Un punct are coordonatele $$(-3, 5)$$ într-un reper cu $$Ox$$ spre est și $$Oy$$ spre nord. Cum se descrie corect poziția lui față de origine?

$$3$$ unități vest și $$5$$ unități nord, în cadranul II (nord-vest)

$$3$$ unități est și $$5$$ unități nord, în cadranul I (nord-est)

$$3$$ unități vest și $$5$$ unități sud, în cadranul III (sud-vest)

$$5$$ unități vest și $$3$$ unități nord, în cadranul II (nord-vest)

Un telefon afișează pentru o poziție: latitudine $$45°$$, longitudine $$26°$$. Cum transpui corect această poziție într-un reper cartezian $$(x, y)$$, cu $$x$$ abscisa și $$y$$ ordonata?

$$x=26$$ (longitudinea), $$y=45$$ (latitudinea)

$$x=45$$ (latitudinea), $$y=26$$ (longitudinea)

$$x=y=\dfrac{45+26}{2}=35{,}5$$

Nu se poate face translația fără alte date suplimentare

Într-un cartier cu străzi în caroiaj, de la casă la magazin ai $$\Delta x=6$$ unități și $$\Delta y=8$$ unități. Care este relația corectă?

Distanța directă este $$10$$ unități, iar drumul pe străzi este $$14$$ unități — drumul e mai lung

Distanța directă este $$14$$ unități, iar drumul pe străzi este $$10$$ unități

Cele două distanțe sunt mereu egale, indiferent de traseu

Distanța directă este $$10$$ unități, la fel ca drumul pe străzi, pentru că ambele pornesc din același punct

Cum aleg reperul într-o problemă practică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Coordonate practice: orientare și hărți

Alegi tu originea și scrii explicit unde se află, de obicei într-un punct-cheie al problemei. Convenția obișnuită pune axa orizontală spre est și pe cea verticală spre nord, iar unitatea se ia astfel încât coordonatele să iasă numere întregi. Semnele devin atunci direcții: pozitiv pe orizontală înseamnă est, negativ înseamnă vest, iar pe verticală pozitiv înseamnă nord. Fără aceste precizări scrise, rezultatele nu se pot verifica.

Lecția aplică geometria analitică unor situații reale: un cartier, o hartă, un teren. Reperul nu este dat, ci ales: originea se pune într-un punct-cheie, iar convenția universală este $O x$ spre est și $O y$ spre nord; unitatea se alege astfel încât coordonatele să iasă întregi (de exemplu $1$ u $= 100$ m). Un punct se scrie $A (x_{A}, y_{A})$ , cu abscisa întâi; ordinea nu se inversează niciodată. Semnele coordonatelor devin direcții cardinale: $x > 0$ înseamnă est, $x < 0$ vest, $y > 0$ nord, $y < 0$ sud, iar cele patru cadrane primesc nume de busolă (cadranul I = nord-est, II = nord-vest, III = sud-vest, IV = sud-est). O deplasare din $A$ în $B$ se descompune în $Δ x = x_{B} - x_{A}$ și $Δ y = y_{B} - y_{A}$ ; distanța în linie dreaptă este $A B = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ , iar drumul „pe străzi”, în caroiaj, este $∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣$ , mereu mai mare (afară de cazuri speciale). Pe o hartă cu scară $1 : k$ , distanța reală se obține înmulțind distanța măsurată pe hartă cu $k$ , abia la final, o singură dată. Punctul aflat la jumătatea unui traseu direct este mijlocul segmentului, $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Atenție: coordonatele GPS afișează latitudinea (nord–sud) înaintea longitudinii (est–vest) — ordine inversă față de convenția matematică.

De reținut

originea, sensul axelor și unitatea se scriu explicit
distanța directă: $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ ; drumul în caroiaj: $∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣$
la scara $1 : k$ , distanța reală se obține înmulțind cu $k$

Greșeala tipică

Pentru „ $300$ de metri est și $400$ de metri nord” se scrie perechea $(4, 3)$ , cu direcțiile amestecate. Abscisa măsoară deplasarea est-vest, deci notarea corectă este $(3, 4)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un punct are coordonatele $(- 3, 5)$ într-un reper cu $O x$ spre est și $O y$ spre nord. Cum se descrie corect poziția lui față de origine?
- a) $3$ unități vest și $5$ unități nord, în cadranul II (nord-vest)
- b) $3$ unități est și $5$ unități nord, în cadranul I (nord-est)
- c) $3$ unități vest și $5$ unități sud, în cadranul III (sud-vest)
- d) $5$ unități vest și $3$ unități nord, în cadranul II (nord-vest)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$ unități vest și $5$ unități nord, în cadranul II (nord-vest)

Abscisa $x = - 3 < 0$ înseamnă $3$ unități spre **vest**, iar ordonata $y = 5 > 0$ înseamnă $5$ unități spre nord — punctul e în cadranul II (nord-vest). Varianta b ignoră semnul minus al abscisei, tratând-o ca și cum ar fi pozitivă (est în loc de vest). Varianta c ignoră semnul plus al ordonatei, citind-o ca sud în loc de nord. Varianta d inversează abscisa cu ordonata — o greșeală frecventă explicit semnalată în lecție: abscisa e mereu prima coordonată și măsoară deplasarea est–vest, nu nord–sud.
Un telefon afișează pentru o poziție: latitudine $45°$ , longitudine $26°$ . Cum transpui corect această poziție într-un reper cartezian $(x, y)$ , cu $x$ abscisa și $y$ ordonata?
- a) $x = 26$ (longitudinea), $y = 45$ (latitudinea)
- b) $x = 45$ (latitudinea), $y = 26$ (longitudinea)
- c) $x = y = \frac{45 + 26}{2} = 35, 5$
- d) Nu se poate face translația fără alte date suplimentare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 26$ (longitudinea), $y = 45$ (latitudinea)

GPS-ul afișează coordonatele în ordine inversă față de convenția matematică: întâi latitudinea (nord–sud), apoi longitudinea (est–vest). Ca să obții perechea $(x, y)$ obișnuită, longitudinea devine abscisă, iar latitudinea devine ordonată: $x = 26$ , $y = 45$ . Varianta b păstrează ordinea afișată de telefon (latitudine întâi) și o pune direct ca abscisă — exact capcana descrisă în lecție. Varianta c inventează o medie fără sens; coordonatele nu se combină niciodată așa. Varianta d e greșită: transpunerea se face direct, cunoscând doar regula de inversare a ordinii.
Într-un cartier cu străzi în caroiaj, de la casă la magazin ai $Δ x = 6$ unități și $Δ y = 8$ unități. Care este relația corectă?
- a) Distanța directă este $10$ unități, iar drumul pe străzi este $14$ unități — drumul e mai lung
- b) Distanța directă este $14$ unități, iar drumul pe străzi este $10$ unități
- c) Cele două distanțe sunt mereu egale, indiferent de traseu
- d) Distanța directă este $10$ unități, la fel ca drumul pe străzi, pentru că ambele pornesc din același punct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Distanța directă este $10$ unități, iar drumul pe străzi este $14$ unități — drumul e mai lung

Distanța directă (în linie dreaptă) este $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ , iar drumul pe străzi, în caroiaj, este $∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣ = 6 + 8 = 14$ ; ipotenuza e mereu mai scurtă decât suma catetelor. Varianta b inversează cele două valori. Variantele c și d ignoră exact diferența pe care o subliniază lecția — suma catetelor este mereu mai mare sau egală cu ipotenuza, niciodată mai mică; „drumul pe jos” nu coincide cu distanța directă decât dacă traseul e chiar un segment (o singură variație nenulă).

Întrebări conexe

De ce se preferă o unitate care dă coordonate întregi?

Pentru că numerele întregi se scriu și se verifică mai ușor, iar desenul iese curat. Dacă distanțele reale sunt de ordinul sutelor de metri, se alege o unitate de $100$ de metri, iar la final se revine la unitățile din enunț.

Cum scriu deplasarea dintre două locuri cu ajutorul coordonatelor?

O descompui în două numere: cât te muți pe orizontală și cât pe verticală, fiecare cu semnul lui. Din $A (2, 1)$ în $B (5, 7)$ deplasarea este $3$ spre est și $6$ spre nord. Ele se citesc ca diferențe între coordonatele corespunzătoare.

Cum verific dacă un traseu prin caroiaj are lungimea cea mai mică?

Aduni deplasarea pe orizontală cu cea pe verticală, amândouă luate în modul. Orice drum care nu se întoarce niciodată înapoi are exact această lungime, oricâte cotituri ar avea. Un drum mai lung înseamnă că undeva s-a mers în direcția greșită.

Cum trec de la unitățile din desen la metri?

Înmulțești rezultatul cu valoarea unei unități, o singură dată, la final. Dacă o unitate înseamnă $100$ de metri, o distanță de $5$ unități devine $500$ de metri. Înmulțirea făcută la fiecare pas duce la greșeli și la calcule inutile.

Ce cadran corespunde direcției sud-vest?

Al treilea, unde amândouă coordonatele sunt negative. Cadranul întâi este nord-est, al doilea nord-vest, iar al patrulea sud-est. Traducerea aceasta ajută să verifici rapid dacă un rezultat are sens pe hartă.

Ce înseamnă o scară de 1 la 25000 pe o hartă?

Că o unitate măsurată pe hartă corespunde la $25000$ de unități în teren. Un centimetru de pe hartă înseamnă așadar $250$ de metri. Înmulțirea cu numărul din scară se face o singură dată, după ce ai terminat calculul pe desen.

Oamenii mai întreabă și: reper într-o problemă practică · coordonate pe hartă · distanța reală de pe hartă · drum pe străzi față de linie dreaptă · orientare cu puncte cardinale