Un elev rezolvă $$2x^2 - 6x = 0$$ astfel: „împart cu $$x$$, deci $$2x-6=0$$, $$x=3$$, $$S=\{3\}$$”. Ce a greșit?

A împărțit cu $$x$$, care poate fi $$0$$, și a pierdut soluția $$x=0$$

A greșit factorul comun, corect era $$3x$$

Soluția $$x=3$$ este greșită, corect este $$x=-3$$

Cum rezolv o ecuație fără termen liber?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ecuații ax² + bx = 0

Când lipsește numărul singur, ambii termeni conțin litera, așa că scoți litera în față: $a x^{2} + b x$ devine $x (a x + b)$ . Ecuația se transformă într-un produs egal cu zero, deci fie $x = 0$ , fie $a x + b = 0$ , de unde $x = - \frac{b}{a}$ . La $x^{2} - 8 x = 0$ obții $x (x - 8) = 0$ , adică $S = {0, 8}$ . Soluția zero apare mereu, iar împărțirea prin literă ar face-o să dispară.

O ecuație de forma $a x^{2} + b x = 0$ (cu $a \neq = 0$ ) este o ecuație incompletă de gradul al doilea — îi lipsește termenul liber $c$ . Ambii termeni conțin litera $x$ , așa că scoți factorul comun: $a x^{2} + b x = x (a x + b)$ . Ecuația devine $x (a x + b) = 0$ și aplici principiul produsului nul: $x = 0$ sau $a x + b = 0$ . Din a doua obții $x = - \frac{b}{a}$ .

Reține: orice ecuație de acest tip are mereu soluția $x = 0$ , iar cea mai gravă greșeală este să împarți ecuația cu $x$ — pierzi tocmai această soluție.

Exemplu: $x^{2} - 8 x = 0 \Rightarrow x (x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 8$ , deci $S = {0, 8}$ .

De reținut

$a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0$
soluțiile sunt $x = 0$ și $x = - \frac{b}{a}$
împărțirea ecuației prin literă șterge soluția zero

Greșeala tipică

Se simplifică ecuația prin literă, ca să rămână una de gradul întâi. Dispare astfel soluția zero, iar din două valori corecte mai rămâne raportată doar una.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^{2} - 7 x = 0$ ?
- a) $S = {0, 7}$
- b) $S = {7}$
- c) $S = {0}$
- d) $S = {- 7, 0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {0, 7}$

$x^{2} - 7 x = x (x - 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ . Deci $S = {0, 7}$ .
Un elev rezolvă $2 x^{2} - 6 x = 0$ astfel: „împart cu $x$ , deci $2 x - 6 = 0$ , $x = 3$ , $S = {3}$ ”. Ce a greșit?
- a) Nimic, rezolvarea e corectă
- b) A împărțit cu $x$ , care poate fi $0$ , și a pierdut soluția $x = 0$
- c) A greșit factorul comun, corect era $3 x$
- d) Soluția $x = 3$ este greșită, corect este $x = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) A împărțit cu $x$ , care poate fi $0$ , și a pierdut soluția $x = 0$

Nu ai voie să împarți o ecuație cu o expresie care poate fi zero. Corect: $x (2 x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 3$ , deci $S = {0, 3}$ .
Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^{2} - 13 x = 0$ ?
- a) $S = {13}$
- b) $S = {0}$
- c) $S = {0, 13}$
- d) $S = {- 13, 0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $S = {0, 13}$

$x^{2} - 13 x = x (x - 13) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$ . Deci $S = {0, 13}$ .

Întrebări conexe

Ce soluții are ecuația 5x la a doua plus 15x egal zero?

Scoți $5 x$ în față și obții $5 x (x + 3) = 0$ . Primul factor dă $x = 0$ , al doilea dă $x = - 3$ , deci $S = {- 3, 0}$ . Coeficientul $5$ nu produce nicio soluție, fiindcă un număr diferit de zero nu se poate anula.

De unde vine a doua soluție, cea diferită de zero?

Din paranteza rămasă după scoaterea literei. Egalând $a x + b$ cu zero ajungi la o ecuație de gradul întâi, care dă o singură valoare. Aceasta are întotdeauna semn opus raportului dintre cei doi coeficienți.

Poate o astfel de ecuație să aibă o singură soluție?

Da, atunci când și coeficientul din mijloc este zero. Rămâne $a x^{2} = 0$ , deci $x = 0$ apare de două ori și mulțimea soluțiilor are un singur element. În rest, cele două valori sunt mereu diferite.

Ce se schimbă dacă în fața pătratului stă un minus?

Nimic esențial: scoți factorul comun cu tot cu semn sau înmulțești ecuația cu $- 1$ . Din $- 2 x^{2} + 6 x = 0$ obții $- 2 x (x - 3) = 0$ , deci tot $x = 0$ și $x = 3$ . Semnul coeficienților nu adaugă și nu șterge soluții.

Cum verific cele două valori găsite?

Le pui pe rând în ecuația de la care ai pornit și verifici dacă membrul stâng iese zero. Pentru $x^{2} - 8 x = 0$ și $x = 8$ obții $64 - 64 = 0$ , corect. Verificarea prinde greșelile de semn mai bine decât recitirea calculului.

Unde apar ecuațiile fără termen liber în problemele de geometrie?

Apar când o arie se compară cu un perimetru sau când o mărime se exprimă de două ori prin aceeași literă. Soluția zero se respinge de obicei, fiindcă o latură nu poate fi nulă, iar răspunsul rămâne cealaltă valoare.

Oamenii mai întreabă și: ecuație de gradul doi fără termen liber · x pătrat minus 8x egal zero · cum rezolv ax pătrat plus bx egal zero · ecuație incompletă de gradul al doilea · factor comun la ecuații de gradul doi