Cum rezolv o inecuație cu numere întregi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Inecuații și mulțimea soluțiilor în ℤ

Lucrezi ca la o ecuație: muți termenii dintr-o parte în alta și aduni sau scazi același număr în ambii membri, fără să atingi semnul. Regula care se uită des apare la înmulțire și la împărțire cu un număr negativ, când semnul inegalității se întoarce. Din $- 3 x > 9$ obții, împărțind la $- 3$ , rezultatul $x < - 3$ . La final scrii mulțimea soluțiilor cu numerele întregi care se potrivesc și verifici una dintre ele.

O inecuație este ca o ecuație, dar în loc de „=” are unul dintre semnele $<, >, \leq, \geq$ . Spre deosebire de ecuație (o singură soluție), inecuația are de obicei o mulțime de soluții $S$ . Se rezolvă la fel ca ecuațiile: adunăm/scădem același număr fără să schimbăm semnul. Regula de aur: când înmulțim sau împărțim ambele părți cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează ( $<\leftrightarrow>$ , $\leq\leftrightarrow\geq$ ). Exemplu: $- 3 x > 9$ se împarte la $- 3$ (negativ), deci semnul se schimbă: $x < - 3$ , iar $S = {\dots, - 6, - 5, - 4}$ . La semnele stricte ( $<, >$ ) marginea nu intră în $S$ ; la $\leq, \geq$ marginea intră. La probleme practice: „cel puțin” înseamnă $\geq$ , „cel mult” înseamnă $\leq$ , iar la final interpretăm rezultatul în context (de exemplu, un număr de persoane nu poate fi negativ).

De reținut

adunarea și scăderea nu schimbă semnul inegalității
înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ întoarce semnul
la $<$ și $>$ marginea nu intră, la $\leq$ și $\geq$ intră

Greșeala tipică

Se împarte inecuația la un coeficient negativ păstrând semnul neschimbat, iar mulțimea soluțiilor iese exact pe dos; ori de câte ori împarți sau înmulțești cu un negativ, semnul se întoarce.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă în ℤ inecuația $x - 5 < 2$ și alege mulțimea soluțiilor corectă.
- a) $S = {\dots, 4, 5, 6}$
- b) $S = {\dots, - 6, - 5, - 4}$
- c) $S = {7, 8, 9, \dots}$
- d) $S = {\dots, 4, 5, 6, 7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {\dots, 4, 5, 6}$

Adunăm 5 în ambele părți (adunarea nu schimbă semnul): $x - 5 + 5 < 2 + 5$ , deci $x < 7$ . Numărul 7 nu intră, fiindcă semnul este strict $<$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\dots, 4, 5, 6}$ , adică varianta a.
Câte numere întregi $x$ verifică inecuația dublă $- 3 \leq x < 4$ ?
- a) 5
- b) 6
- c) 7
- d) 8
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 7

Marginea $- 3$ intră (semn $\leq$ ), iar marginea $4$ nu intră (semn strict $<$ ). Numerele întregi sunt $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ , adică 7 numere. Verificare cu trucul de numărare: $4 - (- 3) = 7$ . Răspuns corect: varianta c.
Rezolvă în ℤ inecuația $x + 6 \leq 2$ și alege mulțimea soluțiilor corectă.
- a) $S = {\dots, - 6, - 5, - 4}$
- b) $S = {- 4, - 3, - 2, \dots}$
- c) $S = {\dots, 6, 7, 8}$
- d) $S = {\dots, 3, 4, 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {\dots, - 6, - 5, - 4}$

Scădem 6 din ambele părți (scăderea nu schimbă semnul): $x + 6 - 6 \leq 2 - 6$ , deci $x \leq - 4$ . Numărul $- 4$ intră, fiindcă semnul este $\leq$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\dots, - 6, - 5, - 4}$ , adică varianta a.

Întrebări conexe

Cum reprezint pe axă mulțimea soluțiilor unei inecuații?

Marchezi punctul care corespunde valorii-limită și hașurezi partea de axă în care se află soluțiile. Cercul rămâne gol la semnele stricte, fiindcă marginea nu intră, și se colorează la $\leq$ sau $\geq$ . Desenul arată dintr-o privire ce numere verifică inegalitatea.

Ce fac dacă necunoscuta apare în ambii membri ai inecuației?

Aduni sau scazi același termen ca să strângi necunoscuta într-o singură parte, iar numerele în cealaltă. Din $5 x - 4 > 2 x + 8$ ajungi la $3 x > 12$ , deci $x > 4$ . Aceste mutări nu ating semnul, fiindcă adunarea și scăderea păstrează ordinea numerelor.

Cum aflu cea mai mică soluție întreagă a unei inecuații?

Rezolvi mai întâi inecuația și obții o margine, apoi te uiți dacă ea intră sau nu în mulțimea soluțiilor. Când marginea este inclusă și e număr întreg, ea însăși este răspunsul; când nu este inclusă, treci la primul întreg de după ea, în sensul în care se deschide inegalitatea.

Cum traduc în inecuație o problemă despre un buget?

Notezi cu $x$ mărimea căutată și scrii condiția din text cu semnul potrivit. Formularea cel mult devine $\leq$ , iar cel puțin devine $\geq$ . Dacă ai $50$ de lei și un caiet costă $7$ lei, condiția este $7 x \leq 50$ , de unde $x \leq 7$ caiete.

Ce se întâmplă cu inecuația când adun același număr în ambii membri?

Nu se schimbă nimic la sens: ordinea celor două valori rămâne aceeași, la fel ca la o balanță pe care pui greutăți egale în ambele talere. De aceea mutarea unui termen dintr-un membru în celălalt, cu semn schimbat, este întotdeauna permisă.

Poate o inecuație să nu aibă nicio soluție întreagă?

Da, se întâmplă când condiția cere ceva imposibil, de exemplu $x < - 2$ și, în același timp, $x > 1$ . Mulțimea soluțiilor este atunci mulțimea vidă. La problemele practice apar și restricții de context, cum ar fi ca numărul de persoane să fie pozitiv.

Oamenii mai întreabă și: rezolvarea inecuațiilor · inecuații în mulțimea numerelor întregi · când se schimbă semnul inegalității · exerciții cu inecuații