iar suma lor singură ar fi $200°>180°$ — imposibil. Așadar $100°$ poate fi doar unghiul de la vârf. Există un singur caz: vârful $=100°$, iar unghiurile de la bază au fiecare $\frac{180°-100°}{2}=40°$.

De reținut

• Triunghiul isoscel are două laturi congruente (brațele); a treia latură este baza, iar unghiul dintre brațe este unghiul de la vârf.
• Unghiurile de la bază sunt congruente. Reciproc: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, triunghiul este isoscel (laturile egale sunt opuse unghiurilor egale).
• În orice triunghi isoscel: $v+2b=180°$, unde $v$ este unghiul de la vârf și $b$ un unghi de la bază.
• Din vârf, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea bazei coincid — sunt o singură dreaptă care lovește baza la mijloc și sub unghi drept.
• Coincidența liniilor importante are loc numai pentru linia din vârf, nu și pentru cele din unghiurile de la bază.

Greșeli frecvente

• Confunzi baza cu o latură laterală. Baza este latura dintre cele două laturi congruente, indiferent dacă pe desen e jos sau întoarsă. Caută întâi cele două laturi cu liniuțe egale; latura rămasă este baza.
• Crezi că liniile importante coincid din orice vârf. Coincidența este doar pentru dreapta dusă din vârful dintre laturile egale. Din vârfurile de la bază, bisectoarea, înălțimea și mediana sunt diferite.
• Greșești care unghiuri sunt egale. Egale sunt unghiurile de la bază, nu unghiul de la vârf cu unul de la bază. Ține minte: laturilor egale le corespund unghiurile opuse lor, care sunt cele de la bază.
• Uiți să împarți la 2. Când afli din $v+2b=180°$ valoarea lui $2b$, mai ai un pas: împarte la $2$ ca să găsești un singur unghi de la bază. Mulți scriu direct $2b$ ca răspuns final.

Joc acasă

1. Pliază și descoperă. Decupează din carton un triunghi isoscel (taie două laturi de aceeași lungime, măsurate cu rigla). Îndoaie-l aducând o latură congruentă peste cealaltă. Observă cum cele două unghiuri de la bază se suprapun perfect — ai „demonstrat" cu mâinile că sunt egale. Linia de îndoire este chiar dreapta care e bisectoare, înălțime și mediană în același timp.

2. Vânătoarea de triunghiuri isoscele. Plimbă-te prin casă și prin oraș (cu un adult) și fotografiază sau notează 5 obiecte care au formă de triunghi isoscel: un umeraș, un acoperiș, un semn rutier, o felie de pizza tăiată simetric, suportul unui laptop. Pentru fiecare, indică unde sunt laturile congruente și unde este baza.

3. Constructorul de unghiuri. Pe o foaie, desenează cu raportorul un unghi de la vârf la alegere (de exemplu $40°$). Calculează cât trebuie să aibă unghiurile de la bază, apoi construiește triunghiul isoscel și verifică cu raportorul că ai nimerit valorile calculate. E un mod de a-ți controla singur calculele.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează două idei-cheie: proprietatea unghiurilor de la bază și coincidența liniilor importante duse din vârf. Sunt rezultate pe care elevul le va folosi constant în problemele de geometrie de gimnaziu și la Evaluarea Națională.

Cum predați pas cu pas. Începeți de la o experiență concretă (plierea triunghiului de hârtie din secțiunea „Joc acasă") înainte de a enunța teorema. Vizualul fixează ideea mai bine decât formula. Apoi treceți la relația $v+2b=180°$ și exersați în ambele sensuri: dat vârful → aflăm baza, dat un unghi de la bază → aflăm vârful.

Întrebări bune de pus:

• „Arată-mi pe desen baza și laturile congruente. De unde știi care e baza?"
• „Dacă unghiul de la vârf crește, ce se întâmplă cu unghiurile de la bază? De ce?" (răspuns: scad, fiindcă suma rămâne $180°$).
• „De ce mediana din vârf este și înălțime? Poți să-mi spui cu propriile cuvinte?"

Cum verificați înțelegerea. Cereți copilului să rezolve exercițiile 5, 8 și 15 explicând cu voce tare fiecare pas. Dacă justifică de ce $\widehat{ADB}=90°$ folosind coincidența liniilor (nu prin „așa scrie"), a înțeles esența. O greșeală tipică de urmărit: uită să împartă la $2$ (vezi „Greșeli frecvente").

Sprijin diferențiat. Pentru elevii mai siguri, propuneți problema 16 (unghi exprimat în funcție de altul) și discutați legătura cu lecția Triunghiul echilateral. Pentru cei care au nevoie de consolidare, rămâneți la exercițiile 1–11, cu desen pentru fiecare.

Întrebări frecvente

Ce este un triunghi isoscel, pe scurt? Este un triunghi care are două laturi de aceeași lungime (laturile congruente sau „brațele"). A treia latură se numește bază, iar unghiurile așezate pe ea, unghiurile de la bază, sunt egale între ele.

Care sunt proprietățile triunghiului isoscel la clasa a VI-a? Două proprietăți esențiale: (1) unghiurile de la bază sunt congruente; (2) dreapta dusă din vârf este în același timp bisectoare, înălțime, mediană și mediatoarea bazei. Din ele se deduc rapid multe rezultate despre unghiuri și lungimi.

De ce sunt egale unghiurile de la baza triunghiului isoscel? Pentru că, ducând bisectoarea din vârf, triunghiul se împarte în două triunghiuri congruente (criteriul LUL). Elementele corespondente fiind egale, rezultă că unghiurile de la bază au aceeași măsură. Practic, triunghiul este simetric față de dreapta din vârf.

Cum aflu unghiurile unui triunghi isoscel dacă știu doar unul? Folosește relația $v+2b=180°$, unde $v$ este unghiul de la vârf și $b$ un unghi de la bază. Dacă știi vârful, scazi din $180°$ și împarți la $2$ ca să afli un unghi de la bază; dacă știi un unghi de la bază, îl dublezi și scazi din $180°$ pentru vârf.

Bisectoarea, înălțimea și mediana coincid mereu în triunghiul isoscel? Coincid doar atunci când sunt duse din vârf, adică din unghiul dintre cele două laturi congruente. Din celelalte două vârfuri (de la bază), aceste trei linii sunt drepte diferite, ca la orice triunghi obișnuit.

Care este diferența dintre triunghiul isoscel și cel echilateral? Triunghiul isoscel are cel puțin două laturi egale, iar cel echilateral are toate trei laturile egale. Așadar, orice triunghi echilateral este și isoscel, dar un triunghi isoscel nu este neapărat echilateral.

Unde este baza la un triunghi isoscel? Baza este latura cuprinsă între cele două laturi congruente, adică latura „de jos" în desenul tipic, opusă vârfului. Pe figură o recunoști căutând întâi cele două laturi marcate cu liniuțe egale: latura rămasă este baza.

Poate un triunghi isoscel să fie dreptunghic? Da. Dacă unghiul de la vârf are $90°$, atunci fiecare unghi de la bază are $45°$, iar triunghiul se numește dreptunghic isoscel. Este un caz foarte des întâlnit în probleme și la examen.