Cum rezolv o ecuație cu numere întregi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Rezolvarea ecuațiilor în mulțimea ℤ

Aduni sau scazi același număr în ambii membri până rămâne singură necunoscuta, apoi împarți la coeficientul ei. Fiecare termen mutat peste semnul egal își schimbă semnul. Din $2 x + 3 = - 5$ obții $2 x = - 8$ , deci $x = - 4$ . Soluția poate fi pozitivă, negativă sau zero. La final scrii mulțimea soluțiilor și verifici punând valoarea găsită în forma inițială.

O ecuație este o egalitate cu o necunoscută (de obicei $x$ ), adevărată doar pentru anumite numere. Soluția este numărul care, pus în loc de $x$ , face egalitatea adevărată; în $Z$ soluția poate fi pozitivă, negativă sau zero.

Există două metode de rezolvare:

Mersul invers: desfaci operațiile de la ultima spre prima, cu operația inversă (adunare ↔ scădere, înmulțire ↔ împărțire).
Balanța: ce faci unui membru, faci și celuilalt, până izolezi $x$ .

Exemplu: $2 x + 3 = - 5 \Rightarrow 2 x = - 5 - 3 = - 8 \Rightarrow x = - 8 : 2 = - 4$ .

Două ecuații cu aceeași soluție se numesc echivalente. La final se face mereu proba în ecuația inițială și se scrie $S = {\dots}$ . Dacă niciun întreg nu verifică ecuația, atunci $S = \emptyset$ .

De reținut

un termen mutat peste semnul egal își schimbă semnul
metoda balanței: aceeași operație se aplică în ambele părți ale egalității
proba se face în ecuația inițială, iar soluțiile se scriu ca mulțime

Greșeala tipică

Se mută un termen peste semnul egal păstrându-i semnul, iar soluția iese greșită; mutarea înseamnă de fapt adunarea opusului în ambii membri, deci semnul termenului se schimbă întotdeauna.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă în $Z$ : $x - 8 = - 15$ . Care este soluția ecuației?
- a) $x = - 23$
- b) $x = - 7$
- c) $x = 7$
- d) $x = 23$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = - 7$

Din $x - 8 = - 15$ trecem $- 8$ în dreapta cu semn schimbat: $x = - 15 + 8 = - 7$ . Probă: $- 7 - 8 = - 15$ ✓.
Care dintre ecuațiile de mai jos NU are soluție în mulțimea numerelor întregi $Z$ ?
- a) $2 x = 7$
- b) $3 x = 9$
- c) $x + 5 = 0$
- d) $- x = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 x = 7$

Din $2 x = 7$ ar rezulta $x = 7 : 2$ , iar 7 nu se împarte exact la 2, deci nu există niciun număr întreg soluție ( $S = \emptyset$ ). Celelalte au soluții întregi: $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ ; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$ ; $- x = 4 \Rightarrow x = - 4$ .
Rezolvă în $Z$ : $x - 9 = - 23$ . Care este soluția ecuației?
- a) $x = - 14$
- b) $x = 14$
- c) $x = - 4$
- d) $x = - 32$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 14$

Din $x - 9 = - 23$ trecem $- 9$ în dreapta cu semn schimbat: $x = - 23 + 9 = - 14$ . Probă: $- 14 - 9 = - 23$ ✓.

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația $2 x + 3 = - 5$ ?

Scazi $3$ din ambii membri și obții $2 x = - 8$ . Împărțind la $2$ , rezultă $x = - 4$ . Proba: pui valoarea găsită în forma inițială și verifici că $2 \cdot (- 4) + 3$ dă chiar $- 5$ . Cei doi pași corespund celor două operații făcute asupra necunoscutei.

Ce fac dacă ecuația conține și paranteze?

Le desfaci întâi, ținând cont de semnul din fața lor, apoi strângi termenii asemenea. Din $3 (x - 2) = x + 4$ obții $3 x - 6 = x + 4$ , deci $2 x = 10$ și $x = 5$ . Fără desfacerea corectă a parantezei, toți pașii următori vor fi greșiți.

Când o ecuație nu are soluție în mulțimea numerelor întregi?

Când împărțirea finală nu se face exact, de exemplu la $2 x = 7$ , unde rezultatul ar fi $3, 5$ . Există și cazuri în care necunoscuta dispare și rămâne o egalitate falsă, ca $0 = 5$ ; atunci mulțimea soluțiilor este vidă.

Cum scriu mulțimea soluțiilor unei ecuații?

Cu litera $S$ și valorile între acolade, de exemplu $S = {- 4}$ . Când nu există nicio soluție, scrii simbolul mulțimii vide. Notația arată clar unde se termină rezolvarea și este cerută în redactarea completă a unui exercițiu.

Ce se schimbă când necunoscuta este înmulțită cu un număr negativ?

Împărțirea finală se face la acel număr negativ, deci semnul soluției se schimbă. Din $- 3 x = 12$ obții $x = - 4$ . Spre deosebire de inecuații, aici nu se întoarce nimic altceva, fiindcă egalitatea nu are un sens de comparare.

Cum ajung de la o problemă cu temperaturi la o ecuație?

Notezi cu $x$ temperatura necunoscută și scrii schimbările ca adunări cu numere negative sau pozitive. Dacă temperatura a scăzut cu $7$ grade și a ajuns la $- 3$ , obții $x - 7 = - 3$ , deci $x = 4$ grade la început.

Oamenii mai întreabă și: ecuații în mulțimea numerelor întregi · rezolvarea ecuațiilor cu numere negative · metoda balanței la ecuații · soluția unei ecuații în Z