Inecuații și probleme care se rezolvă în ℤ

Până acum ai învățat să rezolvi ecuații în mulțimea numerelor întregi: găseai acea singură valoare a necunoscutei care făcea egalitatea adevărată. Dar viața reală nu te întreabă mereu „cât anume?”. De multe ori întreabă „cel puțin cât?”, „cel mult cât?” sau „între ce limite?”. Aici intervin inecuațiile, care în loc de semnul „=” folosesc semnele „<”, „>”, „≤” sau „≥”. În această lecție vei învăța să rezolvi inecuații simple în ℤ, să scrii corect mulțimea soluțiilor și să transpui probleme practice în limbaj matematic. Hai să descoperim împreună cum o singură inecuație poate ascunde, de fapt, o mulțime întreagă de răspunsuri.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o inecuație și să o deosebești de o ecuație.
Vei ști să rezolvi o inecuație simplă în ℤ și să scrii mulțimea soluțiilor.
Vei ști de ce semnul inegalității se schimbă când împarți sau înmulțești cu un număr negativ.
Vei ști să transpui o problemă practică într-o ecuație sau inecuație cu numere întregi.
Vei ști să interpretezi soluția în contextul problemei și să o încadrezi într-o mulțime.

Hai să descoperim împreună

De la ecuație la inecuație

Îți amintești de la lecția despre ecuații în ℤ că o ecuație este o egalitate în care apare o necunoscută, de obicei notată cu litera x. De exemplu, x + 3 = 5 are o singură soluție: x = 2. Doar numărul 2, pus în locul lui x, face egalitatea adevărată.

O inecuație seamănă foarte mult, dar în locul semnului „=” are un semn de inegalitate. De exemplu:

$x + 3 < 5$

Aici nu mai cerem ca cele două părți să fie egale, ci ca partea stângă să fie mai mică decât partea dreaptă. Întrebarea devine: care numere întregi, puse în locul lui x, fac propoziția adevărată?

Hai să încercăm câteva valori cu mâna, pe rând:

x = 1: 1 + 3 = 4, iar 4 < 5? Da. Deci 1 este soluție.
x = 0: 0 + 3 = 3, iar 3 < 5? Da. Deci 0 este soluție.
x = -2: -2 + 3 = 1, iar 1 < 5? Da. Deci -2 este soluție.
x = 2: 2 + 3 = 5, iar 5 < 5? Nu, 5 nu este mai mic decât 5. Deci 2 nu este soluție.
x = 7: 7 + 3 = 10, iar 10 < 5? Nu. Deci 7 nu este soluție.

Observi deja o diferență uriașă față de ecuații: aici mai multe numere sunt soluții, nu doar unul singur. De fapt, sunt o infinitate de soluții: 1, 0, -1, -2, -3, -4 și tot așa la nesfârșit înspre numerele negative. Tocmai de aceea, la o inecuație nu spunem „soluția este…”, ci scriem mulțimea soluțiilor.

Cele patru semne de inegalitate

Înainte să mergem mai departe, să fixăm bine cele patru semne pe care le vei întâlni:

Semn	Se citește	Înțeles
`<`	mai mic decât	strict mai mic, valoarea de la margine NU intră
`>`	mai mare decât	strict mai mare, valoarea de la margine NU intră
`≤`	mai mic sau egal	valoarea de la margine INTRĂ
`≥`	mai mare sau egal	valoarea de la margine INTRĂ

Diferența dintre < și ≤ este foarte importantă. La x < 2, numărul 2 nu face parte din soluții. La x ≤ 2, numărul 2 face parte din soluții. O singură liniuță sub semn schimbă complet rezultatul, așa că fii mereu atent la ea.

Un truc simplu de memorare: vârful ascuțit al semnului arată mereu spre numărul mai mic, iar gura deschisă „înghite” numărul mai mare. La 3 < 7, vârful arată spre 3 (cel mic), iar gura larg deschisă este înspre 7 (cel mare).

Cum rezolvăm o inecuație simplă

Vestea bună este că o inecuație simplă se rezolvă aproape la fel ca o ecuație. Folosim aceleași unelte pe care le-ai învățat la ecuații: adunăm sau scădem același număr în ambele părți, ca să rămânem doar cu x de o parte. Scopul este să izolăm necunoscuta, adică să ajungem la o formă de tipul x < ceva, x ≥ ceva și așa mai departe.

Să rezolvăm pas cu pas inecuația de mai sus:

$x + 3 < 5$

Pasul 1. Vrem să rămânem doar cu x în stânga. Acum lângă x mai stă un +3 care ne încurcă. Îl eliminăm scăzând 3 din ambele părți:

$x + 3 - 3 < 5 - 3$

Pasul 2. Calculăm: +3 - 3 = 0 în stânga, iar 5 - 3 = 2 în dreapta:

$x < 2$

Pasul 3. Citim rezultatul. „x este mai mic decât 2”, iar x este număr întreg. Deci soluțiile sunt toate numerele întregi strict mai mici decât 2: adică 1, 0, -1, -2, -3, … și tot așa.

Pasul 4. Scriem mulțimea soluțiilor. O notăm de obicei cu S:

$S = {\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1}$

Cele trei puncte „…” de la început arată că mulțimea continuă la nesfârșit spre numerele negative. Cel mai mare număr care intră (aici 1) se scrie la capătul din dreapta, iar spre stânga numerele coboară la nesfârșit.

Regula de aur: împărțirea cu un număr negativ

Iată locul unde inecuațiile sunt diferite de ecuații și unde greșesc cei mai mulți elevi. Reține foarte bine:

Când înmulțim sau împărțim ambele părți ale unei inecuații cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă în opusul lui. Adică < devine >, > devine <, ≤ devine ≥, iar ≥ devine ≤.

De ce se întâmplă asta? Hai să vedem cu un exemplu simplu și fără necunoscute. Pornim de la o inegalitate evident adevărată:

$3 < 7$

Acum înmulțim ambele numere cu -1. Obținem -3 și -7. Întrebarea este: ce semn trebuie pus între ele? Pe axa numerelor, -7 este mult mai la stânga decât -3, deci -7 este mai mic. Așadar:

$- 3 > - 7$

Vezi? Inegalitatea s-a „întors”. Inițial 3 era mai mic decât 7, dar opusele lor și-au schimbat ordinea: -3 este mai mare decât -7. Numărul negativ acționează ca o oglindă care răstoarnă ordinea numerelor.

Reține deci: adunarea și scăderea NU schimbă semnul, dar înmulțirea sau împărțirea cu un negativ ÎL schimbă. Dacă înmulțești sau împarți cu un număr pozitiv, semnul rămâne neschimbat.

Un exemplu cu semn schimbat

Să rezolvăm:

$- 2 x \geq 6$

Pasul 1. Vrem să rămânem doar cu x, dar x este înmulțit cu -2. Ca să-l eliberăm, împărțim ambele părți la -2.

Pasul 2. Atenție! Împărțim cu un număr negativ, deci semnul ≥ se schimbă în ≤:

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{6}{- 2}$

Pasul 3. Calculăm: -2x : (-2) = x, iar 6 : (-2) = -3:

$x \leq - 3$

Pasul 4. Mulțimea soluțiilor conține toate numerele întregi mai mici sau egale cu -3:

$S = {\dots, - 6, - 5, - 4, - 3}$

De data aceasta -3 intră în mulțime, pentru că semnul era ≤ (mai mic sau egal).

Cum scriem și citim mulțimea soluțiilor

În clasa a VI-a, mulțimea soluțiilor unei inecuații în ℤ se poate scrie în mai multe feluri, toate corecte:

Prin condiție: S = { x ∈ ℤ | x < 2 }, care se citește „mulțimea numerelor întregi x cu proprietatea că x este mai mic decât 2”.
Prin enumerare, atunci când mulțimea este mărginită într-o parte și se înțelege continuarea: S = { …, -1, 0, 1 }.
Prin enumerare completă, atunci când mulțimea este finită (are un capăt și jos, și sus), de exemplu S = { -2, -1, 0, 1, 2 }.

Bara verticală | din interiorul acoladelor se citește „cu proprietatea că” sau „astfel încât”. Este o notație pe care o vei folosi des și la mulțimile pe care le-ai studiat în prima unitate, mulțimi: descriere și notații.

Inecuații cu soluții între două margini

Uneori problema cere ca necunoscuta să fie prinsă între două valori. De exemplu: „numerele întregi x cu -2 < x ≤ 3”. Aceasta se citește „x este mai mare decât -2 și, în același timp, mai mic sau egal cu 3”.

Hai să găsim soluțiile. Trebuie două lucruri adevărate deodată:

x > -2: deci x poate fi -1, 0, 1, 2, 3, …
x ≤ 3: deci x poate fi …, 1, 2, 3

Numerele care respectă ambele condiții sunt cele cuprinse strict peste -2 și până la 3 inclusiv:

$S = {- 1, 0, 1, 2, 3}$

Observă: -2 nu intră (semnul era <, strict), dar 3 intră (semnul era ≤). Acesta este un exemplu de mulțime finită de soluții — are exact 5 elemente, le putem număra.

De la cuvinte la inecuație: traducerea

Cea mai utilă abilitate din această lecție este să traduci o frază din limba română într-o inecuație. Iată un mic dicționar de traducere pe care merită să-l ții minte:

Exprimare în cuvinte	Semn matematic
„cel puțin”, „minimum”, „nu mai puțin de”	`≥`
„cel mult”, „maximum”, „nu mai mult de”, „nu depășește”	`≤`
„mai mult decât”, „peste”, „strict mai mare”	`>`
„mai puțin decât”, „sub”, „strict mai mic”	`<`

De exemplu, „într-o echipă trebuie să fie cel puțin 7 jucători” se scrie n ≥ 7. Iar „liftul suportă cel mult 8 persoane” se scrie p ≤ 8. Cuvintele „cel puțin” și „cel mult” sunt cele mai des întâlnite la examen, așa că reține-le foarte bine: „cel puțin” înseamnă ≥, „cel mult” înseamnă ≤.

Pașii pentru rezolvarea unei probleme cu inecuație

Când ai de rezolvat o problemă practică, urmează mereu aceiași patru pași. Îi vei folosi la fel și la probleme cu ecuații, pe care le-ai exersat în lecția ecuații în ℤ.

Alegem necunoscuta. Notăm cu x (sau altă literă) mărimea pe care o căutăm și scriem clar ce reprezintă, cu unitatea de măsură.
Traducem în limbaj matematic. Transformăm fraza într-o ecuație sau inecuație, folosind dicționarul de mai sus.
Rezolvăm. Aplicăm pașii de calcul și ajungem la x < …, x ≥ … sau la o valoare exactă.
Interpretăm rezultatul. Verificăm ce numere au sens în context (de exemplu, un număr de persoane nu poate fi negativ) și formulăm răspunsul în cuvinte.

Pasul 4 este esențial. Matematica îți dă o mulțime de numere, dar contextul restrânge mulțimea: nu poți avea -3 elevi într-o clasă și nici 2,5 mingi. De aceea, după ce rezolvi, te întorci la enunț și păstrezi doar soluțiile care au sens. Hai să vedem toate acestea în exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O inecuație simplă cu adunare

Rezolvă în ℤ inecuația x - 4 ≤ 1 și scrie mulțimea soluțiilor.

Vrem să izolăm x. Lângă el stă -4, așa că adunăm 4 în ambele părți (adunarea nu schimbă semnul):

$x - 4 + 4 \leq 1 + 4$ $x \leq 5$

x este număr întreg mai mic sau egal cu 5. Mulțimea soluțiilor:

$S = {\dots, 2, 3, 4, 5}$

Verificare: pentru x = 5 avem 5 - 4 = 1 ≤ 1, adevărat. Pentru x = 6 avem 6 - 4 = 2 ≤ 1, fals. Marginea 5 intră corect, iar 6 a rămas afară. Răspuns corect.

Exemplul 2 — Inecuație cu coeficient pozitiv

Rezolvă în ℤ inecuația 3x < 12.

x este înmulțit cu 3, deci împărțim ambele părți la 3. Atenție: 3 este pozitiv, deci semnul < rămâne neschimbat:

$\frac{3 x}{3} < \frac{12}{3}$ $x < 4$

Mulțimea soluțiilor în ℤ:

$S = {\dots, 1, 2, 3}$

Numărul 4 nu intră, fiindcă semnul este strict <. Verificare: x = 3 dă 3·3 = 9 < 12, adevărat; x = 4 dă 3·4 = 12 < 12, fals. Corect.

Exemplul 3 — Inecuație cu semn schimbat

Rezolvă în ℤ inecuația -5x + 2 > -13.

Pasul 1. Scădem 2 din ambele părți (scăderea nu schimbă semnul):

$- 5 x + 2 - 2 > - 13 - 2$ $- 5 x > - 15$

Pasul 2. Împărțim ambele părți la -5. Pentru că împărțim cu un număr negativ, semnul > se schimbă în <:

$\frac{- 5 x}{- 5} < \frac{- 15}{- 5}$ $x < 3$

Pasul 3. Mulțimea soluțiilor:

$S = {\dots, 0, 1, 2}$

Verificare cu x = 2: -5·2 + 2 = -10 + 2 = -8, iar -8 > -13? Da, pentru că -8 este la dreapta lui -13 pe axă. Cu x = 3: -5·3 + 2 = -15 + 2 = -13, iar -13 > -13? Nu. Marginea 3 corect rămâne afară. Răspuns corect.

Exemplul 4 — Numărarea soluțiilor între două margini

Câte numere întregi x verifică inecuația dublă -4 ≤ x < 2? Scrie mulțimea lor.

Condiția cere ca x să fie mai mare sau egal cu -4 (deci -4 intră) și, în același timp, strict mai mic decât 2 (deci 2 nu intră). Le scriem pe rând, de la stânga la dreapta pe axă:

$S = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}$

Numărăm elementele: -4, -3, -2, -1, 0, 1 — sunt 6 numere întregi.

Un mic truc de numărare: dacă marginea de jos a intră și marginea de sus b nu intră, numărul de întregi este b - a. Aici 2 - (-4) = 2 + 4 = 6. Se potrivește cu numărarea directă. Folosește mereu și numărarea directă ca verificare.

Exemplul 5 — Problemă practică cu inecuație („cel puțin”)

La un concurs de robotică, o echipă primește 5 puncte pentru fiecare probă reușită. Pentru a se califica mai departe, o echipă are nevoie de cel puțin 30 de puncte. Câte probe trebuie să reușească o echipă ca să se califice?

Pasul 1 — necunoscuta. Fie n = numărul de probe reușite, n număr întreg, n ≥ 0 (nu poți reuși un număr negativ de probe).

Pasul 2 — traducerea. Punctajul echipei este 5n. „Cel puțin 30 de puncte” înseamnă ≥ 30. Inecuația este:

$5 n \geq 30$

Pasul 3 — rezolvarea. Împărțim la 5 (pozitiv, semnul rămâne):

$n \geq 6$

Pasul 4 — interpretarea. Echipa trebuie să reușească cel puțin 6 probe. Cum nu poate exista un număr fracționar de probe, soluțiile sunt n ∈ { 6, 7, 8, … }. Răspuns: o echipă se califică dacă reușește cel puțin 6 probe.

Exemplul 6 — Problemă cu temperatură (situație din viața reală)

Într-o zi de iarnă, dimineața temperatura era de -7°C. Pe parcursul zilei, ea a crescut cu un anumit număr întreg de grade, dar a rămas tot timpul sub 0°C (în continuare sub punctul de îngheț). Cu cel mult câte grade a putut crește temperatura?

Pasul 1 — necunoscuta. Fie c = numărul de grade cu care crește temperatura, c număr întreg pozitiv (temperatura crește, deci c > 0).

Pasul 2 — traducerea. Noua temperatură este -7 + c. Condiția „a rămas sub 0°C” înseamnă strict mai mică decât 0:

$- 7 + c < 0$

Pasul 3 — rezolvarea. Adunăm 7 în ambele părți:

$c < 7$

Pasul 4 — interpretarea. c este număr întreg pozitiv strict mai mic decât 7, deci c ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Răspuns: temperatura a putut crește cu cel mult 6 grade; dacă ar fi crescut cu 7 grade, ar fi ajuns fix la 0°C, ceea ce nu mai respectă condiția „sub 0°C”.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii. La inecuații, scrie de fiecare dată mulțimea soluțiilor în ℤ.

1. Adevărat sau fals? La inecuația x < 5, numărul 5 face parte din mulțimea soluțiilor.

2. Completează semnul corect (<, >, ≤ sau ≥) ca să traduci fraza: „un elev are nevoie de cel puțin 5 puncte pentru notă de trecere”: punctaj ____ 5.

3. Verifică dacă x = -3 este soluție a inecuației x + 8 > 4.

4. Rezolvă în ℤ: x + 6 < 9.

5. Rezolvă în ℤ: x - 5 ≥ -2.

6. Rezolvă în ℤ: 4x ≤ 20.

7. Rezolvă în ℤ: -3x > 9 (atenție la semn!).

8. Rezolvă în ℤ: -x ≤ 4.

9. Scrie prin enumerare mulțimea: S = { x ∈ ℤ | -3 ≤ x < 3 }.

10. Câte numere întregi verifică inecuația dublă -5 < x ≤ 2?

11. Rezolvă în ℤ: 2x - 3 ≤ 7.

12. Rezolvă în ℤ: 5 - 2x > -1.

13. Încercuiește toate numerele din lista { -4, -1, 0, 2, 5 } care sunt soluții ale inecuației x ≥ -1.

14. Potrivește fiecare frază cu inecuația ei: (a) „cel mult 10 locuri” (b) „peste 10 ani” (c) „minimum 10 lei” cu (I) x > 10, (II) x ≤ 10, (III) x ≥ 10.

15. Problemă: Un autobuz are 40 de locuri. Într-o stație urcă deja 26 de persoane. Câte persoane mai pot urca, astfel încât numărul total să nu depășească numărul de locuri? Scrie inecuația și mulțimea soluțiilor.

16. Problemă: Maria are în portofel 50 de lei. Vrea să cumpere caiete de câte 6 lei bucata. Câte caiete poate cumpăra cel mult, dacă vrea să-i rămână cel puțin 8 lei pentru un suc? Modelează cu o inecuație.

17. Problemă cu numere negative: Un submarin se află la adâncimea de -120 m (sub nivelul mării). El urcă cu câte 15 m la fiecare minut. După câte minute întregi adâncimea lui devine mai mare decât -60 m (adică se apropie de suprafață și depășește -60 m)?

18. Provocare: Găsește toate numerele întregi x care verifică simultan inecuațiile x > -4 și 2x < 6. Scrie mulțimea soluțiilor.

Răspunsuri și explicații

1. Fals. Semnul < este strict, deci 5 nu este mai mic decât 5. Marginea nu intră. Ar fi intrat doar dacă semnul era ≤.

2. ≥. „Cel puțin 5” înseamnă 5 sau mai mult, deci punctaj ≥ 5.

3. x = -3: -3 + 8 = 5, iar 5 > 4? Da. Deci -3 este soluție.

4. x + 6 < 9 → scădem 6 → x < 3. S = { …, 0, 1, 2 } (toate numerele întregi mai mici decât 3).

5. x - 5 ≥ -2 → adunăm 5 → x ≥ 3. S = { 3, 4, 5, … }.

6. 4x ≤ 20 → împărțim la 4 (pozitiv, semn neschimbat) → x ≤ 5. S = { …, 3, 4, 5 }.

7. -3x > 9 → împărțim la -3 (negativ, semnul > devine <) → x < -3. S = { …, -6, -5, -4 }. Verificare: x = -4 dă -3·(-4) = 12 > 9, adevărat.

8. -x ≤ 4 → împărțim (sau înmulțim) cu -1 (negativ, ≤ devine ≥) → x ≥ -4. S = { -4, -3, -2, … }.

9. -3 ≤ x < 3: -3 intră, 3 nu intră. S = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 } (6 elemente).

10. -5 < x ≤ 2: -5 nu intră, 2 intră. Numerele sunt -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, adică 7 numere. (Verificare cu truc: marginea de sus intră, cea de jos nu, deci 2 - (-5) = 7.)

11. 2x - 3 ≤ 7 → adunăm 3 → 2x ≤ 10 → împărțim la 2 → x ≤ 5. S = { …, 3, 4, 5 }.

12. 5 - 2x > -1 → scădem 5 → -2x > -6 → împărțim la -2 (negativ, > devine <) → x < 3. S = { …, 0, 1, 2 }. Verificare: x = 2 dă 5 - 4 = 1 > -1, adevărat.

13. x ≥ -1: din lista dată, soluții sunt -1, 0, 2, 5 (toate mai mari sau egale cu -1). Numărul -4 nu intră.

14. (a) → (II) x ≤ 10 („cel mult”); (b) → (I) x > 10 („peste”); (c) → (III) x ≥ 10 („minimum”).

15. Fie x = numărul de persoane care mai urcă, x ≥ 0 întreg. Total 26 + x, „să nu depășească 40” înseamnă ≤ 40: 26 + x ≤ 40 → x ≤ 14. S = { 0, 1, 2, …, 14 }. Mai pot urca cel mult 14 persoane.

16. Fie n = numărul de caiete, n ≥ 0 întreg. Maria cheltuiește 6n lei și vrea să-i rămână cel puțin 8 lei: 50 - 6n ≥ 8. Scădem 50: -6n ≥ -42; împărțim la -6 (negativ, ≥ devine ≤): n ≤ 7. S = { 0, 1, 2, …, 7 }. Maria poate cumpăra cel mult 7 caiete (cheltuiește 42 de lei și îi rămân 8 lei).

17. Fie m = numărul de minute, m ≥ 0 întreg. Adâncimea după m minute: -120 + 15m. Condiția „mai mare decât -60”: -120 + 15m > -60. Adunăm 120: 15m > 60; împărțim la 15: m > 4. Deci primul minut întreg care respectă condiția este m = 5. Răspuns: după 5 minute. (Verificare: la m = 4, adâncimea e -120 + 60 = -60, fix -60, nu o depășește; la m = 5, e -120 + 75 = -45 > -60, corect.)

18. x > -4 dă { -3, -2, -1, 0, 1, … }. 2x < 6 dă x < 3, deci { …, 1, 2 }. Numerele care respectă ambele: S = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 } (6 numere).

De reținut

O inecuație folosește <, >, ≤ sau ≥ și are de obicei o mulțime de soluții, nu una singură.
Rezolvarea seamănă cu cea a ecuațiilor: adunăm/scădem același număr ca să izolăm x.
Regula de aur: când înmulțim sau împărțim cu un număr negativ, schimbăm semnul inegalității în opusul lui.
La < și > marginea nu intră; la ≤ și ≥ marginea intră.
La probleme: alegem necunoscuta, traducem fraza („cel puțin” = ≥, „cel mult” = ≤), rezolvăm și interpretăm rezultatul în context.

Greșeli frecvente

Uiți să schimbi semnul la împărțirea cu un negativ. De exemplu, scrii -2x > 6 → x > -3, ceea ce este greșit. Corect: x < -3. Memorează: negativ ⟶ semnul se întoarce. Verifică mereu cu un număr concret.
Confunzi < cu ≤. O liniuță sub semn schimbă dacă marginea intră sau nu. Citește cu atenție: „mai mic” (strict) versus „mai mic sau egal”.
Scrii doar o soluție, ca la ecuații. La o inecuație răspunsul este o mulțime întreagă. Nu scrie x = 2, ci S = { …, 0, 1, 2 } sau condiția corespunzătoare.
Uiți să interpretezi în context. Matematica poate da x ≥ -2, dar dacă x este un număr de persoane, soluțiile negative se aruncă: numărul de persoane începe de la 0. Întoarce-te mereu la enunț după calcul.

Joc acasă

1. Vânătoarea de „cel puțin” și „cel mult”. Răsfoiește o reclamă, o etichetă de produs sau regulamentul unui joc de societate din casă. Caută expresii ca „cel puțin 3 jucători”, „maximum 100 g”, „peste 18 ani”. Pentru fiecare, scrie pe o foaie inecuația corespunzătoare cu un x. Câte poți găsi în 10 minute?

2. Termometrul detectiv. Notează temperatura de afară azi (poți folosi telefonul). Apoi pune-ți întrebări de tip inecuație: „Cu cât trebuie să scadă ca să ajungă sub 0°C?” sau „Cu cât poate crește ca să rămână sub 25°C?”. Scrie inecuația, rezolv-o și verifică dacă răspunsul are sens.

3. Bugetul de buzunar. Imaginează-ți că ai 40 de lei. Alege un produs cu un preț întreg (de exemplu, o gustare de 7 lei). Scrie inecuația 7n ≤ 40 și află câte bucăți poți cumpăra cel mult. Apoi schimbă condiția: „vreau să-mi rămână cel puțin 5 lei” și rezolvă din nou. Compară cele două răspunsuri.

Pentru părinți și învățători

Această lecție face trecerea naturală de la ecuații (o singură soluție) la inecuații (o mulțime de soluții). Cel mai important obiectiv conceptual este ca elevul să înțeleagă de ce semnul inegalității se schimbă la împărțirea cu un număr negativ — nu doar să memoreze regula. Folosiți exemplul concret 3 < 7 ⟶ -3 > -7 și axa numerelor: vederea „oglindirii” pe axă fixează ideea mult mai bine decât o regulă învățată pe de rost.

Întrebări utile pe care le puteți pune:

„Dă-mi trei numere care sunt soluții și unul care nu este. De unde știi?” (verifică înțelegerea mulțimii de soluții)
„Ce s-ar schimba dacă semnul ar fi ≤ în loc de <?” (verifică distincția margine inclusă / exclusă)
„De ce ai schimbat semnul aici, dar nu și aici?” (verifică regula împărțirii cu negativ)
„Răspunsul -2,5 persoane are sens? De ce nu?” (verifică pasul de interpretare în context)

Pentru a verifica înțelegerea, cereți elevului să inventeze el o problemă practică cu „cel puțin” sau „cel mult” și să o rezolve. Dacă reușește să modeleze și să interpreteze rezultatul, a stăpânit competența. Dacă greșește semnul la negativ, reveniți la verificarea cu numere concrete: înlocuind o soluție în inecuația inițială se vede imediat dacă rezultatul e corect.

Întrebări frecvente

Ce este o inecuație în clasa a VI-a? O inecuație este o relație matematică în care apare o necunoscută și un semn de inegalitate (<, >, ≤ sau ≥) în loc de semnul egal. Spre deosebire de ecuație, ea are de obicei mai multe soluții, pe care le scriem împreună ca mulțime a soluțiilor.

Care este diferența dintre o ecuație și o inecuație? Ecuația cere ca cele două părți să fie egale și are de obicei o singură soluție (de exemplu x + 3 = 5 are soluția x = 2). Inecuația cere ca o parte să fie mai mică sau mai mare decât cealaltă și are de regulă o mulțime întreagă de soluții (de exemplu x + 3 < 5 are soluțiile …, -1, 0, 1).

Când se schimbă semnul la o inecuație? Semnul inegalității se schimbă în opusul lui (< ↔ >, ≤ ↔ ≥) numai atunci când înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ. La adunare, scădere sau la înmulțirea/împărțirea cu un număr pozitiv, semnul rămâne neschimbat.

Cum scriu mulțimea soluțiilor unei inecuații în ℤ? O poți scrie prin condiție, de exemplu S = { x ∈ ℤ | x < 2 }, sau prin enumerare, de exemplu S = { …, -1, 0, 1 }, când mulțimea este nemărginită într-o parte. Dacă mulțimea este finită, o enumeri complet: S = { -2, -1, 0, 1, 2 }.

Ce înseamnă „cel puțin” și „cel mult” în probleme? „Cel puțin” înseamnă „atât sau mai mult” și se traduce cu semnul ≥. „Cel mult” înseamnă „atât sau mai puțin” și se traduce cu semnul ≤. Acestea sunt cele mai des întâlnite formulări la problemele practice și la Evaluarea Națională.

Marginea intră sau nu în mulțimea soluțiilor? Depinde de semn. La < și > (semne stricte) marginea nu intră în soluții. La ≤ și ≥ marginea intră. De exemplu, la x < 5 numărul 5 nu este soluție, dar la x ≤ 5 numărul 5 este soluție.

De ce o problemă cu numere întregi poate avea soluții doar pozitive? Pentru că, deși matematica poate da o mulțime mare de soluții, contextul problemei le restrânge. Un număr de persoane, de caiete sau de probe nu poate fi negativ, deci păstrăm doar soluțiile care au sens real. Acesta este pasul de interpretare a rezultatului.

Pot exista inecuații fără nicio soluție în ℤ? Da, deși în clasa a VI-a sunt rare. De exemplu, o condiție de tipul „x mai mare ca 3 și, în același timp, mai mic ca 2” nu are nicio soluție, pentru că niciun număr nu poate îndeplini ambele cerințe deodată. În acest caz scriem că mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă, S = ∅.