Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate

Ai împărțit vreodată o pungă cu bomboane între prieteni și ai vrut ca fiecare să primească exact același număr, fără să rămână niciuna pe afară? Sau ai aranjat jucării, cărți sau jetoane în rânduri perfect egale? Atunci ai folosit deja, fără să știi, ideea centrală din această lecție: divizibilitatea numerelor naturale. Astăzi îi dăm un nume matematic, o notație clară și niște reguli pe care le vei folosi tot restul gimnaziului. Cu relația de divizibilitate, cu divizorul și cu multiplul unui număr natural intri într-un capitol nou și foarte util al matematicii de clasa a V-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să stabilești dacă un număr natural este divizibil cu altul, folosind restul împărțirii.
• Vei ști să scrii și să citești corect relația de divizibilitate, cu simbolul ei special.
• Vei ști să determini toți divizorii unui număr natural prin împărțiri succesive.
• Vei ști să determini multiplii unui număr natural prin înmulțiri succesive.
• Vei ști să faci diferența clară între un divizor și un multiplu, fără să le mai confunzi.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la o împărțire pe care o cunoști deja

În lecția despre împărțirea cu rest ai învățat teorema împărțirii cu rest. Orice împărțire a două numere naturale (cu împărțitorul diferit de zero) se scrie:

$$D=\hat{I}\cdot C+R,\text{unde }0\le R<\hat{I}$$

adică Deîmpărțit = Împărțitor · Cât + Rest, iar restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul.

Hai să comparăm două împărțiri simple:

• $12:3=4$, rest $0$. Împărțirea se face „fără să rămână nimic”.
• $13:3=4$, rest $1$. De data asta rămâne ceva pe afară: un rest de $1$.

Toată lecția de astăzi se învârte în jurul unui singur lucru: dacă restul este zero sau nu. Când restul este $0$, spunem că împărțirea este exactă, iar cele două numere sunt prinse într-o legătură specială pe care o numim relația de divizibilitate.

Definiția relației de divizibilitate

Iată definiția pe care merită s-o citești de două ori:

Spunem că numărul natural $a$ este divizibil cu numărul natural $b$ (cu $b\ne 0$) dacă restul împărțirii lui $a$ la $b$ este $0$.

Cu alte cuvinte, $a$ este divizibil cu $b$ atunci când $a$ „se împarte exact” la $b$. Asta înseamnă că există un număr natural $c$ astfel încât:

$$a=b\cdot c$$

De exemplu, $12$ este divizibil cu $3$ pentru că $12=3\cdot 4$. Aici $a=12$, $b=3$ și $c=4$.

Notația specială — simbolul „⋮”

Matematica are un simbol scurt pentru relația de divizibilitate. Se folosesc două puncte verticale, ca două puncte mici așezate unul deasupra celuilalt:

$$a⋮b$$

și se citește „a se divide cu b” sau „a este divizibil cu b”.

Deci, în loc să scriem mereu propoziții lungi, scriem simplu:

$$12⋮3\text{(citim: 12 se divide cu 3)}$$

Dacă, dimpotrivă, numărul nu este divizibil, tăiem simbolul cu o linie:

$$13/⋮3\text{(citim: 13 nu se divide cu 3, pentru ca˘ restul este 1)}$$

Trei moduri de a spune același lucru

Un lucru care îi încurcă pe mulți elevi la început: aceeași legătură matematică se poate exprima în mai multe feluri. Toate propozițiile de mai jos înseamnă exact același lucru atunci când $12=3\cdot 4$:

• $12$ este divizibil cu $3$.
• $3$ este divizor al lui $12$ (sau: $3$ „divide” pe $12$).
• $12$ este multiplu al lui $3$.
• $12$ se împarte exact la $3$.

Vezi? Un singur fapt ($12=3\cdot 4$), patru moduri de a-l rosti. Diferența este doar din ce parte privești legătura: de la numărul mic ($3$) sau de la numărul mare ($12$).

Divizorul — numărul „de jos”, care încape exact

$b$ este divizor al lui $a$ dacă $a$ este divizibil cu $b$, adică dacă $a:b$ se face exact, fără rest.

Gândește-te la un divizor ca la o piesă care „încape un număr întreg de ori” în număr. Întrebarea pe care o pui pentru un divizor este:

„Cu ce numere pot să împart $a$ astfel încât să nu-mi rămână rest?”

De exemplu, divizorii lui $12$ sunt numerele cu care $12$ se împarte exact: $1,2,3,4,6,12$. Toate se „aranjează frumos” în $12$:

• $12:1=12$ (rest 0) → $1$ este divizor
• $12:2=6$ (rest 0) → $2$ este divizor
• $12:3=4$ (rest 0) → $3$ este divizor
• $12:4=3$ (rest 0) → $4$ este divizor
• $12:6=2$ (rest 0) → $6$ este divizor
• $12:12=1$ (rest 0) → $12$ este divizor

Iar $5$ nu este divizor al lui $12$, fiindcă $12:5=2$ rest $2$.

Multiplul — numărul „de sus”, obținut prin înmulțire

$a$ este multiplu al lui $b$ dacă $a=b\cdot c$, unde $c$ este un număr natural.

Un multiplu se obține „înmulțind” numărul cu $0,1,2,3,\dots$. Multiplii lui $3$, de exemplu, sunt:

$$3\cdot 0=0,3\cdot 1=3,3\cdot 2=6,3\cdot 3=9,3\cdot 4=12,\dots$$

deci $0,3,6,9,12,15,18,\dots$ — exact tabla înmulțirii cu $3$, continuată la nesfârșit.

Trucul ca să nu confunzi NICIODATĂ divizorul cu multiplul

Mulți elevi de clasa a V-a confundă cele două cuvinte. Ține minte regula asta simplă:

• Divizorii unui număr sunt mai mici sau egali cu el. Sunt puțini, se termină. (Divizorii lui $12$ sunt doar $6$ numere.)
• Multiplii unui număr sunt mai mari sau egali cu el (în afară de $0$). Sunt infiniți, nu se termină niciodată.

O imagine care ajută: numărul $b$ stă la mijloc.

• În jos (numere mai mici care „intră” în el) → divizorii.
• În sus (numere mai mari, obținute prin înmulțire) → multiplii.

Cum determinăm TOȚI divizorii unui număr — metoda împărțirilor succesive

Ca să găsești toți divizorii unui număr natural $n$, faci așa:

1. Împarți $n$, pe rând, la $1,2,3,4,\dots$
2. De fiecare dată verifici restul. Dacă restul este $0$, numărul cu care ai împărțit este divizor.
3. Te oprești când ajungi la $n$ însuși (sau, mai inteligent, la jumătatea lui — vezi mai jos).

Hai să găsim divizorii lui $20$:

Divizorii lui $20$ sunt deci: $\{1,2,4,5,10,20\}$.

Trucul perechilor. Observă ceva frumos: divizorii vin la pachet câte doi, ca o pereche de prieteni care înmulțiți dau numărul:

$$1\cdot 20,2\cdot 10,4\cdot 5$$

De aceea, în practică nu trebuie să împarți până la $20$. E suficient să mergi până pe la jumătate (mai exact, până când cei doi parteneri se întâlnesc), pentru că de fiecare dată când găsești un divizor mic, „cade” automat și partenerul lui mare. Asta îți economisește mult timp la numere mari.

Cum determinăm multiplii unui număr — metoda înmulțirilor succesive

Pentru multipli e și mai simplu. Înmulțești numărul cu $0,1,2,3,4,\dots$ în ordine:

Multiplii lui $4$: $$4\cdot 0=0,4\cdot 1=4,4\cdot 2=8,4\cdot 3=12,4\cdot 4=16,4\cdot 5=20,\dots$$

deci $\{0,4,8,12,16,20,24,\dots \}$. Mulțimea multiplilor unui număr se notează uneori $M_4$. Ea este infinită — oricât de mare ai merge, mai poți adăuga încă un multiplu, pur și simplu adunând $4$ la ultimul.

Câteva adevăruri care merită știute pe de rost

Acestea sunt mici reguli pe care le vei folosi mereu:

1. $1$ este divizor al oricărui număr natural. Pentru că $n:1=n$, rest $0$. Deci $n⋮1$ mereu.
2. Orice număr natural se divide cu el însuși. $n:n=1$, rest $0$. Deci $n⋮n$.
3. $0$ este multiplu al oricărui număr natural. Pentru că $b\cdot 0=0$. Deci $0$ este multiplu al lui $3$, al lui $7$, al oricui.
4. Nu împărțim niciodată la $0$. Împărțitorul $b$ trebuie să fie diferit de $0$. „Divizibil cu $0$” nu are sens.
5. Cel mai mic divizor (mai mare ca 0) al oricărui număr este $1$; cel mai mare divizor al unui număr este numărul însuși.
6. Cel mai mic multiplu al unui număr (în afară de 0) este numărul însuși.

Aceste idei pregătesc lecțiile următoare despre divizori comuni și cmmdc, multipli comuni și cmmmc și criteriile de divizibilitate, unde nu va mai trebui să faci toate împărțirile pe rând.

O poveste scurtă ca să prindă bine ideea

Imaginează-ți că Andrei are $24$ de medalii și vrea să le aranjeze pe un raft, în rânduri perfect egale, fără ca vreo medalie să rămână singură. În câte feluri poate s-o facă?

El încearcă, practic, toți divizorii lui $24$: $1,2,3,4,6,8,12,24$. Poate face $1$ rând de $24$, sau $2$ rânduri de $12$, sau $3$ rânduri de $8$, sau $4$ rânduri de $6$… și tot așa. Fiecare aranjare egală corespunde unei perechi de divizori. Dacă ar fi avut $23$ de medalii (număr prim), singurele aranjări egale ar fi fost $1$ rând de $23$ sau $23$ rânduri de câte una — pentru că $23$ are doar doi divizori. Vezi cum divizibilitatea răspunde la o întrebare reală?

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificăm o relație de divizibilitate

Stabilește dacă $48$ este divizibil cu $6$. Scrie relația cu simbolul potrivit.

Rezolvare. Facem împărțirea și ne uităm la rest: $$48:6=8,\text{ rest }0.$$ Restul este $0$, deci împărțirea este exactă. Putem scrie și ca produs: $48=6\cdot 8$. Prin urmare: $$48⋮6.$$ Citim: „$48$ se divide cu $6$”. Echivalent: $6$ este divizor al lui $48$, iar $48$ este multiplu al lui $6$.

Exemplul 2 — Când relația NU se verifică

Este $50$ divizibil cu $7$?

Rezolvare. Împărțim: $$50:7=7,\text{ rest }1(\text{deoarece }7\cdot 7=49\text{ și }50-49=1).$$ Restul este $1$, diferit de $0$. Deci $50$ nu este divizibil cu $7$: $$50/⋮7.$$ Răspuns: nu, pentru că rămâne rest $1$.

Exemplul 3 — Toți divizorii unui număr

Determină toți divizorii lui $36$.

Rezolvare. Folosim trucul perechilor. Căutăm perechi de numere care înmulțite dau $36$: $$1\cdot 36,2\cdot 18,3\cdot 12,4\cdot 9,6\cdot 6.$$ La $6\cdot 6$ partenerii s-au întâlnit (este același număr), deci ne oprim. Atenție: pe $6$ îl scriem o singură dată, nu de două ori. Divizorii lui $36$ sunt: $$\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}.$$ Sunt $9$ divizori. (Verificare: $5$ nu apare pentru că $36:5=7$ rest $1$; corect, $5$ nu e divizor.)

Exemplul 4 — Primii multipli ai unui număr

Scrie primii $6$ multipli ai lui $7$ (începând de la $0$).

Rezolvare. Înmulțim $7$ cu $0,1,2,3,4,5$: $$7\cdot 0=0,7\cdot 1=7,7\cdot 2=14,7\cdot 3=21,7\cdot 4=28,7\cdot 5=35.$$ Primii $6$ multipli sunt: $0,7,14,21,28,35$. Și pot continua la nesfârșit, adăugând mereu $7$.

Exemplul 5 — Multiplu într-un interval dat

Găsește toți multiplii lui $9$ cuprinși între $20$ și $60$.

Rezolvare. Scriem multiplii lui $9$ și îi alegem pe cei din interval: $$9,18,\underline{27},\underline{36},\underline{45},\underline{54},63,\dots$$ Cei mai mici decât $20$ ($9,18$) și cei mai mari decât $60$ ($63$) îi lăsăm afară. Multiplii lui $9$ dintre $20$ și $60$ sunt: $$27,36,45,54.$$

Exemplul 6 — O mică problemă practică

O cofetărie pune prăjituri în cutii de câte $8$. Astăzi a vândut exact $13$ cutii pline, fără nicio prăjitură rămasă pe afară. Câte prăjituri a vândut? Este acest număr divizibil cu $8$? Dar cu $4$?

Rezolvare. Numărul de prăjituri este un multiplu al lui $8$: $$8\cdot 13=104\text{ pra˘jituri}.$$ Fiind obținut prin înmulțirea cu $8$, numărul $104$ este automat divizibil cu $8$: $$104⋮8(104:8=13,\text{ rest }0).$$ Este divizibil și cu $4$? Verificăm: $104:4=26$, rest $0$. Da, $104⋮4$. (De fapt, orice multiplu al lui $8$ este și multiplu al lui $4$, fiindcă $8$ însuși se divide cu $4$ — o idee la care vei reveni mai târziu.)

Exemplul 7 — Recunoaștem rolul fiecărui număr

În egalitatea $63=9\cdot 7$, cine este divizor și cine este multiplu? Scrie toate relațiile de divizibilitate care decurg de aici.

Rezolvare. Egalitatea $63=9\cdot 7$ ne spune că $63$ se obține înmulțind, deci $63$ este multiplul, iar $9$ și $7$ sunt divizorii lui. Privind din ambele părți, putem scrie două relații de divizibilitate adevărate: $$63⋮9(63:9=7,\text{ rest }0),63⋮7(63:7=9,\text{ rest }0).$$ Reține tiparul: dintr-o singură înmulțire de forma $a=b\cdot c$ ies întotdeauna două relații de divizibilitate — numărul mare se divide și cu $b$, și cu $c$. Acesta este motivul pentru care divizorii apar mereu în perechi.

Exemplul 8 — Găsim numărul când știm o relație

Care este cel mai mic număr natural, mai mare decât $0$, care este multiplu al lui $6$?

Rezolvare. Multiplii lui $6$ sunt $0,6,12,18,\dots$ Primul, $0$, este exclus prin condiția „mai mare decât $0$”. Următorul este $6$ însuși. Așadar, cel mai mic multiplu nenul al unui număr este chiar numărul: $$6\cdot 1=6.$$ Răspuns: $6$. (Regula generală: cel mai mic multiplu nenul al lui $n$ este $n$.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pornește ușor și urcă treptat.

1. Completează cu „rest 0” sau „rest diferit de 0” și spune dacă relația se verifică: a) $15:3$; b) $20:6$; c) $42:7$; d) $30:4$.

2. Scrie cu simbolul de divizibilitate ($⋮$ sau $/⋮$): a) $24$ și $6$; b) $24$ și $5$; c) $35$ și $5$; d) $35$ și $9$.

3. Adevărat sau Fals? a) $1$ este divizor al oricărui număr natural. b) Orice număr este multiplu al lui $1$. c) $0$ este divizor al lui $5$. d) $7$ este divizor al lui $49$.

4. Încercuiește numerele care sunt divizori ai lui $18$: $$1,2,4,3,5,6,9,8,18.$$

5. Determină toți divizorii numărului $24$ folosind trucul perechilor.

6. Scrie primii $5$ multipli (de la $0$) ai numărului $11$.

7. Care dintre numerele $0,5,12,25,40,53$ sunt multipli ai lui $5$?

8. Potrivește fiecare număr din coloana stângă cu propoziția corectă din dreapta:

9. Găsește toți multiplii lui $6$ cuprinși între $10$ și $40$.

10. Câți divizori are numărul $15$? Scrie-i pe toți.

11. Completează: cel mai mic divizor mai mare ca $0$ al lui $50$ este ____, iar cel mai mare divizor al lui $50$ este ____.

12. Adevărat sau Fals? Numărul $100$ este divizibil cu $25$. Justifică prin împărțire.

13. Scrie toate numerele de două cifre care sunt multipli ai lui $10$.

14. Un număr este divizibil cu $9$ și se află între $50$ și $70$. Care sunt toate valorile posibile ale numărului?

15. (problemă) Maria are $30$ de jetoane și vrea să le aranjeze în grupe perfect egale, fiecare grupă cu mai mult de un jeton și mai puțin de $30$. Câte mărimi de grupă poate alege? (Indiciu: numără divizorii lui $30$ diferiți de $1$ și de $30$.)

16. (problemă) La un turneu, sportivii sunt împărțiți în echipe de câte $8$. Dacă sunt în total $96$ de sportivi, se formează echipe complete, fără niciun sportiv rămas pe dinafară? Răspunde și scrie relația de divizibilitate.

17. Găsește un număr natural care este în același timp divizor al lui $12$ și multiplu al lui $2$. Dă două exemple.

18. (provocare) Numărul $48$ — câți divizori are? Scrie-i pe toți, folosind trucul perechilor, și verifică numărându-i.

Răspunsuri și explicații

1. a) $15:3=5$, rest 0 → se verifică, $15⋮3$. b) $20:6=3$, rest $2$ → rest diferit de 0, nu se verifică, $20/⋮6$. c) $42:7=6$, rest 0 → se verifică, $42⋮7$. d) $30:4=7$, rest $2$ → rest diferit de 0, nu se verifică, $30/⋮4$.

2. a) $24⋮6$ (rest 0); b) $24/⋮5$ ($24:5=4$ rest 4); c) $35⋮5$ (rest 0); d) $35/⋮9$ ($35:9=3$ rest 8).

3. a) Adevărat — $n:1=n$, mereu rest 0. b) Adevărat — orice $n=1\cdot n$, deci $n$ e multiplu al lui $1$. c) Fals — nu împărțim niciodată la $0$; $0$ nu poate fi divizor. d) Adevărat — $49:7=7$, rest 0, deci $49⋮7$, adică $7$ este divizor al lui $49$.

4. Divizorii lui $18$: 1, 2, 3, 6, 9, 18. (Nu se încercuiesc $4,5,8$: $18:4=4$ r2, $18:5=3$ r3, $18:8=2$ r2.)

5. Perechi care dau $24$: $1\cdot 24$, $2\cdot 12$, $3\cdot 8$, $4\cdot 6$. Divizorii lui $24$: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} — în total $8$ divizori.

6. $11\cdot 0,1,2,3,4=$ 0, 11, 22, 33, 44.

7. Multipli ai lui $5$ (se termină în $0$ sau $5$): 0, 5, 25, 40. ($12$ și $53$ nu sunt; $0=5\cdot 0$ și $5=5\cdot 1$ sunt amândoi multipli.)

8. A → II (este divizor: $20:4=5$ r0); B → I (nu este divizor: $20:7=2$ r6); C → III ($20=4\cdot 5$, deci $20$ este multiplu al lui $4$).

9. Multiplii lui $6$ între $10$ și $40$: 12, 18, 24, 30, 36.

10. Divizorii lui $15$: $1\cdot 15$, $3\cdot 5$ → {1, 3, 5, 15}, adică $4$ divizori.

11. Cel mai mic divizor mai mare ca $0$ al lui $50$ este $1$; cel mai mare divizor al lui $50$ este $50$.

12. Adevărat. $100:25=4$, rest $0$, deci $100⋮25$ (și $100=25\cdot 4$).

13. Multipli ai lui $10$ de două cifre: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

14. Multiplii lui $9$: $\dots ,45,54,63,72,\dots$ Dintre aceștia, între $50$ și $70$ se află exact doi: $54$ și $63$. Răspuns: numărul poate fi $54$ sau $63$ — ambele valori sunt corecte.

15. Divizorii lui $30$: $\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$. Eliminăm $1$ și $30$ (cerința „mai mult de unul, mai puțin de 30”): rămân $2,3,5,6,10,15$ → $6$ mărimi de grupă posibile.

16. $96:8=12$, rest $0$. Da, se formează $12$ echipe complete. Relația: $96⋮8$.

17. Divizorii lui $12$ care sunt și multipli ai lui $2$ (adică numere pare): $2,4,6,12$. Două exemple: $2$ și $6$ (orice două dintre acestea).

18. Perechi care dau $48$: $1\cdot 48$, $2\cdot 24$, $3\cdot 16$, $4\cdot 12$, $6\cdot 8$. Divizorii lui $48$: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} — în total $10$ divizori.

De reținut

• $a$ este divizibil cu $b$ (scriem $a⋮b$) dacă restul împărțirii lui $a$ la $b$ este $0$, adică $a=b\cdot c$.
• Aceeași legătură se citește în patru feluri: $a$ divizibil cu $b$ = $b$ divizor al lui $a$ = $a$ multiplu al lui $b$ = $a$ se împarte exact la $b$.
• Divizorii unui număr sunt finiți și mai mici sau egali cu el; îi găsești prin împărțiri succesive (trucul perechilor).
• Multiplii unui număr sunt infiniți și mai mari sau egali cu el (în afară de $0$); îi obții prin înmulțiri succesive cu $0,1,2,3,\dots$
• $1$ divide orice număr; orice număr se divide cu el însuși; $0$ este multiplu al oricărui număr; nu împărțim niciodată la $0$.

Greșeli frecvente

• Confundarea divizorului cu multiplul. „$3$ este multiplu al lui $12$” este greșit — e invers: $3$ e divizor, $12$ e multiplu. Reține: divizorii sunt mici (în jos), multiplii sunt mari (în sus).
• Uitarea lui $1$ și a numărului însuși din lista divizorilor. Mulți scriu divizorii lui $12$ ca $2,3,4,6$ și uită de $1$ și $12$. Lista corectă începe mereu cu $1$ și se termină cu numărul.
• Scrierea de două ori a divizorului din mijloc la pătrate perfecte. La $36=6\cdot 6$, scrii $6$ o singură dată, nu de două ori.
• „Divizibil cu 0”. Nu există. Împărțitorul trebuie să fie diferit de $0$. Dar $0$ poate fi multiplu (este multiplul oricărui număr).

Joc acasă

1. Cutia cu nasturi (sau boabe de fasole). Numără $36$ de nasturi. Provoacă pe cineva din familie să-i aranjeze în rânduri perfect egale, fără rest. De fiecare dată când reușiți o aranjare ($2$ rânduri de $18$, $3$ de $12$, $4$ de $9$, $6$ de $6$…), notați perechea de divizori. Câte aranjări diferite găsiți? Comparați cu lista divizorilor lui $36$.

2. Cursa multiplilor. Doi jucători aleg fiecare câte un număr mic ($3$ și $4$, de exemplu). Pe rând, fiecare spune multiplii numărului său în ordine ($3,6,9,\dots$ și $4,8,12,\dots$). Câștigă cine ajunge primul, corect, la $30$. Apoi observați împreună care numere au fost rostite de amândoi (multiplii comuni) — un avans spre lecția viitoare.

3. Ghicește numărul. Un jucător se gândește la un număr sub $50$ și dă indicii cu divizibilitate: „se divide cu $5$”, „se divide și cu $3$”, „nu se divide cu $2$”. Celălalt ghicește. (Răspuns posibil: $15$ sau $45$.)

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune temelia întregului capitol de divizibilitate, așa că merită consolidată bine înainte de a trece la divizori comuni și criterii. Câteva sugestii:

• Începeți de la concret. Folosiți obiecte reale (monede, paste, piese de Lego) și cereți copilului să le împartă în grupe egale. Ideea de „rest zero” devine vizibilă și de neuitat.
• Întrebări utile de pus: „Ce rest dă împărțirea?”, „Cine e divizorul și cine e multiplul aici?”, „Poți să-mi scrii relația cu simbolul ⋮?”, „De ce $1$ apare mereu în lista divizorilor?”
• Verificați înțelegerea cerând copilului să explice cu cuvintele lui diferența dintre divizor și multiplu și să dea câte un exemplu propriu. Dacă spune corect că „divizorii sunt puțini și mai mici, multiplii sunt mulți și mai mari”, a prins esența.
• Atenție la confuzia clasică divizor/multiplu. Dacă apare, reveniți la imaginea scării (în jos = divizori, în sus = multipli).
• Nu treceți peste regulile speciale ($1$ divide orice, $0$ e multiplu al oricui, nu împărțim la $0$) — sunt mici, dar revin des în probleme.
• Pentru elevii rapizi, introduceți deja trucul perechilor de divizori și întrebați câți divizori are un pătrat perfect (de ce e impar numărul lor) — o întrebare frumoasă de gândire.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un număr este divizibil cu altul? Înseamnă că împărțirea lor se face exact, cu rest $0$. De exemplu, $20$ este divizibil cu $4$ pentru că $20:4=5$ rest $0$, adică $20=4\cdot 5$.

Care este diferența dintre divizor și multiplu? Divizorul este numărul mai mic, cu care împarți exact (încape un număr întreg de ori). Multiplul este numărul mai mare, obținut prin înmulțire. De exemplu, în $12=3\cdot 4$: $3$ și $4$ sunt divizori ai lui $12$, iar $12$ este multiplu al lui $3$ și al lui $4$.

Cum aflu toți divizorii unui număr? Împarți numărul, pe rând, la $1,2,3,\dots$ și reții numerele care dau rest $0$. Mai rapid: cauți perechi de numere care înmulțite dau numărul (trucul perechilor) și te oprești când partenerii se întâlnesc.

Câți multipli are un număr natural? O infinitate. Multiplii se obțin înmulțind numărul cu $0,1,2,3,\dots$, deci nu se termină niciodată — oricât de departe ajungi, mai poți adăuga încă unul.

Este $0$ divizibil cu orice număr? Da. $0$ este multiplu al oricărui număr natural, pentru că $b\cdot 0=0$, deci $0:b=0$ rest $0$ pentru orice $b\ne 0$. În schimb, nu putem împărți la $0$.

Ce simbol folosim pentru divizibilitate? Simbolul „$⋮$” (două puncte verticale). Scriem $a⋮b$ și citim „$a$ se divide cu $b$”. Dacă numărul nu se divide, tăiem simbolul: $a/⋮b$.

De ce $1$ este divizor al oricărui număr? Pentru că orice număr $n$ se împarte exact la $1$: $n:1=n$, rest $0$. La fel, orice număr se divide și cu el însuși, fiindcă $n:n=1$, rest $0$.

Poate un număr să fie în același timp divizor și multiplu al altui număr? Un număr poate fi divizor al unuia și multiplu al altuia în același timp. De exemplu, $6$ este divizor al lui $12$ și, totodată, multiplu al lui $3$. Mai mult, fiecare număr este și divizor al lui însuși, și multiplu al lui însuși: $6:6=1$ rest $0$ și $6=6\cdot 1$. Important este să spui clar „divizor al lui…” sau „multiplu al lui…”, ca să nu amesteci numerele.

Cum știu repede câți divizori are un număr? Îi cauți prin trucul perechilor: scrii toate produsele de două numere care dau numărul dat ($1\cdot n$, apoi $2\cdot \dots$ și așa mai departe) și numeri câte numere diferite ai folosit. La pătratele perfecte (de exemplu $36=6\cdot 6$) numărul din mijloc se numără o singură dată, așa că un pătrat perfect are mereu un număr impar de divizori — o curiozitate frumoasă pe care merită s-o verifici.

La ce îmi folosește divizibilitatea mai departe? Este baza pentru cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun, pentru criteriile de divizibilitate și pentru numerele prime. Toate acestea te ajută apoi enorm la simplificarea și calculele cu fracții ordinare.