Relații între puncte, drepte și plane

Gândește-te la o cameră goală: podeaua este un „plan”, muchia dintre două ziduri este o „dreaptă”, iar colțul de sus unde se întâlnesc trei suprafețe este un „punct”. Când un electrician spune „firul trece prin planul tavanului” sau un arhitect spune „stâlpul stă pe podea”, ei folosesc, fără să știe, exact relațiile matematice pe care le învățăm astăzi. În lecțiile anterioare ai învățat cum notăm punctele, dreptele și planele în spațiu și cum se determină o dreaptă și un plan. Acum facem pasul următor: învățăm să descriem, cu simboluri precise, cum se așază aceste elemente unele față de altele. Este limbajul exact cerut la Evaluarea Națională, iar pe un cub îl vei stăpâni perfect.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești corect simbolurile $\in$, $\notin$, $\subset$, $\not\subset$ pentru relații între puncte, drepte și plane.
• Vei ști să deosebești relația de apartenență (punct la o mulțime) de relația de incluziune (dreaptă într-un plan).
• Vei ști să identifici cele trei poziții posibile ale unei drepte față de un plan: inclusă, secantă (o intersectează într-un punct) sau paralelă.
• Vei ști să descrii în limbaj matematic intersecția a două plane ca fiind o dreaptă comună.
• Vei ști să recunoști toate aceste configurații pe un cub și pe un paralelipiped dreptunghic.

Hai să descoperim împreună

1. Trei „personaje” și mulțimile de puncte

În geometria în spațiu lucrăm cu trei obiecte fundamentale: punctul, dreapta și planul. Un lucru esențial, pe care îl vom folosi tot timpul, este acesta:

Dreapta și planul sunt mulțimi de puncte. O dreaptă este o mulțime (infinită) de puncte aliniate; un plan este o mulțime (infinită) de puncte care se întind „la nesfârșit” în toate direcțiile pe o suprafață perfect netedă.

De aceea, ca să descriem relațiile dintre ele, folosim aceleași simboluri ca la mulțimi. Recitește, dacă vrei, apartenența unui element la o mulțime — ideea este exact aceeași, doar că acum „elementele” sunt puncte, iar „mulțimile” sunt drepte și plane.

Convenții de notare (le folosim pe tot parcursul):

• Punctele se notează cu litere mari de tipar: $A$, $B$, $M$, $P$.
• Dreptele se notează cu litere mici: $d$, $a$, $g$, sau prin două puncte ale lor, de exemplu $AB$.
• Planele se notează cu litere grecești mici: $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama), sau prin trei puncte necoliniare ale lor, de exemplu $(ABC)$.

2. Relația de apartenență: punctul și „gazda” lui ($\in$, $\notin$)

Prima relație spune dacă un punct face parte dintr-o dreaptă sau dintr-un plan.

Definiție. Spunem că un punct $A$ aparține unei drepte $d$ (respectiv unui plan $\alpha$) dacă punctul se află pe acea dreaptă (respectiv pe acel plan). Scriem: $$A\in d\text{sau}A\in \alpha .$$ Simbolul $\in$ se citește „aparține” sau „este pe”.

Dacă punctul nu se află pe dreaptă/plan, scriem: $$A\notin d\text{sau}A\notin \alpha ,$$ iar simbolul $\notin$ se citește „nu aparține”.

Atenție la un detaliu de „gramatică matematică”, foarte important pentru punctaj la examen: simbolurile $\in$ și $\notin$ se folosesc doar între un punct și o dreaptă/plan (adică între un element și o mulțime). Nu vom scrie niciodată $d\in \alpha$ pentru o dreaptă — pentru dreaptă avem alt simbol, pe care îl vedem imediat.

Sub-exemplu. Fie planul podelei unei săli, notat $\alpha$. Piciorul unei catedre atinge podeaua în punctul $A$ — deci $A\in \alpha$. Vârful unui creion ținut ridicat în aer se află în punctul $B$, deasupra podelei — deci $B\notin \alpha$.

3. Relația de incluziune: dreapta „locuiește” în plan ($\subset$, $\not\subset$)

A doua relație spune dacă o dreaptă întreagă se află într-un plan.

Definiție. Spunem că o dreaptă $d$ este inclusă în planul $\alpha$ dacă toate punctele dreptei se află în plan. Scriem: $$d\subset \alpha ,$$ iar simbolul $\subset$ se citește „este inclusă în” sau „este conținută în”.

Dacă dreapta nu este inclusă în plan (adică are cel puțin un punct în afara planului), scriem: $$d\not\subset \alpha (\text{„nu este inclusa˘ ıˆn”}).$$

De ce alt simbol decât la punct? Pentru că o dreaptă nu este un simplu punct, ci o mulțime de puncte. Când o mulțime întreagă este cuprinsă într-o altă mulțime, relația se numește incluziune, nu apartenență. Compară cele două propoziții:

• $A\in \alpha$ — „punctul $A$ este pe planul $\alpha$” (element în mulțime, simbol $\in$);
• $d\subset \alpha$ — „dreapta $d$ este cuprinsă în planul $\alpha$” (mulțime în mulțime, simbol $\subset$).

Cum le ții minte? Simbolul $\in$ este „ascuțit”, pentru un singur punct. Simbolul $\subset$ este „rotunjit ca o cupă”, pentru o mulțime întreagă (o dreaptă) care încape în plan.

Există o legătură foarte utilă între cele două relații, pe care o vei folosi des în demonstrații:

Regulă (legătura apartenență–incluziune). Dacă $d\subset \alpha$ și $A\in d$, atunci $A\in \alpha$. Cu alte cuvinte: dacă o dreaptă este inclusă într-un plan, atunci orice punct al dreptei aparține planului.

Aceasta pare evidentă, dar este exact pasul de raționament care aduce puncte la examen când trebuie să justifici că un punct se află într-un plan.

4. Un exemplu-far: cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$

Cel mai bun „laborator” pentru aceste relații este cubul. Notăm cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ astfel: baza de jos este pătratul $ABCD$, iar baza de sus este pătratul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $A^{\prime }$ deasupra lui $A$, $B^{\prime }$ deasupra lui $B$ și așa mai departe (muchiile verticale sunt $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$).

Să „citim” configurația folosind fața de jos, planul $(ABC)$ — care este de fapt planul care conține baza $ABCD$:

• $A\in (ABC)$, $B\in (ABC)$, $C\in (ABC)$, $D\in (ABC)$ — toate cele patru vârfuri ale bazei de jos aparțin planului bazei.
• $A^{\prime }\notin (ABC)$, $B^{\prime }\notin (ABC)$ — vârfurile de sus nu aparțin planului bazei de jos (sunt deasupra lui).
• $AB\subset (ABC)$ și $CD\subset (ABC)$ — muchiile bazei de jos sunt incluse în planul bazei de jos.
• $A{A}^{\prime }\not\subset (ABC)$ — muchia verticală nu este inclusă în planul bazei de jos, pentru că doar capătul $A$ este pe plan, iar $A^{\prime }$ nu.

Observă diferența fină de la ultima linie: $A\in (ABC)$ este adevărat (un capăt e pe plan), dar $A{A}^{\prime }\subset (ABC)$ este fals (dreapta întreagă nu e pe plan). Un singur punct comun nu înseamnă incluziune!

5. Poziția unei drepte față de un plan: trei cazuri și numai trei

Aici ajungem la inima lecției. Când iei o dreaptă și un plan în spațiu, câte puncte pot avea în comun? Răspunsul are exact trei variante, iar fiecare are un nume.

Cazul 1 — dreapta inclusă în plan ($d\subset \alpha$). Toate punctele dreptei sunt în plan. Dreapta și planul au o infinitate de puncte comune (toate punctele dreptei).

• Notație: $d\subset \alpha$.
• Pe cub: muchia $BC$ față de planul bazei $(ABC)$. Toată muchia stă pe podea.

Cazul 2 — dreapta secantă (intersectează planul într-un punct). Dreapta „străpunge” planul: are cu el exact un punct comun, numit punct de intersecție (sau punct de înțepare).

• Notație: $d\cap \alpha =\{P\}$, unde $P$ este punctul comun. Spunem că $d$ este secantă planului.
• Pe cub: muchia verticală $A{A}^{\prime }$ față de planul bazei $(ABC)$. Ele au un singur punct comun, $A$: $A{A}^{\prime }\cap (ABC)=\{A\}$.

Cazul 3 — dreapta paralelă cu planul ($d\parallel \alpha$). Dreapta și planul nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi. Spunem că dreapta este paralelă cu planul.

• Notație: $d\parallel \alpha$, ceea ce înseamnă $d\cap \alpha =\varnothing$ (mulțime vidă, niciun punct comun).
• Pe cub: muchia de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }$ față de planul bazei $(ABC)$. Muchia de sus „plutește” paralel deasupra podelei și nu o atinge niciodată.

Tabel de sinteză — recunoști cazul după numărul de puncte comune:

Reține logica: 0 puncte comune → paralelă; 1 punct comun → secantă; o infinitate → inclusă. Nu există altă posibilitate. (Dacă o dreaptă ar avea cu un plan două puncte comune distincte, atunci — conform axiomelor din lecția despre determinarea dreptei și a planului — întreaga dreaptă ar fi inclusă în plan, deci am fi automat în cazul 1.)

Despre paralelismul dreptei cu planul vom vorbi pe larg în lecția Dreaptă paralelă cu un plan; aici doar recunoaștem configurația.

6. Intersecția a două plane: o dreaptă comună

Ce se întâmplă când luăm două plane în spațiu? Sunt două posibilități:

Posibilitatea A — planele sunt paralele. Nu au niciun punct comun (de exemplu podeaua și tavanul unei camere). Scriem $\alpha \parallel \beta$. Despre acest caz vei citi în lecția Plane paralele.

Posibilitatea B — planele se intersectează. Dacă două plane distincte au măcar un punct comun, atunci ele au o dreaptă întreagă comună. Aceasta este o proprietate fundamentală:

Teoremă (intersecția a două plane). Dacă două plane distincte $\alpha$ și $\beta$ au un punct comun, atunci ele au în comun o dreaptă $d$ care trece prin acel punct. Scriem: $$\alpha \cap \beta =d.$$ Dreapta $d$ se numește dreapta de intersecție a celor două plane.

De ce o dreaptă întreagă, și nu doar un punct? Imaginează-ți colțul camerei unde se întâlnesc doi pereți: ei nu se ating într-un singur punct, ci de-a lungul unei muchii verticale — o dreaptă. La fel, cotorul unei cărți deschise este dreapta de-a lungul căreia se întâlnesc cele două coperți-plane.

Foarte important pentru redactare: intersecția a două plane este o dreaptă (se notează cu $=$ și o literă mică de dreaptă), nu o mulțime cu acolade. Scriem $\alpha \cap \beta =d$, nu $\alpha \cap \beta =\{d\}$. În schimb, intersecția unei drepte secante cu un plan este un punct, și acolo folosim acolade: $d\cap \alpha =\{P\}$.

7. Intersecții de plane pe cub și pe paralelipiped

Să identificăm dreptele de intersecție pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Fiecare muchie a cubului este intersecția a două fețe vecine:

• Fața de jos $(ABC)$ și fața laterală $(AB{B}^{\prime })$ se întâlnesc de-a lungul muchiei $AB$: $$(ABC)\cap (AB{B}^{\prime })=AB.$$
• Fața laterală $(AB{B}^{\prime })$ și fața laterală $(BC{C}^{\prime })$ (cei doi pereți care se întâlnesc de-a lungul muchiei verticale care trece prin $B$) se intersectează după dreapta $B{B}^{\prime }$: $$(AB{B}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=B{B}^{\prime }.$$
• Fața de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ și fața laterală $(DC{C}^{\prime })$ se întâlnesc după muchia $D^{\prime }{C}^{\prime }$: $$(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\cap (DC{C}^{\prime })=D^{\prime }{C}^{\prime }.$$

Regula practică pe cub: intersecția a două fețe alăturate este muchia comună dintre ele. Iar dacă alegi două fețe opuse (de exemplu baza de jos și baza de sus), acestea sunt paralele și nu au dreaptă de intersecție.

Același raționament merge la paralelipipedul dreptunghic — o „cutie” cu fețe dreptunghiuri, notat tot $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chiar dacă muchiile au lungimi diferite (lungime, lățime, înălțime), relațiile de poziție rămân identice cu cele de la cub:

• Muchia $AD$ este inclusă în planul bazei: $AD\subset (ABC)$.
• Muchia verticală $C{C}^{\prime }$ străpunge planul bazei într-un punct: $C{C}^{\prime }\cap (ABC)=\{C\}$.
• Muchia de sus $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu planul bazei: $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (ABC)$.
• Intersecția feței de jos cu o față laterală este o muchie: $(ABC)\cap (AD{D}^{\prime })=AD$.

8. Cum redactezi corect la examen

La Evaluarea Națională, aceste relații apar mai ales la itemii cu răspuns scurt și la subiectele de geometrie unde trebuie să justifici o poziție. Iată tiparul corect de exprimare:

• Pentru un punct: „Deoarece $M$ se află pe dreapta $BC$, avem $M\in BC$.”
• Pentru o dreaptă în plan: „Punctele $A$ și $B$ aparțin planului $\alpha$, deci dreapta $AB$ este inclusă în $\alpha$: $AB\subset \alpha$.” (Aceasta folosește regula: o dreaptă e determinată de două puncte, iar dacă ambele sunt în plan, dreapta e în plan.)
• Pentru intersecția a două plane: „Cum $B\in \alpha$ și $B\in \beta$, iar $C\in \alpha$ și $C\in \beta$, punctele comune $B$ și $C$ determină dreapta de intersecție: $\alpha \cap \beta =BC$.”

Folosește simbolul potrivit pentru fiecare obiect — corectorul urmărește exact acest limbaj.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — completează cu simbolul corect

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Completează cu unul dintre simbolurile $\in$, $\notin$, $\subset$, $\not\subset$: a) $C\square (ABC)$; b) $D^{\prime }\square (ABC)$; c) $DC\square (ABC)$; d) $C{C}^{\prime }\square (ABC)$.

Rezolvare. a) $C$ este un vârf al bazei de jos, deci se află pe planul bazei: $C\in (ABC)$. b) $D^{\prime }$ este un vârf al bazei de sus, deci nu se află pe planul bazei de jos: $D^{\prime }\notin (ABC)$. c) $DC$ este o muchie a bazei de jos; ambele capete $D$ și $C$ sunt pe plan, deci toată dreapta e inclusă: $DC\subset (ABC)$. d) $C{C}^{\prime }$ este o muchie verticală; doar capătul $C$ e pe planul bazei, $C^{\prime }$ nu — deci dreapta nu e inclusă: $C{C}^{\prime }\not\subset (ABC)$.

Exemplul 2 — stabilește poziția dreptei față de plan

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește poziția fiecărei drepte față de planul bazei $(ABC)$ și scrie relația corectă: a) dreapta $AD$; b) dreapta $B{B}^{\prime }$; c) dreapta $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Rezolvare. a) $AD$ este o muchie a bazei de jos → toate punctele ei sunt pe plan → inclusă: $AD\subset (ABC)$. b) $B{B}^{\prime }$ este muchie verticală → are un singur punct comun cu planul, $B$ → secantă: $B{B}^{\prime }\cap (ABC)=\{B\}$. c) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este muchie a bazei de sus → nu atinge deloc planul bazei de jos → paralelă: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$.

Exemplul 3 — intersecția a două plane

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, determină intersecția dintre fața laterală $(BC{C}^{\prime })$ și fața de jos $(ABC)$.

Rezolvare. Căutăm punctele comune celor două fețe. Vârfurile $B$ și $C$ aparțin ambelor plane:

• $B\in (ABC)$ și $B\in (BC{C}^{\prime })$;
• $C\in (ABC)$ și $C\in (BC{C}^{\prime })$. Două puncte comune distincte, $B$ și $C$, determină o dreaptă comună. Prin urmare: $$(ABC)\cap (BC{C}^{\prime })=BC.$$ Intersecția este muchia $BC$ — muchia comună a celor două fețe alăturate.

Exemplul 4 — adevărat sau fals, cu justificare

Decide dacă afirmațiile sunt adevărate (A) sau false (F) și justifică: a) „Dacă $A\in \alpha$ și $B\in \alpha$, atunci $AB\subset \alpha$.” b) „Este corect să scriem $AB\in \alpha$ pentru o dreaptă $AB$ conținută în planul $\alpha$.” c) „Dacă o dreaptă are exact un punct comun cu un plan, atunci dreapta este inclusă în plan.”

Rezolvare. a) Adevărat. Două puncte distincte determină o unică dreaptă; dacă ambele sunt în plan, toată dreapta $AB$ este în plan, deci $AB\subset \alpha$. b) Fals. Între o dreaptă și un plan se folosește simbolul de incluziune $\subset$, nu $\in$. Corect este $AB\subset \alpha$. Simbolul $\in$ se folosește doar între un punct și o dreaptă/plan. c) Fals. Un singur punct comun înseamnă că dreapta este secantă planului (îl străpunge), nu inclusă. Pentru a fi inclusă, dreapta trebuie să aibă toate punctele în plan (o infinitate de puncte comune).

Exemplul 5 — pe paralelipiped

Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Se cere: a) un exemplu de dreaptă inclusă în planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ (fața de sus); b) o dreaptă secantă planului $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ și punctul de intersecție; c) o dreaptă paralelă cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Rezolvare. a) Muchia de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }$ are ambele capete pe fața de sus, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. (La fel ar merge $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ sau $D^{\prime }{A}^{\prime }$.) b) Muchia verticală $A{A}^{\prime }$ străpunge fața de sus în vârful $A^{\prime }$: $A{A}^{\prime }\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=\{A^{\prime }\}$. (La fel $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$.) c) Muchia de jos $AB$ este paralelă cu fața de sus, pentru că baza de jos este paralelă cu baza de sus: $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Exemplul 6 — item tip Evaluarea Națională

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, notăm cu $M$ mijlocul muchiei $AB$. Precizează, cu justificare: a) relația dintre $M$ și planul bazei $(ABC)$; b) relația dintre dreapta $DM$ și planul bazei $(ABC)$; c) intersecția planelor $(ABC)$ și $(DC{C}^{\prime })$.

Rezolvare. a) $M$ este mijlocul muchiei $AB$, iar $AB\subset (ABC)$. Deoarece $M$ este un punct al dreptei $AB$ care e inclusă în plan, rezultă $M\in (ABC)$. b) Punctele $D$ și $M$ aparțin ambele planului bazei ($D\in (ABC)$ ca vârf, $M\in (ABC)$ de la punctul a). Cum dreapta $DM$ este determinată de două puncte din plan, ea este inclusă: $DM\subset (ABC)$. c) Vârfurile $D$ și $C$ aparțin ambelor plane: $D,C\in (ABC)$ și $D,C\in (DC{C}^{\prime })$. Cele două puncte comune determină dreapta de intersecție: $(ABC)\cap (DC{C}^{\prime })=DC$.

Să exersăm

1. Citește cu voce tare fiecare relație și spune ce înseamnă: a) $P\in d$; b) $Q\notin \alpha$; c) $g\subset \beta$; d) $a\not\subset \alpha$.

2. Completează cu $\in$ sau $\notin$, pentru cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și planul bazei $(ABC)$: a) $A\square (ABC)$; b) $B^{\prime }\square (ABC)$; c) $D\square (ABC)$; d) $C^{\prime }\square (ABC)$.

3. Completează cu $\subset$ sau $\not\subset$, în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, față de planul bazei $(ABC)$: a) $AB\square (ABC)$; b) $B{B}^{\prime }\square (ABC)$; c) $CD\square (ABC)$; d) $A^{\prime }{D}^{\prime }\square (ABC)$.

4. Alege simbolul corect ($\in$ sau $\subset$) pentru fiecare situație: a) punctul $M$ este pe planul $\alpha$: $M\square \alpha$; b) dreapta $d$ este conținută în planul $\alpha$: $d\square \alpha$.

5. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, precizează poziția fiecărei drepte față de planul bazei $(ABC)$ (inclusă / secantă / paralelă): a) $CD$; b) $C{C}^{\prime }$; c) $A^{\prime }{B}^{\prime }$; d) $BC$.

6. Scrie corect intersecția, în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: a) $(ABC)\cap (AD{D}^{\prime })=?$; b) $(AB{B}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=?$; c) $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=?$

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă o dreaptă $d$ și un plan $\alpha$ au două puncte comune distincte, atunci $d\subset \alpha$.”

8. Corectează greșeala de scriere din fiecare relație (obiectele sunt: $A$ punct, $d$ dreaptă, $\alpha$ plan): a) $A\subset \alpha$; b) $d\in \alpha$; c) $\alpha \cap \beta =\{d\}$.

9. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, dă câte un exemplu de: a) punct care nu aparține planului $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; b) muchie inclusă în planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; c) muchie secantă planului $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, precizând punctul de intersecție.

10. Câte puncte comune are o dreaptă cu un plan în fiecare dintre cele trei poziții posibile? Completează: inclusă → …; secantă → …; paralelă → … .

11. În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, determină: a) $(ABC)\cap (DC{C}^{\prime })$; b) o dreaptă paralelă cu planul $(ABC)$; c) o dreaptă secantă planului $(DC{C}^{\prime })$, cu punctul de intersecție.

12. Item tip Evaluarea Națională. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, fie $N$ mijlocul muchiei $C{C}^{\prime }$. Stabilește, cu justificare: a) dacă $N\in (ABC)$; b) dacă $N\in (BC{C}^{\prime })$; c) poziția dreptei $A^{\prime }{B}^{\prime }$ față de planul bazei.

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Intersecția a două plane distincte care se intersectează este întotdeauna un punct.”

14. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, se consideră punctele $A$, $B$, $C^{\prime }$. Justifică de ce dreapta $AB$ este inclusă în planul $(AB{C}^{\prime })$, iar apoi precizează relația dintre punctul $C$ și acest plan $(AB{C}^{\prime })$. (Indicație: verifică dacă $C$ e coliniar cu $A$ și $B$ — nu este — deci privește dacă $C$ ar putea fi în planul determinat de $A$, $B$, $C^{\prime }$.)

15. Provocare de raționament. Fie planul $\alpha$ și o dreaptă $d$ cu $d\parallel \alpha$. Fie $A$ un punct oarecare al dreptei $d$. Ce relație există între $A$ și $\alpha$: $A\in \alpha$ sau $A\notin \alpha$? Justifică.

16. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, câte muchii ale cubului sunt: a) incluse în planul bazei $(ABC)$; b) secante planului bazei $(ABC)$; c) paralele cu planul bazei $(ABC)$? (Indicație: cubul are 12 muchii; verifică 4 + 4 + 4.)

17. Descrie în limbaj matematic, pentru un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, faptul că muchia $A{A}^{\prime }$ este comună fețelor $(AB{B}^{\prime })$ și $(AD{D}^{\prime })$.

18. Item de sinteză. Enumeră toate fețele cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ care conțin (au inclusă) muchia $B{B}^{\prime }$ — atenție, verifică fiecare față și numără câte sunt — și scrie apoi intersecția a două dintre ele sub forma unei drepte.

Răspunsuri și explicații

1. a) „$P$ aparține dreptei $d$” (punctul $P$ este pe dreapta $d$). b) „$Q$ nu aparține planului $\alpha$” ($Q$ nu se află pe plan). c) „dreapta $g$ este inclusă în planul $\beta$” (toate punctele lui $g$ sunt în $\beta$). d) „dreapta $a$ nu este inclusă în planul $\alpha$”.

2. a) $A\in (ABC)$; b) $B^{\prime }\notin (ABC)$; c) $D\in (ABC)$; d) $C^{\prime }\notin (ABC)$. (Vârfurile cu prim sunt pe baza de sus, deci nu pe planul bazei de jos.)

3. a) $AB\subset (ABC)$; b) $B{B}^{\prime }\not\subset (ABC)$ (doar $B$ e pe plan); c) $CD\subset (ABC)$; d) $A^{\prime }{D}^{\prime }\not\subset (ABC)$ (nicio parte a ei nu e pe baza de jos).

4. a) $M\in \alpha$ (punct → apartenență); b) $d\subset \alpha$ (dreaptă → incluziune).

5. a) $CD$ — inclusă ($CD\subset (ABC)$); b) $C{C}^{\prime }$ — secantă ($C{C}^{\prime }\cap (ABC)=\{C\}$); c) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — paralelă ($A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$); d) $BC$ — inclusă ($BC\subset (ABC)$).

6. a) $(ABC)\cap (AD{D}^{\prime })=AD$; b) $(AB{B}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=B{B}^{\prime }$; c) $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=B^{\prime }{C}^{\prime }$. (De fiecare dată, muchia comună a celor două fețe alăturate.)

7. Adevărat. Două puncte distincte determină o unică dreaptă. Dacă ambele puncte sunt în plan, atunci dreapta pe care o determină este în întregime în plan, deci $d\subset \alpha$. (Aceasta e chiar axioma care exclude cazul „două puncte comune, dar dreapta iese din plan”.)

8. a) corect: $A\in \alpha$ (punct → $\in$); b) corect: $d\subset \alpha$ (dreaptă → $\subset$); c) corect: $\alpha \cap \beta =d$ (intersecția a două plane e o dreaptă, se scrie fără acolade, cu semnul $=$ și litera dreptei).

9. Exemple valide (există mai multe): a) $A$ (sau $B$, $C$, $D$) — vârf al bazei de jos, deci $A\notin (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; b) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (sau $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$) — muchie a feței de sus, inclusă în $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; c) $A{A}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=\{A^{\prime }\}$ (sau $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$).

10. Inclusă → o infinitate de puncte comune; secantă → exact un punct comun; paralelă → niciun punct comun.

11. a) $(ABC)\cap (DC{C}^{\prime })=DC$; b) orice muchie a bazei de sus, de exemplu $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$ (acceptabil și $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$); c) o dreaptă secantă lui $(DC{C}^{\prime })$: de exemplu $AD$, care înțeapă planul $(DC{C}^{\prime })$ în $D$: $AD\cap (DC{C}^{\prime })=\{D\}$ (sau $BC$, cu punctul $C$). Atenție: $AB$ NU este un exemplu bun — $AB$ este paralelă cu $(DC{C}^{\prime })$, nu secantă.

12. a) $N\notin (ABC)$: $N$ este mijlocul muchiei verticale $C{C}^{\prime }$, deci se află deasupra bazei (singurul punct al lui $C{C}^{\prime }$ pe bază este $C$, iar $N\ne C$). b) $N\in (BC{C}^{\prime })$: muchia $C{C}^{\prime }$ este inclusă în fața $(BC{C}^{\prime })$, iar $N\in C{C}^{\prime }$, deci $N\in (BC{C}^{\prime })$. c) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul bazei: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$ (muchie a bazei de sus).

13. Fals. Intersecția a două plane distincte care se intersectează este întotdeauna o dreaptă (dreapta comună), nu un punct. Exemplu: doi pereți vecini ai camerei se întâlnesc după o muchie verticală întreagă.

14. Punctele $A$ și $B$ aparțin planului $(AB{C}^{\prime })$ (ele sunt chiar printre punctele care îl determină), iar o dreaptă determinată de două puncte ale unui plan este inclusă în plan → $AB\subset (AB{C}^{\prime })$. Relația lui $C$: punctul $C$ nu aparține planului $(AB{C}^{\prime })$, adică $C\notin (AB{C}^{\prime })$. (Planul $(AB{C}^{\prime })$ este un plan „înclinat” prin diagonala unei fețe; $C$ este un vârf al bazei de jos care nu se află pe acest plan diagonal.)

15. $A\notin \alpha$. Dacă $d\parallel \alpha$, atunci dreapta $d$ nu are niciun punct comun cu planul ($d\cap \alpha =\varnothing$). Cum $A$ este un punct al lui $d$, el nu poate fi în plan, deci $A\notin \alpha$.

16. a) 4 muchii incluse: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (muchiile bazei de jos). b) 4 muchii secante: $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ (muchiile verticale, fiecare cu un punct comun). c) 4 muchii paralele: $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$ (muchiile bazei de sus). Total: $4+4+4=12$ muchii, corect.

17. Muchia $A{A}^{\prime }$ este dreapta comună celor două fețe: $(AB{B}^{\prime })\cap (AD{D}^{\prime })=A{A}^{\prime }$. (Cele două fețe laterale se întâlnesc de-a lungul muchiei verticale $A{A}^{\prime }$.)

18. Muchia $B{B}^{\prime }$ este inclusă în fețele care o conțin: fața laterală $(AB{B}^{\prime })$ și fața laterală $(BC{C}^{\prime })$ — sunt exact două fețe (nu trei; muchia verticală aparține la două fețe laterale, nu bazelor). Intersecția lor: $(AB{B}^{\prime })\cap (BC{C}^{\prime })=B{B}^{\prime }$.

De reținut

• Punct și dreaptă/plan → apartenență: $A\in d$, $A\in \alpha$ (sau $\notin$). Se folosește doar între un punct și o mulțime de puncte.
• Dreaptă și plan → incluziune: $d\subset \alpha$ (sau $\not\subset$). O dreaptă e inclusă în plan dacă toate punctele ei sunt în plan.
• Poziția dreptei față de plan — trei cazuri: inclusă ($d\subset \alpha$, o infinitate de puncte comune), secantă ($d\cap \alpha =\{P\}$, un punct comun), paralelă ($d\parallel \alpha$, niciun punct comun).
• Intersecția a două plane distincte care se taie este o dreaptă: $\alpha \cap \beta =d$ (fără acolade). Pe cub, intersecția a două fețe alăturate este muchia comună.
• Regula-cheie de demonstrație: dacă $d\subset \alpha$ și $A\in d$, atunci $A\in \alpha$; iar dacă două puncte ale unei drepte sunt într-un plan, toată dreapta e în plan.

Greșeli frecvente

• Confuzia $\in$ cu $\subset$. Elevii scriu $AB\in \alpha$ pentru o dreaptă. Greșit: dreapta este o mulțime de puncte, deci se folosește incluziunea, $AB\subset \alpha$. Simbolul $\in$ e rezervat unui singur punct. Test rapid: „E un punct sau o dreaptă?” Punct → $\in$; dreaptă → $\subset$.
• Un punct comun ≠ dreaptă inclusă. Faptul că o muchie verticală atinge planul bazei într-un vârf ($A{A}^{\prime }\cap (ABC)=\{A\}$) NU înseamnă $A{A}^{\prime }\subset (ABC)$. Un singur punct comun = dreaptă secantă; incluziunea cere toate punctele.
• Intersecția a două plane scrisă ca punct sau cu acolade. $\alpha \cap \beta$ este o dreaptă: scrie $\alpha \cap \beta =d$, nu $=P$ și nu $=\{d\}$. Acoladele se folosesc doar pentru intersecția dreaptă–plan secant, care e un punct: $d\cap \alpha =\{P\}$.
• Uitarea că bazele opuse sunt paralele. Pe cub, baza de jos și baza de sus nu au dreaptă de intersecție (sunt paralele). Nu căuta o muchie comună între fețe opuse — nu există.

Aplică acasă

• Camera ta ca laborator de geometrie. Alege un colț al camerei și „citește-l” matematic: cei doi pereți sunt două plane; scrie intersecția lor ca o dreaptă (muchia verticală). Găsește apoi: un punct care aparține podelei, o muchie inclusă în podea, o muchie paralelă cu podeaua și o muchie care „străpunge” planul podelei (piciorul unei mese). Notează fiecare cu simbolul corect ($\in$, $\subset$, $\parallel$, $\cap$).
• Cutia de pantofi. Ia o cutie (paralelipiped dreptunghic), notează-i vârfurile $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu creionul și verifică pe obiect real cele patru intersecții de tip $(\text{fața˘})\cap (\text{fața˘})$ dintre fața de jos și fiecare față laterală. Confirmă că fețele opuse nu se ating.
• Construcții din jur. Fotografiază o clădire sau o schelă și identifică în imagine: o dreaptă inclusă într-un plan (o grindă pe un perete), o dreaptă secantă (un stâlp care intră în tavan) și două plane care se intersectează (colțul acoperișului). Explică-i cuiva din familie de ce colțul e o dreaptă, nu un punct.

Pentru părinți și profesori

Această lecție construiește limbajul geometriei în spațiu, care este evaluat direct la Evaluarea Națională prin itemi cu răspuns scurt și prin cerințe de justificare la subiectul de geometrie (corpuri geometrice — cub, paralelipiped, prismă). Elevul trebuie să facă, aproape automat, distincția dintre apartenență (punct, $\in$) și incluziune (dreaptă, $\subset$) și să nu confunde intersecția dreaptă–plan (un punct) cu intersecția plan–plan (o dreaptă).

Întrebări de verificare pe care le puteți pune, folosind un cub sau o cutie:

• „Arată-mi un punct care aparține feței de jos și scrie relația.” (Așteptați $\in$.)
• „Este muchia verticală inclusă în planul bazei? De ce nu?” (Un singur punct comun → secantă, nu inclusă.)
• „Care este intersecția a doi pereți vecini — un punct sau o dreaptă?” (O dreaptă; verificați că folosește notația $\alpha \cap \beta =d$.)
• „De ce podeaua și tavanul nu au dreaptă de intersecție?” (Sunt plane paralele.)

Semnul că elevul a înțeles cu adevărat: alege corect simbolul fără să ezite și justifică fiecare afirmație printr-o propoziție de forma „deoarece … , rezultă că …”. Dacă amestecă $\in$ cu $\subset$, reveniți la ideea de bază — dreapta este o mulțime de puncte — și reluați pe obiectul fizic. Această deprindere de redactare aduce puncte sigure la examen și pregătește lecțiile următoare despre poziții relative a două drepte și dreaptă paralelă cu un plan.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre simbolurile ∈ și ⊂? Simbolul $\in$ („aparține”) se folosește între un punct și o dreaptă sau un plan, de exemplu $A\in \alpha$. Simbolul $\subset$ („este inclus”) se folosește între o dreaptă și un plan, de exemplu $d\subset \alpha$. Regula scurtă: un singur punct → $\in$; o dreaptă întreagă (mulțime de puncte) → $\subset$.

Când o dreaptă este inclusă într-un plan? O dreaptă este inclusă într-un plan atunci când toate punctele ei se află în acel plan; scriem $d\subset \alpha$. Practic, este suficient ca două puncte distincte ale dreptei să fie în plan — atunci, conform axiomelor, întreaga dreaptă este în plan.

Câte poziții poate avea o dreaptă față de un plan? Exact trei: inclusă în plan (o infinitate de puncte comune, $d\subset \alpha$), secantă — o intersectează într-un punct ($d\cap \alpha =\{P\}$) — sau paralelă cu planul (niciun punct comun, $d\parallel \alpha$). Numărul de puncte comune (∞, 1 sau 0) îți spune imediat cazul.

Ce este intersecția a două plane? Dacă două plane distincte au cel puțin un punct comun, atunci ele au în comun o dreaptă întreagă, numită dreapta de intersecție, și scriem $\alpha \cap \beta =d$. Este o dreaptă, nu un punct — gândește-te la muchia dintre doi pereți sau la cotorul unei cărți deschise.

Cum notez că o dreaptă intersectează un plan într-un punct? Scrii $d\cap \alpha =\{P\}$, unde $P$ este punctul de intersecție, iar dreapta se numește secantă planului. Atenție: aici rezultatul este un punct și se scrie cu acolade, spre deosebire de intersecția a două plane, care este o dreaptă.

Pe un cub, care este intersecția a două fețe alăturate? Este muchia comună a celor două fețe. De exemplu, pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, fața de jos și o față laterală se întâlnesc de-a lungul unei muchii: $(ABC)\cap (AB{B}^{\prime })=AB$. Două fețe opuse însă sunt paralele și nu au dreaptă de intersecție.

De ce nu putem scrie AB ∈ α pentru o dreaptă? Pentru că $AB$ este o dreaptă, adică o mulțime de puncte, nu un singur element. Între o mulțime (dreapta) și altă mulțime (planul) relația corectă este incluziunea, deci scriem $AB\subset \alpha$. Simbolul $\in$ ar fi corect doar dacă $AB$ ar fi un punct, ceea ce nu este.

Două plane se pot intersecta doar într-un punct? Nu. Două plane distincte fie sunt paralele (niciun punct comun), fie se intersectează după o dreaptă întreagă. Nu există situația în care două plane distincte să aibă în comun un singur punct — de îndată ce au un punct comun, au automat o dreaptă comună.