Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere

Până acum ai cunoscut mulțimea numerelor naturale ℕ și mulțimea numerelor întregi ℤ. Cu numerele întregi ai învățat să lucrezi cu semne, cu opusul și cu modulul unui număr. Acum facem un pas important: deschidem o mulțime și mai mare, în care încap nu doar numerele „rotunde", ci și jumătățile, sferturile, procentele și aproape orice cantitate pe care o întâlnești când împarți o pizza, măsori o sticlă de suc sau calculezi o reducere. Această mulțime se numește mulțimea numerelor raționale și se notează cu litera ℚ. Hai să o descoperim împreună, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un număr rațional și să spui de ce un anumit număr face parte din mulțimea ℚ.
• Vei ști să treci între cele trei forme de scriere ale unui număr rațional: fracție ordinară, fracție zecimală și formă întreagă.
• Vei ști să explici incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ și să arăți că orice număr întreg este și rațional.
• Vei ști să recunoști fracțiile echivalente și să aduci un număr rațional la forma ireductibilă.
• Vei ști să scrii corect un număr rațional negativ și să recunoști când două scrieri diferite reprezintă același număr.

Hai să descoperim împreună

De la împărțit pizza la o mulțime nouă

Imaginează-ți că ai o pizza și o împarți frățește în 4 felii egale. Dacă mănânci 3 felii, cât din pizza ai mâncat? Răspunsul nu este un număr întreg: ai mâncat trei sferturi, adică $\frac{3}{4}$. Numărul $\frac{3}{4}$ nu se află nici în ℕ, nici în ℤ, pentru că nu este întreg. Și totuși este un număr foarte real și foarte folositor. Tocmai astfel de numere formează mulțimea ℚ.

Ideea cheie este simplă: un număr rațional este un număr care se poate scrie ca o fracție în care numărătorul este un număr întreg, iar numitorul este un număr întreg diferit de zero.

Scriem acest lucru în limbaj matematic astfel:

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}|a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\right\}$$

Citim: „ℚ este mulțimea fracțiilor $\frac{a}{b}$, unde $a$ este număr întreg, $b$ este număr întreg și $b$ este nenul". Litera ℚ vine de la cuvântul quotient (cât, raport), pentru că un număr rațional este, de fapt, un raport între două numere întregi.

De ce numitorul nu are voie să fie zero

Aceasta este o regulă pe care nu o încălcăm niciodată: numitorul unei fracții nu poate fi 0. Gândește-te ce ar însemna $\frac{5}{0}$. A împărți la 0 ar însemna să întrebi: „de câte ori se cuprinde 0 în 5?". Răspunsul nu există, pentru că oricât de mult ai aduna zerouri, nu ajungi niciodată la 5. De aceea, în orice fracție rațională, numitorul trebuie să fie diferit de zero. Numărătorul, în schimb, poate fi zero: $\frac{0}{7}=0$, ceea ce e perfect în regulă.

Cele trei forme de scriere ale unui număr rațional

Un lucru fascinant la numerele raționale este că același număr poate fi scris în mai multe forme, la fel cum același prieten poate avea un nume, o poreclă și un număr de telefon — sunt notații diferite pentru aceeași persoană. Cele trei forme principale sunt:

1. Forma de fracție ordinară. Este scrierea cu linie de fracție, de tipul $\frac{a}{b}$. Exemple: $\frac{3}{4}$, $\frac{-7}{5}$, $\frac{12}{6}$. Aceasta este forma „de bază" a oricărui număr rațional.

2. Forma de fracție zecimală (scriere zecimală). Este scrierea cu virgulă, obținută efectuând împărțirea numărătorului la numitor. De exemplu, $\frac{3}{4}=0,75$ pentru că $3:4=0,75$. Tot aici intră și numerele zecimale pe care le cunoști din clasa a V-a, precum $2,5$ sau $-1,2$.

3. Forma întreagă. Unele fracții sunt, de fapt, numere întregi „deghizate". De exemplu, $\frac{12}{6}=2$, iar $\frac{-20}{4}=-5$. Atunci când numărătorul se împarte exact la numitor, numărul rațional este chiar un număr întreg.

Reține ideea esențială: forma se schimbă, dar numărul rămâne același. $\frac{3}{4}$, $0,75$ și $\frac{75}{100}$ sunt trei scrieri ale aceluiași număr rațional.

Cum trec de la o formă la alta

Hai să vedem, ca o rețetă, cum călătorim între forme.

Din fracție ordinară în fracție zecimală: efectuezi împărțirea numărătorului la numitor. $$\frac{1}{2}=1:2=0,5\frac{7}{4}=7:4=1,75\frac{1}{5}=1:5=0,2$$

Din fracție zecimală în fracție ordinară: scrii numărul fără virgulă la numărător și pui la numitor $10$, $100$, $1000$… în funcție de câte cifre sunt după virgulă, apoi simplifici. $$0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}1,2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$

Din fracție în formă întreagă: verifici dacă numărătorul se împarte exact la numitor. $$\frac{15}{3}=5\frac{-8}{8}=-1\frac{0}{9}=0$$

Numerele raționale negative

La fel ca în ℤ, în ℚ avem și numere pozitive, și numere negative. Un număr rațional negativ se poate scrie în trei feluri care înseamnă exact același lucru:

$$-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}$$

Semnul „minus" poate sta în fața liniei de fracție, la numărător sau la numitor — rezultatul este același număr negativ. În practică, cel mai des scriem semnul în față: $-\frac{3}{5}$. Atenție însă: dacă semnul minus apare și la numărător, și la numitor, cele două „minusuri" se anulează și numărul devine pozitiv: $\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$.

Marea familie: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

Acum vine partea care leagă totul. Mulțimile de numere pe care le-ai învățat se cuprind una într-alta, ca niște cutii puse una în alta.

Începem cu numerele naturale ℕ: $0,1,2,3,4,\dots$ Acestea sunt și numere întregi, deci $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ (lucru pe care îl știi din lecția despre mulțimea numerelor întregi).

Acum facem pasul nou. Orice număr întreg este și rațional, pentru că îl putem scrie ca fracție cu numitorul $1$: $$7=\frac{7}{1},0=\frac{0}{1},-4=\frac{-4}{1}$$

Cum $7$, $0$ și $-4$ se scriu ca fracții cu numărător întreg și numitor întreg nenul, ele sunt numere raționale. Deci fiecare număr întreg este și un număr rațional, adică $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Punând totul cap la cap, obținem lanțul de incluziuni: $$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$$

Ce se află în zona dintre ℤ și ℚ, adică în ℚ dar nu în ℤ? Exact acele numere care nu sunt întregi: $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{5}$, $0,75$, $-1,2$ și așa mai departe. Acestea sunt raționale „adevărate", care nu se reduc la întregi.

Observă cum se mărește lumea numerelor: în ℕ nu puteai scădea $3-5$; ℤ a rezolvat asta. În ℤ nu puteai împărți $3:4$; ℚ rezolvă acum și asta. Fiecare mulțime nouă îți dă mai multă libertate de calcul.

Fracții echivalente — același număr, alte „haine"

Două fracții se numesc echivalente dacă reprezintă același număr rațional, adică același punct pe axa numerelor. De exemplu: $$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$$

Toate aceste fracții înseamnă „jumătate". Le obținem una din alta amplificând (înmulțind și numărătorul, și numitorul cu același număr nenul) sau simplificând (împărțind și numărătorul, și numitorul cu același număr).

$$\frac{1}{2}\stackrel{\times 3}{\to }\frac{3}{6}\frac{6}{8}\stackrel{:2}{\to }\frac{3}{4}$$

Cum verifici rapid dacă două fracții sunt echivalente, fără desen? Folosești înmulțirea în cruce: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă și numai dacă $a\cdot d=b\cdot c$. De exemplu, $\frac{2}{3}$ și $\frac{6}{9}$ sunt echivalente pentru că $2\cdot 9=18$ și $3\cdot 6=18$ — produsele sunt egale.

Forma ireductibilă — „cea mai simplă haină"

Dintre toate fracțiile echivalente cu un număr rațional, există una specială: cea ireductibilă. O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul ei sunt numere prime între ele, adică cel mai mare divizor comun al lor este $1$: $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)=1$. Practic, înseamnă o fracție care nu mai poate fi simplificată.

De exemplu, $\frac{3}{4}$ este ireductibilă (singurul divizor comun al lui 3 și 4 este 1). În schimb, $\frac{6}{8}$ nu este ireductibilă, pentru că 6 și 8 se împart amândouă la 2.

Cum aducem o fracție la forma ireductibilă? Avem două metode, ambele învățate la lecția despre aplicații ale c.m.m.d.c. și fracții ireductibile:

Metoda 1 — pas cu pas: simplifici de mai multe ori cu numere mici, până nu mai poți. $$\frac{24}{36}\stackrel{:2}{\to }\frac{12}{18}\stackrel{:2}{\to }\frac{6}{9}\stackrel{:3}{\to }\frac{2}{3}$$

Metoda 2 — dintr-o dată cu c.m.m.d.c.: afli cel mai mare divizor comun și împarți o singură dată. $$\text{c.m.m.d.c.}(24,36)=12\Rightarrow \frac{24}{36}=\frac{24:12}{36:12}=\frac{2}{3}$$

De ce este importantă forma ireductibilă? Pentru că ea este „cartea de identitate" a numărului rațional: fiecare număr rațional are o singură formă ireductibilă (cu numitor pozitiv). Așa, oricât de complicată ar arăta o fracție, o poți recunoaște după forma ei ireductibilă. De exemplu, $\frac{10}{15}$, $\frac{4}{6}$ și $\frac{200}{300}$ sunt toate „deghizări" ale aceluiași număr, $\frac{2}{3}$.

O scurtă recapitulare a drumului

Am pornit de la o felie de pizza și am ajuns la o mulțime întreagă de numere. Am văzut că:

• un număr rațional este un raport $\frac{a}{b}$ cu $a,b$ întregi și $b\ne 0$;
• același număr rațional are mai multe forme de scriere;
• numerele întregi sunt și ele raționale, deci $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$;
• fracțiile echivalente sunt scrieri diferite ale aceluiași număr, iar forma ireductibilă este cea mai simplă dintre ele.

Acum hai să lucrăm câteva exemple complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem un număr rațional

Cerință: Arată că numerele $-6$, $\frac{5}{8}$ și $2,3$ sunt numere raționale.

Rezolvare. Pentru fiecare, trebuie să găsim o scriere de forma $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$ și $b\ne 0$.

• $-6=\frac{-6}{1}$ — numărător $-6$ (întreg), numitor $1$ (întreg, nenul). Deci $-6\in \mathbb{Q}$. ✓
• $\frac{5}{8}$ — este deja fracție cu numărător $5$ și numitor $8$, amândouă întregi, $8\ne 0$. Deci $\frac{5}{8}\in \mathbb{Q}$. ✓
• $2,3=\frac{23}{10}$ — numărător $23$, numitor $10$, amândouă întregi, $10\ne 0$. Deci $2,3\in \mathbb{Q}$. ✓

Concluzie: Toate trei sunt numere raționale. Observă că primul este chiar întreg, al doilea este o fracție „adevărată", iar al treilea este un număr zecimal — și totuși, toate intră în ℚ.

Exemplul 2 — Trecem un număr dintr-o formă în alta

Cerință: Scrie numărul $\frac{18}{8}$ în forma ireductibilă și apoi în formă zecimală.

Rezolvare. Pasul 1 — forma ireductibilă. Căutăm c.m.m.d.c. al lui 18 și 8. Avem $18=2\cdot 3^2$ și $8=2^3$, deci c.m.m.d.c.$(18,8)=2$. $$\frac{18}{8}=\frac{18:2}{8:2}=\frac{9}{4}$$ Fracția $\frac{9}{4}$ este ireductibilă, pentru că $9=3^2$ și $4=2^2$ nu au divizori comuni în afară de 1.

Pasul 2 — forma zecimală. Efectuăm împărțirea: $9:4=2,25$.

Concluzie: $\frac{18}{8}=\frac{9}{4}=2,25$. Trei haine, același număr.

Exemplul 3 — Verificăm fracții echivalente cu înmulțirea în cruce

Cerință: Sunt echivalente fracțiile $\frac{4}{6}$ și $\frac{10}{15}$?

Rezolvare. Folosim regula: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă $a\cdot d=b\cdot c$. $$4\cdot 15=60\text{și}6\cdot 10=60$$ Produsele sunt egale ($60=60$), deci fracțiile sunt echivalente.

Verificare prin forma ireductibilă: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (simplificat cu 2) și $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ (simplificat cu 5). Ambele dau $\frac{2}{3}$, deci reprezintă același număr rațional. ✓

Exemplul 4 — Un număr rațional negativ și formele lui

Cerință: Scrie numărul $-1,2$ ca fracție ordinară ireductibilă și arată trei scrieri echivalente ale lui ca fracție.

Rezolvare. Pasul 1. Trecem din zecimal în fracție: o cifră după virgulă înseamnă numitor 10. $$-1,2=-\frac{12}{10}$$ Pasul 2 — simplificăm. c.m.m.d.c.$(12,10)=2$, deci $$-\frac{12}{10}=-\frac{12:2}{10:2}=-\frac{6}{5}$$ Forma ireductibilă este $-\frac{6}{5}$.

Pasul 3 — trei scrieri echivalente ale semnului: $$-\frac{6}{5}=\frac{-6}{5}=\frac{6}{-5}$$ Toate înseamnă același număr negativ.

Concluzie: $-1,2=-\frac{6}{5}$, iar semnul poate fi pus în trei locuri diferite fără să schimbe numărul.

Exemplul 5 — Recunoaștem o fracție care e de fapt număr întreg

Cerință: Arată că $\frac{-35}{7}$ este un număr întreg și precizează căror mulțimi îi aparține.

Rezolvare. Efectuăm împărțirea: $-35:7=-5$. Deci $\frac{-35}{7}=-5$.

Numărul $-5$ este număr întreg, deci aparține lui ℤ. Cum $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$, el aparține și lui ℚ. Nu aparține însă lui ℕ, pentru că este negativ.

Concluzie: $\frac{-35}{7}=-5\in \mathbb{Z}$ și $\in \mathbb{Q}$, dar $\notin \mathbb{N}$.

Exemplul 6 — Construim fracții echivalente prin amplificare

Cerință: Scrie trei fracții echivalente cu $\frac{2}{7}$, având numitorii 14, 21 și 35.

Rezolvare. Amplificăm $\frac{2}{7}$ cu numărul potrivit, ca să obținem numitorul cerut.

• Pentru numitor 14: $14:7=2$, deci amplificăm cu 2: $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 2}{7\cdot 2}=\frac{4}{14}$.
• Pentru numitor 21: $21:7=3$, deci amplificăm cu 3: $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{6}{21}$.
• Pentru numitor 35: $35:7=5$, deci amplificăm cu 5: $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{10}{35}$.

Concluzie: $\frac{2}{7}=\frac{4}{14}=\frac{6}{21}=\frac{10}{35}$. Toate sunt scrieri ale aceluiași număr rațional.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Încearcă singur întâi, apoi verifică la secțiunea de răspunsuri.

1. Completează: un număr rațional se scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere ……… , iar $b$ este diferit de ……… .

2. Adevărat sau fals? a) Orice număr natural este un număr rațional. b) Orice număr rațional este un număr întreg. c) Numărul 0 este rațional. d) Fracția $\frac{5}{0}$ este un număr rațional.

3. Scrie sub formă de fracție cu numitorul 1: $9$; $-3$; $0$; $100$.

4. Transformă în fracție zecimală: $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{7}{2}$; $\frac{9}{10}$.

5. Transformă în fracție ordinară ireductibilă: $0,5$; $0,8$; $0,25$; $1,5$.

6. Încercuiește fracțiile care sunt, de fapt, numere întregi: $$\frac{12}{4},\frac{7}{2},\frac{-20}{5},\frac{9}{6},\frac{0}{8}$$

7. Verifică, prin înmulțire în cruce, dacă fracțiile sunt echivalente: a) $\frac{3}{5}$ și $\frac{9}{15}$; b) $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{8}$.

8. Adu la forma ireductibilă: $\frac{10}{15}$; $\frac{18}{24}$; $\frac{30}{45}$.

9. Scrie trei fracții echivalente cu $\frac{3}{4}$ (folosind amplificarea).

10. Completează cu $\in$ sau $\notin$: a) $-7\square \mathbb{Z}$; b) $-7\square \mathbb{N}$; c) $\frac{2}{3}\square \mathbb{Q}$; d) $\frac{2}{3}\square \mathbb{Z}$.

11. Scrie numărul $-\frac{4}{9}$ în alte două forme echivalente, mutând semnul.

12. Potrivește fiecare fracție din coloana stângă cu forma ei ireductibilă din coloana dreaptă:

13. Ana spune că $\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$, iar Bogdan spune că $\frac{14}{21}=\frac{7}{3}$. Cine are dreptate și de ce?

14. Scrie numărul $2,75$ ca fracție ordinară și apoi adu-l la forma ireductibilă.

15. Ordonează crescător următoarele numere raționale, aducându-le mai întâi la o formă comparabilă: $\frac{1}{2}$; $0,4$; $\frac{3}{4}$; $0,5$.

16. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) $\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$. b) Forma ireductibilă a unei fracții este unică. c) Există numere raționale care nu sunt întregi.

17. O rețetă cere $\frac{6}{8}$ kg de făină. Scrie această cantitate în forma ireductibilă și apoi în formă zecimală (în kg).

18. Găsește numărul natural $x$ astfel încât $\frac{x}{12}=\frac{2}{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. … numere întregi … diferit de zero (0). (Definiția lui ℚ: $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$.)

2. a) Adevărat — orice natural se scrie ca fracție cu numitor 1, deci e rațional. b) Fals — de exemplu $\frac{3}{4}$ este rațional, dar nu întreg. c) Adevărat — $0=\frac{0}{1}\in \mathbb{Q}$. d) Fals — numitorul nu poate fi 0, deci $\frac{5}{0}$ nu există.

3. $9=\frac{9}{1}$; $-3=\frac{-3}{1}$; $0=\frac{0}{1}$; $100=\frac{100}{1}$.

4. $\frac{1}{4}=0,25$; $\frac{3}{5}=0,6$; $\frac{7}{2}=3,5$; $\frac{9}{10}=0,9$. (Se împarte numărătorul la numitor.)

5. $0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$; $0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$; $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$; $1,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.

6. Sunt numere întregi: $\frac{12}{4}=3$, $\frac{-20}{5}=-4$ și $\frac{0}{8}=0$. (Se încercuiesc acestea trei.) $\frac{7}{2}=3,5$ și $\frac{9}{6}=1,5$ nu sunt întregi.

7. a) $3\cdot 15=45$ și $5\cdot 9=45$ → egale → echivalente. b) $2\cdot 8=16$ și $3\cdot 5=15$ → $16\ne 15$ → nu sunt echivalente.

8. $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ (împărțit cu 5); $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ (împărțit cu 6); $\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$ (împărțit cu 15).

9. De exemplu: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$. (Orice amplificare corectă e acceptată.)

10. a) $\in$; b) $\notin$ (e negativ); c) $\in$; d) $\notin$ (nu e întreg).

11. $-\frac{4}{9}=\frac{-4}{9}=\frac{4}{-9}$.

12. a) → III ($\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$); b) → I ($\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$); c) → II ($\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$).

13. Ana are dreptate. c.m.m.d.c.$(14,21)=7$, deci $\frac{14}{21}=\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}$. Bogdan a împărțit numărătorul la 2, dar numitorul la 7 — nu a împărțit cu același număr, deci a greșit.

14. $2,75=\frac{275}{100}$. c.m.m.d.c.$(275,100)=25$, deci $\frac{275}{100}=\frac{11}{4}$. Forma ireductibilă este $\frac{11}{4}$.

15. Aducem totul la zecimale: $\frac{1}{2}=0,5$; $0,4$; $\frac{3}{4}=0,75$; $0,5$. Ordonate crescător: $0,4<0,5=0,5<0,75$, adică $0,4<\frac{1}{2}=0,5<\frac{3}{4}$. (Observă că $\frac{1}{2}$ și $0,5$ sunt egale.)

16. a) Adevărat — cele două semne minus se anulează, deci $\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$. b) Adevărat — fiecare număr rațional are o singură formă ireductibilă (cu numitor pozitiv). c) Adevărat — de exemplu $\frac{3}{4}$ este rațional, dar nu întreg.

17. $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ kg (forma ireductibilă), iar $\frac{3}{4}=0,75$ kg.

18. Din $\frac{x}{12}=\frac{2}{3}$ amplificăm $\frac{2}{3}$ cu 4 (pentru că $12:3=4$): $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$. Deci $x=8$. (Verificare în cruce: $x\cdot 3=12\cdot 2=24$, deci $x=8$.)

De reținut

• Număr rațional = orice număr care se scrie ca fracție $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$ și $b\ne 0$. Mulțimea lor se notează ℚ.
• Un număr rațional are mai multe forme de scriere: fracție ordinară, fracție zecimală, formă întreagă — dar numărul rămâne același.
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ: orice natural e întreg, orice întreg e rațional (se scrie cu numitor 1).
• Fracțiile echivalente reprezintă același număr; le obții prin amplificare sau simplificare. Verifici cu înmulțirea în cruce: $a\cdot d=b\cdot c$.
• Forma ireductibilă este fracția cea mai simplă (cu c.m.m.d.c. al termenilor egal cu 1); fiecare număr rațional are una singură.

Greșeli frecvente

• Crezi că orice rațional este întreg. Fals: $\frac{3}{4}$ este rațional, dar nu întreg. Incluziunea merge într-un singur sens: ℤ ⊂ ℚ, nu invers.
• Simplifici numărătorul și numitorul cu numere diferite. Ca în greșeala lui Bogdan: trebuie să împarți ambii termeni cu același număr. Altfel obții alt număr.
• Accepți numitorul 0. $\frac{5}{0}$ nu este număr rațional — împărțirea la zero nu are sens. Numitorul trebuie mereu nenul.
• Confunzi semnul la fracțiile negative. $\frac{-3}{5}$ și $\frac{3}{-5}$ sunt negative, dar $\frac{-3}{-5}$ este pozitiv, pentru că cele două minusuri se anulează.

Joc acasă

1. Cutiile de numere (carton și markere). Desenează pe o foaie mare trei chenare puse unul în altul: cel mai mic ℕ, în jurul lui ℤ, iar în exterior ℚ. Scrie pe bilețele numere ca $5$, $-3$, $\frac{1}{2}$, $0,75$, $-\frac{2}{3}$, $0$, $\frac{12}{4}$ și așază fiecare bilețel în cel mai mic chenar care îl poate găzdui. Verifică: $\frac{12}{4}=3$ merge tocmai în ℕ, dar $\frac{1}{2}$ rămâne doar în ℚ.

2. Detectivul de fracții echivalente (rigletă de hârtie sau riglă). Taie două fâșii de hârtie de aceeași lungime. Pe una marchează jumătățile, pe cealaltă sferturile. Arată că $\frac{1}{2}$ acoperă exact cât $\frac{2}{4}$. Repetă pentru $\frac{1}{3}$ și $\frac{2}{6}$. Așa „vezi" cu ochii de ce fracțiile echivalente sunt același număr.

3. Provocarea ireductibilă. Scrie pe bilețele 10 fracții la întâmplare (de exemplu $\frac{8}{12}$, $\frac{15}{25}$, $\frac{9}{6}$ …). Cronometrează-te: cât de repede le aduci pe toate la forma ireductibilă? Roagă un membru al familiei să verifice cu înmulțirea în cruce.

Pentru părinți și învățători

Această lecție face trecerea de la numerele întregi la cele raționale și este o piatră de temelie pentru tot ce urmează în unitate (axa numerelor, opus și modul, operații cu raționale). Scopul nu este memorarea, ci înțelegerea că un număr poate avea mai multe scrieri.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți de la concret (împărțit pizza, măsuri de suc, reduceri la magazin) și abia apoi treceți la notația $\frac{a}{b}$.
• Insistați pe ideea că $\frac{3}{4}$, $0,75$ și $\frac{6}{8}$ sunt același număr. Mulți elevi cred că schimbarea formei schimbă numărul.
• Pentru forma ireductibilă, legați explicit de c.m.m.d.c., pe care l-au învățat la divizibilitate — astfel cunoștințele se conectează.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Dă-mi un număr care e în ℚ, dar nu în ℤ." (Răspuns așteptat: orice fracție nenulă neîntreagă, ex. $\frac{2}{5}$.)
• „De ce numitorul nu poate fi 0?"
• „Cum verifici fără desen că două fracții sunt egale?" (Înmulțirea în cruce.)

Dacă elevul greșește la simplificare, cereți-i să verifice împărțind ambii termeni cu același număr și să confirme cu înmulțirea în cruce. Un semn bun de înțelegere este când poate explica, cu cuvintele lui, de ce $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Întrebări frecvente

Ce este un număr rațional la clasa a 6-a? Un număr rațional este orice număr care se poate scrie sub formă de fracție $\frac{a}{b}$, unde numărătorul $a$ și numitorul $b$ sunt numere întregi, iar numitorul este diferit de zero. Mulțimea tuturor acestor numere se notează cu ℚ și cuprinde numerele întregi, fracțiile și numerele zecimale.

Care sunt formele de scriere ale unui număr rațional? Un număr rațional se poate scrie ca fracție ordinară (ex. $\frac{3}{4}$), ca fracție zecimală (ex. $0,75$) și, când e cazul, ca număr întreg (ex. $\frac{12}{6}=2$). Toate aceste forme reprezintă același număr.

De ce ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ? Pentru că orice număr natural este și întreg, iar orice număr întreg se poate scrie ca fracție cu numitorul 1 (de exemplu $-4=\frac{-4}{1}$), deci este și rațional. Astfel, mulțimile se cuprind una în alta, de la cea mai mică (ℕ) la cea mai mare (ℚ).

Ce înseamnă o fracție ireductibilă? Este o fracție care nu mai poate fi simplificată, adică numărătorul și numitorul ei sunt numere prime între ele (cel mai mare divizor comun este 1). De exemplu, $\frac{2}{3}$ este ireductibilă, dar $\frac{4}{6}$ nu, pentru că se simplifică cu 2.

Cum verific dacă două fracții sunt echivalente? Folosești înmulțirea în cruce: fracțiile $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt echivalente dacă $a\cdot d=b\cdot c$. De exemplu, $\frac{3}{5}$ și $\frac{9}{15}$ sunt echivalente, pentru că $3\cdot 15=45$ și $5\cdot 9=45$.

Numerele zecimale sunt numere raționale? Da. Orice număr zecimal cu un număr finit de cifre după virgulă (sau cu cifre care se repetă periodic) este rațional, pentru că se poate scrie ca fracție. De exemplu, $0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

Poate fi numitorul unei fracții egal cu zero? Nu, niciodată. Împărțirea la zero nu are sens în matematică, așa că orice număr rațional are numitorul diferit de zero. Numărătorul, în schimb, poate fi zero, iar atunci fracția este egală cu 0.

Cum scriu un număr rațional negativ? Semnul minus poate sta în trei locuri echivalente: în fața fracției, la numărător sau la numitor: $-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}$. Atenție, dacă minusul apare și la numărător, și la numitor, numărul devine pozitiv: $\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$.