Multipli comuni. Cel mai mic multiplu comun (cmmmc) prin enumerare

Două autobuze pleacă din aceeași stație: unul la fiecare 6 minute, celălalt la fiecare 8 minute. Peste cât timp vor pleca din nou exact în același moment? Întrebări de acest fel, care apar mereu în viața de zi cu zi, se rezolvă cu ajutorul multiplilor comuni și al celui mai mic multiplu comun (cmmmc). În această lecție vei învăța să găsești acest număr fără niciun algoritm complicat, doar enumerând cu răbdare multiplii numerelor. Este metoda cea mai sigură și mai ușor de înțeles pentru un elev de clasa a V-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii multiplii unui număr natural prin enumerare, în ordine crescătoare.
• Vei ști să găsești multiplii comuni a două sau trei numere.
• Vei ști să afli cel mai mic multiplu comun (cmmmc) doar prin enumerare, fără descompunere în factori.
• Vei ști să recunoști când o problemă din viața reală se rezolvă cu cmmmc.
• Vei ști să verifici dacă răspunsul tău este corect.

Hai să descoperim împreună

Mai întâi, ne reamintim ce este un multiplu

În lecția despre divizor și multiplu al unui număr natural ai învățat un lucru foarte important. Hai să-l reluăm calm, pentru că pe el se sprijină toată lecția de azi.

Multiplii unui număr natural sunt numerele pe care le obții înmulțind acel număr, pe rând, cu 0, 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe.

De exemplu, multiplii lui 4 sunt:

$$4\cdot 0=0,4\cdot 1=4,4\cdot 2=8,4\cdot 3=12,4\cdot 4=16,4\cdot 5=20,\dots$$

Deci multiplii lui 4 sunt: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Observă trei lucruri:

1. Orice număr are o infinitate de multipli. Nu terminăm niciodată de scris, de aceea punem trei puncte la final.
2. Primul multiplu este întotdeauna 0, fiindcă orice număr înmulțit cu 0 dă 0.
3. Multiplii cresc din pas în pas cu exact valoarea numărului. La multiplii lui 4, sărim mereu câte 4: din 4 în 8, din 8 în 12 și tot așa. Este ca o scară cu trepte egale.

Un truc practic: ca să scrii repede multiplii unui număr, pleci de la el și aduni mereu același număr. Pentru multiplii lui 6: 0, apoi 0 + 6 = 6, apoi 6 + 6 = 12, apoi 12 + 6 = 18, 18 + 6 = 24 și așa mai departe. Nu trebuie să faci înmulțiri grele, ci doar adunări mici.

Ce înseamnă „multipli comuni"

Cuvântul comun înseamnă „care aparține mai multora în același timp". Un prieten comun este o persoană care îți este prieten ție, dar și fratelui tău. La fel, un multiplu comun a două numere este un număr care se găsește pe lista multiplilor primului număr, dar și pe lista multiplilor celui de-al doilea.

Hai să luăm un exemplu concret. Căutăm multiplii comuni ai numerelor 4 și 6.

Scriem mai întâi cele două liste, una sub alta, în ordine crescătoare:

• Multiplii lui 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
• Multiplii lui 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Acum căutăm cu privirea numerele care apar pe amândouă listele. Le-am îngroșat deja: 12, 24, 36, 48. Și, desigur, 0 apare pe orice listă de multipli.

Deci multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt: 0, 12, 24, 36, 48, ...

Și multiplii comuni sunt o infinitate. Observă că ei înșiși cresc din pas în pas cu 12: din 12 în 24, din 24 în 36. Asta nu e o întâmplare, dar deocamdată ne interesează doar să-i găsim, nu de ce se întâmplă.

Cel mai mic multiplu comun (cmmmc)

Dintre toți multiplii comuni, unul este special: cel mai mic dintre ei, care nu este zero.

De ce lăsăm la o parte pe 0? Pentru că 0 este multiplu comun pentru orice pereche de numere — el nu ne spune nimic util și nu ne ajută în probleme. De aceea, prin convenție, când vorbim despre „cel mai mic multiplu comun" ne referim la cel mai mic multiplu comun nenul (adică diferit de zero).

Definiție. Cel mai mic multiplu comun a două (sau mai multe) numere naturale nenule este cel mai mic număr natural, diferit de zero, care este multiplu al fiecăruia dintre numerele date. Îl notăm prescurtat cmmmc.

Pentru numerele 4 și 6, multiplii comuni nenuli erau 12, 24, 36, 48, ... Cel mai mic dintre ei este 12.

Scriem: $$\text{cmmmc}(4,6)=12$$

Se citește: „cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este 12".

Atât de simplu! Tot ce ai făcut a fost să scrii două liste, să găsești numerele comune și să-l alegi pe cel mai mic dintre cele nenule.

Pașii metodei prin enumerare

Hai să strângem totul într-o rețetă clară, pe care o poți urma de fiecare dată:

Pasul 1. Scrie multiplii primului număr, în ordine, începând de la el (sărim peste 0, fiindcă oricum nu ne interesează la final). Scrie o listă destul de lungă, vreo 6-10 numere.

Pasul 2. Scrie multiplii celui de-al doilea număr, dedesubt, tot în ordine.

Pasul 3. Compară listele și subliniază numerele care apar pe amândouă (multiplii comuni).

Pasul 4. Alege cel mai mic dintre multiplii comuni nenuli. Acela este cmmmc.

Pasul 5 (verificare). Verifică: împarte cmmmc-ul găsit la fiecare dintre numere. Dacă ambele împărțiri se fac fără rest, răspunsul e corect.

Un sfat ca să nu scrii liste prea lungi

Uneori cele două numere sunt depărtate și ai impresia că trebuie să scrii liste foarte lungi. Există un truc isteț: mărește lista numărului mai mare până depășești primii multipli ai numărului mai mic și verifică pe rând dacă multiplii numărului mare se împart exact la numărul mic.

De exemplu, pentru cmmmc(3, 8):

• Scriem multiplii lui 8 (numărul mai mare): 8, 16, 24, 32, ...
• Pe rând, verificăm care se împarte exact la 3: 8 nu (8 : 3 dă rest), 16 nu, 24 da (24 : 3 = 8, fără rest).
• Deci cmmmc(3, 8) = 24.

Acest truc te scutește de scris și e foarte rapid. Pleacă întotdeauna de la multiplii numărului mai mare, fiindcă lista lui crește mai repede și ajungi mai devreme la răspuns.

Cazuri speciale care te ajută

Sunt două situații foarte des întâlnite în care poți afla cmmmc dintr-o privire:

Cazul 1: un număr este multiplu al celuilalt. De exemplu, 12 este multiplu al lui 4 (pentru că 4 · 3 = 12). Atunci cmmmc este chiar numărul mai mare. Adică cmmmc(4, 12) = 12. De ce? Pentru că 12 e deja multiplu al ambelor: e multiplu al lui 12 (evident) și multiplu al lui 4. Și nu poate exista unul mai mic, fiindcă orice multiplu nenul al lui 12 este cel puțin 12.

Cazul 2: numerele nu au divizori comuni în afară de 1. De exemplu 5 și 7 nu au alți divizori comuni decât 1 (spunem că sunt prime între ele). Atunci cmmmc este chiar produsul lor: cmmmc(5, 7) = 5 · 7 = 35. La fel, cmmmc(3, 4) = 12, cmmmc(2, 9) = 18. Ai grijă: acest truc cu „înmulțim numerele" funcționează numai când numerele nu au divizori comuni mai mari decât 1. Pentru 4 și 6 nu merge, pentru că 4 · 6 = 24, dar cmmmc(4, 6) este 12, nu 24!

Cmmmc pentru trei numere

Metoda prin enumerare merge la fel de bine și pentru trei numere. Scrii trei liste de multipli și cauți numărul cel mai mic, nenul, care apare pe toate trei listele.

De exemplu, pentru cmmmc(2, 3, 4):

• Multiplii lui 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
• Multiplii lui 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
• Multiplii lui 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...

Numărul cel mai mic nenul care apare pe toate trei listele este 12. Deci cmmmc(2, 3, 4) = 12.

Diferența dintre cmmmc și cmmdc — să nu le confunzi!

În lecția trecută, despre divizori comuni și cel mai mare divizor comun (cmmdc), ai învățat ceva care seamănă, dar este exact pe dos. Hai să le punem față în față, ca să nu le mai încurci niciodată:

Un mod simplu de a ține minte: la cmmDc lucrezi cu Divizori și alegi cel mai mare; la cmmMc lucrezi cu Multipli și alegi cel mai mic. Divizorii unui număr sunt puțini și mici, multiplii sunt mulți și mari.

Povestea celor două autobuze

Să rezolvăm acum întrebarea de la început. Un autobuz pleacă la fiecare 6 minute, celălalt la fiecare 8 minute, și pleacă pentru prima dată împreună la ora 9:00. Peste cât timp pleacă din nou exact împreună?

Primul autobuz pleacă la minutele: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ... (multiplii lui 6). Al doilea pleacă la minutele: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ... (multiplii lui 8).

Vor pleca din nou împreună la primul minut care apare pe ambele liste: 24. Adică peste 24 de minute, la ora 9:24.

Vezi? Întrebarea „peste cât timp se întâmplă din nou două lucruri care se repetă, în același moment?" se rezolvă cu cmmmc. cmmmc(6, 8) = 24.

De ce toți multiplii comuni sunt multiplii cmmmc-ului

Mai devreme ai observat ceva curios: multiplii comuni ai lui 4 și 6 erau 0, 12, 24, 36, 48, ... și ei înșiși creșteau din 12 în 12. Hai să înțelegem acum de ce, pentru că este una dintre cele mai frumoase idei din toată lecția.

Gândește-te așa: dacă cmmmc(4, 6) = 12, atunci 12 este multiplu și al lui 4, și al lui 6. Dar și dublul lui 12, adică 24, este tot multiplu al amândurora (un dublu de multiplu rămâne multiplu). La fel 36, 48 și orice alt multiplu al lui 12. De aceea, toți multiplii comuni a două numere sunt exact multiplii cmmmc-ului lor — nici unul în plus, nici unul în minus.

Asta îți dă un instrument de verificare foarte puternic: dacă ai găsit un cmmmc, toți ceilalți multipli comuni trebuie să fie multipli ai lui. Dacă găsești un multiplu comun care nu este multiplu al numărului pe care l-ai numit cmmmc, înseamnă că ai greșit undeva — probabil ai sărit peste un multiplu comun mai mic.

Încă o situație din viața de zi cu zi

Multiplii comuni nu apar doar la autobuze. Imaginează-ți un magazin care primește o livrare de pâine la fiecare 3 zile și o livrare de lapte la fiecare 5 zile. Dacă astăzi au venit amândouă în aceeași zi, peste câte zile vor veni din nou împreună?

• Pâinea vine în zilele: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
• Laptele vine în zilele: 5, 10, 15, 20, ...

Primul număr comun nenul este 15. Deci peste 15 zile vor veni din nou amândouă în aceeași zi. Și fiindcă 3 și 5 sunt prime între ele, am fi putut afla răspunsul imediat: 3 · 5 = 15. Iată cum cele două metode — enumerarea și cazul special — se sprijină una pe alta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — cmmmc a două numere mici

Aflați cmmmc(6, 9).

Scriem multiplii fiecăruia:

• Multiplii lui 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
• Multiplii lui 9: 9, 18, 27, 36, 45, ...

Multiplii comuni nenuli sunt: 18, 36, ... Cel mai mic dintre ei este 18.

$$\text{cmmmc}(6,9)=18$$

Verificare: 18 : 6 = 3 (fără rest), 18 : 9 = 2 (fără rest). Corect.

Exemplul 2 — folosind trucul cu numărul mai mare

Aflați cmmmc(4, 10).

Plecăm de la multiplii numărului mai mare, 10, și verificăm care se împarte exact la 4:

• 10 : 4 → dă rest (nu)
• 20 : 4 = 5 → exact! Da

Deci cmmmc(4, 10) = 20.

Verificare: 20 : 4 = 5, 20 : 10 = 2, ambele fără rest. Corect.

Observație: aici nu a mers trucul „înmulțim numerele", fiindcă 4 · 10 = 40, dar cmmmc este 20. Asta pentru că 4 și 10 au divizorul comun 2.

Exemplul 3 — când un număr e multiplu al celuilalt

Aflați cmmmc(5, 15).

Observăm că 15 este multiplu al lui 5 (5 · 3 = 15). Deci cmmmc este chiar numărul mai mare: 15.

Verificăm și prin enumerare:

• Multiplii lui 5: 5, 10, 15, 20, ...
• Multiplii lui 15: 15, 30, ...

Primul comun nenul este 15.

$$\text{cmmmc}(5,15)=15$$

Exemplul 4 — numere prime între ele

Aflați cmmmc(7, 4).

Numerele 7 și 4 nu au divizori comuni în afară de 1 (7 este număr prim, iar 4 = 2 · 2 nu se împarte la 7). Atunci cmmmc este produsul lor: $$\text{cmmmc}(7,4)=7\cdot 4=28$$

Verificare prin enumerare:

• Multiplii lui 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...
• Multiplii lui 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Primul comun nenul este 28. Corect.

Exemplul 5 — cmmmc pentru trei numere

Aflați cmmmc(2, 5, 10).

• Multiplii lui 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
• Multiplii lui 5: 5, 10, 15, 20, ...
• Multiplii lui 10: 10, 20, 30, ...

Cel mai mic număr nenul care apare pe toate trei listele este 10.

$$\text{cmmmc}(2,5,10)=10$$

Verificare: 10 : 2 = 5, 10 : 5 = 2, 10 : 10 = 1. Toate fără rest. Corect.

Exemplul 6 — o mică problemă

O fabrică ambalează ciocolată în cutii de câte 8 bucăți și biscuiți în pungi de câte 12 bucăți. Care este cel mai mic număr de bucăți care poate fi pus și exact în cutii de 8, și exact în pungi de 12?

Întrebarea cere cel mai mic număr care este multiplu și al lui 8, și al lui 12. Deci căutăm cmmmc(8, 12).

Plecăm de la multiplii numărului mai mare, 12, și verificăm care se împarte exact la 8:

• 12 : 8 → rest (nu)
• 24 : 8 = 3 → exact! Da

Deci cmmmc(8, 12) = 24.

Răspuns: Cel mai mic număr este 24 de bucăți (24 = 3 cutii de 8 = 2 pungi de 12).

Exemplul 7 — două numere mai depărtate

Aflați cmmmc(8, 14).

Numerele sunt ceva mai mari, așa că folosim trucul: plecăm de la multiplii numărului mai mare, 14, și verificăm care se împarte exact la 8.

• 14 : 8 → dă rest (nu)
• 28 : 8 → dă rest (28 : 8 = 3, rest 4; nu)
• 42 : 8 → dă rest (nu)
• 56 : 8 = 7 → exact! Da

Deci cmmmc(8, 14) = 56.

Verificare: 56 : 8 = 7 și 56 : 14 = 4, ambele fără rest. Corect.

Observă că nu este produsul lor (8 · 14 = 112), pentru că 8 și 14 au divizorul comun 2. Răspunsul corect, 56, este exact jumătate din produs — un mic semn că cele două numere aveau ceva în comun.

Exemplul 8 — o problemă cu calendar

Un antrenor de înot ține antrenamente la fiecare 2 zile, iar unul de fotbal la fiecare 3 zile. Astăzi au fost amândouă. Peste câte zile vor cădea din nou în aceeași zi, și de câte ori se va întâmpla asta într-o lună de 30 de zile?

Căutăm cmmmc(2, 3). Cele două numere sunt prime între ele, deci cmmmc = 2 · 3 = 6. Verificăm prin enumerare: multiplii lui 2 sunt 2, 4, 6, ...; multiplii lui 3 sunt 3, 6, ... — primul comun nenul este 6.

Deci antrenamentele vor coincide din nou peste 6 zile. Într-o lună de 30 de zile, asta se întâmplă în zilele 6, 12, 18, 24 și 30 — adică de 5 ori (30 : 6 = 5).

Răspuns: peste 6 zile, și de 5 ori într-o lună de 30 de zile.

Să exersăm

1. Scrie primii 6 multipli nenuli ai numărului 7.

2. Scrie multiplii lui 5 până la 40 și multiplii lui 8 până la 40. Încercuiește multiplii comuni.

3. Adevărat sau fals? Numărul 30 este multiplu comun al numerelor 5 și 6.

4. Adevărat sau fals? cmmmc-ul a două numere poate fi mai mic decât unul dintre numere.

5. Completează: cmmmc(3, 5) = ___ .

6. Află prin enumerare cmmmc(4, 6).

7. Află cmmmc(6, 8).

8. Află cmmmc(9, 12).

9. Află cmmmc(10, 15).

10. Folosind un caz special, află rapid cmmmc(6, 18) și explică de ce.

11. Folosind un caz special, află rapid cmmmc(8, 9) și explică de ce.

12. Încercuiește numărul care nu este multiplu comun al lui 4 și 6: 12, 18, 24, 36.

13. Potrivește fiecare pereche cu cmmmc-ul ei: a) (3, 4)    b) (5, 10)    c) (6, 9)    d) (2, 7) A) 10    B) 14    C) 12    D) 18

14. Află cmmmc(2, 3, 6).

15. Află cmmmc(3, 4, 6).

16. Două becuri colorate clipesc: unul la fiecare 4 secunde, celălalt la fiecare 6 secunde. Dacă clipesc o dată împreună, peste câte secunde clipesc din nou exact împreună?

17. O problemă mai grea: doi sportivi aleargă în jurul unei piste. Primul face un tur în 9 minute, al doilea în 12 minute. Pleacă în același moment de la linia de start. Peste câte minute se vor întâlni din nou amândoi la linia de start?

18. Provocare: găsește cel mai mic număr natural nenul care, împărțit la 4, la 5 și la 6, dă de fiecare dată rest 0.

Răspunsuri și explicații

1. 7, 14, 21, 28, 35, 42. (Adunăm mereu 7.)

2. Multiplii lui 5 până la 40: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Multiplii lui 8 până la 40: 8, 16, 24, 32, 40. Multiplul comun încercuit: 40 (singurul comun în acest interval).

3. Adevărat. 30 : 5 = 6 și 30 : 6 = 5, ambele fără rest, deci 30 e multiplu și al lui 5, și al lui 6.

4. Fals. cmmmc este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare dintre numere, fiindcă el este multiplu al fiecăruia, iar cel mai mic multiplu nenul al unui număr este chiar numărul însuși.

5. 15. 3 și 5 sunt prime între ele, deci cmmmc(3, 5) = 3 · 5 = 15.

6. Multiplii lui 4: 4, 8, 12, ... ; multiplii lui 6: 6, 12, ... Primul comun nenul este 12. cmmmc(4, 6) = 12.

7. Multiplii lui 8: 8, 16, 24, ... ; care se împarte la 6: 24 : 6 = 4. cmmmc(6, 8) = 24.

8. Multiplii lui 12: 12, 24, 36, ... ; 36 : 9 = 4. cmmmc(9, 12) = 36.

9. Multiplii lui 15: 15, 30, ... ; 30 : 10 = 3. cmmmc(10, 15) = 30.

10. cmmmc(6, 18) = 18, fiindcă 18 este multiplu al lui 6 (6 · 3 = 18). Când un număr e multiplu al celuilalt, cmmmc este numărul mai mare.

11. cmmmc(8, 9) = 72, fiindcă 8 și 9 nu au divizori comuni în afară de 1 (sunt prime între ele), deci cmmmc = 8 · 9 = 72.

12. Numărul 18. Multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt 0, 12, 24, 36, ... ; 18 nu se împarte la 4 (18 : 4 dă rest), deci nu e multiplu comun.

13. a) → C (12); b) → A (10); c) → D (18); d) → B (14). Verificări: cmmmc(3,4)=12; cmmmc(5,10)=10; cmmmc(6,9)=18; cmmmc(2,7)=14.

14. cmmmc(2, 3, 6) = 6. 6 se împarte exact la 2, la 3 și la 6, și e cel mai mic cu această proprietate.

15. cmmmc(3, 4, 6) = 12. Multiplii lui 4: 4, 8, 12; 12 : 3 = 4 și 12 : 6 = 2, ambele fără rest.

16. Peste 12 secunde. cmmmc(4, 6) = 12.

17. Peste 36 de minute. Căutăm cmmmc(9, 12): multiplii lui 12 sunt 12, 24, 36; 36 : 9 = 4. Deci se întâlnesc la start după 36 de minute.

18. 60. Numărul căutat este cmmmc(4, 5, 6). Multiplii lui 6: 6, 12, ..., 60; verificăm: 60 : 4 = 15, 60 : 5 = 12, 60 : 6 = 10, toate fără rest. Niciun număr mai mic nu îndeplinește toate cele trei condiții.

De reținut

• Multiplii unui număr se obțin înmulțindu-l cu 0, 1, 2, 3, ... ; cresc din pas în pas cu valoarea numărului.
• Un multiplu comun apare pe lista multiplilor tuturor numerelor date.
• cmmmc = cel mai mic multiplu comun nenul; îl găsești prin enumerare, alegând primul număr nenul care apare pe toate listele.
• cmmmc este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare dintre numere.
• Cazuri rapide: dacă un număr e multiplu al celuilalt, cmmmc = numărul mai mare; dacă numerele sunt prime între ele, cmmmc = produsul lor.

Greșeli frecvente

• Confuzia cmmmc cu cmmdc. cmmMc lucrează cu Multipli și cauți cel mai mic; cmmDc lucrează cu Divizori și cauți cel mai mare. Spune-ți mereu litera din mijloc.
• „Înmulțim mereu numerele." cmmmc = produsul numerelor doar când ele sunt prime între ele. Pentru 4 și 6, cmmmc este 12, nu 24. Verifică întotdeauna prin împărțire.
• Alegerea lui 0. 0 este multiplu comun pentru orice, dar nu este cmmmc. Cmmmc este cel mai mic multiplu comun diferit de zero.
• Liste prea scurte. Dacă te oprești prea repede, ratezi primul multiplu comun. Pleacă de la multiplii numărului mai mare și mergi până găsești unul care se împarte exact la celălalt.

Joc acasă

1. Cursa autobuzelor. Desenează pe o foaie două coloane de „minute": una marcată din 4 în 4 (0, 4, 8, 12, ...), alta din 6 în 6. Întreabă: la ce minut pleacă autobuzele din nou împreună? Verifică găsind cmmmc(4, 6).

2. Cărți de joc colorate. Ia cartonașe sau bilețele. Pune pe masă multiplii lui 3 (scrie 3, 6, 9, 12, 15, 18) și multiplii lui 4 (scrie 4, 8, 12, 16, 20, 24). Pune-le una sub alta și pune un bob de fasole pe numărul care apare în ambele șiruri. Care e cel mai mic? Acela e cmmmc(3, 4).

3. Pasul săritor. Pe o cretă, desenează pe trotuar (sau cu bandă pe podea) numerele de la 0 la 30. Un jucător sare din 5 în 5, altul din 6 în 6, pornind amândoi de la 0. Pe ce număr aterizează amândoi prima oară (în afară de 0)? Răspuns: 30 = cmmmc(5, 6).

Pentru părinți și învățători

Această lecție așază bazele pentru un subiect care revine esențial la fracții (aducerea la numitor comun, lecția cmmmc. Aducerea fracțiilor la un numitor comun). De aceea, accentul cade pe înțelegere, nu pe viteză.

Cum predați: Începeți de la o situație concretă cu repetare (autobuze, becuri care clipesc, ture de pistă). Lăsați copilul să descopere singur, scriind cele două liste de multipli, că anumite numere „se potrivesc" în ambele. Abia apoi introduceți cuvântul cmmmc.

Întrebări utile de pus:

• „Scrie-mi multiplii lui 6. Cu cât crește lista la fiecare pas?" (verifică înțelegerea noțiunii de multiplu)
• „De ce nu spunem că 0 este cmmmc-ul?" (verifică convenția nenul)
• „Cmmmc poate fi mai mic decât numerele date? De ce nu?" (verifică raționamentul)
• „Aici de ce nu merge să înmulțim numerele?" (când au divizor comun)

Cum verificați că a înțeles: dați-i o pereche nouă (de exemplu 6 și 10) și cereți-i nu doar răspunsul, ci și verificarea prin împărțire. Un elev care înțelege poate explica de ce cmmmc(6, 10) = 30 și nu 60.

Sprijin pentru copilul care se blochează: dacă listele devin lungi, arătați-i trucul de a porni de la multiplii numărului mai mare. Reduce mult scrisul și frustrarea.

Întrebări frecvente

Ce este cmmmc în clasa a 5-a? Cmmmc înseamnă „cel mai mic multiplu comun" și este cel mai mic număr natural diferit de zero care este multiplu al fiecăruia dintre numerele date. De exemplu, cmmmc(4, 6) = 12, fiindcă 12 este primul număr nenul care apare și în tabla lui 4, și în tabla lui 6.

Cum aflu cmmmc prin enumerare, fără descompunere în factori? Scrii multiplii fiecărui număr în ordine crescătoare, cauți numerele care apar pe toate listele (multiplii comuni) și alegi cel mai mic dintre cele nenule. Este metoda recomandată în clasa a V-a, înainte de a învăța algoritmul cu descompunere în factori primi.

Care e diferența dintre cmmmc și cmmdc? La cmmdc lucrezi cu divizorii numerelor și alegi cel mai mare divizor comun; la cmmmc lucrezi cu multiplii și alegi cel mai mic multiplu comun nenul. Cmmdc este mic (mai mic sau egal cu numerele), cmmmc este mare (mai mare sau egal cu numerele).

Poate fi cmmmc-ul egal cu unul dintre numere? Da. Când un număr este multiplu al celuilalt, cmmmc este chiar numărul mai mare. De exemplu cmmmc(5, 15) = 15, fiindcă 15 este deja multiplu și al lui 5, și al lui 15.

Cmmmc-ul a două numere este întotdeauna produsul lor? Nu. Produsul este cmmmc doar când numerele sunt prime între ele (nu au divizori comuni în afară de 1), de exemplu cmmmc(5, 7) = 35. Pentru 4 și 6, care au divizorul comun 2, cmmmc este 12, nu 24.

De ce nu este 0 cel mai mic multiplu comun? Pentru că 0 este multiplu comun al oricăror numere și nu ne ajută la nimic în probleme. Prin convenție, cmmmc se referă la cel mai mic multiplu comun diferit de zero.

Cum verific dacă am calculat corect cmmmc-ul? Împarte rezultatul la fiecare dintre numerele date. Dacă toate împărțirile se fac fără rest, iar niciun număr mai mic nu are aceeași proprietate, atunci răspunsul este corect. De exemplu, pentru cmmmc(4, 6) = 12: 12 : 4 = 3 și 12 : 6 = 2, ambele exacte.

La ce folosește cmmmc în viața reală? Cmmmc rezolvă problemele cu evenimente care se repetă și trebuie să coincidă din nou: autobuze care pleacă la intervale diferite, becuri care clipesc, sportivi care fac ture de pistă, sau ambalarea unei cantități în cutii de mărimi diferite. Mai târziu îl vei folosi mereu la adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Cum aflu cmmmc pentru trei numere? La fel ca pentru două: scrii câte o listă de multipli pentru fiecare dintre cele trei numere și cauți cel mai mic număr nenul care apare pe toate trei listele. De exemplu, pentru cmmmc(2, 3, 4) scrii multiplii lui 2, ai lui 3 și ai lui 4, iar primul număr comun tuturor este 12, deci cmmmc(2, 3, 4) = 12. Trucul de a porni de la multiplii celui mai mare număr funcționează și aici și îți scurtează mult lucrul.

Cmmmc este același lucru cu numitorul comun de la fracții? De cele mai multe ori, da. Când aduni două fracții cu numitori diferiți, cel mai comod numitor comun este chiar cmmmc-ul numitorilor, fiindcă este cel mai mic număr la care se pot transforma amândouă fracțiile. De aceea cmmmc-ul învățat acum prin enumerare îți va fi de mare folos în lecția despre adunarea fracțiilor.