Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun (cmmdc) prin enumerare

Îți amintești cum ai învățat la lecția trecută ce înseamnă că un număr este divizor al altui număr? Acum facem un pas mai departe: ce se întâmplă când două numere au divizori în comun? Vom descoperi împreună cum găsim acești divizori comuni și, mai ales, cum aflăm pe cel mai mare dintre ei, numit pe scurt cmmdc. Vestea bună este că nu ai nevoie de nicio formulă complicată: îi vei afla doar prin enumerare, adică scriind frumos, în ordine, toți divizorii fiecărui număr. Hai să începem!

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii toți divizorii unui număr natural prin enumerare ordonată.
• Vei ști să găsești divizorii comuni a două sau trei numere.
• Vei ști ce înseamnă cel mai mare divizor comun (cmmdc) și cum îl recunoști.
• Vei ști să afli cmmdc fără descompunere în factori, doar prin enumerare.
• Vei ști să folosești cmmdc într-o problemă practică (împărțirea în grupe egale).

Hai să descoperim împreună

Reamintim repede: ce este un divizor

Spunem că un număr natural d este divizor al numărului n dacă n se împarte exact la d, adică împărțirea se face fără rest. De exemplu, 3 este divizor al lui 12 pentru că $12:3=4$ rest 0. Scriem prescurtat $3\mid 12$ și citim „3 divide pe 12".

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre divizori și multipli, poți reciti lecția Divizor și multiplu al unui număr natural. În lecția de azi presupunem că știi deja să recunoști un divizor; ne concentrăm pe ceva nou: divizorii pe care două numere îi au împreună.

Pasul 1: să scriem toți divizorii unui număr

Înainte de a căuta divizori comuni, trebuie să fim foarte pricepuți la a găsi toți divizorii unui singur număr. Cea mai sigură metodă este enumerarea: încercăm pe rând, de la 1 în sus, și notăm fiecare număr care divide exact.

Hai să găsim toți divizorii lui 12. Verificăm pe rând:

• $12:1=12$ exact → 1 este divizor.
• $12:2=6$ exact → 2 este divizor.
• $12:3=4$ exact → 3 este divizor.
• $12:4=3$ exact → 4 este divizor.
• $12:5=2$ rest 2 → 5 nu este divizor.
• $12:6=2$ exact → 6 este divizor.
• numerele 7, 8, 9, 10, 11 nu împart exact pe 12.
• $12:12=1$ exact → 12 este divizor.

Așadar, divizorii lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Folosim o notație elegantă, cu acolade, pentru mulțimea divizorilor:

$$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$

Un truc care îți economisește timp — divizorii merg în perechi. Observă că divizorii apar în perechi care, înmulțite, dau numărul: $1\cdot 12=12$, $2\cdot 6=12$, $3\cdot 4=12$. De aceea, când găsești un divizor mic, găsești „gratis" și perechea lui mare. Nu trebuie să încerci până la 12; e suficient să încerci până când numerele din pereche se întâlnesc la mijloc. Acest truc te face mult mai rapid.

Hai să-l vedem la lucru pe un număr mai mare, ca să înțelegi de ce contează cu adevărat. Să găsim toți divizorii lui 36. Dacă am încerca pe rând fiecare număr de la 1 la 36, am face 36 de împărțiri. Cu trucul perechilor, ne oprim mult mai repede. Pornim de la 1 și urcăm încet:

• $1\cdot 36=36$ → perechea 1 și 36.
• $2\cdot 18=36$ → perechea 2 și 18.
• $3\cdot 12=36$ → perechea 3 și 12.
• 4: $36:4=9$ exact → perechea 4 și 9.
• 5: $36:5$ are rest, deci 5 nu este divizor.
• $6\cdot 6=36$ → 6 (perechea lui este chiar el însuși).

Aici ne oprim: după 6, numerele „mari" pe care le-am mai putea găsi (9, 12, 18, 36) le-am notat deja ca perechi. Cele două capete ale fiecărei perechi s-au întâlnit la mijloc, lângă 6. Așezăm acum totul în ordine crescătoare:

$$D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$$

Am făcut doar șase verificări (de la 1 la 6) în loc de 36, și totuși avem lista completă. Asta este puterea trucului perechilor: încerci doar numerele mici, până ajungi pe la „mijlocul" numărului, iar perechile îți completează singure capetele mari.

Două adevăruri pe care le poți folosi mereu:

• 1 este divizor al oricărui număr natural (orice număr se împarte exact la 1).
• Orice număr este divizor al lui însuși (de exemplu $12:12=1$).

De aceea, în orice listă de divizori, 1 apare primul și numărul însuși apare ultimul.

Pasul 2: divizorii comuni a două numere

Acum vine ideea nouă. Să luăm două numere și să găsim divizorii fiecăruia. Numerele pe care le găsim în ambele liste se numesc divizori comuni.

Hai să lucrăm cu 12 și 18.

Divizorii lui 12 îi știm deja: $$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$

Acum divizorii lui 18, prin enumerare:

• $18:1=18$ → 1 da
• $18:2=9$ → 2 da
• $18:3=6$ → 3 da
• $18:6=3$ → 6 da
• $18:9=2$ → 9 da
• $18:18=1$ → 18 da

$$D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$$

Ca să găsim divizorii comuni, ne uităm care numere apar în amândouă mulțimile. Le „bifăm" pe rând:

• 1 este în ambele → comun.
• 2 este în ambele → comun.
• 3 este în ambele → comun.
• 4 este doar la 12 → nu e comun.
• 6 este în ambele → comun.
• 9 este doar la 18, 12 și 18 doar la ele însele → nu sunt comuni.

Divizorii comuni ai lui 12 și 18 sunt: 1, 2, 3, 6.

Observă un lucru important: 1 este întotdeauna divizor comun al oricăror două numere, pentru că 1 divide orice. Deci două numere au mereu cel puțin un divizor comun. Lista de divizori comuni nu este niciodată goală.

Pasul 3: cel mai mare divizor comun (cmmdc)

Acum că avem lista divizorilor comuni — pentru 12 și 18 aceasta este $\{1,2,3,6\}$ — ne punem o întrebare firească: care este cel mai mare dintre ei?

Răspunsul este 6. Acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 18. Îl notăm prescurtat cmmdc și scriem:

$$\text{cmmdc}(12,18)=6$$

📘 Definiție. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale (nu amândouă nule) este cel mai mare număr care divide exact pe fiecare dintre ele. Pe scurt: este cel mai mare dintre divizorii lor comuni.

Vezi cât e de simplu? Metoda prin enumerare are mereu trei pași:

1. Scrii toți divizorii primului număr.
2. Scrii toți divizorii celui de-al doilea număr.
3. Compari listele, alegi numerele comune și îl iei pe cel mai mare.

Nu ai nevoie de descompunere în factori primi (aceea o vei învăța mai târziu). Aici totul se rezolvă „cu ochii", prin enumerare răbdătoare.

O analogie ca să ții minte

Imaginează-ți doi prieteni, Andrei și Bianca. Andrei joacă fotbal, baschet și tenis. Bianca joacă baschet, tenis și înot. Sporturile pe care le practică amândoi sunt baschet și tenis — acestea sunt „comune". La fel, divizorii comuni sunt acei divizori pe care ambele numere îi au împreună. Iar cmmdc este pur și simplu „cel mai mare prieten comun" din această listă.

Un caz special: când un număr îl divide pe celălalt

Hai să încercăm cmmdc(6, 18). Avem:

$$D_6=\{1,2,3,6\},D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$$

Divizorii comuni: 1, 2, 3, 6. Cel mai mare este 6. Deci:

$$\text{cmmdc}(6,18)=6$$

Ai observat ceva interesant? 6 îl divide pe 18 ($18:6=3$). Când numărul mai mic îl divide exact pe cel mai mare, cmmdc este chiar numărul mai mic! Aceasta este o scurtătură utilă: dacă vezi că unul dintre numere îl divide pe celălalt, cmmdc este numărul mai mic.

Un alt caz special: numere fără divizori comuni mari

Hai să încercăm cmmdc(8, 15).

$$D_8=\{1,2,4,8\},D_{15}=\{1,3,5,15\}$$

Care numere apar în ambele liste? Doar 1! Niciun alt număr nu se repetă. Atunci:

$$\text{cmmdc}(8,15)=1$$

Când cmmdc-ul a două numere este 1, spunem că numerele sunt prime între ele (sau coprime). Atenție: asta nu înseamnă că 8 și 15 sunt numere prime — niciunul nu este! Înseamnă doar că nu au niciun divizor comun mai mare decât 1. Vei revedea această idee când vei lucra cu fracții ireductibile, în lecția Cel mai mare divizor comun. Simplificarea și fracții ireductibile.

Pasul 4: cmmdc a trei numere

Metoda funcționează la fel de bine și cu trei numere. Scriem divizorii fiecăruia și căutăm numerele care apar în toate trei listele.

Să aflăm cmmdc(12, 18, 30).

$$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$ $$D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$$ $$D_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$$

Căutăm numerele prezente în toate trei:

• 1 — în toate trei → comun.
• 2 — în toate trei → comun.
• 3 — în toate trei → comun.
• 4 — lipsește la 18 și la 30 → nu.
• 6 — în toate trei → comun.

Divizorii comuni ai celor trei numere sunt 1, 2, 3, 6, iar cel mai mare este 6:

$$\text{cmmdc}(12,18,30)=6$$

Cum te organizezi ca să nu greșești

Când lucrezi cu cmmdc prin enumerare, cea mai mare capcană nu este matematica grea, ci graba. Iată o rutină în patru mișcări pe care ți-o recomand să o repeți de fiecare dată, până devine un reflex:

1. Scrie numerele unul sub altul și lasă loc lângă fiecare pentru lista lui de divizori.
2. Construiește listele crescător, de la 1 până la numărul însuși, folosind trucul perechilor ca să nu pierzi niciun divizor.
3. Subliniază sau bifează divizorii care se repetă în ambele liste — cu un creion colorat, dacă ai.
4. Încercuiește cel mai mare dintre numerele bifate. Acela este cmmdc.

Această rutină pare lungă scrisă în cuvinte, dar în practică durează sub un minut și te scapă de cele mai dese greșeli: divizori uitați și alegerea unui divizor comun care nu este cel mai mare.

Hai să o aplicăm rapid pe o pereche nouă, 15 și 25, ca să vezi cât e de fluidă:

$$D_{15}=\{1,3,5,15\},D_{25}=\{1,5,25\}$$

Bifăm ce se repetă: 1 și 5. Cel mai mare este 5. Deci $\text{cmmdc}(15,25)=5$. Verificăm pe loc: $15:5=3$ și $25:5=5$, ambele exacte. Gata — în mai puțin de un minut.

Metoda tabelului: o cale și mai ordonată de a compara

Unora le e mai ușor să nu se uite la două mulțimi scrise una sub alta, ci la un tabel. Ideea e simplă: pe primul rând scriem toate numerele care ar putea fi divizori, iar dedesubt punem o bifă (✓) acolo unde numărul chiar divide. Numerele care au două bife sunt divizorii comuni.

Hai să comparăm 20 și 30 în tabel. Un divizor comun nu poate fi mai mare decât numărul mai mic, adică 20, așa că ar fi destul să testăm candidații de la 1 la 20. Ca să nu lungim tabelul, îi trecem doar pe cei care chiar divid măcar unul dintre numere (numerele 11–20 le verifici repede din minte: 15 divide pe 30 dar nu pe 20, iar 20 divide pe 20 dar nu pe 30, deci nu aduc divizori comuni noi):

Acum citim coloanele cu două bife: 1, 2, 5 și 10. Aceștia sunt divizorii comuni ai lui 20 și 30, iar cel mai mare dintre ei este 10:

$$\text{cmmdc}(20,30)=10$$

Verificăm pe loc: $20:10=2$ și $30:10=3$, ambele exacte. Tabelul e util mai ales când lucrezi cu trei numere: adaugi un rând în plus și cauți coloanele cu trei bife. Alege metoda care ți se pare mai limpede — listele cu acolade sau tabelul cu bife. Amândouă duc la același răspuns, fiindcă amândouă fac, de fapt, același lucru: caută numerele care apar peste tot.

De ce ne folosește cmmdc în viața de zi cu zi?

Poate te întrebi: la ce-mi trebuie acest cmmdc? El apare ori de câte ori vrem să împărțim lucruri în grupe egale, cât mai mari. De exemplu: ai 24 de creioane și 36 de pixuri și vrei să faci pachete identice, în care fiecare pachet să aibă același număr de creioane și același număr de pixuri, fără să rămână nimic. Numărul maxim de pachete este chiar $\text{cmmdc}(24,36)$. Vom rezolva exact o astfel de problemă în secțiunea de exemple. Ține minte cuvintele-cheie din enunțuri: „cât mai mare", „cât mai mult", „egal", „fără rest" — ele te trimit aproape mereu la cmmdc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — toți divizorii unui număr

Cerință: Scrie toți divizorii numărului 20.

Rezolvare. Încercăm pe rând, folosind trucul perechilor:

• $1\cdot 20=20$ → divizorii 1 și 20.
• $2\cdot 10=20$ → divizorii 2 și 10.
• $4\cdot 5=20$ → divizorii 4 și 5.
• 3 nu divide (rest), iar după 4 și 5 perechile se întâlnesc, deci ne oprim.

$$D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$$

Numărul 20 are 6 divizori. Observă cum perechile ne-au scutit de încercări inutile.

Exemplul 2 — divizori comuni pas cu pas

Cerință: Găsește toți divizorii comuni ai numerelor 16 și 24.

Rezolvare. Scriem fiecare listă:

$$D_{16}=\{1,2,4,8,16\}$$ $$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

Bifăm numerele prezente în ambele: 1 (da), 2 (da), 4 (da), 8 (da). Numerele 16, 3, 6, 12, 24 nu sunt în ambele.

Divizorii comuni ai lui 16 și 24 sunt: 1, 2, 4, 8.

Exemplul 3 — cmmdc clasic

Cerință: Află $\text{cmmdc}(24,36)$.

Rezolvare. Scriem divizorii fiecăruia:

$$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$ $$D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$$

Divizorii comuni: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare dintre ei este 12.

$$\text{cmmdc}(24,36)=12$$

Verificare: $24:12=2$ exact și $36:12=3$ exact. Într-adevăr, 12 divide ambele numere. Mereu poți verifica așa!

Mai observă ceva folositor: divizorii comuni 1, 2, 3, 4, 6, 12 ai numerelor 24 și 36 sunt exact divizorii lui 12, adică ai cmmdc-ului. Nu este o întâmplare — toți divizorii comuni a două numere sunt, de fapt, divizori ai cmmdc-ului lor. Este o proprietate frumoasă pe care o vei înțelege și mai bine în clasele următoare.

Exemplul 4 — numere prime între ele

Cerință: Află $\text{cmmdc}(9,14)$.

Rezolvare.

$$D_9=\{1,3,9\},D_{14}=\{1,2,7,14\}$$

Singurul număr comun este 1. Așadar:

$$\text{cmmdc}(9,14)=1$$

Numerele 9 și 14 sunt prime între ele — nu au niciun divizor comun mai mare decât 1, chiar dacă niciunul nu este un număr prim.

Exemplul 5 — cmmdc a trei numere

Cerință: Află $\text{cmmdc}(12,16,20)$.

Rezolvare.

$$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$ $$D_{16}=\{1,2,4,8,16\}$$ $$D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$$

Numerele prezente în toate trei: 1, 2, 4. Cel mai mare este 4.

$$\text{cmmdc}(12,16,20)=4$$

Verificare: $12:4=3$, $16:4=4$, $20:4=5$ — toate exacte.

Exemplul 6 — o problemă din viața reală

Cerință: Un grădinar are 18 trandafiri și 30 de lalele. Vrea să facă buchete identice, fiecare cu același număr de trandafiri și același număr de lalele, folosind toate florile. Care este numărul maxim de buchete pe care le poate forma? Câte flori de fiecare fel intră într-un buchet?

Rezolvare. „Numărul maxim de buchete egale, fără să rămână flori" = cel mai mare număr care divide și pe 18, și pe 30. Adică $\text{cmmdc}(18,30)$.

$$D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$$ $$D_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$$

Divizori comuni: 1, 2, 3, 6. Cel mai mare este 6.

$$\text{cmmdc}(18,30)=6$$

Deci grădinarul poate face cel mult 6 buchete. În fiecare buchet intră $18:6=3$ trandafiri și $30:6=5$ lalele.

Exemplul 7 — numere mai mari, cu trucul perechilor

Cerință: Află $\text{cmmdc}(40,60)$.

Rezolvare. Numerele sunt mai mari, așa că folosim trucul perechilor ca să nu uităm niciun divizor.

Pentru 40: $1\cdot 40$, $2\cdot 20$, $4\cdot 10$, $5\cdot 8$. (3 nu divide, 6 și 7 nu divid.) Deci:

$$D_{40}=\{1,2,4,5,8,10,20,40\}$$

Pentru 60: $1\cdot 60$, $2\cdot 30$, $3\cdot 20$, $4\cdot 15$, $5\cdot 12$, $6\cdot 10$. Deci:

$$D_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$$

Bifăm numerele prezente în ambele liste: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Cel mai mare este 20.

$$\text{cmmdc}(40,60)=20$$

Verificare: $40:20=2$ exact și $60:20=3$ exact. Corect! Observă din nou proprietatea din Exemplul 3: divizorii comuni 1, 2, 4, 5, 10, 20 sunt exact divizorii lui 20, adică ai cmmdc-ului.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Pentru fiecare cmmdc, scrie întâi listele de divizori — așa nu greșești!

1. Scrie toți divizorii numărului 16.
2. Scrie toți divizorii numărului 21.
3. Scrie toți divizorii numărului 30.
4. Găsește toți divizorii comuni ai numerelor 8 și 12.
5. Află $\text{cmmdc}(8,12)$.
6. Află $\text{cmmdc}(10,15)$.
7. Află $\text{cmmdc}(9,12)$.
8. Află $\text{cmmdc}(14,21)$.
9. Adevărat sau fals: $\text{cmmdc}(6,18)=6$. Justifică.
10. Află $\text{cmmdc}(7,13)$. Sunt numerele prime între ele?
11. Află $\text{cmmdc}(12,16,20)$.
12. Află $\text{cmmdc}(24,18)$.
13. Problemă: La un concurs sunt 24 de mere și 36 de pere. Organizatorii vor să le împartă în coșuri identice (același număr de mere și de pere în fiecare), folosind toate fructele. Care este numărul maxim de coșuri?
14. Problemă: Două panglici, una de 18 cm și una de 30 cm, trebuie tăiate în bucăți egale, cât mai lungi, fără să rămână rest. Cât de lungă va fi fiecare bucată?
15. Completează: Pentru orice număr natural $a\ne 0$, $\text{cmmdc}(a,a)=\underline{}$ și $\text{cmmdc}(1,a)=\underline{}$.
16. Încercuiește divizorii comuni ai numerelor 15 și 25 din lista: 1, 3, 5, 9, 15, 25. Apoi scrie cmmdc.
17. Problemă: În clasa a 5-a A sunt 40 de elevi, iar în a 5-a B sunt 32 de elevi. Profesorul vrea să-i împartă în grupe egale, fiecare grupă din aceeași clasă, cu numărul maxim de elevi într-o grupă. Câți elevi va avea fiecare grupă?
18. Adevărat sau fals: Două numere pot avea zero divizori comuni. Justifică.
19. Află $\text{cmmdc}(28,42)$. Scrie întâi ambele liste de divizori.
20. Problemă: Un cofetar are 48 de bomboane de ciocolată și 36 de bomboane de fructe. Vrea să le pună în cutii identice (același număr de bomboane de ciocolată și același număr de bomboane de fructe în fiecare), folosind toate bomboanele. Care este numărul maxim de cutii? Câte bomboane de fiecare fel intră într-o cutie?

Răspunsuri și explicații

1. $D_{16}=\{1,2,4,8,16\}$. Perechi: $1\cdot 16$, $2\cdot 8$, $4\cdot 4$.
2. $D_{21}=\{1,3,7,21\}$. Perechi: $1\cdot 21$, $3\cdot 7$.
3. $D_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$. Perechi: $1\cdot 30$, $2\cdot 15$, $3\cdot 10$, $5\cdot 6$.
4. $D_8=\{1,2,4,8\}$, $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$. Divizori comuni: 1, 2, 4.
5. $\text{cmmdc}(8,12)=4$ (cel mai mare dintre 1, 2, 4). Verificare: $8:4=2$, $12:4=3$.
6. $D_{10}=\{1,2,5,10\}$, $D_{15}=\{1,3,5,15\}$. Comuni: 1, 5. $\text{cmmdc}(10,15)=5$.
7. $D_9=\{1,3,9\}$, $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$. Comuni: 1, 3. $\text{cmmdc}(9,12)=3$.
8. $D_{14}=\{1,2,7,14\}$, $D_{21}=\{1,3,7,21\}$. Comuni: 1, 7. $\text{cmmdc}(14,21)=7$.
9. Adevărat. $D_6=\{1,2,3,6\}$, $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$, comuni 1,2,3,6, cel mai mare 6. Cum 6 îl divide pe 18, cmmdc este chiar numărul mai mic.
10. $D_7=\{1,7\}$, $D_{13}=\{1,13\}$. Singurul comun: 1. $\text{cmmdc}(7,13)=1$. Da, sunt prime între ele (de fapt 7 și 13 sunt și numere prime).
11. $\text{cmmdc}(12,16,20)=4$. Comuni la toate trei: 1, 2, 4 (vezi Exemplul 5).
12. $D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$, $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$. Comuni: 1,2,3,6. $\text{cmmdc}(24,18)=6$.
13. $\text{cmmdc}(24,36)=12$ (vezi Exemplul 3). Numărul maxim de coșuri este 12 (fiecare cu $24:12=2$ mere și $36:12=3$ pere).
14. $\text{cmmdc}(18,30)=6$. Fiecare bucată va avea 6 cm lungime (panglica de 18 cm → 3 bucăți, cea de 30 cm → 5 bucăți).
15. $\text{cmmdc}(a,a)=\mathbf{a}$ (orice număr se divide pe sine, fiind cel mai mare divizor al său); $\text{cmmdc}(1,a)=1$ (singurul divizor al lui 1 este 1).
16. Divizorii comuni încercuiți: 1, 5 ($D_{15}=\{1,3,5,15\}$, $D_{25}=\{1,5,25\}$). $\text{cmmdc}(15,25)=5$.
17. $D_{40}=\{1,2,4,5,8,10,20,40\}$, $D_{32}=\{1,2,4,8,16,32\}$. Comuni: 1,2,4,8. $\text{cmmdc}(40,32)=8$. Fiecare grupă va avea 8 elevi.
18. Fals. Două numere au întotdeauna cel puțin un divizor comun: 1, fiindcă 1 divide orice număr natural. Deci nu pot avea zero divizori comuni.
19. $D_{28}=\{1,2,4,7,14,28\}$, $D_{42}=\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$. Comuni: 1, 2, 7, 14. $\text{cmmdc}(28,42)=14$. Verificare: $28:14=2$, $42:14=3$.
20. $D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}$, $D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$. Comuni: 1,2,3,4,6,12. $\text{cmmdc}(48,36)=12$. Numărul maxim de cutii este 12, fiecare cu $48:12=4$ bomboane de ciocolată și $36:12=3$ bomboane de fructe.

De reținut

• Divizorii comuni ai două (sau trei) numere sunt numerele care apar în toate listele de divizori.
• cmmdc = cel mai mare dintre divizorii comuni. Se află prin enumerare în 3 pași: scrii divizorii fiecărui număr, compari, alegi pe cel mai mare comun.
• 1 este mereu divizor comun, deci două numere au cel puțin un divizor comun; cmmdc există întotdeauna.
• Dacă un număr îl divide pe celălalt, cmmdc este numărul mai mic.
• Dacă $\text{cmmdc}=1$, numerele sunt prime între ele (coprime).

Greșeli frecvente

• Uiți divizorii „de la capete". Mulți elevi uită că 1 și numărul însuși sunt mereu divizori. Începe orice listă cu 1 și termin-o cu numărul respectiv.
• Confunzi divizorii cu multiplii. Divizorii sunt numere mai mici sau egale cu numărul (în care „intră" numărul), multiplii sunt mai mari sau egali. La cmmdc lucrăm cu divizori. (Multiplii comuni îi vei studia în lecția Multipli comuni. Cel mai mic multiplu comun.)
• Iei primul divizor comun găsit, nu pe cel mai mare. cmmdc cere cel mai mare, deci scrie toți divizorii comuni și alege-l pe ultimul (cel mai mare) din listă.
• Crezi că „prime între ele" înseamnă „numere prime". Sunt lucruri diferite! 8 și 15 sunt prime între ele (cmmdc = 1), dar niciunul nu este număr prim.

Joc acasă

1. Cutia cu nasturi (sau monede). Ia 12 nasturi și 18 capace. Încearcă să le împarți în grămezi egale: 2 grămezi, 3 grămezi, 6 grămezi... Care este cel mai mare număr de grămezi egale în care intră și nasturii, și capacele fără rest? Vei „simți cu mâna" că răspunsul este 6 — adică $\text{cmmdc}(12,18)$.

2. Provocarea cu sfoară. Ia două bucăți de sfoară de 20 cm și 30 cm. Cu rigla, taie-le în bucăți egale cât mai lungi, fără rest. Înainte să tai, ghicește lungimea calculând $\text{cmmdc}(20,30)$ — apoi verifică tăind. (Răspuns: 10 cm.)

3. Duelul divizorilor. Joacă cu un prieten: fiecare alege în secret un număr de la 10 la 30. Apoi scrieți amândoi divizorii numerelor și aflați împreună cmmdc. Câștigă cine termină corect mai repede lista de divizori comuni.

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe noțiunea de divizor, deja predată. Recomandăm o abordare în doi timpi: mai întâi consolidați scrierea completă a divizorilor unui număr (este sursa principală de erori — copiii uită 1 sau numărul însuși), abia apoi treceți la comparația listelor.

Întrebări utile de pus copilului:

• „Cum verifici că ai găsit toți divizorii lui 24?" (răspuns dorit: folosind perechile $1\cdot 24$, $2\cdot 12$, $3\cdot 8$, $4\cdot 6$).
• „De ce 1 apare mereu printre divizorii comuni?"
• „Cum poți verifica, după ce ai aflat cmmdc, că răspunsul e corect?" (împarte ambele numere la el și vezi că nu rămâne rest).

Cum sprijiniți fără să rezolvați în locul lui: dacă greșește, nu îi dați răspunsul; cereți-i să recitească lista de divizori și să bifeze încet, cu degetul, numerele care apar în ambele. O diagramă Venn desenată pe o foaie (două cercuri care se suprapun) face conceptul de „comun" foarte vizibil.

Cum verificați înțelegerea: dați-i o problemă practică („avem 16 bomboane și 24 de biscuiți, câte farfurii identice maxim?") și urmăriți dacă recunoaște singur că trebuie cmmdc. Recunoașterea contextului — nu doar calculul — arată înțelegere reală.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă cmmdc la clasa a 5-a? cmmdc înseamnă „cel mai mare divizor comun". Este cel mai mare număr natural care divide exact, în același timp, două (sau mai multe) numere date. La clasa a V-a îl afli prin enumerare, scriind divizorii fiecărui număr.

Cum aflu cmmdc prin enumerare, fără descompunere? Scrii toți divizorii primului număr, apoi toți divizorii celui de-al doilea, compari cele două liste, identifici divizorii comuni și alegi cel mai mare dintre ei. Nu ai nevoie de factori primi.

Care e diferența dintre divizor comun și cel mai mare divizor comun? Divizorii comuni sunt toate numerele care apar în ambele liste de divizori (de obicei mai multe). Cel mai mare divizor comun (cmmdc) este doar unul singur: cel mai mare dintre acei divizori comuni.

Două numere pot să nu aibă divizori comuni? Nu. Orice două numere naturale au cel puțin divizorul comun 1, fiindcă 1 divide orice număr. Dacă singurul lor divizor comun este 1, spunem că numerele sunt prime între ele.

Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele? Înseamnă că cel mai mare divizor comun al lor este 1, adică nu au niciun divizor comun mai mare decât 1. De exemplu, 8 și 15 sunt prime între ele, deși niciunul nu este număr prim.

Cmmdc poate fi mai mare decât numerele date? Nu. cmmdc este un divizor al fiecărui număr, iar un divizor nu poate fi mai mare decât numărul pe care îl divide. Cel mult, cmmdc este egal cu numărul mai mic (atunci când acesta îl divide pe celălalt).

Cum verific dacă am calculat corect cmmdc? Împarte fiecare dintre numerele date la cmmdc-ul găsit: dacă ambele împărțiri se fac exact (rest 0), iar niciun număr mai mare nu are aceeași proprietate, atunci rezultatul este corect.

De ce îmi trebuie cmmdc în probleme practice? cmmdc apare în problemele în care împărțim lucruri în grupe egale cât mai mari (buchete, coșuri, pachete, bucăți de sfoară), folosind totul fără rest. Cuvintele „maxim", „cât mai mare", „egal", „fără rest" îți semnalează că trebuie să folosești cmmdc.

Care este cel mai mic divizor comun al două numere? Întotdeauna 1. Numărul 1 divide orice număr natural, deci este divizor comun al oricăror două numere și, fiind cel mai mic număr natural diferit de 0, este mereu cel mai mic divizor comun. De aceea în matematică ne interesează cel mai mare divizor comun, nu cel mai mic — cel mic este mereu același și nu ne spune nimic nou.

Poate cmmdc să fie egal cu unul dintre numerele date? Da, atunci când numărul mai mic îl divide exact pe cel mai mare. De exemplu, $\text{cmmdc}(6,18)=6$, pentru că 6 îl divide pe 18. În acest caz, cmmdc este chiar numărul mai mic. Mai mare decât numărul mai mic nu poate fi niciodată, fiindcă un divizor nu depășește numărul pe care îl divide.

Trebuie să scriu divizorii în ordine crescătoare? Nu este obligatoriu, dar este puternic recomandat. Scriind divizorii în ordine, de la 1 până la numărul însuși, e mult mai greu să uiți vreunul și mult mai ușor să compari două liste, fiindcă numerele se „aliniază". Ordinea crescătoare îți dă și un bonus: cmmdc este pur și simplu ultimul număr bifat ca fiind comun.