Ecuații în mulțimea numerelor întregi

Până acum ai învățat să aduni, să scazi, să înmulțești și să împarți numere întregi, ai stăpânit regulile de semn și ordinea operațiilor în mulțimea ℤ. A venit momentul să folosești tot acest „arsenal" pentru ceva foarte util: rezolvarea ecuațiilor. O ecuație este, de fapt, o ghicitoare matematică în care un număr necunoscut se ascunde în spatele unei litere, iar tu trebuie să-l descoperi. În această lecție vei învăța două metode sigure de a-l prinde: metoda mersului invers și metoda balanței. Și, ca orice detectiv bun, vei verifica de fiecare dată dacă „suspectul" găsit este chiar cel căutat, prin probă.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o ecuație și să spui ce înseamnă soluția ei în mulțimea numerelor întregi.
Vei ști să rezolvi o ecuație prin metoda mersului invers (gândire pas cu pas, „înapoi").
Vei ști să rezolvi o ecuație prin metoda balanței (păstrând mereu egalitatea echilibrată).
Vei ști să scrii o ecuație echivalentă cu una dată, fără a-i schimba soluția.
Vei ști să verifici soluția prin probă, ca să fii 100% sigur de răspuns.

Hai să descoperim împreună

Ce este o ecuație?

Imaginează-ți o cutie închisă pe care scrie litera x. Înăuntru se află un număr întreg, dar tu nu îl vezi. Cineva îți dă un indiciu, de exemplu:

$x + 5 = 8$

Aceasta este o ecuație. Ea spune: „numărul ascuns, la care adaug 5, dă 8". Sarcina ta este să afli ce număr stă în cutie.

Definiție. O ecuație este o egalitate care conține una sau mai multe litere (numite necunoscute) și care este adevărată doar pentru anumite valori ale acestora.

Litera folosită cel mai des este x, dar poate fi orice altă literă: y, a, m, t. Litera ține locul unui număr pe care încă nu-l cunoaștem.

Ce este soluția unei ecuații?

Definiție. Soluția unei ecuații este numărul care, pus în locul necunoscutei, transformă ecuația într-o egalitate adevărată. A rezolva ecuația înseamnă a găsi toate soluțiile ei.

Să încercăm cu ecuația $x + 5 = 8$ . Ce număr întreg, adunat cu 5, dă 8? Răspunsul este 3, pentru că $3 + 5 = 8$ . Spunem că soluția ecuației este $x = 3$ .

Cum ne convingem? Punem 3 în locul lui x și verificăm: $3 + 5 = 8 ✓$ Egalitatea este adevărată, deci 3 este într-adevăr soluția. Această verificare se numește probă și vom reveni mereu la ea.

Atenție: în ℤ soluția poate fi și un număr negativ. De exemplu, ecuația $x + 5 = 2$ are soluția $x = - 3$ , deoarece $- 3 + 5 = 2$ . Tocmai aici stă noutatea acestei lecții față de clasa a V-a: acum lucrăm în mulțimea numerelor întregi, unde necunoscuta poate fi pozitivă, negativă sau zero.

Părțile unei ecuații

Orice ecuație are un semn de egal „=" care o împarte în două:

membrul stâng — tot ce este în stânga semnului „=";
membrul drept — tot ce este în dreapta semnului „=".

În ecuația $2 x - 7 = 3$ , membrul stâng este $2 x - 7$ , iar membrul drept este $3$ . Te poți gândi la semnul „=" ca la mijlocul unei balanțe: cele două membre trebuie să „cântărească" la fel pentru ca egalitatea să fie adevărată.

Operația inversă — cheia de la cutie

Ca să afli numărul ascuns, trebuie să „desfaci" cu grijă ceea ce s-a făcut cu el. Pentru asta folosim operațiile inverse. Iată harta lor, pe care e bine s-o memorezi:

Operația din ecuație	Operația inversă (care o anulează)
adunare (+)	scădere (−)
scădere (−)	adunare (+)
înmulțire (·)	împărțire (:)
împărțire (:)	înmulțire (·)

Ideea este simplă: adunarea și scăderea sunt operații „surori" care se anulează una pe alta; la fel, înmulțirea și împărțirea. Dacă cuiva i-am adăugat 5, ca să-l aducem la loc îi scădem 5. Dacă l-am înmulțit cu 3, ca să-l aducem la loc îl împărțim la 3.

Metoda 1: metoda mersului invers

Această metodă se bazează pe o întrebare simplă: „ce s-a făcut cu necunoscuta și în ce ordine?" Apoi desfacem totul în ordine inversă, folosind operațiile inverse — exact ca atunci când îți dezlegi șireturile în ordine inversă față de cum le-ai legat.

Să luăm ecuația: $3 x - 4 = 11$

Citim ce „a pățit" necunoscuta x, pas cu pas:

x a fost înmulțit cu 3 → obținem $3 x$ ;
din rezultat s-a scăzut 4 → obținem $3 x - 4$ ;
rezultatul final este 11.

Acum mergem invers, de la 11 spre x, anulând fiecare pas cu operația inversă:

Pasul 1. Ultima operație făcută a fost „− 4". O anulăm adunând 4: $3 x = 11 + 4 = 15$

Pasul 2. Acum x a fost înmulțit cu 3. O anulăm împărțind la 3: $x = 15 : 3 = 5$

Deci $x = 5$ . Verificăm prin probă: $3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$ ✓. Perfect.

Reține ordinea: desfacem mereu de la ultima operație spre prima, adică în ordinea inversă a efectuării lor. Întâi anulăm adunările și scăderile din jurul necunoscutei, apoi anulăm înmulțirile și împărțirile.

Metoda 2: metoda balanței

A doua metodă este și mai vizuală. Gândește-te la ecuație ca la o balanță în echilibru: membrul stâng cântărește exact cât membrul drept. Regula de aur este:

Regula balanței: ce facem cu un membru, facem și cu celălalt. Dacă adăugăm același număr în ambele talere, balanța rămâne în echilibru. La fel dacă scădem același număr din ambele, sau dacă împărțim ambele talere la același număr (diferit de zero).

Scopul nostru este să izolăm necunoscuta pe un singur taler, adică să ajungem la forma $x = num \overset{a}{˘} r$ .

Rezolvăm aceeași ecuație, $3 x - 4 = 11$ , dar acum cu balanța:

Pasul 1. Vrem să scăpăm de „− 4" din stânga. Adăugăm 4 în ambele membre: $3 x - 4 + 4 = 11 + 4$ $3 x = 15$

Pasul 2. Acum vrem să rămână x singur. Împărțim ambele membre la 3: $\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$

Am obținut același rezultat, $x = 5$ . Cele două metode duc mereu la același răspuns — alege-o pe cea care ți se pare mai limpede. Mulți elevi preferă metoda balanței pentru ecuațiile mai lungi, fiindcă ține totul ordonat și nu se încurcă.

Regulile practice „de mutat termenii"

Din metoda balanței se nasc două reguli rapide, pe care le folosesc toți elevii:

Un termen poate „trece" peste semnul de egal dacă își schimbă semnul. De exemplu, în $x + 7 = 2$ , trecem +7 în dreapta și devine −7: $x = 2 - 7 = - 5$ . (De fapt am scăzut 7 din ambii membri.)
Un factor care înmulțește necunoscuta trece în celălalt membru prin împărțire. De exemplu, în $4 x = - 12$ , trecem 4 prin împărțire: $x = - 12 : 4 = - 3$ .

Aceste „trucuri" nu sunt magie — sunt doar regula balanței scrisă mai pe scurt. Important este să nu uiți: când treci un termen dintr-o parte în alta peste „=", îi schimbi semnul.

Atenție la semne — suntem în ℤ!

Pentru că lucrăm în mulțimea numerelor întregi, vei întâlni des numere negative. Folosește cu grijă tot ce ai învățat la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor întregi. Câteva capcane:

$x + 7 = 2 \Rightarrow x = 2 - 7 = - 5$ (rezultat negativ, e perfect normal).
$- x = 5 \Rightarrow x = - 5$ (dacă opusul lui x este 5, atunci x este −5).
$\frac{x}{- 3} = 4 \Rightarrow x = 4 \cdot (- 3) = - 12$ .

Ce sunt ecuațiile echivalente?

Ai observat că, în timp ce rezolvam, am scris mai multe ecuații una sub alta: $3 x - 4 = 11$ , apoi $3 x = 15$ , apoi $x = 5$ . Toate aceste ecuații au aceeași soluție, $x = 5$ . Spunem că ele sunt echivalente.

Definiție. Două ecuații se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții.

Cum obținem o ecuație echivalentă cu una dată? Aplicând una dintre transformările care păstrează echilibrul balanței:

adunăm același număr întreg la ambii membri;
scădem același număr întreg din ambii membri;
înmulțim ambii membri cu același număr întreg nenul;
împărțim ambii membri la același număr întreg nenul (când împărțirea este exactă).

De exemplu, pornind de la $x = 5$ și adunând 2 la ambii membri, obținem $x + 2 = 7$ — o ecuație echivalentă, tot cu soluția 5. Practic, fiecare pas din rezolvare înlocuiește ecuația cu una echivalentă, mai simplă, până ajungem la forma $x = num \overset{a}{˘} r$ .

Validarea soluției prin probă

Niciodată să nu te oprești fără probă! Proba este verificarea finală: înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială (cea de la care ai pornit, nu una intermediară) și calculezi separat fiecare membru. Dacă cele două membre dau același număr, soluția este corectă.

Pentru $3 x - 4 = 11$ cu $x = 5$ :

membrul stâng: $3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$ ;
membrul drept: $11$ . Cele două sunt egale, deci soluția $x = 5$ este corectă. Scriem la final mulțimea soluțiilor: $S = {5}$ .

Proba te scapă de greșeli din neatenție și îți dă certitudine. La un test, o probă reușită valorează mult: arată că știi ce faci.

Schema în 4 pași pe care o vei folosi mereu

Citește ecuația și identifică membrul stâng, membrul drept și ce s-a făcut cu necunoscuta.
Izolează necunoscuta: adu termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă (balanță), sau desfă pas cu pas (mers invers).
Calculează valoarea necunoscutei, cu atenție la semne.
Fă proba în ecuația inițială și scrie mulțimea soluțiilor $S$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — adunare simplă, soluție negativă

Rezolvă în ℤ: $x + 9 = 4$ .

Necunoscuta a fost adunată cu 9. Trecem 9 în dreapta, schimbându-i semnul (adică scădem 9 din ambii membri): $x = 4 - 9 = - 5$ Probă: $- 5 + 9 = 4$ ✓. Soluția: $S = {- 5}$ .

Observă cât de natural apare un număr negativ — în ℤ acesta este un răspuns perfect valid.

Exemplul 2 — scădere

Rezolvă în ℤ: $x - 6 = - 10$ .

Din x s-a scăzut 6. Operația inversă este adunarea: adăugăm 6 în ambii membri: $x = - 10 + 6 = - 4$ Probă: $- 4 - 6 = - 10$ ✓. Soluția: $S = {- 4}$ .

Exemplul 3 — înmulțire cu coeficient negativ

Rezolvă în ℤ: $- 3 x = 21$ .

Necunoscuta a fost înmulțită cu −3. Împărțim ambii membri la −3: $x = 21 : (- 3) = - 7$ (Reține regula de semn: plus împărțit la minus dă minus.) Probă: $- 3 \cdot (- 7) = 21$ ✓. Soluția: $S = {- 7}$ .

Exemplul 4 — ecuație în doi pași (metoda balanței)

Rezolvă în ℤ: $5 x + 8 = - 7$ .

Pasul 1 (eliminăm +8): scădem 8 din ambii membri: $5 x = - 7 - 8 = - 15$ Pasul 2 (eliminăm factorul 5): împărțim ambii membri la 5: $x = - 15 : 5 = - 3$ Probă: $5 \cdot (- 3) + 8 = - 15 + 8 = - 7$ ✓. Soluția: $S = {- 3}$ .

Exemplul 5 — necunoscuta în ambii membri

Rezolvă în ℤ: $4 x - 5 = x + 7$ .

Aici x apare și în stânga, și în dreapta. Strângem termenii cu x într-un membru și numerele în celălalt.

Pasul 1: trecem $x$ din dreapta în stânga (schimbă semnul, devine $- x$ ): $4 x - x - 5 = 7 \Rightarrow 3 x - 5 = 7$ Pasul 2: trecem $- 5$ în dreapta (devine $+ 5$ ): $3 x = 7 + 5 = 12$ Pasul 3: împărțim la 3: $x = 12 : 3 = 4$ Probă (în ecuația inițială): membrul stâng $4 \cdot 4 - 5 = 16 - 5 = 11$ ; membrul drept $4 + 7 = 11$ . Egale ✓. Soluția: $S = {4}$ .

Exemplul 6 — o problemă pusă în ecuație

Problemă. Temperatura de dimineață era de $- 4$ °C. Pe parcursul zilei a urcat cu un anumit număr de grade, iar dublul acestei creșteri, micșorat cu 3, este egal cu 11. Cu câte grade a urcat temperatura?

Punem ecuația. Notăm cu $x$ numărul de grade cu care a urcat temperatura. „Dublul creșterii micșorat cu 3 este 11" se scrie: $2 x - 3 = 11$ (Observă că temperatura inițială $- 4$ °C este doar context — ecuația pornește de la afirmația despre creștere.)

Rezolvăm. $2 x = 11 + 3 = 14 \Rightarrow x = 14 : 2 = 7$ Probă: $2 \cdot 7 - 3 = 14 - 3 = 11$ ✓.

Răspuns: temperatura a urcat cu 7 grade. (Verificare de context: de la $- 4$ °C, după o creștere de 7 grade, ajungem la $- 4 + 7 = 3$ °C, ceea ce are sens.)

Exemplul 7 — ecuație cu paranteze

Rezolvă în ℤ: $2 (x - 3) = - 8$ .

Când necunoscuta este închisă într-o paranteză înmulțită cu un număr, ai două drumuri sigure, ambele corecte.

Drumul 1 — desfacem paranteza (proprietatea distributivă). Înmulțim 2 cu fiecare termen din paranteză: $2 \cdot x - 2 \cdot 3 = - 8 \Rightarrow 2 x - 6 = - 8$ Acum este o ecuație obișnuită în doi pași. Adăugăm 6 în ambii membri, apoi împărțim la 2: $2 x = - 8 + 6 = - 2 \Rightarrow x = - 2 : 2 = - 1$

Drumul 2 — împărțim întâi la 2 (mers invers). Ultima operație asupra parantezei a fost înmulțirea cu 2, deci o anulăm împărțind ambii membri la 2: $x - 3 = - 8 : 2 = - 4 \Rightarrow x = - 4 + 3 = - 1$

Ambele drumuri dau același rezultat, $x = - 1$ . Probă (în ecuația inițială): $2 \cdot (- 1 - 3) = 2 \cdot (- 4) = - 8$ ✓. Soluția: $S = {- 1}$ .

Câte soluții poate avea o ecuație?

Ecuațiile pe care le rezolvi acum au, fiecare, exact o singură soluție — un singur număr întreg face egalitatea adevărată, iar mulțimea soluțiilor are forma $S = {a}$ . De aceea, după ce găsești valoarea lui x, te poți opri liniștit: nu mai există alt număr care să meargă.

Totuși, e bine să ai în minte și ideea de mulțime a soluțiilor, notată $S$ . Dacă, de exemplu, un coleg susține că ecuația $2 x + 1 = 6$ are soluție întreagă, poți verifica rapid: $2 x = 5$ , dar 5 nu se împarte exact la 2 în ℤ, așa că nu există niciun număr întreg care să verifice egalitatea. În mulțimea numerelor întregi spunem că ecuația nu are soluție, adică $S = \emptyset$ (mulțimea vidă). Această situație îți arată de ce contează în ce mulțime cauți soluția: ceea ce nu are soluție în ℤ ar putea avea în alte mulțimi pe care le vei studia mai târziu.

Să exersăm

Rezolvă în mulțimea numerelor întregi ℤ și fă proba la fiecare ecuație. La exercițiile cu altă cerință (adevărat/fals, completare, potrivire, problemă), rezolvă sarcina dată.

1. $x + 6 = 10$

2. $x + 12 = 5$

3. $x - 8 = - 3$

4. $x - 4 = - 9$

5. $7 x = - 28$

6. $- 5 x = 35$

7. $2 x + 3 = - 7$

8. $4 x - 9 = 11$

9. $- 3 x + 2 = 14$

10. $\frac{x}{- 2} = 6$

11. $5 x - 4 = 2 x + 11$

12. $6 x + 1 = 3 x - 8$

13. Adevărat sau fals? Numărul $x = - 2$ este soluția ecuației $3 x + 5 = - 1$ .

14. Completează: ecuațiile $x = - 4$ și $x + 3 =$ sunt echivalente.

15. Potrivește fiecare ecuație din coloana A cu soluția ei din coloana B.

A: (a) $x + 5 = 0$ (b) $2 x = - 10$ (c) $x - 7 = - 7$ (d) $- x = 8$
B: $- 5$ ; $0$ ; $- 8$ ; $- 5$

16. Scrie o ecuație echivalentă cu $2 x = 8$ , adunând 5 la ambii membri. Care este soluția fiecăreia?

17. Problemă. Andrei se gândește la un număr întreg. Îl înmulțește cu 4, apoi scade 6 și obține $- 18$ . La ce număr s-a gândit Andrei?

18. Problemă. Într-un joc video, scorul lui Maria era un număr întreg. A pierdut o rundă (scorul s-a triplat negativ, adică s-a înmulțit cu $- 3$ ), iar la final a avut $- 21$ de puncte. Care era scorul ei înainte, dacă ecuația scorului este $- 3 x = - 21$ ?

19. $2 (x + 4) = 6$ (indiciu: desfă paranteza sau împarte întâi la 2)

20. $- 3 - 2 x = 9$

21. Adevărat sau fals? Ecuațiile $x - 3 = 2$ și $2 x = 10$ sunt echivalente. Justifică prin calcul.

22. Problemă. Un lift pleacă de la etajul $- 2$ (subsol 2). Urcă de un anumit număr de ori câte un etaj; numărul de etaje urcate, mărit cu 5, este egal cu 12. Câte etaje a urcat liftul și la ce etaj a ajuns?

Răspunsuri și explicații

1. $x = 4$ . Din $x + 6 = 10$ rezultă $x = 10 - 6 = 4$ . Probă: $4 + 6 = 10$ ✓.

2. $x = - 7$ . $x = 5 - 12 = - 7$ . Probă: $- 7 + 12 = 5$ ✓. (Soluție negativă, normală în ℤ.)

3. $x = 5$ . $x = - 3 + 8 = 5$ . Probă: $5 - 8 = - 3$ ✓.

4. $x = - 5$ . $x = - 9 + 4 = - 5$ . Probă: $- 5 - 4 = - 9$ ✓.

5. $x = - 4$ . $x = - 28 : 7 = - 4$ (plus la minus dă minus). Probă: $7 \cdot (- 4) = - 28$ ✓.

6. $x = - 7$ . $x = 35 : (- 5) = - 7$ . Probă: $- 5 \cdot (- 7) = 35$ ✓.

7. $x = - 5$ . $2 x = - 7 - 3 = - 10$ , deci $x = - 10 : 2 = - 5$ . Probă: $2 \cdot (- 5) + 3 = - 10 + 3 = - 7$ ✓.

8. $x = 5$ . $4 x = 11 + 9 = 20$ , deci $x = 20 : 4 = 5$ . Probă: $4 \cdot 5 - 9 = 20 - 9 = 11$ ✓.

9. $x = - 4$ . $- 3 x = 14 - 2 = 12$ , deci $x = 12 : (- 3) = - 4$ . Probă: $- 3 \cdot (- 4) + 2 = 12 + 2 = 14$ ✓.

10. $x = - 12$ . Din $\frac{x}{- 2} = 6$ rezultă $x = 6 \cdot (- 2) = - 12$ . Probă: $- 12 : (- 2) = 6$ ✓.

11. $x = 5$ . $5 x - 2 x = 11 + 4 \Rightarrow 3 x = 15 \Rightarrow x = 5$ . Probă: stânga $5 \cdot 5 - 4 = 21$ ; dreapta $2 \cdot 5 + 11 = 21$ ✓.

12. $x = - 3$ . $6 x - 3 x = - 8 - 1 \Rightarrow 3 x = - 9 \Rightarrow x = - 3$ . Probă: stânga $6 \cdot (- 3) + 1 = - 17$ ; dreapta $3 \cdot (- 3) - 8 = - 17$ ✓.

13. Adevărat. Verificăm: $3 \cdot (- 2) + 5 = - 6 + 5 = - 1$ . Coincide cu membrul drept, deci $x = - 2$ este soluția ✓.

14. $\underline{- 1}$ . Dacă $x = - 4$ , atunci $x + 3 = - 4 + 3 = - 1$ . Ecuația echivalentă este $x + 3 = - 1$ (aceeași soluție, $- 4$ ).

15. Calculăm soluția fiecărei ecuații: (a) $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$ ; (b) $2 x = - 10 \Rightarrow x = - 5$ ; (c) $x - 7 = - 7 \Rightarrow x = 0$ ; (d) $- x = 8 \Rightarrow x = - 8$ . Potrivirea corectă cu coloana B este: (a) $\to - 5$ , (b) $\to - 5$ , (c) $\to 0$ , (d) $\to - 8$ . (Observă că două ecuații diferite, (a) și (b), au aceeași soluție $- 5$ — ele sunt ecuații echivalente.)

16. Adunând 5 la ambii membri: $2 x + 5 = 13$ . Soluția ambelor ecuații este $x = 4$ (din $2 x = 8$ ). Verificare pe cea nouă: $2 \cdot 4 + 5 = 13$ ✓. Ecuațiile sunt echivalente, au aceeași soluție.

17. Ecuația: $4 x - 6 = - 18$ . Rezolvare: $4 x = - 18 + 6 = - 12$ , deci $x = - 12 : 4 = - 3$ . Andrei s-a gândit la $- 3$ . Probă: $4 \cdot (- 3) - 6 = - 12 - 6 = - 18$ ✓.

18. $x = 7$ . Din $- 3 x = - 21$ rezultă $x = - 21 : (- 3) = 7$ (minus la minus dă plus). Scorul Mariei era 7 puncte. Probă: $- 3 \cdot 7 = - 21$ ✓.

19. $x = - 1$ . Împărțim întâi ambii membri la 2: $x + 4 = 6 : 2 = 3$ , deci $x = 3 - 4 = - 1$ . (Sau desfacem paranteza: $2 x + 8 = 6 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ .) Probă: $2 \cdot (- 1 + 4) = 2 \cdot 3 = 6$ ✓.

20. $x = - 6$ . Trecem $- 3$ în dreapta: $- 2 x = 9 + 3 = 12$ , apoi împărțim la $- 2$ : $x = 12 : (- 2) = - 6$ . Probă: $- 3 - 2 \cdot (- 6) = - 3 + 12 = 9$ ✓.

21. Adevărat. Prima ecuație: $x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5$ . A doua: $2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ . Au aceeași soluție, $x = 5$ , deci sunt ecuații echivalente.

22. Ecuația: $x + 5 = 12$ , unde $x$ este numărul de etaje urcate. Rezultă $x = 12 - 5 = 7$ . Liftul a urcat 7 etaje; pornind de la etajul $- 2$ , ajunge la $- 2 + 7 = 5$ , adică etajul 5. Probă: $7 + 5 = 12$ ✓.

De reținut

O ecuație este o egalitate cu o necunoscută; soluția este numărul care o face adevărată, iar în ℤ poate fi pozitiv, negativ sau zero.
Metoda mersului invers: desfaci operațiile de la ultima spre prima, folosind operațiile inverse (+↔−, ·↔:).
Metoda balanței: ce faci unui membru, faci și celuilalt, ca să izolezi necunoscuta; rezultă forma $x = num \overset{a}{˘} r$ .
Când treci un termen peste „=", îi schimbi semnul; un factor trece prin operația inversă.
Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași soluție; fă mereu proba în ecuația inițială și scrie $S = {\dots}$ .

Greșeli frecvente

Uiți să schimbi semnul când treci un termen peste egal. Din $x + 7 = 2$ , scrii greșit $x = 2 + 7$ . Corect: termenul trecut își schimbă semnul, deci $x = 2 - 7 = - 5$ .
Greșeli de semn la împărțire/înmulțire. La $- 3 x = 21$ , scrii $x = 7$ . Corect: $21 : (- 3) = - 7$ (plus la minus dă minus). Recitește regulile de semn din lecția despre împărțirea numerelor întregi.
Faci proba în ecuația greșită. Verifică mereu în ecuația inițială, nu într-una intermediară — altfel o eroare de pe parcurs trece neobservată.
Confunzi „izolarea" cu desfacerea în ordine greșită. Întâi elimini termenul liber (adunare/scădere), abia apoi împarți la coeficientul necunoscutei. La $5 x + 8 = - 7$ , mai întâi scazi 8, apoi împarți la 5.
Aplici operația unui singur membru. Regula balanței cere să faci același lucru ambilor membri. Dacă scazi 8 doar în stânga la $5 x + 8 = - 7$ și scrii $5 x = - 7$ , ai stricat egalitatea. Corect: $5 x = - 7 - 8$ .
Desfaci greșit paranteza. La $2 (x - 3)$ înmulțești 2 cu fiecare termen: $2 x - 6$ , nu doar cu primul (greșit: $2 x - 3$ ). Cel mai sigur la ecuațiile cu paranteză înmulțită cu un număr este să împarți întâi ambii membri la acel număr.

Joc acasă

1. Balanța cu monede. Ia o riglă sau un creion lung, sprijină-l la mijloc pe o gumă (ca o balanță) și pune monede în ambele capete. Adaugă „ascuns" un teanc necunoscut într-o parte și numără cât trebuie să adaugi în cealaltă ca să se echilibreze. Scrie ecuația corespunzătoare și rezolv-o pe hârtie. Vei „simți" fizic regula balanței.

2. Ghicitorile cu numere. Provoacă un membru al familiei: „Mă gândesc la un număr; îl înmulțesc cu 3, scad 5 și obțin $- 11$ ." Cealaltă persoană scrie ecuația $3 x - 5 = - 11$ și o rezolvă. Apoi schimbați rolurile. Folosiți și numere negative ca răspuns, ca să exersați ℤ.

3. Termometrul-detectiv. Notează temperatura de afară dimineața (poate fi negativă iarna). Inventează o propoziție de tip „dacă urcă/coboară cu x grade ajunge la …", transform-o în ecuație și rezolv-o. Verifică dacă rezultatul are sens pe un termometru desenat.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este primul contact serios al elevului cu ecuațiile rezolvate sistematic, în contextul nou al numerelor întregi. Câteva sugestii:

Începeți de la sens, nu de la reguli. Întrebați „ce număr ascuns face egalitatea adevărată?" înainte de a introduce procedura. Astfel elevul înțelege că rezolvarea are un scop concret.
Insistați pe imaginea balanței. Este modelul mental care previne cele mai multe greșeli. Reformulați des: „ce facem într-o parte, facem și în cealaltă".
Cereți mereu proba. Faceți din probă un reflex, nu o opțiune. O probă reușită îi dă elevului încredere și autonomie; o probă eșuată îl învață să-și caute singur greșeala.
Atenție la semne. Cele mai frecvente erori sunt de semn, nu de „algebră". Dacă elevul greșește, întoarceți-vă o clipă la regulile de semn de la adunarea și înmulțirea numerelor întregi.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce ai schimbat semnul aici?", „Ce operație inversă ai folosit și de ce?", „Sunt aceste două ecuații echivalente? De unde știi?". Dacă elevul răspunde corect la aceste „de ce-uri", a înțeles, nu doar a memorat.

Continuarea naturală a lecției este Inecuații și probleme care se rezolvă în ℤ, unde semnul „=" este înlocuit cu „<" sau „>".

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație în mulțimea numerelor întregi? Este o egalitate care conține o necunoscută (de obicei x) și care este adevărată doar pentru anumite numere întregi. A rezolva ecuația înseamnă a găsi acel număr întreg, numit soluție, care face egalitatea adevărată. În ℤ soluția poate fi pozitivă, negativă sau zero.

Care este diferența dintre metoda mersului invers și metoda balanței? Ambele duc la același răspuns. La metoda mersului invers desfaci operațiile de la ultima spre prima, folosind operațiile inverse. La metoda balanței aplici aceeași operație ambilor membri, ca să izolezi necunoscuta. Folosește metoda care ți se pare mai clară; la ecuații lungi, balanța ține lucrurile mai ordonate.

Ce înseamnă soluția unei ecuații? Soluția este numărul care, pus în locul necunoscutei, transformă ecuația într-o egalitate adevărată. De exemplu, soluția ecuației $x + 5 = 8$ este $x = 3$ , pentru că $3 + 5 = 8$ . Mulțimea soluțiilor se notează cu $S$ .

De ce trebuie să schimb semnul când trec un termen peste egal? Pentru că „trecerea peste egal" este de fapt regula balanței scrisă pe scurt: aduni sau scazi același număr din ambii membri. Eliminând un „+7" din stânga, scazi 7 și din dreapta, deci termenul apare acolo ca „−7". De aceea își schimbă semnul.

Ce sunt ecuațiile echivalente? Sunt ecuații care au exact aceeași soluție. Le obții aplicând transformări care păstrează echilibrul: aduni/scazi același număr la ambii membri sau înmulțești/împarți ambii membri cu același număr nenul. Fiecare pas dintr-o rezolvare corectă produce o ecuație echivalentă, mai simplă.

Cum fac proba unei ecuații? Înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială și calculezi separat membrul stâng și membrul drept. Dacă cele două dau același număr, soluția este corectă. Proba se face mereu în ecuația de la care ai pornit, nu într-una intermediară.

Poate fi soluția unei ecuații un număr negativ? Da, în mulțimea numerelor întregi acest lucru este foarte des întâlnit. De exemplu, $x + 9 = 4$ are soluția $x = - 5$ . Un răspuns negativ nu este o greșeală, ci o particularitate firească a lucrului în ℤ.

De unde știu cu ce operație încep rezolvarea? Întâi elimini termenul liber (numărul adunat sau scăzut lângă necunoscută), apoi împarți la coeficientul necunoscutei. Pe scurt: rezolvi adunările/scăderile înainte de înmulțiri/împărțiri, adică invers față de ordinea în care s-au făcut operațiile asupra lui x.