Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun

Până acum, în lecțiile despre calcul algebric, ai învățat mai ales să desfaci parantezele: dintr-un produs precum $3(x+2)$ obțineai o sumă, $3x+6$. Astăzi facem drumul invers: pornim de la o sumă și o transformăm într-un produs. Această operație, numită descompunere în factori, este una dintre cele mai puternice unelte din toată algebra de gimnaziu. Fără ea nu poți simplifica fracții algebrice și nu poți rezolva ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$ — exact subiectele care apar la Evaluarea Națională. Prima metodă, cea mai simplă și cea mai des folosită, este scoaterea factorului comun. Hai să o stăpânim perfect.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici corect factorul comun al termenilor unei expresii algebrice (partea numerică și partea literală).
• Vei ști să scoți factorul comun în față și să scrii expresia ca produs de factori.
• Vei ști să lucrezi cu factor comun negativ și cu factor comun de tip paranteză.
• Vei ști să verifici descompunerea prin efectuarea înmulțirii (desfacerea parantezei).
• Vei recunoaște greșelile frecvente și vei ști cum să le eviți la examen.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a descompune în factori"

Când spunem că descompunem un număr în factori, îl scriem ca un produs. De exemplu, $12=3\cdot 4$ sau, complet, $12=2^2\cdot 3$. La fel procedăm cu expresiile algebrice: a descompune în factori o sumă sau o diferență înseamnă a o rescrie ca produs de factori.

$$\underset{\text{suma˘}}{\underbrace{ab+ac}}=\underset{\text{produs}}{\underbrace{a(b+c)}}$$

Observă: în stânga avem o sumă de doi termeni, în dreapta un produs de doi factori. Egalitatea este adevărată pentru orice valori ale literelor — este o identitate. Ea nu face altceva decât să citească „invers" proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, pe care o folosești din clasele mici:

$$a(b+c)=ab+ac\stackrel{\text{citit invers}}{\to }ab+ac=a(b+c).$$

De ce ne trebuie asta? Pentru că un produs e mult mai ușor de folosit decât o sumă: îl poți simplifica într-o fracție, îl poți face egal cu zero ca să rezolvi o ecuație, îi poți studia semnul. Gândește-te la un lego: e mai comod să ai piesele separate (factorii) decât un bloc lipit (suma).

Ce este factorul comun

Factorul comun este acel factor care se găsește în fiecare termen al expresiei. El are, în general, două părți:

1. Partea numerică (coeficientul): cel mai mare număr cu care se împart toți coeficienții termenilor, adică cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al lor.
2. Partea literală: fiecare literă care apare în toți termenii, luată cu cel mai mic exponent întâlnit.

Să vedem pe un exemplu concret. Fie expresia $$6x^3+9x^2.$$

Partea numerică: coeficienții sunt $6$ și $9$. Care e cel mai mare număr care îi împarte pe amândoi? $\text{c.m.m.d.c.}(6,9)=3$.

Partea literală: litera $x$ apare în ambii termeni, la puterea $3$ în primul și la puterea $2$ în al doilea. Luăm exponentul cel mai mic, adică $x^2$.

Deci factorul comun este $3x^2$. De ce cel mai mic exponent? Pentru că factorul comun trebuie să „încapă" în ambii termeni. Din $x^2$ nu poți scoate $x^3$ (nu-l ai întreg acolo), dar din $x^3$ poți scoate $x^2$, rămânând un $x$. Alegem mereu ce se găsește sigur în toți.

Cum scoatem factorul comun în față — pas cu pas

Odată găsit factorul comun, îl scriem în față, punem o paranteză, iar în paranteză scriem ce rămâne din fiecare termen după ce îl împărțim la factorul comun. Reluăm exemplul:

$$6x^3+9x^2.$$

Pasul 1 — factorul comun: $3x^2$ (l-am găsit mai sus).

Pasul 2 — împărțim fiecare termen la factorul comun: $$\frac{6x^3}{3x^2}=2x,\frac{9x^2}{3x^2}=3.$$

Pasul 3 — scriem produsul: factorul comun în față, iar în paranteză câturile obținute, cu semnele lor: $$6x^3+9x^2=3x^2(2x+3).$$

Pasul 4 — verificăm desfăcând paranteza: $$3x^2\cdot 2x+3x^2\cdot 3=6x^3+9x^2.✓$$

Am obținut exact expresia de la care am pornit, deci descompunerea este corectă. Verificarea prin înmulțire trebuie să devină un reflex — durează câteva secunde și îți garantează punctajul la examen.

Un exemplu cu mai multe litere

Fie $$12x^{2}y-8x{y}^2.$$

Coeficienți: $\text{c.m.m.d.c.}(12,8)=4$. Litera $x$: apare cu exponent $2$ și $1$ → luăm $x^1=x$. Litera $y$: apare cu exponent $1$ și $2$ → luăm $y^1=y$.

Factorul comun este $4xy$. Împărțim: $$\frac{12x^{2}y}{4xy}=3x,\frac{8x{y}^2}{4xy}=2y,$$

deci $$12x^{2}y-8x{y}^2=4xy(3x-2y).$$

Verificare: $4xy\cdot 3x-4xy\cdot 2y=12x^{2}y-8x{y}^2.$ ✓ Atenție la semn: în paranteză păstrezi minusul dintre termeni.

Când în paranteză rămâne un „1"

O capcană foarte des întâlnită. Fie $$5a^3+a.$$

Factorul comun este $a$ (coeficienții $5$ și $1$ au c.m.m.d.c. $1$, deci partea numerică e $1$ și n-o mai scriem). Împărțim: $$\frac{5a^3}{a}=5a^2,\frac{a}{a}=1.$$

Când un termen este chiar factorul comun, după împărțire rămâne $1$, nu „nimic": $$5a^3+a=a(5a^2+1).$$

Dacă ai scrie greșit $a(5a^2)$, la verificare ai obține doar $5a^3$ — ți-ar lipsi al doilea termen. Deci: nu uita de 1.

Factor comun cu semn negativ

Uneori e util să scoatem în față un factor negativ, mai ales când primul termen este negativ. Fie $$-6x^2-15x.$$

Putem scoate factorul comun $3x$, dar e mai îngrijit să scoatem $-3x$, ca primul termen din paranteză să fie pozitiv. Regula de împărțire a semnelor rămâne cea știută: minus împărțit la minus dă plus. $$\frac{-6x^2}{-3x}=2x,\frac{-15x}{-3x}=5,$$

deci $$-6x^2-15x=-3x(2x+5).$$

Verificare: $-3x\cdot 2x-3x\cdot 5=-6x^2-15x.$ ✓

Atenție uriașă la semne: când scoți un factor negativ, toate semnele din paranteză se schimbă față de cum ar fi fost cu factor pozitiv. De exemplu, $-a+b$ nu este $-(a+b)$, ci $-(a-b)$. Verifică mereu: $-(a-b)=-a+b.$ ✓

Factor comun de tip paranteză

Aici algebra devine cu adevărat elegantă. Factorul comun nu trebuie să fie neapărat un monom (un număr, o literă sau un produs al lor, precum $3x^2$) — poate fi o paranteză întreagă, tratată ca un singur „bloc". Fie $$x(a+b)-2(a+b).$$

Observă că paranteza $(a+b)$ apare în ambii termeni: este factorul comun. O tratăm exact ca pe o literă. Scoatem $(a+b)$ în față; ce rămâne este $x$ din primul termen și $-2$ din al doilea: $$x(a+b)-2(a+b)=(a+b)(x-2).$$

Verificare: $(a+b)\cdot x-(a+b)\cdot 2=x(a+b)-2(a+b).$ ✓

Un caz în care trebuie să fii atent la semne: dacă parantezele arată aproape la fel, dar cu ordinea inversată, le poți face identice schimbând semnul. De exemplu, $(2-x)$ și $(x-2)$ sunt opuse: $(2-x)=-(x-2)$. Reținem regula: $b-a=-(a-b)$. O vom folosi într-un exemplu mai jos.

Cum știu că am scos tot factorul comun

Un examinator îți poate cere descompunerea completă, adică să scoți factorul comun cel mai mare posibil. Dacă scoți doar o parte, descompunerea nu e greșită, dar e neterminată. Compară: $$12x^2+18x=6(2x^2+3x)=6\cdot x(2x+3)=6x(2x+3).$$ În prima variantă am scos doar $6$, dar în paranteză a mai rămas un factor comun, $x$. Semnul că nu ai terminat este simplu: termenii din paranteză mai au un factor comun (aici, ambii se împart la $x$). Verificarea rapidă: în paranteza finală $(2x+3)$, coeficienții $2$ și $3$ au c.m.m.d.c. $1$ și nu mai există literă comună — deci am scos totul. Reține regula de aur: după descompunere, termenii din paranteză nu mai trebuie să aibă niciun factor comun.

Fracții ca și coeficienți

Factorul comun apare și când coeficienții sunt fracții — util mai târziu, la fracțiile algebrice. De exemplu: $$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(x+3).$$ Aici am scos în față $\frac{1}{2}$, iar în paranteză a rămas $x$ (din $\frac{1}{2}x:\frac{1}{2}$) și $3$ (din $\frac{3}{2}:\frac{1}{2}$). Verificare: $\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.$ ✓ Ideea rămâne aceeași: scoatem în față ceea ce e comun, indiferent dacă e întreg sau fracție.

Un algoritm sigur în patru pași

Ca să nu te blochezi niciodată la examen, urmează mereu aceiași patru pași, indiferent cât de complicată pare expresia:

1. Coeficienții: calculează c.m.m.d.c. al tuturor coeficienților numerici. Acesta este partea numerică a factorului comun. Dacă e $1$, partea numerică nu se scrie.
2. Literele: pentru fiecare literă care apare în toți termenii, ia-o la exponentul cel mai mic întâlnit. O literă care lipsește chiar și dintr-un singur termen nu intră în factorul comun.
3. Împarte și scrie produsul: pune factorul comun în față, deschide paranteza și scrie câtul fiecărui termen împărțit la factorul comun, cu semnul lui. Nu uita de $1$ acolo unde un termen este chiar factorul comun.
4. Verifică: desfă paranteza și compară cu expresia inițială, termen cu termen și semn cu semn.

Un ultim control de calitate: privește paranteza finală. Dacă termenii ei mai au un factor comun, înseamnă că n-ai scos tot — reia pasul 1 pe paranteză. Descompunerea completă se oprește exact când în paranteză nu mai există niciun factor comun.

De ce e atât de utilă descompunerea

Iată o mostră din ce urmează. Ecuația $x^2-5x=0$ pare grea, dar dacă scoatem factorul comun $x$, devine $x(x-5)=0$. Un produs este zero doar dacă unul dintre factori este zero, deci $x=0$ sau $x-5=0$, adică $x\in \{0,5\}$. Vei studia acest principiu al produsului nul în detaliu la lecția Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun. Deocamdată reține doar cât de mult ne ajută transformarea sumei în produs.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — coeficient comun simplu. Descompune $10x+15$.

Coeficienții $10$ și $15$ au $\text{c.m.m.d.c.}=5$; litere comune nu există. Factor comun: $5$. $$10x+15=5(2x+3).$$ Verificare: $5\cdot 2x+5\cdot 3=10x+15.$ ✓

Exemplul 2 — o literă cu exponent. Descompune $a^4-a^2$.

Coeficienți $1$ și $1$ → partea numerică $1$. Litera $a$ apare cu exponenții $4$ și $2$ → luăm $a^2$. Factor comun: $a^2$. $$\frac{a^4}{a^2}=a^2,\frac{a^2}{a^2}=1\Rightarrow a^4-a^2=a^2(a^2-1).$$ Verificare: $a^2\cdot a^2-a^2\cdot 1=a^4-a^2.$ ✓ (Vei putea descompune mai departe $a^2-1$ la lecția despre diferența de pătrate.)

Exemplul 3 — trei termeni, două litere. Descompune $3a^{2}b+6a{b}^2-9ab$.

Coeficienți $3,6,9$ → $\text{c.m.m.d.c.}=3$. Litera $a$: exponenți $2,1,1$ → $a$. Litera $b$: exponenți $1,2,1$ → $b$. Factor comun: $3ab$. $$\frac{3a^{2}b}{3ab}=a,\frac{6a{b}^2}{3ab}=2b,\frac{9ab}{3ab}=3.$$ $$3a^{2}b+6a{b}^2-9ab=3ab(a+2b-3).$$ Verificare: $3ab\cdot a+3ab\cdot 2b-3ab\cdot 3=3a^{2}b+6a{b}^2-9ab.$ ✓

Exemplul 4 — factor comun negativ. Descompune $-4x^2-8x$, astfel încât primul termen din paranteză să fie pozitiv.

Scoatem $-4x$: $$\frac{-4x^2}{-4x}=x,\frac{-8x}{-4x}=2\Rightarrow -4x^2-8x=-4x(x+2).$$ Verificare: $-4x\cdot x-4x\cdot 2=-4x^2-8x.$ ✓

Exemplul 5 — factor comun de tip paranteză, cu „1". Descompune $7y(m+3)+(m+3)$.

Factorul comun este $(m+3)$. Din primul termen rămâne $7y$, iar al doilea termen este chiar $(m+3)$, deci rămâne $1$: $$7y(m+3)+(m+3)=(m+3)(7y+1).$$ Verificare: $(m+3)\cdot 7y+(m+3)\cdot 1=7y(m+3)+(m+3).$ ✓

Exemplul 6 — paranteze opuse (schimbare de semn). Descompune $a(x-2)+b(2-x)$.

Parantezele $(x-2)$ și $(2-x)$ sunt opuse: $(2-x)=-(x-2)$. Rescriem al doilea termen: $$a(x-2)+b\cdot (-(x-2))=a(x-2)-b(x-2).$$ Acum factorul comun $(x-2)$ este vizibil: $$a(x-2)-b(x-2)=(x-2)(a-b).$$ Verificare: $(x-2)a-(x-2)b=a(x-2)-b(x-2)=a(x-2)+b(2-x).$ ✓

Exemplul 7 — calcul numeric rapid. Fără să înmulțești mari, calculează $63\cdot 17-63\cdot 7$.

Scoatem factorul comun $63$: $$63\cdot 17-63\cdot 7=63\cdot (17-7)=63\cdot 10=630.$$ Descompunerea în factori nu e doar cu litere — te ajută să calculezi rapid și cu numere.

Exemplul 8 — factor comun într-o problemă reală (arie). Un dreptunghi are lungimea $x$ metri. Alături de el se construiește un al doilea dreptunghi, cu aceeași lungime $x$, dar cu lățimea de $5$ m; primul dreptunghi are lățimea de $3$ m. Scrie aria totală ca produs de factori.

Aria primului dreptunghi este $3x$, a celui de-al doilea este $5x$. Aria totală: $$3x+5x.$$ Aici factorul comun este $x$ (lungimea comună), iar coeficienții $3$ și $5$ nu au divizor comun mai mare decât $1$. Totuși $x$ se poate scoate: $$3x+5x=x(3+5)=x\cdot 8=8x.$$ Descompunerea ne arată direct că cele două dreptunghiuri alăturate formează unul singur, cu aceeași lungime $x$ și lățimea totală $3+5=8$ metri. Astfel, transformarea sumei în produs are și o interpretare geometrică: factorul comun este latura pe care figurile o împart.

Exemplul 9 — trei termeni, puteri mai mari. Descompune $8x^4+12x^3-20x^2$.

Coeficienți: $\text{c.m.m.d.c.}(8,12,20)=4$. Litera $x$: apare cu exponenții $4$, $3$ și $2$ → luăm exponentul minim, $x^2$. Factor comun: $4x^2$. $$\frac{8x^4}{4x^2}=2x^2,\frac{12x^3}{4x^2}=3x,\frac{20x^2}{4x^2}=5,$$ deci $$8x^4+12x^3-20x^2=4x^2(2x^2+3x-5).$$ Verificare: $4x^2\cdot 2x^2+4x^2\cdot 3x-4x^2\cdot 5=8x^4+12x^3-20x^2.$ ✓ În paranteză, coeficienții $2$, $3$ și $5$ nu au divizor comun mai mare decât $1$, iar litera $x$ lipsește din ultimul termen — deci descompunerea este completă.

Exemplul 10 — paranteză comună + descompunere completă. Descompune complet $6a(m+2)-9(m+2)$.

Paranteza $(m+2)$ apare în ambii termeni: o scoatem în față ca pe un bloc. $$6a(m+2)-9(m+2)=(m+2)(6a-9).$$ Dar nu ne oprim aici: în paranteza a doua, coeficienții $6$ și $9$ au $\text{c.m.m.d.c.}=3$, deci mai putem scoate un $3$. $$(m+2)(6a-9)=3(m+2)(2a-3).$$ Verificare: desfacem $(m+2)(2a-3)=2am-3m+4a-6$, apoi înmulțim cu $3$: $6am-9m+12a-18$. Expresia inițială: $6a(m+2)-9(m+2)=6am+12a-9m-18.$ Cele două coincid. ✓ Reține: factorul comun poate fi în același timp o paranteză și un număr — le scoți pe amândouă până când nu mai rămâne nimic comun.

Să exersăm

Descompune în factori (exercițiile 1–10), scoțând factorul comun. Verifică fiecare rezultat desfăcând paranteza.

1. $4x+4y$
2. $7a-21$
3. $10m+15$
4. $x^2+x$
5. $a^3-a^2$
6. $6m^2+9m$
7. $12x^{2}y-8x{y}^2$
8. $15a^2{b}^2+20a^{3}b$
9. $-5x-10$ (scoate factor comun negativ)
10. $-3a^2+6a$ (scoate factor comun negativ)

Factor comun de tip paranteză (exercițiile 11–14):

11. $8(x+1)+a(x+1)$

12. $x(a-5)-3(a-5)$

13. $2y(m+n)+(m+n)$

14. $a(x-4)+b(4-x)$

15. Adevărat sau fals? Justifică prin desfacerea parantezei: a) $6x+8=2(3x+4)$; b) $6x+8=6(x+8)$; c) $-2a-6=-2(a+3)$.

16. Item tip Evaluare Națională. Se dă $E=n^2+n$, unde $n$ este număr natural. Descompune $E$ în factori și arată că $E$ este număr par pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

17. Calcul rapid. Folosind factorul comun, calculează $2026\cdot 37-2026\cdot 27$.

18. Aplicație — spre ecuații. Descompune $x^2-7x$ în factori, apoi rezolvă ecuația $x^2-7x=0$ folosind faptul că un produs este zero doar dacă unul dintre factori este zero.

19. Descompunere completă. Descompune $20a^3-30a^2$ scoțând factorul comun cel mai mare și arată că în paranteză nu mai rămâne niciun factor comun.

20. Coeficienți fracționari. Descompune $\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$.

21. Justificare tip examen. Se dă $A=5^{20}+5^{19}$. Descompune scoțând factorul comun $5^{19}$ și arată că $A$ se divide cu $6$.

Exerciții suplimentare, pentru consolidare (22–26):

22. $9x^3+12x^2-6x$ (trei termeni, o literă)
23. $-8a^3-12a^2$ (scoate factor comun negativ)
24. $5m(x+y)-10(x+y)$ (descompunere completă: paranteză comună și număr comun)
25. Calcul rapid. Folosind factorul comun, calculează $48\cdot 125+52\cdot 125$.
26. Justificare tip examen. Se dă $B=3^{15}-3^{14}$. Descompune scoțând factorul comun $3^{14}$ și arată că $B$ se divide cu $2$.

Răspunsuri și explicații

1. $4x+4y=4(x+y)$. Factor comun $4$. Verificare: $4x+4y$. ✓
2. $7a-21=7(a-3)$. C.m.m.d.c.$(7,21)=7$; $21:7=3$. ✓
3. $10m+15=5(2m+3)$. C.m.m.d.c.$(10,15)=5$. ✓
4. $x^2+x=x(x+1)$. Al doilea termen e chiar $x$, deci rămâne $1$. ✓
5. $a^3-a^2=a^2(a-1)$. Exponent minim $a^2$; $a^3:a^2=a$, $a^2:a^2=1$. ✓
6. $6m^2+9m=3m(2m+3)$. C.m.m.d.c.$(6,9)=3$, litera comună $m$. ✓
7. $12x^{2}y-8x{y}^2=4xy(3x-2y)$. C.m.m.d.c.$(12,8)=4$; $x$ și $y$ la exponent minim $1$. ✓
8. $15a^2{b}^2+20a^{3}b=5a^{2}b(3b+4a)$. C.m.m.d.c.$(15,20)=5$; $a$ minim $a^2$, $b$ minim $b$. Verificare: $5a^{2}b\cdot 3b+5a^{2}b\cdot 4a=15a^2{b}^2+20a^{3}b$. ✓
9. $-5x-10=-5(x+2)$. Scoatem $-5$: $-5x:(-5)=x$, $-10:(-5)=2$. ✓
10. $-3a^2+6a=-3a(a-2)$. $-3a^2:(-3a)=a$, $6a:(-3a)=-2$. Verificare: $-3a\cdot a-3a\cdot (-2)=-3a^2+6a$. ✓
11. $8(x+1)+a(x+1)=(x+1)(8+a)$. Factor comun paranteza $(x+1)$. ✓
12. $x(a-5)-3(a-5)=(a-5)(x-3)$. Din al doilea termen rămâne $-3$. ✓
13. $2y(m+n)+(m+n)=(m+n)(2y+1)$. Al doilea termen e chiar $(m+n)$, rămâne $1$. ✓
14. $a(x-4)+b(4-x)=(x-4)(a-b)$. Deoarece $(4-x)=-(x-4)$, obținem $a(x-4)-b(x-4)$. ✓
15. a) Adevărat: $2(3x+4)=6x+8$. b) Fals: $6(x+8)=6x+48\ne 6x+8$; factorul comun corect este $2$, nu $6$. c) Adevărat: $-2(a+3)=-2a-6$.
16. $E=n^2+n=n(n+1)$. Numerele $n$ și $n+1$ sunt consecutive, deci unul dintre ele este par; produsul a două numere consecutive este întotdeauna par. Prin urmare $E$ este par pentru orice $n\in \mathbb{N}$.
17. $2026\cdot 37-2026\cdot 27=2026\cdot (37-27)=2026\cdot 10=20260$.
18. $x^2-7x=x(x-7)$. Ecuația devine $x(x-7)=0$, deci $x=0$ sau $x-7=0$. Soluțiile sunt $x\in \{0,7\}$.
19. $20a^3-30a^2=10a^2(2a-3)$. C.m.m.d.c.$(20,30)=10$, exponent minim $a^2$. În paranteză, $2$ și $3$ au c.m.m.d.c. $1$ și nu există literă comună, deci descompunerea este completă. Verificare: $10a^2\cdot 2a-10a^2\cdot 3=20a^3-30a^2$. ✓
20. $\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}(x-3)$. Verificare: $\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\cdot 3=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$. ✓
21. $A=5^{20}+5^{19}=5^{19}(5+1)=5^{19}\cdot 6$. Deoarece apare factorul $6$, numărul $A$ se divide cu $6$.
22. $9x^3+12x^2-6x=3x(3x^2+4x-2)$. C.m.m.d.c.$(9,12,6)=3$, exponent minim $x$. Verificare: $3x\cdot 3x^2+3x\cdot 4x-3x\cdot 2=9x^3+12x^2-6x$. ✓ În paranteză, $3,4,2$ au c.m.m.d.c. $1$, deci e complet.
23. $-8a^3-12a^2=-4a^2(2a+3)$. Scoatem $-4a^2$: $-8a^3:(-4a^2)=2a$, $-12a^2:(-4a^2)=3$. Verificare: $-4a^2\cdot 2a-4a^2\cdot 3=-8a^3-12a^2$. ✓
24. $5m(x+y)-10(x+y)=(x+y)(5m-10)=5(x+y)(m-2)$. Întâi scoatem paranteza comună $(x+y)$, apoi din $5m-10$ mai scoatem $5$. Verificare: $5(x+y)(m-2)=5(mx-2x+my-2y)=5mx-10x+5my-10y$, iar $5m(x+y)-10(x+y)=5mx+5my-10x-10y$. Coincid. ✓
25. $48\cdot 125+52\cdot 125=125\cdot (48+52)=125\cdot 100=12500$.
26. $B=3^{15}-3^{14}=3^{14}(3-1)=3^{14}\cdot 2$. Deoarece apare factorul $2$, numărul $B$ se divide cu $2$.

De reținut

• A descompune în factori = a transforma o sumă/diferență într-un produs: $ab+ac=a(b+c)$.
• Factorul comun = c.m.m.d.c. al coeficienților $\times$ fiecare literă comună la exponentul cel mai mic.
• Scoți factorul comun în față, iar în paranteză pui câturile termenilor împărțiți la el (atenție: dacă un termen e chiar factorul comun, rămâne $1$).
• Poți scoate un factor comun negativ; atunci toate semnele din paranteză se schimbă. Reține și $b-a=-(a-b)$.
• Factorul comun poate fi o paranteză întreagă: $x(a+b)-2(a+b)=(a+b)(x-2)$.
• Verifică mereu desfăcând paranteza — trebuie să obții expresia inițială.

Greșeli frecvente

• Uiți de „1". La $x^2+x$ scrii greșit $x(x)$ în loc de $x(x+1)$. Când un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne $1$. Verificarea prin înmulțire prinde imediat eroarea.
• Alegi coeficientul greșit. La $6x+8$ scoți $6$ și obții $6(x+\frac{8}{6})$ — greșit. Factorul numeric este c.m.m.d.c. al coeficienților ($=2$), astfel încât în paranteză să rămână numere întregi.
• Iei exponentul maxim în loc de minim. La $x^3+x^2$ scoți greșit $x^3$; din $x^2$ nu poți scoate $x^3$. Se ia mereu exponentul cel mai mic, aici $x^2$.
• Greșești semnele la factorul negativ. Când scoți $-3x$ din $-6x^2-15x$, uiți să schimbi al doilea semn și scrii $-3x(2x-5)$. Corect: $-3x(2x+5)$. Regula minus/minus $=$ plus + verificarea te salvează.
• Bagi în factorul comun o literă care lipsește dintr-un termen. La $6x^{2}y+9x^2$ nu poți scoate $y$, pentru că al doilea termen nu conține $y$. Factorul comun corect este $3x^2$, iar descompunerea este $3x^2(2y+3)$. O literă intră în factorul comun numai dacă apare în toți termenii.
• Te oprești prea devreme (descompunere incompletă). La $12x^2+18x$ scrii $6(2x^2+3x)$ și crezi că ai terminat, dar în paranteză a mai rămas factorul comun $x$. Rezultatul complet este $6x(2x+3)$. Verifică mereu paranteza finală: dacă termenii ei mai au un factor comun, continuă.

Aplică acasă

1. Factorul comun în cumpărături. Ai cumpărat $7$ caiete a $12$ lei și $7$ pixuri a $8$ lei. Scrie costul total ca $7\cdot 12+7\cdot 8$, apoi scoate factorul comun $7$ și calculează rapid: $7(12+8)=7\cdot 20=140$ lei. Inventează încă două situații reale (bilete, abonamente) în care scoaterea factorului comun scurtează calculul.
2. Vânătoare de factori comuni. Scrie pe o foaie $6$ expresii algebrice (unele cu o literă, altele cu două, una cu factor comun negativ, una cu paranteză comună) și descompune-le. Cere unui coleg să le verifice desfăcând parantezele — punctul câștigat e când rezultatul coincide cu expresia inițială.
3. Poduri către următoarele lecții. Alege trei ecuații de tip $x^2=kx$ (de exemplu $x^2=4x$), adu-le la forma $x^2-kx=0$, descompune și găsește soluțiile. Vei recunoaște metoda la lecția Descompunerea în factori prin gruparea termenilor și la ecuațiile de gradul al doilea.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este fundația întregii unități de descompuneri în factori și, mai departe, a fracțiilor algebrice și a ecuațiilor de gradul al doilea — toate prezente la Evaluarea Națională (Subiectul al II-lea și al III-lea, itemi de calcul algebric). Elevul stăpânește tema dacă poate răspunde clar la trei întrebări de control: „Care este factorul comun și de ce?", „Ce rămâne în paranteză după fiecare termen?" și „Cum verifici că descompunerea e corectă?". Cereți-i mereu verificarea prin desfacerea parantezei — este cel mai bun instrument de autocorectare și un obicei apreciat de barem. Semnalele că a înțeles cu adevărat: alege singur c.m.m.d.c. al coeficienților (nu un divizor oarecare), ia exponentul minim al literelor și nu „pierde" termenul care devine $1$. La examen, o descompunere corectă aduce puncte directe și deblochează pașii următori (simplificări, produs nul), deci merită exersată până devine automată.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să descompui în factori la clasa a 8-a? Înseamnă să rescrii o sumă sau o diferență de termeni ca un produs de factori. Practic, faci invers față de desfacerea parantezei: din $ab+ac$ obții $a(b+c)$.

Cum aflu factorul comun al unei expresii algebrice? Iei c.m.m.d.c. al coeficienților numerici pentru partea numerică, apoi fiecare literă care apare în toți termenii, la cel mai mic exponent întâlnit. Produsul lor este factorul comun.

De ce se ia exponentul cel mai mic, nu cel mai mare? Pentru că factorul comun trebuie să existe întreg în fiecare termen. Din $x^2$ poți scoate $x^2$, dar nu $x^3$; ca să încapă peste tot, alegi cea mai mică putere prezentă.

Ce rămâne în paranteză când un termen este chiar factorul comun? Rămâne $1$. De exemplu $x^2+x=x(x+1)$, pentru că $x:x=1$. Este cea mai frecventă greșeală — nu uita de $1$.

Cum verific dacă am descompus corect? Desfaci paranteza (înmulțești factorul comun cu fiecare termen din paranteză) și trebuie să obții exact expresia de la care ai pornit, cu aceleași semne. Dacă nu coincide, ai greșit undeva un semn sau un cât.

Când scot factorul comun cu semn negativ? De obicei când primul termen este negativ și vrei ca paranteza să înceapă cu plus, sau când pregătești o formulă. Atenție: la scoaterea unui factor negativ, toate semnele din paranteză se schimbă.

Ce fac dacă factorul comun este o paranteză, de exemplu $(a+b)$? O tratezi ca pe o singură literă (un „bloc") și o scoți în față: $x(a+b)-2(a+b)=(a+b)(x-2)$. Dacă parantezele sunt opuse, folosește $b-a=-(a-b)$ ca să le faci identice.

La ce îmi folosește descompunerea în factori mai departe? Este esențială pentru a simplifica fracții algebrice și pentru a rezolva ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$ prin principiul produsului nul — ambele subiecte-cheie la Evaluarea Națională. Vei folosi factorul comun tot restul anului.