Segmentul $$[EF]$$ are lungimea $$EF = 9$$ cm, iar segmentul $$[GH]$$ are lungimea $$GH = 9$$ cm. Care este relația corectă dintre cele două segmente?

Sunt congruente doar dacă sunt desenate paralele

Nu se poate stabili fără a le suprapune

Un dreptunghi $$R_1$$ are dimensiunile $$8$$ cm $$\times$$ $$3$$ cm (aria $$24$$ cm²), iar dreptunghiul $$R_2$$ are dimensiunile $$6$$ cm $$\times$$ $$4$$ cm (aria tot $$24$$ cm²). Sunt cele două dreptunghiuri congruente?

Nu, pentru că laturile corespunzătoare nu sunt egale

Da, pentru că au aceeași arie

Da, pentru că amândouă sunt dreptunghiuri

Nu se poate ști niciodată fără raportor

Unghiul $$\widehat{MNP}$$ are măsura $$47°$$, iar unghiul $$\widehat{XYZ}$$ are tot măsura $$47°$$, dar este desenat cu laturile mai lungi. Care este relația corectă dintre cele două unghiuri?

$$\widehat{MNP} \cong \widehat{XYZ}$$, pentru că au aceeași măsură

$$\widehat{MNP} < \widehat{XYZ}$$, pentru că laturile lui $$XYZ$$ sunt mai lungi

Nu sunt congruente, pentru că laturile au lungimi diferite

Sunt congruente doar dacă sunt desenate în aceeași poziție pe foaie

Ce sunt figurile congruente?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Figuri congruente prin suprapunere

Sunt figuri care se acoperă una pe alta atunci când muți una peste cealaltă, prin alunecare, rotire sau întoarcere. Au aceeași formă și aceeași mărime, iar toate laturile și unghiurile care își corespund sunt egale. Semnul folosit seamănă cu un egal peste care stă un val. Două segmente sunt congruente când lungimile lor coincid, iar două unghiuri când măsurile coincid, oricât de lungi ar fi laturile din desen.

Două figuri sunt congruente dacă, prin deplasare (alunecare, rotație sau întoarcere), se suprapun perfect una peste cealaltă — au aceeași formă și aceeași mărime. Notăm congruența cu semnul $≅$ : $F_{1} ≅ F_{2}$ . Pentru numere și mărimi folosim $=$ , nu $≅$ .

Segmentele sunt congruente dacă au aceeași lungime, iar unghiurile, dacă au aceeași măsură (indiferent cât de lungi sunt desenate laturile). La poligoane, toate laturile și unghiurile corespunzătoare trebuie să fie egale.

Când $△ A B C ≅ △ D E F$ , ordinea literelor arată corespondența vârfurilor: $A \to D$ , $B \to E$ , $C \to F$ , deci $[A B] ≅ [D E]$ , $[B C] ≅ [E F]$ , $[A C] ≅ [D F]$ și $A = D$ .

Exemplu: dacă $M N = 6$ cm și $P Q = 6$ cm, atunci $[M N] ≅ [P Q]$ . Atenție: aceeași arie nu înseamnă congruență — de exemplu $4 \times 3$ și $6 \times 2$ au aria $12$ cm², dar forme diferite, deci nu se suprapun.

De reținut

congruente = aceeași formă și aceeași mărime, se acoperă prin suprapunere
la numere folosim semnul egal, la figuri semnul de congruență
aceeași arie sau același perimetru nu înseamnă congruență

Greșeala tipică

Se trage concluzia că două figuri cu aceeași arie sunt congruente. Un dreptunghi de 4 pe 3 și unul de 6 pe 2 acoperă amândouă 12 cm², dar puse una peste alta nu coincid.

Exerciții din această mini-lecție

Segmentul $[E F]$ are lungimea $E F = 9$ cm, iar segmentul $[G H]$ are lungimea $G H = 9$ cm. Care este relația corectă dintre cele două segmente?
- a) $E F < G H$
- b) $[E F] ≅ [G H]$
- c) Sunt congruente doar dacă sunt desenate paralele
- d) Nu se poate stabili fără a le suprapune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[E F] ≅ [G H]$

Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. Aici $E F = G H = 9$ cm, deci suprapunând un capăt peste altul, celelalte capete cad exact unul peste altul. Scriem $[E F] ≅ [G H]$ . Direcția în care sunt desenate segmentele nu contează, doar lungimea.
Un dreptunghi $R_{1}$ are dimensiunile $8$ cm $\times$ $3$ cm (aria $24$ cm²), iar dreptunghiul $R_{2}$ are dimensiunile $6$ cm $\times$ $4$ cm (aria tot $24$ cm²). Sunt cele două dreptunghiuri congruente?
- a) Da, pentru că au aceeași arie
- b) Nu, pentru că laturile corespunzătoare nu sunt egale
- c) Da, pentru că amândouă sunt dreptunghiuri
- d) Nu se poate ști niciodată fără raportor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că laturile corespunzătoare nu sunt egale

Congruența cere ca laturile corespunzătoare să fie egale, nu doar aria totală. Laturile lui $R_{1}$ sunt $8$ cm și $3$ cm, iar ale lui $R_{2}$ sunt $6$ cm și $4$ cm — sunt diferite. Suprapunând figurile, una ar ieși în afară, deci nu se acoperă perfect. Aria egală nu garantează congruența.
Unghiul $M N P$ are măsura $47°$ , iar unghiul $X Y Z$ are tot măsura $47°$ , dar este desenat cu laturile mai lungi. Care este relația corectă dintre cele două unghiuri?
- a) $M N P < X Y Z$ , pentru că laturile lui $X Y Z$ sunt mai lungi
- b) $M N P ≅ X Y Z$ , pentru că au aceeași măsură
- c) Nu sunt congruente, pentru că laturile au lungimi diferite
- d) Sunt congruente doar dacă sunt desenate în aceeași poziție pe foaie
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $M N P ≅ X Y Z$ , pentru că au aceeași măsură

Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură, indiferent cât de lungi sunt desenate laturile lor. Aici $47° = 47°$ , deci $M N P ≅ X Y Z$ . Lungimea laturilor desenate sau poziția pe foaie nu schimbă măsura unghiului.

Întrebări conexe

Ce transformări păstrează congruența unei figuri?

Mutarea dintr-un loc în altul, rotirea și oglindirea. Toate trei schimbă doar poziția, nu și mărimea, deci figura obținută se suprapune peste cea de la început. Mărirea și micșorarea nu intră în listă, fiindcă schimbă lungimile.

Sunt congruente două pătrate cu latura de 5 cm?

Da, negreșit. La pătrat o singură măsură hotărăște toată figura, deci laturi egale înseamnă figuri identice. Suprapuse, ele coincid punct cu punct, oricum ar fi rotite, fiindcă toate colțurile sunt drepte.

O figură întoarsă pe dos rămâne congruentă cu prima?

Da. Întoarcerea este una dintre mișcările permise, alături de alunecare și rotire, iar niciuna nu schimbă lungimile sau unghiurile. Practic, imaginea din oglindă a unei figuri se suprapune peste ea dacă o ridici și o întorci.

Două triunghiuri cu același perimetru sunt congruente?

Nu neapărat. Unul cu laturile 3, 4 și 5 și altul cu laturile 2, 5 și 5 au amândouă perimetrul 12, dar forme complet diferite. Congruența cere ca fiecare latură să aibă perechea ei egală, nu doar suma să iasă la fel.

Cum decupez o figură congruentă cu una dată?

Pui hârtie subțire peste desen, copiezi conturul cu creionul, apoi decupezi pe linie. Bucata obținută se așază exact peste original, deci este congruentă cu el. Metoda funcționează pentru orice formă, oricât de neregulată.

Ce se schimbă la o figură mărită de două ori?

Forma rămâne aceeași, dar mărimea nu, deci figurile nu mai sunt congruente. Laturile se dublează, unghiurile rămân neatinse, iar figurile se numesc asemenea. Congruența cere ca și dimensiunile să coincidă, nu doar aspectul.

Oamenii mai întreabă și: figuri congruente · ce înseamnă congruent · congruența figurilor · figuri care se suprapun