Plane paralele

Uită-te la un raft de bibliotecă: fiecare poliță este o bucată de plan, iar polițele „merg" una peste alta fără să se atingă vreodată, oricât le-ai prelungi imaginar. La fel se comportă tavanul și podeaua camerei tale, sau cele două fețe opuse ale unei cutii de pantofi. Toate acestea sunt modele de plane paralele — plane care nu au niciun punct comun. În această lecție vei învăța cum recunoști două plane paralele, cum demonstrezi riguros paralelismul cu ajutorul criteriului și ce se întâmplă când un al treilea plan taie două plane paralele. Este o temă care apare des la Evaluarea Națională, în probleme cu paralelipipedul, prisma sau piramida, unde o scurtă justificare de paralelism deschide drumul spre calculul unei arii, al unui volum sau al unei distanțe.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești ce înseamnă că două plane sunt paralele și să deosebești paralelismul de intersecția a două plane.
• Vei ști că două plane pot avea doar două poziții relative și să le recunoști după numărul de puncte comune.
• Vei ști să aplici criteriul de paralelism al planelor pentru a demonstra, pas cu pas, că două plane sunt paralele.
• Vei ști să folosești proprietatea secțiunilor: un plan care taie două plane paralele le intersectează după drepte paralele.
• Vei ști să recunoști și să justifici paralelismul planelor pe cub, paralelipiped și prismă, redactând îngrijit, ca la examen.

Hai să descoperim împreună

1. De la o dreaptă și un plan, la două plane

În lecția anterioară, dreaptă paralelă cu un plan, ai studiat pozițiile unei drepte față de un plan. Acum urcăm cu un nivel: studiem pozițiile a două plane unul față de celălalt. Vei vedea că multe rezultate se sprijină direct pe ce ai învățat despre paralelismul dreaptă–plan, așa că merită să ai lecția precedentă proaspătă în minte.

Un plan este o suprafață plată, perfect netedă, care se întinde nemărginit în toate direcțiile. În desen îl reprezentăm printr-un paralelogram, dar el nu are margini: paralelogramul e doar o „fereastră" prin care privim planul infinit. De aceea, când comparăm două plane, întrebarea-cheie este aceeași ca la drepte: câte puncte comune au?

2. Cele două poziții relative a două plane

Spre deosebire de o dreaptă și un plan (care aveau trei poziții posibile), două plane distincte din spațiu se pot afla în doar două poziții:

Cazul 1 — planele sunt secante (se intersectează). Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă întreagă de puncte comune. Nu pot avea în comun „doar un punct" — dacă se ating într-un punct, se ating de-a lungul unei întregi drepte. Scriem $\alpha \cap \beta =d$, unde $d$ este dreapta lor comună (numită dreaptă de intersecție sau muchie).

Cazul 2 — planele sunt paralele. Cele două plane nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi. Scriem $\alpha \parallel \beta$.

Reține deci un lucru important care surprinde adesea elevii: la două plane nu există cazul „un singur punct comun". O dreaptă putea străpunge un plan într-un punct, dar două plane, dacă se ating, se ating pe o dreaptă întreagă. Așadar: ori zero puncte comune (paralele), ori o dreaptă întreagă de puncte comune (secante).

3. Definiția planelor paralele

Definiție. Două plane $\alpha$ și $\beta$ se numesc paralele dacă nu au niciun punct comun. Notăm $\alpha \parallel \beta$.

Modelele din jurul tău sunt numeroase: podeaua și tavanul unei camere, cele două baze ale unei cutii, două trepte consecutive ale unei scări, două rafturi ale unei biblioteci, fața de sus și fața de jos ale unui telefon. În toate aceste cazuri, cele două suprafețe plane se „însoțesc" una pe alta la o distanță constantă, fără să se întâlnească niciodată.

O observație utilă, pe care o vom folosi: dacă $\alpha \parallel \beta$, atunci orice dreaptă dintr-un plan este paralelă cu celălalt plan. Într-adevăr, o dreaptă din $\alpha$ nu poate avea niciun punct în $\beta$ (fiindcă $\alpha$ și $\beta$ nu au puncte comune), deci nu are ce să atingă în $\beta$ — este paralelă cu el.

4. Problema: cum demonstrăm că două plane sunt paralele?

Definiția e limpede, dar are același neajuns practic ca la drepte: cum arăți că niciun punct al planului $\alpha$ nu se află în planul $\beta$, când ambele se întind la infinit? Nu putem verifica punct cu punct. Ne trebuie un instrument care să reducă paralelismul plan–plan (greu de verificat) la ceva ușor de recunoscut. Acest instrument este criteriul de paralelism al planelor, iar el se sprijină pe criteriul dreaptă–plan din lecția anterioară.

5. Criteriul de paralelism al planelor

Criteriul de paralelism al planelor. Dacă un plan $\beta$ conține două drepte concurente $a$ și $b$, ambele paralele cu planul $\alpha$, atunci planul $\beta$ este paralel cu planul $\alpha$.

Pe scurt: dacă $a,b\subset \beta$, $a\cap b=\{P\}$, $a\parallel \alpha$ și $b\parallel \alpha$, atunci $\alpha \parallel \beta$.

Cuvântul cel mai important din acest criteriu este concurente. Cele două drepte $a$ și $b$ din planul $\beta$ trebuie să se intersecteze (să aibă un punct comun $P$). Dacă ar fi paralele între ele, criteriul nu ar mai funcționa. Să înțelegem de ce — aici e miezul lecției.

6. De ce este esențial ca dreptele să fie concurente

Să presupunem, greșit, că ar fi suficiente două drepte paralele din $\beta$, ambele paralele cu $\alpha$. Arătăm că această condiție e prea slabă.

Imaginează-ți că planul $\beta$ chiar taie planul $\alpha$ după o dreaptă $\ell$ (deci $\beta$ nu e paralel cu $\alpha$). Ia acum, în planul $\beta$, o dreaptă $a$ paralelă cu $\ell$. Această dreaptă $a$ nu poate atinge planul $\alpha$ decât cel mult pe dreapta $\ell$ (fiindcă $\alpha$ și $\beta$ se ating doar pe $\ell$), dar $a\parallel \ell$, deci $a$ nu întâlnește $\ell$ — prin urmare $a$ este paralelă cu $\alpha$! La fel, orice dreaptă din $\beta$ paralelă cu $\ell$ este paralelă cu $\alpha$. Avem astfel o infinitate de drepte din $\beta$, toate paralele între ele și toate paralele cu $\alpha$ — și totuși $\beta$ taie $\alpha$, deci planele nu sunt paralele.

Concluzia: paralelismul cu două drepte paralele între ele nu garantează nimic. Trebuie ca dreptele să fie concurente, adică să „prindă" două direcții diferite din planul $\beta$. Două direcții diferite fixează complet „înclinarea" planului: dacă amândouă sunt paralele cu $\alpha$, atunci întregul plan $\beta$ „stă la fel" ca $\alpha$ și nu-l poate intersecta. Reține această idee — este cea mai frecventă capcană la acest capitol.

7. Cum se aplică, de fapt, criteriul — două straturi de raționament

Demonstrația că $\alpha \parallel \beta$ este, în realitate, o aplicație în doi pași a paralelismului, care leagă lecția aceasta de cea precedentă:

• Stratul interior (dreaptă–plan): arăți că fiecare dintre cele două drepte concurente $a$ și $b$ este paralelă cu planul $\alpha$. Aici folosești criteriul dreaptă–plan din lecția dreaptă paralelă cu un plan: găsești în $\alpha$ câte o dreaptă paralelă cu $a$, respectiv cu $b$.
• Stratul exterior (plan–plan): odată ce ai $a\parallel \alpha$ și $b\parallel \alpha$, cu $a$ și $b$ concurente în $\beta$, criteriul planelor se aprinde și dă $\alpha \parallel \beta$.

Când redactezi la examen, e bine să faci vizibile ambele straturi. Vei vedea imediat, pe cub, cum arată această „scară" de raționament.

8. Paralelismul bazelor pe cub și paralelipiped

Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu fața de jos $ABCD$ și fața de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (vârful $A^{\prime }$ deasupra lui $A$, $B^{\prime }$ deasupra lui $B$ ș.a.m.d.). Vrem să demonstrăm ceea ce „se vede" — că fața de sus este paralelă cu fața de jos: $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$.

Alegem în planul feței de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ două drepte concurente: muchiile $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$, care se întâlnesc în vârful $A^{\prime }$.

Stratul interior — arătăm că fiecare e paralelă cu fața de jos:

• Fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Cum $AB\subset (ABCD)$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, din criteriul dreaptă–plan rezultă $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
• Fața $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, deci $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$. Cum $AD\subset (ABCD)$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, rezultă $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (ABCD)$.

Stratul exterior — aplicăm criteriul planelor:

Dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt concurente (se întâlnesc în $A^{\prime }$), sunt conținute în planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și ambele sunt paralele cu planul $(ABCD)$. Conform criteriului de paralelism al planelor, $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$. $■$

Exact la fel se demonstrează pentru paralelipipedul dreptunghic, unde fețele sunt dreptunghiuri (nu neapărat pătrate): laturile opuse ale unui dreptunghi sunt tot paralele, deci raționamentul rămâne identic. Reține tiparul general:

La cub, paralelipiped și prismă, cele două baze sunt plane paralele. La fel, fețele laterale opuse ale unui paralelipiped dreptunghic sunt plane paralele.

9. Proprietatea secțiunilor: un plan taie două plane paralele

Am văzut cum obținem paralelismul a două plane. Următoarea proprietate ne spune ce se întâmplă când tăiem două plane paralele cu un al treilea plan — și este extrem de utilă în probleme, pentru că produce drepte paralele.

Proprietatea secțiunilor. Dacă două plane paralele $\alpha$ și $\beta$ sunt tăiate de un al treilea plan $\gamma$, atunci dreptele de intersecție sunt paralele între ele.

Adică: din $\alpha \parallel \beta$, $\gamma \cap \alpha =a$ și $\gamma \cap \beta =b$, rezultă $a\parallel b$.

De ce sunt $a$ și $b$ paralele? Trebuie două lucruri, nu unul singur:

1. $a$ și $b$ sunt coplanare: ambele se află în planul $\gamma$ (sunt urmele lăsate de $\gamma$). Deci sunt două drepte în același plan.
2. $a$ și $b$ nu se pot intersecta: dreapta $a$ este în planul $\alpha$, iar dreapta $b$ este în planul $\beta$. Cum $\alpha$ și $\beta$ nu au niciun punct comun (sunt paralele), nici $a$ și $b$ nu pot avea vreun punct comun.

Două drepte care sunt în același plan ($\gamma$) și care nu se întâlnesc sunt, prin definiție, paralele. Prin urmare $a\parallel b$. Atenție: „nu se întâlnesc" nu ar fi fost suficient de unul singur (în spațiu, două drepte pot să nu se întâlnească fiind necoplanare); tocmai coplanaritatea, dată de planul $\gamma$, transformă neîntâlnirea în paralelism.

Această proprietate explică un fapt pe care îl „vedeai" deja: dacă tai un cub sau un paralelipiped cu un plan care întâlnește două fețe paralele, cele două urme de tăiere sunt segmente paralele. Vom folosi mult acest lucru la lecția următoare, secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice.

10. Alte proprietăți utile ale planelor paralele

Câteva rezultate pe care e bine să le ai la îndemână (le vei folosi în probleme și le poți enunța la examen):

• Unicitate. Printr-un punct exterior unui plan trece exact un plan paralel cu planul dat. (Așa cum, în plan, printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă.)
• Tranzitivitate. Dacă $\alpha \parallel \beta$ și $\beta \parallel \gamma$, atunci $\alpha \parallel \gamma$. Două plane paralele cu un al treilea sunt paralele între ele.
• Dreapta care traversează. Dacă o dreaptă taie unul dintre două plane paralele, atunci îl taie și pe celălalt. (Nu poate „scăpa" printre ele.)
• Distanță constantă. Distanța dintre două plane paralele este aceeași în orice punct — cele două plane sunt „la fel de depărtate" peste tot. Această idee o vei dezvolta la lecția despre distanțe în spațiu; aici e suficient să reții că paralelismul planelor înseamnă și depărtare constantă.

11. Cum redactezi corect o demonstrație de paralelism al planelor

La Evaluarea Națională, punctajul se dă pe pași justificați. Pentru a arăta că două plane sunt paralele, urmează mereu aceeași structură:

1. Aleg în unul dintre plane două drepte concurente: „În fața $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ iau muchiile $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$, concurente în $A^{\prime }$."
2. Arăt că fiecare e paralelă cu celălalt plan (aplicând criteriul dreaptă–plan): „$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB\subset (ABCD)$, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$; analog $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD\subset (ABCD)$, deci $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (ABCD)$."
3. Aplic criteriul planelor, subliniind concurența: „Cum $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt concurente în $A^{\prime }$ și ambele paralele cu $(ABCD)$, rezultă $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$."

Nu uita niciodată să scrii explicit că dreptele sunt concurente — este condiția pe care corectorul o caută. Trecem acum la exemple lucrate integral.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoașterea poziției (definiție)

Enunț. Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Stabilește dacă următoarele perechi de plane sunt paralele sau secante; la cele secante, indică dreapta de intersecție. (a) $(ABCD)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; (b) $(ABCD)$ și $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; (c) $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Rezolvare.

(a) Fața de jos și fața de sus nu au niciun punct comun — sunt paralele: $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

(b) Fața de jos și fața din față au în comun muchia $AB$ (o dreaptă întreagă). Sunt secante, cu dreapta de intersecție $AB$: $(ABCD)\cap (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })=AB$.

(c) Fața din față $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și fața din spate $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt fețe opuse ale cubului — nu au niciun punct comun, deci sunt paralele: $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Exemplul 2 — demonstrația paralelismului bazelor pe paralelipiped

Enunț. Fie paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Demonstrează, redactând complet, că $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Rezolvare. Alegem în planul $(ABCD)$ două drepte concurente: muchiile $AB$ și $AD$, concurente în $A$.

1. Fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Cum $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $AB\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, din criteriul dreaptă–plan: $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
2. Fața $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$. Cum $A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $AD\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, rezultă $AD\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
3. Dreptele $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și ambele paralele cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Din criteriul de paralelism al planelor: $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. $■$

Exemplul 3 — proprietatea secțiunilor

Enunț. Se știe că planele $(ABCD)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ ale unui cub sunt paralele. Un plan taie fața de jos după dreapta $AC$ (diagonala bazei). Ce dreaptă rezultă la intersecția aceluiași plan cu fața de sus, dacă planul de tăiere este $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$? Justifică paralelismul obținut.

Rezolvare. Planul de tăiere este $\gamma =(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. El taie planul de jos $(ABCD)$ după dreapta $AC$ (căci $A,C\in (ABCD)$) și taie planul de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ după dreapta $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (căci $A^{\prime },C^{\prime }\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$).

Cum $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și ambele sunt tăiate de $\gamma$, din proprietatea secțiunilor rezultă că cele două urme sunt paralele: $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$.

(Verificare: într-adevăr, $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ — proprietatea secțiunilor confirmă exact ce se vede pe figură.) $■$

Exemplul 4 — plan paralel cu baza pe prismă

Enunț. Fie prisma triunghiulară dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu bazele $ABC$ (jos) și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (sus). Fie $M$, $N$, $P$ mijloacele muchiilor laterale $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, respectiv $C{C}^{\prime }$. Demonstrează că planul $(MNP)$ este paralel cu planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare. Alegem în planul $(MNP)$ două drepte concurente: $MN$ și $MP$, concurente în $M$.

1. Muchiile laterale $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt paralele și congruente, iar $M$, $N$ sunt mijloacele lor. Atunci $AM\parallel BN$ și $AM=BN$, deci $ABNM$ este paralelogram $\Rightarrow MN\parallel AB$. Cum $AB\subset (ABC)$ și $MN\not\subset (ABC)$, rezultă $MN\parallel (ABC)$.
2. Analog, din $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ și $AM=CP$ (jumătăți de muchii congruente), $ACPM$ este paralelogram $\Rightarrow MP\parallel AC$. Cum $AC\subset (ABC)$ și $MP\not\subset (ABC)$, rezultă $MP\parallel (ABC)$.
3. Dreptele $MN$ și $MP$ sunt concurente în $M$ și ambele paralele cu $(ABC)$. Din criteriul planelor: $(MNP)\parallel (ABC)$. $■$

Exemplul 5 — item de tip Evaluare Națională (justificare + calcul)

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $6$ cm, fie $M$, $N$, $P$, $Q$ mijloacele muchiilor $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, respectiv $D{D}^{\prime }$. (a) Arată că $(MNPQ)\parallel (ABCD)$. (b) Ce fel de patrulater este $MNPQ$ și cât este aria lui?

Rezolvare.

(a) Alegem în $(MNPQ)$ dreptele concurente $MN$ și $MQ$ (concurente în $M$). Ca în Exemplul 4: $ABNM$ paralelogram $\Rightarrow MN\parallel AB\subset (ABCD)$, deci $MN\parallel (ABCD)$; iar $ADQM$ paralelogram $\Rightarrow MQ\parallel AD\subset (ABCD)$, deci $MQ\parallel (ABCD)$. Fiind concurente în $M$ și ambele paralele cu $(ABCD)$, rezultă $(MNPQ)\parallel (ABCD)$.

(b) Secțiunea $MNPQ$ este chiar la jumătatea înălțimii, „copia" feței de jos, deci este un pătrat cu latura egală cu muchia cubului: $MN=AB=6$ cm (din paralelogramul $ABNM$, laturi opuse egale). Aria: $$ \mathcal{A}_{MNPQ} = 6 \cdot 6 = 36 \ \text{cm}^2. $$

Exemplul 6 — adevărat/fals cu justificare (capcana concurenței)

Enunț. Un elev afirmă: „Dacă un plan $\beta$ conține două drepte paralele cu planul $\alpha$, atunci $\beta \parallel \alpha$." Este afirmația adevărată sau falsă? Justifică.

Rezolvare. Afirmația este falsă, pentru că lipsește condiția esențială: dreptele trebuie să fie concurente, nu oricare două.

Contraexemplu: fie $\beta$ un plan care taie $\alpha$ după o dreaptă $\ell$. În $\beta$ pot exista două drepte paralele între ele și paralele cu $\ell$; fiecare dintre ele este paralelă cu $\alpha$ (nu întâlnește $\alpha$, fiindcă e paralelă cu urma $\ell$). Avem astfel două drepte din $\beta$ paralele cu $\alpha$, deși $\beta$ taie $\alpha$ — deci $\beta \nparallel \alpha$. Criteriul cere ca cele două drepte să fie concurente exact pentru a exclude această situație. $■$

Să exersăm

Rezolvă în ordine; primele sunt de recunoaștere, ultimele cer demonstrație scrisă îngrijit, ca la examen. Pentru exercițiile pe corpuri, folosește notațiile standard din lecție.

1. Completează: două plane sunt paralele dacă au ______ puncte comune.

2. Câte poziții relative pot avea două plane în spațiu? Enumeră-le și spune, pentru fiecare, câte puncte comune au.

3. Adevărat sau fals, cu motivare: „Două plane pot avea în comun exact un singur punct."

4. Enunță criteriul de paralelism al planelor. Care este condiția pe care trebuie neapărat să o îndeplinească cele două drepte din plan?

5. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, precizează pentru fiecare pereche dacă planele sunt paralele sau secante (la secante, dă dreapta de intersecție): (a) $(ABCD)$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; (b) $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$; (c) $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

6. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $\alpha \parallel \beta$, atunci orice dreaptă din $\alpha$ este paralelă cu $\beta$."

7. Explică, în două-trei rânduri, de ce cele două drepte din criteriu trebuie să fie concurente și nu paralele între ele.

8. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, demonstrează, redactând cei trei pași, că $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

9. Se dau planele paralele $\alpha \parallel \beta$. Un plan $\gamma$ le taie: $\gamma \cap \alpha =a$ și $\gamma \cap \beta =b$. Ce relație există între $a$ și $b$? Enunță proprietatea folosită.

10. În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

11. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă $\alpha \parallel \beta$ și $\beta \parallel \gamma$, atunci $\alpha \parallel \gamma$."

12. În prisma triunghiulară dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, fie $M$ mijlocul lui $A{A}^{\prime }$, $N$ mijlocul lui $B{B}^{\prime }$ și $P$ mijlocul lui $C{C}^{\prime }$. Demonstrează că $(MNP)\parallel (ABC)$ folosind dreptele concurente $NM$ și $NP$.

13. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, un plan taie fața de jos după diagonala $BD$. Dacă planul de tăiere este $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, ce dreaptă rezultă pe fața de sus și de ce este ea paralelă cu $BD$?

14. Adevărat sau fals, cu motivare: „Un plan care conține o dreaptă paralelă cu $\alpha$ este obligatoriu paralel cu $\alpha$."

15. (item EN) În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $8$ cm, fie $E$, $F$, $G$, $H$ mijloacele muchiilor $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (toate în fața de jos), și fie $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $G^{\prime }$, $H^{\prime }$ mijloacele corespunzătoare pe fața de sus. Arată că $(EFGH)\parallel (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$.

16. (raționament) Dacă două plane distincte au două puncte comune, ce poți spune despre poziția lor? Justifică.

17. (item EN, justificare completă) În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ se știe că $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Planul diagonal $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ taie cele două baze. Numește dreptele de intersecție ale acestui plan cu fiecare bază și justifică de ce sunt paralele.

18. (sinteză) Un elev spune: „Fața laterală $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ a unui cub este paralelă cu fața de jos $(ABCD)$, pentru că amândouă conțin muchia $AB$." Găsește greșeala din raționament.

Răspunsuri și explicații

1. Zero puncte comune (niciun punct comun). Este chiar definiția planelor paralele.

2. Două poziții: (1) plane secante — au în comun o dreaptă întreagă (o infinitate de puncte); (2) plane paralele — au zero puncte comune. Nu există cazul „un singur punct comun".

3. Fals. Dacă două plane au un punct comun, atunci au o dreaptă întreagă de puncte comune (se intersectează după o dreaptă). Deci nu pot avea exact un singur punct comun.

4. Criteriul: dacă un plan $\beta$ conține două drepte concurente $a$ și $b$, ambele paralele cu planul $\alpha$, atunci $\alpha \parallel \beta$. Condiția esențială: dreptele $a$ și $b$ trebuie să fie concurente (să se intersecteze).

5. (a) Secante, dreapta de intersecție $DC$ (fața de jos și fața din spate au în comun muchia $DC$). (b) Paralele — $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ sunt fețe laterale opuse ale cubului. (c) Secante, dreapta de intersecție $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (fața de sus și fața din față au în comun muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$).

6. Adevărat. O dreaptă din $\alpha$ nu are niciun punct în $\beta$ (fiindcă $\alpha$ și $\beta$ nu au puncte comune), deci nu poate atinge planul $\beta$ — este paralelă cu el.

7. Dacă dreptele ar fi doar paralele între ele, ele ar „prinde" o singură direcție din planul $\beta$; planul $\beta$ ar putea totuși să fie înclinat și să taie $\alpha$ (existând în $\beta$ multe drepte paralele cu urma de tăiere, toate paralele cu $\alpha$). Două drepte concurente prind două direcții diferite și fixează complet „înclinarea" planului, garantând paralelismul.

8. (1) În fața $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ aleg dreptele concurente $A{A}^{\prime }$ și $AB$, concurente în $A$. (2) $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }\subset (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, deci $A{A}^{\prime }\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; $AB\parallel DC\subset (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, deci $AB\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. (3) Fiind concurente în $A$ și ambele paralele cu $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, din criteriul de paralelism al planelor rezultă $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. $■$

9. $a\parallel b$. Proprietatea secțiunilor: un plan care taie două plane paralele le intersectează după drepte paralele (dreptele sunt coplanare, în $\gamma$, și nu se pot întâlni, fiindcă $\alpha$ și $\beta$ nu au puncte comune).

10. În $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ aleg dreptele concurente $AD$ și $A{A}^{\prime }$ (concurente în $A$). $AD\parallel BC\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, deci $AD\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$; $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, deci $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Fiind concurente în $A$ și ambele paralele cu $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, rezultă $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. $■$

11. Adevărat. Este proprietatea de tranzitivitate a paralelismului planelor: două plane paralele cu un al treilea sunt paralele între ele.

12. Dreptele concurente $NM$ și $NP$ se întâlnesc în $N$. Din $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ și $N$, $M$ mijloace: $BNMA$ paralelogram $\Rightarrow NM\parallel BA\subset (ABC)$, deci $NM\parallel (ABC)$. Din $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$: $BNPC$ paralelogram $\Rightarrow NP\parallel BC\subset (ABC)$, deci $NP\parallel (ABC)$. Fiind concurente în $N$ și ambele paralele cu $(ABC)$: $(MNP)\parallel (ABC)$. $■$

13. Planul de tăiere $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ taie fața de jos după $BD$ și fața de sus după $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Cum $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și ambele sunt tăiate de $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, din proprietatea secțiunilor rezultă $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. (Dreapta pe fața de sus este $B^{\prime }{D}^{\prime }$.)

14. Fals. Un plan poate conține o dreaptă paralelă cu $\alpha$ și totuși să taie $\alpha$ (planul se „învârte" în jurul acelei drepte). E nevoie de două drepte concurente paralele cu $\alpha$, nu de una singură.

15. Alegem în $(EFGH)$ două drepte concurente, de exemplu $EF$ și $EH$ (concurente în $E$). Muchiile verticale fac ca $E{E}^{\prime }\parallel F{F}^{\prime }\parallel H{H}^{\prime }$ și egale, deci $EF{F}^{\prime }{E}^{\prime }$ și $EH{H}^{\prime }{E}^{\prime }$ sunt paralelograme $\Rightarrow EF\parallel E^{\prime }{F}^{\prime }\subset (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$ și $EH\parallel E^{\prime }{H}^{\prime }\subset (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$. Prin urmare $EF\parallel (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$ și $EH\parallel (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$. Fiind concurente în $E$ și ambele paralele cu $(E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$, rezultă $(EFGH)\parallel (E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime })$. $■$ (Muchia de $8$ cm nu e necesară pentru paralelism; ea ar interveni doar la un eventual calcul de arie.)

16. Dacă două plane distincte au două puncte comune $A$ și $B$, atunci conțin toată dreapta $AB$ (dreapta determinată de două puncte). Deci au o dreaptă întreagă comună: sunt secante, cu dreapta de intersecție $AB$. (Nu pot fi paralele, fiindcă au puncte comune.)

17. Planul diagonal $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ taie baza de jos $(ABCD)$ după dreapta $BD$ (căci $B,D\in (ABCD)$) și baza de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ după dreapta $B^{\prime }{D}^{\prime }$ (căci $B^{\prime },D^{\prime }\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$). Cum $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și ambele sunt tăiate de același plan $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, din proprietatea secțiunilor rezultă $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$: cele două drepte sunt coplanare (ambele în $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$) și nu au puncte comune (fiindcă bazele paralele nu au puncte comune), deci sunt paralele. $■$

18. Greșeala: dacă două plane conțin aceeași dreaptă $AB$, atunci ele au puncte comune (toată dreapta $AB$), deci sunt secante, nu paralele! Planele paralele nu au niciun punct comun. De fapt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(ABCD)$ se intersectează exact după muchia $AB$.

De reținut

• Definiție: $\alpha \parallel \beta$ înseamnă că cele două plane nu au niciun punct comun. Două plane distincte au doar două poziții: paralele ($0$ puncte comune) sau secante (o dreaptă întreagă comună). Nu există „un singur punct comun".
• Criteriul de paralelism al planelor: dacă un plan $\beta$ conține două drepte concurente $a$, $b$, ambele paralele cu $\alpha$, atunci $\alpha \parallel \beta$. Cuvântul-cheie: concurente.
• Aplicarea în doi pași: întâi arăți (cu criteriul dreaptă–plan) că fiecare dintre cele două drepte concurente e paralelă cu celălalt plan; apoi aprinzi criteriul planelor.
• Proprietatea secțiunilor: dacă $\alpha \parallel \beta$ și un plan $\gamma$ le taie ($\gamma \cap \alpha =a$, $\gamma \cap \beta =b$), atunci $a\parallel b$ (coplanare în $\gamma$ și fără puncte comune).
• Pe corpuri: la cub, paralelipiped și prismă, cele două baze sunt plane paralele, la fel ca fețele laterale opuse ale paralelipipedului.

Greșeli frecvente

• Uiți că dreptele din criteriu trebuie să fie concurente. Două drepte paralele între ele, chiar dacă sunt paralele cu $\alpha$, nu garantează $\beta \parallel \alpha$. Verifică mereu că cele două drepte alese se intersectează și scrie explicit punctul lor comun.
• Crezi că două plane pot avea „un singur punct comun". Fals: dacă au un punct comun, au o dreaptă întreagă comună. Ori zero puncte (paralele), ori o dreaptă (secante).
• Confuzi „plane paralele" cu „plane care conțin aceeași dreaptă". Două plane care au o dreaptă comună sunt secante (se ating pe acea dreaptă), nu paralele — paralelele nu au niciun punct comun.
• La proprietatea secțiunilor, spui doar „nu se întâlnesc". Pentru a justifica $a\parallel b$ trebuie și coplanaritatea (ambele sunt în planul $\gamma$). Coplanare + fără puncte comune $\Rightarrow$ paralele.

Aplică acasă

• Cutia = model de plane paralele. Ia o cutie de carton (paralelipiped). Notează vârfurile cu litere ($A,B,C,D$ jos și $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sus). Identifică toate cele trei perechi de fețe paralele și, pentru una dintre ele, redactează în trei pași demonstrația paralelismului, alegând două muchii concurente dintr-un colț.
• Secțiunea cu o coală. Strecoară o coală de hârtie (planul $\gamma$) printr-o cutie deschisă, astfel încât să atingă două fețe opuse (paralele). Marchează cele două „urme" pe fețe: vei vedea că segmentele sunt paralele — este proprietatea secțiunilor, verificată cu mâna ta.
• Vânătoarea de plane paralele. În camera ta, găsește trei perechi de plane paralele (podea–tavan, două rafturi, două fețe ale unui dulap) și una singură de plane secante (un perete și podeaua). Pentru perechea secantă, arată cu degetul dreapta lor de intersecție.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încununează seria despre paralelism în spațiu: după dreaptă–dreaptă și dreaptă–plan, elevul învață paralelismul plan–plan. Ideea centrală, pe care merită să insistați, este rolul concurenței: criteriul funcționează numai fiindcă cele două drepte din plan se intersectează. Este cea mai frecventă greșeală și, totodată, testul că elevul a înțeles cu adevărat, nu a memorat.

Întrebări de verificare utile:

• „Câte poziții pot avea două plane și de ce nu există cazul cu un singur punct comun?"
• „Ce condiție trebuie neapărat să îndeplinească cele două drepte din criteriu? Ce se întâmplă dacă sunt paralele între ele?"
• „Dacă tai două plane paralele cu un al treilea plan, ce fel de drepte obții și de ce sunt ele paralele?"

Semne că a înțeles: alege corect două muchii concurente dintr-un colț al corpului, aplică pe fiecare criteriul dreaptă–plan și abia apoi trage concluzia plan–plan; nu confundă planele paralele cu cele care au o dreaptă comună. La Evaluarea Națională, paralelismul planelor apare în subiectul de geometrie în spațiu, de obicei ca justificare scurtă în cadrul unei probleme cu cub, paralelipiped sau prismă, înainte de calculul unei arii, al unui volum sau al unei distanțe. Lecția pregătește direct tema următoare, secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice, și mai departe distanțe în spațiu.

Întrebări frecvente

Când sunt două plane paralele la clasa a 8-a? Două plane sunt paralele când nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi. Practic, demonstrezi acest lucru cu criteriul de paralelism al planelor: găsești într-unul dintre plane două drepte concurente, ambele paralele cu celălalt plan.

Care este criteriul de paralelism al planelor? Dacă un plan $\beta$ conține două drepte concurente $a$ și $b$, ambele paralele cu planul $\alpha$, atunci $\alpha \parallel \beta$. Condiția obligatorie este ca dreptele $a$ și $b$ să fie concurente (să se intersecteze într-un punct), nu paralele între ele.

Câte poziții relative pot avea două plane în spațiu? Doar două: fie sunt paralele (zero puncte comune), fie sunt secante și se intersectează după o dreaptă întreagă. Spre deosebire de o dreaptă și un plan, două plane nu pot avea în comun un singur punct.

De ce trebuie ca cele două drepte din criteriu să fie concurente? Pentru că două drepte paralele între ele „prind" o singură direcție din plan și nu împiedică planul să fie înclinat și să taie celălalt plan. Două drepte concurente prind două direcții diferite și fixează complet poziția planului, garantând paralelismul.

Ce spune proprietatea secțiunilor la plane paralele? Dacă un plan taie două plane paralele, le intersectează după două drepte paralele. Motivul: cele două drepte sunt în același plan de tăiere (coplanare) și nu se pot întâlni, fiindcă planele paralele nu au puncte comune.

Cum arăt că fața de sus a unui cub e paralelă cu fața de jos? Alegi în fața de sus două muchii concurente (de exemplu $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$, care se întâlnesc în $A^{\prime }$). Arăți că fiecare e paralelă cu fața de jos (fiindcă $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$, laturi de pătrate). Fiind concurente și ambele paralele cu fața de jos, cele două plane sunt paralele.

Sunt fețele opuse ale unei cutii plane paralele? Da. La un paralelipiped dreptunghic (cutie), fiecare pereche de fețe opuse este formată din plane paralele: sunt trei asemenea perechi. Demonstrația folosește exact criteriul de paralelism al planelor cu două muchii concurente.

Apar planele paralele la Evaluarea Națională? Da, în subiectul de geometrie în spațiu. De obicei se cere o justificare scurtă a paralelismului a două plane (redactată în pași, cu accent pe concurența dreptelor) ca parte dintr-o problemă mai amplă cu cub, prismă sau paralelipiped.