Unghiul a două drepte în spațiu

Când te uiți la colțul unei camere, la o cutie de carton sau la scheletul metalic al unei clădiri, vezi peste tot muchii care se întâlnesc sub anumite unghiuri — dar și muchii care nu se ating niciodată, deși nu sunt paralele. Cum putem vorbi despre „unghiul" dintre două drepte care nu se intersectează? În această lecție vei învăța exact acest lucru: cum definim și cum calculăm unghiul a două drepte în spațiu, fie că ele sunt concurente, fie că sunt necoplanare. Este o noțiune cheie pentru geometria în spațiu de la clasa a VIII-a și apare frecvent la Evaluarea Națională, mai ales în problemele cu cubul și paralelipipedul dreptunghic.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești unghiul a două drepte concurente și unghiul a două drepte necoplanare.
• Vei ști să construiești unghiul dintre două drepte necoplanare cu ajutorul dreptelor paralele (metoda paralelelor).
• Vei ști să recunoști două drepte perpendiculare în spațiu, chiar și atunci când ele nu se intersectează.
• Vei ști să calculezi măsura unghiului a două drepte pe cub și pe paralelipipedul dreptunghic, folosind triunghiul dreptunghic și noțiunile de geometrie plană din clasa a VII-a.

Hai să descoperim împreună

1. Ne amintim: pozițiile relative a două drepte în spațiu

În lecția precedentă, Poziții relative a două drepte în spațiu, am văzut că două drepte distincte din spațiu se pot afla în una dintre situațiile:

• concurente — au un punct comun (sunt, evident, coplanare, adică se află în același plan);
• paralele — sunt coplanare și nu au niciun punct comun;
• necoplanare (numite și strâmbe sau oarecare) — nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă; ele nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele.

Pentru a măsura un unghi în geometria plană aveam nevoie de două semidrepte cu aceeași origine. În spațiu apare o problemă nouă: dacă dreptele nu se ating (cazul necoplanar), unde este vârful unghiului? Vom rezolva această dificultate cu o idee simplă și elegantă — mutarea paralelă a dreptelor.

2. Unghiul a două drepte concurente

Situația cea mai simplă este cea a dreptelor concurente. Dacă două drepte $a$ și $b$ se intersectează în punctul $O$, ele determină un plan (planul comun) și, în acel plan, formează patru unghiuri, două câte două egale.

Prin unghiul a două drepte concurente înțelegem cel mai mic dintre unghiurile formate, adică unghiul cu măsura cuprinsă în intervalul $(0°,90°]$.

De exemplu, dacă la intersecție se formează unghiuri de $50°$ și $130°$, spunem că unghiul dreptelor este de $50°$. Dacă cele patru unghiuri sunt toate de $90°$, atunci dreptele sunt perpendiculare.

Reținem trei convenții importante:

• unghiul a două drepte este întotdeauna cuprins în $[0°,90°]$;
• dacă dreptele sunt paralele sau confundate, prin convenție unghiul dintre ele este de $0°$;
• notăm unghiul dreptelor $a$ și $b$ prin $\sphericalangle (a,b)$ sau $\measuredangle (a,b)$.

3. Problema dreptelor necoplanare și metoda paralelelor

Ce facem când dreptele $a$ și $b$ sunt necoplanare? Ele nu au niciun punct comun, deci nu putem forma direct un unghi între ele. Aici intervine ideea centrală a lecției.

Ne folosim de o proprietate cunoscută: printr-un punct dat se poate duce o singură paralelă la o dreaptă dată. Alegem un punct oarecare $M$ din spațiu și ducem prin el:

• dreapta $a^{\prime }$, paralelă cu $a$;
• dreapta $b^{\prime }$, paralelă cu $b$.

Dreptele $a^{\prime }$ și $b^{\prime }$ trec amândouă prin $M$, deci sunt concurente. Definim:

Unghiul a două drepte necoplanare $a$ și $b$ este unghiul dintre dreptele concurente $a^{\prime }$ și $b^{\prime }$, duse printr-un punct $M$ paralele cu $a$, respectiv cu $b$.

Un lucru foarte important, care face definiția corectă: măsura acestui unghi nu depinde de punctul $M$ ales. Oriunde am alege punctul $M$, unghiul dintre paralele iese același. Motivul este că două unghiuri care au laturile respectiv paralele și la fel orientate sunt egale (proprietate din geometria plană, valabilă și în spațiu). De aceea putem alege punctul $M$ acolo unde ne convine cel mai mult — de obicei chiar pe una dintre drepte, ca să mutăm o singură dreaptă.

Trucul practic pe care îl vei folosi mereu: în loc să muți ambele drepte, ai grijă să alegi $M$ pe una dintre ele. Atunci acea dreaptă rămâne pe loc și trebuie doar să duci o singură paralelă la cealaltă dreaptă, astfel încât cele două să se întâlnească. Ai transformat problema necoplanară într-o problemă de unghi între drepte concurente, pe care o rezolvi într-un triunghi.

4. Drepte perpendiculare în spațiu

Definiția perpendicularității se extinde firesc:

Două drepte din spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de $90°$.

Atenție la o diferență esențială față de geometria plană:

• În plan, două drepte perpendiculare se intersectează obligatoriu (formează un $+$).
• În spațiu, două drepte pot fi perpendiculare fără să se intersecteze! Dacă mutăm una dintre ele paralel până se întâlnește cu cealaltă și obținem $90°$, spunem că dreptele sunt perpendiculare, chiar dacă în realitate ele sunt necoplanare.

Pentru a face deosebirea, în manualele de gimnaziu se folosesc uneori termenii:

• drepte perpendiculare concurente — se intersectează sub $90°$;
• drepte ortogonale (sau perpendiculare necoplanare) — unghiul este $90°$, dar dreptele nu se ating.

La nivelul clasei a VIII-a, în ambele cazuri scriem $a\perp b$ și spunem simplu că dreptele sunt perpendiculare, precizând, dacă e nevoie, că sunt necoplanare.

5. Instrumentul de lucru: cubul și paralelipipedul dreptunghic

Cele mai multe probleme de la Evaluarea Națională îți cer unghiul a două drepte pe un cub sau pe un paralelipiped dreptunghic. De aceea fixăm o notație standard pe care o vom folosi în toată lecția.

Considerăm cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: baza de jos este pătratul $ABCD$, baza de sus este pătratul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, iar muchiile verticale sunt $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ (vârful $A^{\prime }$ se află deasupra lui $A$ ș.a.m.d.).

Reține câteva paralelisme utile, care ies imediat din faptul că fețele sunt pătrate (sau dreptunghiuri):

• muchiile opuse ale unei fețe sunt paralele: $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$;
• $AD\parallel BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$;
• muchiile verticale sunt paralele: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$;
• diagonalele fețelor paralele sunt paralele: $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$, $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$, $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ etc.

Aceste paralelisme sunt „motorul" metodei: ele îți spun cu ce dreaptă poți înlocui una dintre dreptele problemei, ca s-o aduci lângă cealaltă.

Mai avem nevoie de câteva lungimi, calculate cu Teorema lui Pitagora (clasa a VII-a). Dacă muchia cubului este $a$, atunci:

• diagonala unei fețe (pătrat de latură $a$) are lungimea $d=a\sqrt{2}$;
• diagonala cubului (spațială) are lungimea $D=a\sqrt{3}$.

6. Strategia în trei pași

Ori de câte ori ți se cere unghiul a două drepte în spațiu, urmează acești trei pași:

1. Verifică poziția dreptelor. Sunt concurente, paralele sau necoplanare? Dacă sunt paralele, răspunsul este $0°$ și te-ai oprit.
2. Adu dreptele la un vârf comun. Dacă nu sunt deja concurente, alege un punct pe una dintre ele și duci o paralelă la cealaltă (folosind paralelismele de mai sus). Acum ai două drepte concurente într-un punct.
3. Calculează unghiul într-un triunghi. Formează triunghiul cu laturile pe cele două drepte, află lungimile laturilor (Pitagora) și determină unghiul: fie recunoști un triunghi special (echilateral → $60°$, dreptunghic isoscel → $45°$, unghi drept → $90°$), fie folosești $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ din triunghiul dreptunghic (clasa a VII-a).

Hai să aplicăm strategia pe câteva situații concrete.

7. Aplicație tip: muchie și diagonală de față

Vrem unghiul dintre muchia $AB$ și diagonala de sus $A^{\prime }{C}^{\prime }$ pe cub.

• Poziția: $AB$ este jos, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este sus — sunt necoplanare.
• Metoda paralelelor: știm că $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (diagonalele bazelor paralele). Înlocuim $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cu $AC$, care trece prin $A$, deci se întâlnește cu $AB$ tot în $A$. Astfel $\sphericalangle (AB,A^{\prime }{C}^{\prime })=\sphericalangle (AB,AC)=\widehat{BAC}$.
• Triunghiul: în triunghiul $ABC$ avem unghi drept în $B$ (colț de pătrat), $AB=BC=a$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel, iar $\widehat{BAC}=45°$.

Prin urmare unghiul dintre $AB$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este de $45°$.

8. Aplicație tip: triunghiul echilateral al diagonalelor

O configurație spectaculoasă și des întâlnită: pe cub, trei diagonale de față pot forma un triunghi echilateral. De exemplu, diagonalele $AC$, $C{B}^{\prime }$ și $B^{\prime }A$ au fiecare lungimea $a\sqrt{2}$ (sunt diagonale de fețe egale), deci triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral și toate unghiurile lui au $60°$.

De aici obținem imediat: $\sphericalangle (A{B}^{\prime },B^{\prime }C)=60°$, pentru că laturile $A{B}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ se întâlnesc chiar în $B^{\prime }$ și formează un unghi de $60°$.

Această idee este foarte utilă: de fiecare dată când două diagonale de față ale unui cub pornesc din același vârf și „închid" un triunghi cu o a treia diagonală de față, unghiul dintre ele este $60°$.

Vom relua această noțiune și când vom studia distanțele și unghiurile în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului, unde o vei folosi în probleme mai complexe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul a două drepte concurente

Enunț. Dreptele $a$ și $b$ se intersectează în punctul $O$. Unul dintre unghiurile formate la intersecție are măsura de $118°$. Care este unghiul dreptelor $a$ și $b$?

Rezolvare. La intersecția a două drepte se formează patru unghiuri: două de $118°$ (opuse la vârf) și două suplementare lor, de $180°-118°=62°$. Unghiul dreptelor este cel mai mic dintre ele, deci $$\sphericalangle (a,b)=62°.$$

Observație: dacă unghiul dat ar fi fost de exemplu $62°$ (deja ascuțit), acela ar fi fost direct răspunsul.

Exemplul 2 — Muchii necoplanare perpendiculare pe cub

Enunț. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că dreptele $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt perpendiculare și precizează dacă se intersectează.

Rezolvare.

• Poziția: $AB$ este o muchie a bazei de jos, iar $C{C}^{\prime }$ este o muchie verticală care nu are niciun punct comun cu $AB$ și nu îi este paralelă → dreptele sunt necoplanare.
• Metoda paralelelor: $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. Înlocuim $C{C}^{\prime }$ cu $B{B}^{\prime }$, care trece prin $B$, punct aflat pe $AB$. Deci $\sphericalangle (AB,C{C}^{\prime })=\sphericalangle (AB,B{B}^{\prime })=\widehat{AB{B}^{\prime }}$.
• Calcul: $\widehat{AB{B}^{\prime }}$ este unghiul dintre muchia $AB$ a bazei și muchia verticală $B{B}^{\prime }$; într-un cub muchia verticală este perpendiculară pe muchiile bazei, deci $\widehat{AB{B}^{\prime }}=90°$.

Concluzie: $AB\perp C{C}^{\prime }$, iar dreptele nu se intersectează (sunt perpendiculare necoplanare). Este un exemplu clar al ideii că în spațiu perpendicularitatea nu cere neapărat intersecție.

Exemplul 3 — Unghiul dintre o muchie și o diagonală de față (metoda paralelelor)

Enunț. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $a$, calculează unghiul dintre dreptele $AB$ și $D{A}^{\prime }$.

Rezolvare.

• Poziția: $AB$ (jos) și $D{A}^{\prime }$ (diagonală a feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$) nu au punct comun și nu sunt paralele → necoplanare.
• Observație directă: muchia $AB$ este perpendiculară pe muchia $AD$ (colț de pătrat) și pe muchia $A{A}^{\prime }$ (muchie verticală). Cum $D{A}^{\prime }$ este o dreaptă din planul feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, iar $AB$ este perpendiculară pe două drepte concurente din acest plan, $AB$ este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.
• Metoda paralelelor (verificare): $D{A}^{\prime }\parallel C{B}^{\prime }$? Nu ne trebuie; putem duce prin $A$ paralela la $D{A}^{\prime }$. Mai simplu, ducem prin $D$ o paralelă la $AB$: fie $Dx\parallel AB$. Atunci $\widehat{(Dx,D{A}^{\prime })}$ este unghiul căutat. Deoarece $Dx\parallel AB$ și $AB\perp$ (planul $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$), rezultă că $Dx\perp D{A}^{\prime }$.

Concluzie: $\sphericalangle (AB,D{A}^{\prime })=90°$, deci $AB\perp D{A}^{\prime }$.

(Vom formaliza ideea „dreaptă perpendiculară pe un plan" în lecția Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan; aici o folosim doar intuitiv.)

Exemplul 4 — Unghiul a două diagonale de față (triunghi echilateral)

Enunț. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre dreptele $AC$ și $B{C}^{\prime }$.

Rezolvare.

• Poziția: $AC$ (diagonala bazei de jos) și $B{C}^{\prime }$ (diagonala feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$) nu au punct comun → necoplanare.
• Metoda paralelelor: căutăm o paralelă la $B{C}^{\prime }$ care să treacă printr-un vârf al lui $AC$. Observăm că $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$: în fața laterală $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ diagonala $B{C}^{\prime }$ are aceeași direcție cu diagonala $A{D}^{\prime }$ a feței opuse $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, deoarece muchiile $AB$ și $D^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt paralele și egale (patrulaterul $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelogram). Ducem, deci, $A{D}^{\prime }$: ea trece prin $A$, aflat pe $AC$. Astfel $\sphericalangle (AC,B{C}^{\prime })=\sphericalangle (AC,A{D}^{\prime })=\widehat{CA{D}^{\prime }}$.
• Triunghiul $AC{D}^{\prime }$: laturile sunt $AC=a\sqrt{2}$ (diagonala bazei), $A{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$ (diagonala feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$) și $C{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$ (diagonala feței $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). Toate trei sunt egale → triunghiul $AC{D}^{\prime }$ este echilateral, deci $\widehat{CA{D}^{\prime }}=60°$.

Concluzie: $\sphericalangle (AC,B{C}^{\prime })=60°$.

Exemplul 5 — Paralelipiped dreptunghic, unghi cu tangenta

Enunț. Fie paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8\text{cm}$ și $BC=6\text{cm}$. Calculează măsura unghiului dintre dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $AC$ și exprimă rezultatul cu ajutorul tangentei.

Rezolvare.

• Poziția: $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (muchie de sus) și $AC$ (diagonala bazei de jos) → necoplanare.
• Metoda paralelelor: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Înlocuim $A^{\prime }{B}^{\prime }$ cu $AB$, care se întâlnește cu $AC$ în $A$. Deci $\sphericalangle (A^{\prime }{B}^{\prime },AC)=\sphericalangle (AB,AC)=\widehat{BAC}$.
• Triunghiul $ABC$: dreptunghic în $B$ (colț de dreptunghi), cu catetele $AB=8$ și $BC=6$. În triunghiul dreptunghic: $$\mathrm{tg}(\widehat{BAC})=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Concluzie: $\sphericalangle (A^{\prime }{B}^{\prime },AC)=\widehat{BAC}$, cu $\mathrm{tg}(\widehat{BAC})=\frac{3}{4}$ (aproximativ $36°52^{\prime }$, adică circa $37°$). Ipotenuza $AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{cm}$, deci putem scrie și $\cos (\widehat{BAC})=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ și $\sin (\widehat{BAC})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

Exemplul 6 — Justificare de tip Evaluare Națională

Enunț. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că dreapta $BD$ (diagonala bazei) este perpendiculară pe dreapta $A{A}^{\prime }$ (muchie verticală).

Rezolvare.

• Poziția: $BD$ este în planul bazei $ABCD$, iar $A{A}^{\prime }$ este verticală; ele nu au punct comun ($A$ este pe $A{A}^{\prime }$, dar nu pe $BD$) → necoplanare.
• Metoda paralelelor: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$? Ne trebuie o paralelă la $A{A}^{\prime }$ care să întâlnească $BD$. Diagonala $BD$ trece prin $B$; ducem prin $B$ muchia verticală $B{B}^{\prime }$, care este paralelă cu $A{A}^{\prime }$. Atunci $\sphericalangle (BD,A{A}^{\prime })=\sphericalangle (BD,B{B}^{\prime })=\widehat{DB{B}^{\prime }}$.
• Calcul: muchia verticală $B{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei, deci pe orice dreaptă din bază care trece prin $B$, în particular pe $BD$. Prin urmare $\widehat{DB{B}^{\prime }}=90°$.

Concluzie: $BD\perp A{A}^{\prime }$. La examen, redactarea corectă (poziția → paralela → triunghiul/justificarea → concluzia) aduce punctajul integral.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, cu figuri clare. Unde apare cubul sau paralelipipedul, notează vârfurile la fel ca în lecție.

1. Două drepte $a$ și $b$ se intersectează, iar unul dintre unghiurile formate are $73°$. Cât este unghiul dreptelor $a$ și $b$?

2. Două drepte concurente formează un unghi de $145°$. Care este măsura unghiului dintre ele?

3. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă două drepte din spațiu sunt perpendiculare, atunci ele se intersectează."

4. Adevărat sau fals (justifică): „Unghiul a două drepte necoplanare poate fi de $120°$."

5. Completează: unghiul a două drepte paralele are măsura de ____ , iar unghiul a două drepte este întotdeauna cuprins în intervalul ____ .

6. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, precizează unghiul dintre muchiile $AB$ și $BC$. Justifică.

7. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre dreptele $AB$ și $C{D}^{\prime }$. (Indicație: $C{D}^{\prime }\parallel$ ?)

8. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că $AD\perp C{C}^{\prime }$.

9. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $a$, calculează unghiul dintre dreptele $AC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

10. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre diagonalele de față $A{B}^{\prime }$ și $AC$. (Indicație: gândește-te la triunghiul $A{B}^{\prime }C$.)

11. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre dreptele $BD$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

12. Pe paralelipipedul dreptunghic cu $AB=12\text{cm}$ și $BC=5\text{cm}$, calculează $\mathrm{tg}$ a unghiului dintre dreptele $D^{\prime }{C}^{\prime }$ și $AC$.

13. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre dreptele $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (diagonala bazei de sus) și $B{B}^{\prime }$ (muchie verticală).

14. (Tip Evaluare Națională) Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $6\text{cm}$, calculează unghiul dintre dreptele $DC$ și $B{D}^{\prime }$. Folosește indicația: mai întâi arată că $DC\parallel AB$ și lucrează în triunghiul $AB{D}^{\prime }$. (Vezi mai jos: la răspuns o luăm pas cu pas.)

15. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, calculează unghiul dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$.

16. (Raționament) Explică de ce măsura unghiului a două drepte necoplanare nu depinde de punctul prin care ducem paralelele.

17. Pe paralelipipedul dreptunghic cu $AB=4$, $AD=4$ și $A{A}^{\prime }=4$ (deci un cub de muchie $4$), calculează unghiul dintre $AC$ și $A{D}^{\prime }$. Recunoști configurația?

18. (Provocare) Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește dacă dreptele $AC$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt perpendiculare. Justifică folosind metoda paralelelor.

Răspunsuri și explicații

1. Unghiul de $73°$ este ascuțit, deci este chiar unghiul dreptelor: $73°$.

2. Suplementul lui $145°$ este $180°-145°=35°$. Unghiul dreptelor este cel mic: $35°$.

3. Fals. În spațiu există drepte perpendiculare care nu se intersectează (perpendiculare necoplanare), de exemplu $AB$ și $C{C}^{\prime }$ pe cub. Perpendicularitatea cere doar ca unghiul (obținut prin translație) să fie $90°$, nu neapărat un punct comun.

4. Fals. Unghiul a două drepte (concurente sau necoplanare) este întotdeauna cuprins în $(0°,90°]$. O valoare de $120°$ este imposibilă; ea ar fi înlocuită de suplementul ei, $60°$.

5. Unghiul dreptelor paralele are măsura de $0°$; unghiul a două drepte este cuprins în $[0°,90°]$.

6. $AB$ și $BC$ sunt muchii consecutive ale pătratului $ABCD$, deci se întâlnesc în $B$ sub un unghi drept: $90°$.

7. $C{D}^{\prime }\parallel$... verificăm: $C{D}^{\prime }$ este diagonala feței $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mai simplu observăm că $AB\parallel DC$, iar $DC$ și $C{D}^{\prime }$ pornesc din $C$. Ducem prin $C$ paralela la $AB$, adică chiar $CD$ (căci $AB\parallel DC$). Atunci $\sphericalangle (AB,C{D}^{\prime })=\sphericalangle (DC,C{D}^{\prime })=\widehat{DC{D}^{\prime }}$, unghiul dintre muchia $DC$ și diagonala feței. În triunghiul $DC{D}^{\prime }$, dreptunghic în $D$, cu $DC=D{D}^{\prime }=a$, avem $\widehat{DC{D}^{\prime }}=45°$. Răspuns: $45°$.

8. $C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Ducem prin $D$ muchia $D{D}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$; ea întâlnește $AD$ în $D$. Deci $\sphericalangle (AD,C{C}^{\prime })=\widehat{AD{D}^{\prime }}=90°$ (muchia verticală $\perp$ muchia bazei). Așadar $AD\perp C{C}^{\prime }$, drepte perpendiculare necoplanare.

9. $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, deci $\sphericalangle (AC,A^{\prime }{B}^{\prime })=\sphericalangle (AC,AB)=\widehat{CAB}$. În triunghiul $ABC$, dreptunghic isoscel ($AB=BC=a$), $\widehat{CAB}=45°$. Răspuns: $45°$.

10. $A{B}^{\prime }$ și $AC$ pornesc amândouă din $A$, deci sunt concurente; unghiul lor este $\widehat{B^{\prime }AC}$. În triunghiul $A{B}^{\prime }C$: $A{B}^{\prime }=a\sqrt{2}$, $AC=a\sqrt{2}$, $B^{\prime }C=a\sqrt{2}$ (toate diagonale de față). Triunghi echilateral → $60°$.

11. $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Ducem $BC$ (trece prin $B$, aflat pe $BD$): $\sphericalangle (BD,B^{\prime }{C}^{\prime })=\sphericalangle (BD,BC)=\widehat{DBC}$. În pătratul $ABCD$, diagonala $BD$ face cu latura $BC$ un unghi de $45°$ (diagonala pătratului bisectează unghiul drept). Răspuns: $45°$.

12. $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel DC\parallel AB$. Deci $\sphericalangle (D^{\prime }{C}^{\prime },AC)=\sphericalangle (AB,AC)=\widehat{BAC}$, în triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $AB=12$, $BC=5$: $$\mathrm{tg}(\widehat{BAC})=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}.$$ Răspuns: $\mathrm{tg}=\frac{5}{12}$ (ipotenuza $AC=\sqrt{144+25}=13$).

13. Aici mutăm ambele drepte în același vârf, $A$: înlocuim $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cu $AC$ (diagonalele bazelor sunt paralele și $AC$ trece prin $A$) și înlocuim $B{B}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }$ (muchiile verticale sunt paralele și $A{A}^{\prime }$ trece prin $A$). Muchia $A{A}^{\prime }$ este verticală, perpendiculară pe planul bazei, deci pe $AC$ din bază. Rezultă $\widehat{(AC,A{A}^{\prime })}=90°$. Răspuns: $90°$ ($A^{\prime }{C}^{\prime }\perp B{B}^{\prime }$).

14. Pe cub de muchie $6$: $DC\parallel AB$, deci $\sphericalangle (DC,B{D}^{\prime })=\sphericalangle (AB,B{D}^{\prime })$... aducem la vârful $B$: ducem prin $B$ paralela la $DC$, adică $BA$ (căci $AB\parallel DC$). Atunci unghiul este $\widehat{AB{D}^{\prime }}$. Calculăm laturile triunghiului $AB{D}^{\prime }$: $AB=6$; $A{D}^{\prime }=6\sqrt{2}$ (diagonala feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$); $B{D}^{\prime }=6\sqrt{3}$ (diagonala spațială a cubului). Verificăm cu Pitagora dacă triunghiul e dreptunghic în $A$: $A{B}^2+A{D}^{\prime 2}=36+72=108$ și $B{D}^{\prime 2}=(6\sqrt{3}{)}^2=108$. Egal! Deci triunghiul $AB{D}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$, iar $$\mathrm{tg}(\widehat{AB{D}^{\prime }})=\frac{A{D}^{\prime }}{AB}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}.$$ Răspuns: unghiul are tangenta $\sqrt{2}$ (aproximativ $54°44^{\prime }$, adică circa $55°$).

15. $D{C}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$? Verificăm: $A{B}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$ sunt diagonale ale fețelor paralele $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, deci sunt paralele. Prin urmare unghiul dintre ele este $0°$ (drepte paralele). Atenție la capcană: nu orice pereche de diagonale de față formează unghi nenul!

16. Pentru că unghiuri cu laturile respectiv paralele și la fel orientate sunt egale. Oricare ar fi punctele $M_1$ și $M_2$ prin care ducem paralelele la $a$ și $b$, cele două perechi de paralele au laturile respectiv paralele, deci unghiurile obținute sunt egale. Astfel definiția este corectă (nu depinde de alegerea punctului).

17. $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$; aducem la $A$: $\sphericalangle (AC,A{D}^{\prime })=\widehat{CA{D}^{\prime }}$. Triunghiul $AC{D}^{\prime }$ are toate laturile $=4\sqrt{2}$ (diagonale de față), deci este echilateral → $60°$. Este aceeași configurație din Exemplul 4.

18. $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (diagonalele bazelor paralele). Aducem la vârful comun: $\sphericalangle (AC,B^{\prime }{D}^{\prime })=\sphericalangle (AC,BD)$. Dar $AC$ și $BD$ sunt diagonalele pătratului $ABCD$ și se intersectează în centrul $O$ sub un unghi de $90°$. Deci $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ (perpendiculare necoplanare). Da, sunt perpendiculare.

De reținut

• Unghiul a două drepte din spațiu este întotdeauna cuprins în intervalul $[0°,90°]$; pentru drepte paralele, el este $0°$.
• Pentru drepte concurente, unghiul este cel mai mic dintre cele patru unghiuri de la intersecție.
• Pentru drepte necoplanare, folosești metoda paralelelor: printr-un punct $M$ (ales convenabil, de obicei pe una dintre drepte) duci paralele la cele două drepte și măsori unghiul dintre paralele. Rezultatul nu depinde de $M$.
• Două drepte sunt perpendiculare dacă unghiul dintre ele este $90°$; în spațiu, ele pot fi necoplanare (perpendiculare fără să se intersecteze).
• Pe cub și paralelipiped folosești paralelismele fețelor și lungimile: diagonala feței $=a\sqrt{2}$, diagonala cubului $=a\sqrt{3}$; unghiul se află într-un triunghi cu $\sin ,\cos ,\mathrm{tg}$ sau recunoscând un triunghi special ($45°$, $60°$, $90°$).

Greșeli frecvente

• Confuzia „nu se intersectează → nu au unghi". Fals: dreptele necoplanare au un unghi bine definit, obținut prin translație (metoda paralelelor). Nu ai voie să spui că unghiul „nu există".
• Răspunsuri obtuze. Dacă în calcul obții un unghi de $120°$ sau $135°$, ai greșit sau trebuie să iei suplementul: unghiul dreptelor este mereu $\le 90°$. Verifică mereu că răspunsul este ascuțit sau drept.
• Muți dreapta greșit. La metoda paralelelor trebuie să duci o paralelă adevărată (aceeași direcție) la dreapta pe care o muți și să te asiguri că ea întâlnește cealaltă dreaptă. Alege punctul $M$ pe una dintre drepte ca să nu muți degeaba amândouă.
• Uiți paralelismele evidente. Uneori cele două drepte sunt de fapt paralele (ex. $A{B}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$) și răspunsul este $0°$. Înainte de calcule, verifică dacă nu cumva dreptele au aceeași direcție.

Aplică acasă

1. Cutia de carton. Ia o cutie dreptunghiulară (de pantofi, de cereale) și lipește pe muchii câteva bețe de frigărui sau fire colorate reprezentând drepte. Alege două muchii care nu se ating și, ținând un al treilea băț paralel cu una dintre ele lipit de cealaltă, „mută" dreapta ca să vezi în realitate metoda paralelelor. Măsoară cu raportorul unghiul obținut între o muchie și o diagonală de față.

2. Colțul camerei. În colțul unei camere se întâlnesc trei muchii perpendiculare două câte două (podea–perete–perete). Identifică o muchie a podelei și una a tavanului care sunt necoplanare și perpendiculare (ortogonale). Explică unei persoane din familie de ce sunt perpendiculare chiar dacă nu se ating.

3. Cubul de $60°$. Desenează un cub, alege trei diagonale de față care formează un triunghi echilateral (ca $A{B}^{\prime }C$) și verifică prin lungimi ($a\sqrt{2}$ fiecare) că unghiurile sunt de $60°$. Încearcă să găsești o a doua astfel de configurație pe același cub.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face trecerea de la unghiuri în plan la unghiuri în spațiu, o etapă în care mulți elevi se blochează pentru că nu mai „văd" vârful unghiului. Cel mai eficient sprijin este un obiect concret în mână (o cutie, un cub Rubik): manipularea fizică transformă abstracția în ceva palpabil.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Cum definești unghiul a două drepte care nu se intersectează?" (răspuns așteptat: prin paralele duse printr-un punct — metoda paralelelor).
• „Poate fi unghiul dreptelor mai mare de $90°$?" (nu, niciodată; e mereu în $[0°,90°]$).
• „Dă-mi un exemplu de drepte perpendiculare care nu se ating." (pe cub: $AB$ și $C{C}^{\prime }$).
• „Pe cub, cât e unghiul dintre o muchie și diagonala feței alăturate?" ($45°$).

Elevul a înțeles cu adevărat dacă poate redacta rezolvarea în trei pași — poziția dreptelor, translația (paralela), triunghiul cu justificare — și dacă verifică singur că răspunsul este un unghi ascuțit sau drept.

La Evaluarea Națională, unghiul a două drepte apare aproape mereu în subiectul de geometrie în spațiu (partea a III-a), pe cub, paralelipiped sau prismă, adesea combinat cu Teorema lui Pitagora și cu funcțiile trigonometrice din triunghiul dreptunghic (clasa a VII-a). Punctajul se acordă pe pași: identificarea corectă a unghiului (translația), calculul laturilor și determinarea măsurii. De aceea insistăm pe o redactare ordonată, nu doar pe rezultatul final.

Întrebări frecvente

Ce este unghiul a două drepte în spațiu la clasa a 8-a? Este unghiul format de cele două drepte dacă sunt concurente, respectiv unghiul dintre paralelele duse printr-un punct la ele dacă sunt necoplanare. El este întotdeauna cuprins în intervalul $[0°,90°]$, iar pentru drepte paralele este $0°$.

Cum calculez unghiul a două drepte necoplanare? Folosești metoda paralelelor: alegi un punct convenabil (de regulă pe una dintre drepte), duci prin el o paralelă la cealaltă dreaptă astfel încât cele două să se întâlnească, apoi afli unghiul într-un triunghi, cu Teorema lui Pitagora și cu $\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$.

Două drepte perpendiculare în spațiu se intersectează întotdeauna? Nu. În spațiu, două drepte pot fi perpendiculare (unghi de $90°$) chiar dacă nu au niciun punct comun; le numim perpendiculare necoplanare (sau ortogonale). Exemplu pe cub: muchia $AB$ și muchia $C{C}^{\prime }$.

Cât este unghiul dintre o muchie și diagonala unei fețe pe cub? Dacă muchia și diagonala aparțin aceleiași fețe sau unei fețe „adiacente" aduse prin paralelă, unghiul este de obicei $45°$, deoarece diagonala pătratului face $45°$ cu latura. Verifică mereu în triunghiul dreptunghic isoscel format.

Poate fi unghiul a două drepte mai mare de 90 de grade? Nu. Prin convenție, unghiul a două drepte este cel mult $90°$. Dacă un calcul îți dă o valoare obtuză (peste $90°$), iei suplementul ei, adică $180°$ minus acea valoare.

De ce nu contează punctul prin care duc paralelele? Pentru că unghiuri care au laturile respectiv paralele și la fel orientate sunt egale. Oricare ar fi punctul ales, obții același unghi, deci definiția unghiului a două drepte necoplanare este corectă și lipsită de ambiguitate.

Cum recunosc că două drepte pe cub sunt de fapt paralele? Verifică dacă au aceeași direcție: muchii opuse ale fețelor, muchii verticale între ele, sau diagonale ale unor fețe paralele (de exemplu $A{B}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$). Dacă sunt paralele, unghiul dintre ele este $0°$ și nu mai ai de calculat nimic.

Ce legătură are lecția cu Evaluarea Națională? Unghiul a două drepte este baza pentru unghiul dintre o dreaptă și un plan și pentru unghiul diedru, teme frecvente la examen. Problemele de geometrie în spațiu de la Evaluarea Națională cer aproape mereu identificarea și calculul unui astfel de unghi, combinat cu Pitagora și trigonometrie din triunghiul dreptunghic.