Care formă a lui $$\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$$ evită complet radicalul și, deci, problema semnului?

$$\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$$

$$\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}$$

$$\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$$

$$\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{1-\cos2x}}{2}$$

Cât este sinus de 2x?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formulele unghiului dublu și pe jumătate

Este $2 sin x cos x$ . Formula se obține punând cele două unghiuri egale în formula sinusului sumei. Factorul cosinus nu poate lipsi: pentru $x = 9 0^{\circ}$ rezultatul corect este zero, iar dublul sinusului ar da doi. Pentru sinus egal cu $\frac{3}{5}$ și cosinus egal cu $\frac{4}{5}$ obții $\frac{24}{25}$ .

Punând $b = a$ în formulele de sumă obținem formulele unghiului dublu: $sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x, tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - tg ^{2} x} .$ Cea mai frecventă greșeală este „ $sin 2 x = 2 sin x$ " — factorul $cos x$ nu poate lipsi. Cele trei forme ale lui $cos 2 x$ se aleg după datele problemei: cunoști $cos x$ → folosești $2 cos^{2} x - 1$ ; cunoști $sin x$ → folosești $1 - 2 sin^{2} x$ . Citite invers, aceleași formule dau liniarizarea: $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}, sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} .$ Înlocuind $x$ cu $\frac{x}{2}$ obținem formulele unghiului pe jumătate, dar radicalul dă mereu modulul; semnul se decide din cadranul lui $\frac{x}{2}$ , obținut împărțind la $2$ intervalul dat pentru $x$ — nu din cadranul lui $x$ însuși, care poate induce în eroare. O alternativă elegantă, fără radicali și deci fără ambiguitate de semn, este forma rațională: $tg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos x}{sin x} .$ Formulele permit calculul unor valori exacte noi, ca $cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}$ , și explică fenomene fizice precum bătaia maximă la aruncarea unui proiectil, atinsă la unghiul de $4 5^{\circ}$ .

De reținut

$sin 2 x = 2 sin x cos x$
$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$
semnul la unghiul pe jumătate se decide din cadranul lui $\frac{x}{2}$

Greșeala tipică

Se scrie sinusul dublului ca dublul sinusului, uitând cosinusul; controlează pe un unghi drept, unde rezultatul corect este zero, iar varianta greșită ar da doi.

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma corectă a formulei $sin 2 x$ ?
- a) $sin 2 x = 2 sin x$
- b) $sin 2 x = 2 sin x cos x$
- c) $sin 2 x = sin^{2} x + cos^{2} x$
- d) $sin 2 x = sin x + cos x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin 2 x = 2 sin x cos x$

Din $sin 2 x = sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x$ , varianta b. Varianta a este cea mai frecventă greșeală semnalată în lecție: la $x = 90°$ , formula corectă dă $sin 180° = 0$ , dar varianta greșită ar da $2 sin 90° = 2$ — testul rapid arată imediat eroarea. Varianta c este de fapt formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , care e constantă, nu depinde de $x$ ca $sin 2 x$ . Varianta d nu corespunde niciunei identități trigonometrice.
Dintr-un enunț cunoști direct $sin x$ (dar nu și $cos x$ ). Care formă a lui $cos 2 x$ o poți folosi fără să mai ai nevoie de $cos x$ ?
- a) $cos 2 x = 2 sin x cos x - 1$
- b) $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$
- c) $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$
- d) $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$

Forma $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ conține doar $sin x$ , deci e cea potrivită când numai $sin x$ e cunoscut — varianta d. Varianta c, $2 cos^{2} x - 1$ , e forma potrivită pentru situația inversă, când se cunoaște $cos x$ ; ar cere să calculezi mai întâi $cos x$ din $sin x$ , un pas suplimentar inutil. Varianta b conține ambele funcții, deci nu simplifică nimic. Varianta a nu este o identitate validă — amestecă termenul $2 sin x cos x$ (care e $sin 2 x$ , nu $cos 2 x$ ) cu forma liniarizată.
Care formă a lui $tg \frac{x}{2}$ evită complet radicalul și, deci, problema semnului?
- a) $tg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x}$
- b) $tg \frac{x}{2} = \pm \frac{1 - cos x}{1 + cos x}$
- c) $tg \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{sin x}$
- d) $tg \frac{x}{2} = \frac{1 - cos 2 x}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $tg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x}$

Forma rațională $tg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x}$ , dedusă din $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$ și $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ , nu conține niciun radical — varianta a, valabilă pentru $cos x \neq = - 1$ . Varianta b este exact forma cu radical pe care vrem s-o evităm, cu semnul ei ambiguu. Varianta c este inversul formulei corecte, adică $ctg \frac{x}{2}$ , nu $tg \frac{x}{2}$ . Varianta d amestecă incorect argumentul $x$ cu $2 x$ și nu corespunde niciunei identități din lecție.

Întrebări conexe

Cât este cosinus de 2x?

Se poate scrie în trei feluri: diferența pătratelor cosinusului și sinusului, dublul pătratului cosinusului minus unu, sau unu minus dublul pătratului sinusului. Toate trei sunt egale, iar alegerea depinde de ce cunoști din enunț.

Care este formula tangentei unghiului dublu?

Este dublul tangentei împărțit la unu minus pătratul ei. Se obține punând cele două unghiuri egale în formula tangentei sumei. Are sens doar acolo unde tangenta unghiului și tangenta dublului lui există, deci numitorul nu se anulează.

Ce formulă folosesc pentru sinus de 4x?

Aplici formula unghiului dublu de două ori: întâi scrii sinusul lui $4 x$ ca dublu produs de sinus și cosinus de $2 x$ , apoi desfaci și acești termeni. Metoda merge la orice multiplu care este putere a lui doi.

Cum verific formula unghiului dublu pe un caz cunoscut?

Iei un unghi din tabel, de exemplu $3 0^{\circ}$ , și compari cele două părți. Sinusul de $6 0^{\circ}$ este $\frac{3}{2}$ , iar dublul produsului dintre sinus și cosinus de $3 0^{\circ}$ dă tot atât. Dacă rezultatele nu coincid, ai greșit formula.

Unde apar formulele unghiului dublu la Bacalaureat?

Apar la simplificarea expresiilor, la rezolvarea ecuațiilor în care se amestecă argumente diferite și la calculul unor valori exacte. Cerința sună de obicei ca aducerea tuturor termenilor la același unghi. Cheia este să alegi forma potrivită a cosinusului dublului.

Oamenii mai întreabă și: formula pentru sin 2x · sinusul unghiului dublu · cât face sin de 2x · formulele unghiului dublu