Fără să calculezi valoarea, stabilește semnul produsului $$(-3)\cdot(-4)\cdot(-6)\cdot(-9)$$, numărând factorii negativi.

Pozitiv, pentru că are un număr par de factori negativi (4)

Negativ, pentru că are un număr par de factori negativi (4)

Negativ, pentru că toți cei 4 factori sunt negativi

Pozitiv, pentru că are un număr impar de factori negativi

De ce minus ori minus dă plus?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Regula semnelor la înmulțire

Pentru că înmulțirea cu un număr negativ înseamnă a lua opusul rezultatului, iar opusul unui număr negativ este pozitiv. Se vede și dintr-un șir descrescător: $(- 3) \cdot 2 = - 6$ , $(- 3) \cdot 1 = - 3$ , $(- 3) \cdot 0 = 0$ , deci pasul următor urcă la $(- 3) \cdot (- 1) = 3$ . Astfel $(- 6) \cdot (- 7) = 42$ , în timp ce $(- 6) \cdot 7 = - 42$ . Pe scurt, semne la fel dau produs pozitiv, semne diferite dau produs negativ.

Înmulțirea numerelor întregi se face în doi pași: întâi înmulțești modulele (numerele fără semn), apoi stabilești semnul rezultatului. Regula semnelor: dacă cei doi factori au semne la fel (plus·plus sau minus·minus), produsul este pozitiv; dacă au semne diferite, produsul este negativ. De exemplu $(- 6) \cdot (- 7) = + 42$ , dar $(- 6) \cdot 7 = - 42$ .

Trei cazuri speciale: $a \cdot 0 = 0$ ; $a \cdot 1 = a$ ; $a \cdot (- 1) = - a$ (opusul lui $a$ ).

La un produs de mai mulți factori nenuli, semnul depinde doar de paritatea numărului de factori negativi: număr par de minusuri → produs pozitiv; număr impar → produs negativ. Dacă un factor este $0$ , tot produsul este $0$ .

Proprietățile comutativitate, asociativitate și distributivitate ( $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ ) rămân valabile în $Z$ și ajută la calcul rapid, de exemplu $(- 7) \cdot 102 = (- 7) \cdot 100 + (- 7) \cdot 2 = - 714$ .

De reținut

semne la fel dau produs pozitiv, semne diferite dau produs negativ
număr par de factori negativi: produs pozitiv; număr impar: produs negativ
$a \cdot 0 = 0$ , $a \cdot 1 = a$ , $a \cdot (- 1) = - a$

Greșeala tipică

Se aplică la înmulțire regula de la adunare și se scrie $(- 4) \cdot (- 5) = - 20$ ; cele două operații au reguli diferite, iar la înmulțire două semne la fel dau întotdeauna un rezultat pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează: $(- 11) \cdot 6$ .
- a) $66$
- b) $- 66$
- c) $- 5$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 66$

Factorii au semne diferite (unul negativ, unul pozitiv), deci produsul este negativ. Înmulțim modulele: $11 \cdot 6 = 66$ . Rezultatul este $(- 11) \cdot 6 = - 66$ .
Fără să calculezi valoarea, stabilește semnul produsului $(- 3) \cdot (- 4) \cdot (- 6) \cdot (- 9)$ , numărând factorii negativi.
- a) Pozitiv, pentru că are un număr par de factori negativi (4)
- b) Negativ, pentru că are un număr par de factori negativi (4)
- c) Negativ, pentru că toți cei 4 factori sunt negativi
- d) Pozitiv, pentru că are un număr impar de factori negativi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Pozitiv, pentru că are un număr par de factori negativi (4)

Toți cei patru factori sunt negativi, deci avem $4$ factori negativi — număr par — ceea ce înseamnă că produsul este pozitiv, indiferent de valoarea modulelor. Dacă numărul de factori negativi ar fi fost impar, produsul ar fi fost negativ.
Calculează: $(- 8) \cdot 9$ .
- a) $72$
- b) $- 72$
- c) $- 62$
- d) $- 17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 72$

Factorii au semne diferite, deci produsul este negativ. Înmulțim modulele: $8 \cdot 9 = 72$ . Rezultatul este $(- 8) \cdot 9 = - 72$ .

Întrebări conexe

Cum înmulțesc modulele după ce am stabilit semnul produsului?

Lași semnele deoparte și înmulțești numerele ca la naturale, apoi pui în față semnul găsit. Pentru $(- 13) \cdot (- 4)$ afli întâi că semnul este plus, calculezi $13 \cdot 4 = 52$ și scrii $52$ . Separarea celor două lucruri împiedică pierderea minusului pe parcurs.

Cum calculez rapid produsul $(- 7) \cdot 102$ ?

Desfaci al doilea factor în $100 + 2$ și înmulțești pe rând: $(- 7) \cdot 100 = - 700$ și $(- 7) \cdot 2 = - 14$ . Aduni rezultatele și obții $- 714$ . Procedeul se sprijină pe distributivitatea înmulțirii față de adunare, care rămâne valabilă și pentru numere negative.

Ce legătură are înmulțirea numerelor întregi cu opusul unui număr?

Înmulțirea cu $- 1$ dă chiar opusul: $a \cdot (- 1) = - a$ . De aceea schimbarea semnului tuturor termenilor dintr-o paranteză este, de fapt, o înmulțire cu $- 1$ . Observația ajută la desfacerea parantezelor precedate de semnul minus.

Cum verific rezultatul unei înmulțiri de numere întregi?

Împarți produsul la unul dintre factori și trebuie să obții celălalt factor, cu tot cu semn. Pentru $(- 8) \cdot 5 = - 40$ verifici $- 40 : 5 = - 8$ . O a doua verificare rapidă este numărarea minusurilor: un număr par de factori negativi lasă rezultatul pozitiv.

Unde apare înmulțirea numerelor întregi în problemele cu temperaturi?

Apare când o scădere constantă se repetă de mai multe ori. Dacă temperatura coboară cu $3$ grade în fiecare oră timp de cinci ore, variația totală este $5 \cdot (- 3) = - 15$ grade. Semnul negativ arată sensul schimbării, iar valoarea arată mărimea ei.

Cum se citește corect un produs cu factori negativi?

Se spune minus trei înmulțit cu minus patru, iar parantezele arată că semnul aparține numărului, nu operației. Scrierea $(- 3) \cdot (- 4)$ este mai clară decât $- 3 \cdot - 4$ , care se citește greu și duce la greșeli atunci când se copiază exercițiul.

Oamenii mai întreabă și: regula semnelor la înmulțire · minus ori minus cât face · de ce două minusuri dau plus · semnul produsului a două numere negative