Lecturi grafice și determinarea funcției din condiții date

Imaginează-ți că un prieten îți trimite doar o poză cu graficul unei drepte, fără nicio formulă, și te întreabă: „Ce funcție e asta?”. Sau invers: știi două informații despre o funcție liniară — de exemplu că o mașină de închiriat costă 150 de lei fix plus o sumă pe zi — și trebuie să reconstruiești formula exactă. Aceste două operații, citirea unui grafic și determinarea funcției din condiții date, sunt printre cele mai des întâlnite la Evaluarea Națională. Vestea bună: dacă stăpânești interpretarea geometrică a coeficienților $a$ și $b$ , totul devine o rețetă clară, pas cu pas. Hai să o învățăm împreună.

Ce vei învăța

Vei ști să citești direct de pe grafic valoarea $f (x)$ pentru un $x$ dat și soluția ecuației $f (x) = 0$ .
Vei ști să verifici, prin calcul, dacă un punct aparține graficului unei funcții liniare.
Vei ști să determini funcția $f (x) = a x + b$ atunci când cunoști două puncte ale dreptei.
Vei ști să citești panta $a$ și ordonata la origine $b$ direct din grafic.
Vei ști să rezolvi sistemul de condiții pentru a afla coeficienții $a$ și $b$ și să redactezi corect pentru punctaj.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim pe scurt „harta” funcției liniare

O funcție liniară are forma $f (x) = a x + b,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate, iar $x$ este variabila. Din lecțiile Interpretarea geometrică: panta $a$ și ordonata la origine $b$ și Punctele de intersecție ale graficului cu axele știm deja două idei-cheie pe care le vom folosi tot timpul:

$b$ este ordonata la origine: graficul taie axa $O y$ în punctul $(0, b)$ , pentru că $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .
$a$ este panta: arată cât urcă (sau coboară) dreapta când $x$ crește cu $1$ . Dacă $a > 0$ , dreapta urcă; dacă $a < 0$ , dreapta coboară; dacă $a = 0$ , dreapta este orizontală.

Toată lecția de azi este, de fapt, folosirea acestor două idei în ambele sensuri: „din formulă → în grafic” și „din grafic → în formulă”.

2. Citirea valorii $f (x)$ direct de pe grafic

Prima „lectură grafică” răspunde la întrebarea: „Cât este $f (x)$ pentru un anumit $x$ ?”. Procedeul e simplu și mecanic:

Pornești de pe axa $O x$ din valoarea lui $x$ care te interesează.
Urci (sau cobori) vertical până atingi dreapta.
Din acel punct de pe dreaptă mergi orizontal până la axa $O y$ .
Numărul citit pe $O y$ este chiar $f (x)$ .

De exemplu, dacă vrei $f (2)$ , te duci la $x = 2$ pe orizontală, urci până la dreaptă, apoi te uiți la ce înălțime ai ajuns pe verticală. Dacă ai ajuns la înălțimea $5$ , atunci $f (2) = 5$ , ceea ce înseamnă și că punctul $(2, 5)$ se află pe grafic.

Invers funcționează la fel: dacă ți se dă o valoare a lui $f (x)$ și ți se cere $x$ -ul, pornești de pe $O y$ din acea înălțime, mergi orizontal până la dreaptă, apoi cobori vertical la $O x$ .

3. Citirea soluției ecuației $f (x) = 0$ de pe grafic

A doua lectură grafică, foarte des cerută la examen, este: „Unde se anulează funcția?”, adică unde $f (x) = 0$ .

Gândește-te ce înseamnă $f (x) = 0$ : ordonata (înălțimea) punctului este zero. Dar punctele cu ordonata $0$ sunt exact punctele de pe axa $O x$ . Prin urmare:

Soluția ecuației $f (x) = 0$ este abscisa punctului în care graficul taie axa $O x$ .

Așadar, ca să citești soluția lui $f (x) = 0$ , cauți locul unde dreapta „străpunge” axa orizontală și citești valoarea lui $x$ acolo. Dacă dreapta taie $O x$ în punctul $(3, 0)$ , atunci soluția ecuației $f (x) = 0$ este $x = 3$ .

Este util să reținem legătura dintre limbaje: „graficul taie $O x$ în $x = 3$ ”, „ $f (3) = 0$ ” și „ $x = 3$ este soluția ecuației $f (x) = 0$ ” spun exact același lucru.

4. Verificarea apartenenței unui punct la grafic

Cum decidem dacă un punct $P (x_{0}, y_{0})$ aparține sau nu graficului funcției $f$ ? Regula este scurtă și trebuie știută perfect:

Punctul $P (x_{0}, y_{0})$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ .

Cu alte cuvinte, înlocuim abscisa $x_{0}$ în formulă și verificăm dacă rezultatul este chiar ordonata $y_{0}$ . Dacă da, punctul este pe grafic; dacă nu, punctul este în afara graficului.

Exemplu rapid. Fie $f (x) = 3 x - 1$ și punctele $A (2, 5)$ , $B (1, 3)$ .

Pentru $A$ : $f (2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ . Cum $5 = 5$ , punctul $A$ aparține graficului. Scriem $A \in G_{f}$ .
Pentru $B$ : $f (1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ . Cum $2 \neq = 3$ , punctul $B$ nu aparține graficului. Scriem $B \in / G_{f}$ .

Atenție la notație: $G_{f}$ înseamnă „graficul funcției $f$ ”, iar simbolurile $\in$ / $\in /$ se citesc „aparține” / „nu aparține”.

5. Determinarea funcției când cunoști două puncte ale dreptei

Ajungem la inima lecției. O dreaptă este perfect determinată de două puncte distincte ale ei. Deci, dacă știm două puncte prin care trece graficul, putem afla exact formula $f (x) = a x + b$ . Avem două metode, iar tu poți folosi pe oricare.

Metoda 1 — Sistemul de două ecuații (cea recomandată la examen).

Fie punctele $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ de pe grafic. Deoarece ambele aparțin graficului, avem: $f (x_{1}) = y_{1} ș i f (x_{2}) = y_{2},$ adică ${a x_{1} + b = y_{1} a x_{2} + b = y_{2}$ Acesta este un sistem de două ecuații cu două necunoscute ( $a$ și $b$ ), pe care îl rezolvi prin metoda reducerii: scazi ecuațiile ca să dispară $b$ , afli $a$ , apoi înlocuiești ca să afli $b$ .

Metoda 2 — Formula pantei.

Panta se poate calcula direct din cele două puncte cu formula: $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} .$ Aceasta spune „cât urcă împărțit la cât înaintezi” între cele două puncte. După ce ai aflat $a$ , înlocuiești coordonatele unuia dintre puncte în $f (x) = a x + b$ și afli $b$ .

Hai să vedem ambele metode pe același exemplu, ca să te convingi că dau același rezultat. Fie $A (1, 5)$ și $B (3, 11)$ .

Cu sistemul: ${a \cdot 1 + b = 5 a \cdot 3 + b = 11$ Scădem prima ecuație din a doua: $(3 a + b) - (a + b) = 11 - 5$ , deci $2 a = 6$ , de unde $a = 3$ . Înlocuim în prima: $3 + b = 5$ , deci $b = 2$ . Obținem $f (x) = 3 x + 2$ .

Cu formula pantei: $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ . Apoi din $A$ : $5 = 3 \cdot 1 + b$ , deci $b = 2$ . Același rezultat: $f (x) = 3 x + 2$ .

Verificarea (pas obligatoriu la examen): controlezi cu celălalt punct. $f (3) = 3 \cdot 3 + 2 = 11$ . Corect, coincide cu $B (3, 11)$ .

6. Determinarea funcției direct din grafic (panta și ordonata la origine)

Când ai graficul în față, adesea nu e nevoie să calculezi nimic complicat: poți citi coeficienții direct.

Pasul 1 — citește $b$ . Uită-te unde taie dreapta axa $O y$ . Acea înălțime este $b$ .

Pasul 2 — citește $a$ . Alege un punct de pe dreaptă cu coordonate „frumoase” (numere întregi). Formează „triunghiul pantei”: de câte unități urcă dreapta când $x$ crește cu $1$ ? Acel număr (cu semn) este $a$ . Practic, poți lua două puncte de rețea de pe dreaptă și aplica $a = \frac{c a ˆ t urc a ˘}{c a ˆ t ı ˆ naintezi}$ .

Exemplu. Presupunem că dreapta taie $O y$ în $(0, - 1)$ și trece și prin punctul $(2, 3)$ .

Din intersecția cu $O y$ : $b = - 1$ .
Panta: de la $(0, - 1)$ la $(2, 3)$ , dreapta urcă $3 - (- 1) = 4$ unități în timp ce $x$ crește cu $2$ . Deci $a = \frac{4}{2} = 2$ .
Concluzie: $f (x) = 2 x - 1$ .

Reține un semn de alarmă util: dacă dreapta urcă de la stânga la dreapta, $a > 0$ ; dacă coboară, $a < 0$ . Verifică mereu ca semnul obținut prin calcul să se potrivească cu ce vezi pe desen.

7. Rezolvarea unui sistem de condiții pentru $a$ și $b$

De multe ori condițiile nu îți sunt date ca „puncte”, ci ca cerințe de tipul „ $f (2) = 1$ ” sau „graficul trece prin origine” sau „dreapta taie $O x$ în $x = 4$ ”. Fiecare astfel de condiție se traduce într-o ecuație cu necunoscutele $a$ și $b$ . Ai nevoie de două condiții independente pentru a determina cei doi coeficienți.

Tabelul de traduceri pe care merită să-l ai în minte:

Condiția din enunț	Ecuația corespunzătoare
$f (x_{0}) = y_{0}$	$a x_{0} + b = y_{0}$
Graficul trece prin $P (x_{0}, y_{0})$	$a x_{0} + b = y_{0}$
Graficul trece prin origine $O (0, 0)$	$b = 0$
Graficul taie $O y$ în $(0, k)$	$b = k$
Graficul taie $O x$ în $(m, 0)$	$am + b = 0$
$x_{0}$ este soluția ecuației $f (x) = 0$	$a x_{0} + b = 0$

Odată scrise cele două ecuații, rezolvi sistemul obținut prin metoda reducerii (scazi ecuațiile ca să dispară $b$ ) sau prin substituție — exact procedeul folosit în exemplele de mai sus.

Exemplu. Determină $f (x) = a x + b$ știind că $f (2) = 1$ și $f (- 1) = 7$ .

Scriem sistemul: ${2 a + b = 1 - a + b = 7$ Scădem a doua ecuație din prima: $(2 a + b) - (- a + b) = 1 - 7$ , adică $3 a = - 6$ , deci $a = - 2$ . Înlocuim în a doua: $- (- 2) + b = 7$ , adică $2 + b = 7$ , deci $b = 5$ . Rezultă $f (x) = - 2 x + 5$ .

Verificare: $f (2) = - 2 \cdot 2 + 5 = 1$ ✓ și $f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 5 = 7$ ✓.

Observă cum panta $a = - 2 < 0$ ne spune că dreapta este descrescătoare — o informație pe care ai putea-o folosi ca să detectezi rapid o greșeală de semn.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea apartenenței unui punct

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 5$ . Stabilește dacă punctele $A (1, 3)$ și $B (3, 1)$ aparțin graficului.

Rezolvare. Calculăm valoarea funcției în abscisa fiecărui punct.

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 5 = 3$ . Cum $3 = 3$ , rezultă $A (1, 3) \in G_{f}$ .
$f (3) = - 2 \cdot 3 + 5 = - 1$ . Cum $- 1 \neq = 1$ , rezultă $B (3, 1) \in / G_{f}$ .

Concluzie: $A$ aparține graficului, $B$ nu.

Exemplul 2 — Aflarea unui parametru dintr-o condiție de apartenență

Punctul $P (4, m)$ aparține graficului funcției $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$ . Află valoarea lui $m$ .

Rezolvare. Apartenența înseamnă $f (4) = m$ . Calculăm: $m = f (4) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 3 = 2 - 3 = - 1.$ Concluzie: $m = - 1$ , deci punctul este $P (4, - 1)$ .

Exemplul 3 — Citirea soluției lui $f (x) = 0$ și legătura cu $O x$

Se dă $f (x) = 4 x - 12$ . Determină, prin calcul, în ce punct taie graficul axa $O x$ și scrie soluția ecuației $f (x) = 0$ .

Rezolvare. Graficul taie $O x$ acolo unde $f (x) = 0$ : $4 x - 12 = 0 \Rightarrow 4 x = 12 \Rightarrow x = 3.$ Deci graficul taie $O x$ în punctul $(3, 0)$ , iar soluția ecuației $f (x) = 0$ este $x = 3$ . Dacă am fi avut graficul desenat, am fi citit direct că dreapta străpunge axa orizontală la $x = 3$ — aceeași informație, obținută vizual.

Exemplul 4 — Determinarea funcției din două puncte

Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ al cărei grafic trece prin punctele $A (- 2, 5)$ și $B (2, - 3)$ .

Rezolvare (cu sistem). Scriem condițiile de apartenență: ${- 2 a + b = 5 2 a + b = - 3$ Adunăm cele două ecuații (dispare $a$ ): $2 b = 2$ , deci $b = 1$ . Din a doua ecuație: $2 a + 1 = - 3$ , adică $2 a = - 4$ , deci $a = - 2$ .

Concluzie: $f (x) = - 2 x + 1$ . Verificare: $f (- 2) = - 2 \cdot (- 2) + 1 = 5$ ✓ și $f (2) = - 2 \cdot 2 + 1 = - 3$ ✓.

Exemplul 5 — Determinarea funcției direct din grafic

Graficul unei funcții liniare taie axa $O y$ în punctul $(0, - 2)$ și axa $O x$ în punctul $(4, 0)$ . Determină $f (x)$ .

Rezolvare. Din intersecția cu $O y$ citim direct ordonata la origine: $b = - 2$ . Pentru pantă folosim intersecția cu $O x$ : punctul $(4, 0)$ aparține graficului, deci $f (4) = 0$ : $a \cdot 4 + b = 0 \Rightarrow 4 a - 2 = 0 \Rightarrow 4 a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} .$ Concluzie: $f (x) = \frac{1}{2} x - 2$ . Verificare: $f (0) = - 2$ ✓ (taie $O y$ în $- 2$ ) și $f (4) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0$ ✓ (taie $O x$ în $4$ ).

Exemplul 6 — Sistem de condiții tip Evaluare Națională

Se știe că $f (x) = a x + b$ , $f (1) = 5$ și $f (- 2) = - 4$ . Determină funcția, apoi află în ce punct taie graficul axa $O x$ .

Rezolvare. Traducem condițiile în sistem: ${a + b = 5 - 2 a + b = - 4$ Scădem a doua din prima: $(a + b) - (- 2 a + b) = 5 - (- 4)$ , adică $3 a = 9$ , deci $a = 3$ . Din prima: $3 + b = 5$ , deci $b = 2$ . Rezultă $f (x) = 3 x + 2$ .

Intersecția cu $O x$ : $3 x + 2 = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}$ . Graficul taie $O x$ în punctul $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Verificare: $f (1) = 3 + 2 = 5$ ✓; $f (- 2) = - 6 + 2 = - 4$ ✓.

Să exersăm

Se dă $f (x) = 3 x + 1$ . Verifică dacă punctul $A (2, 7)$ aparține graficului funcției.
Se dă $f (x) = 2 x - 3$ . Verifică dacă punctul $B (- 1, 4)$ aparține graficului funcției.
Punctul $P (3, m)$ aparține graficului funcției $f (x) = - 2 x + 5$ . Află valoarea lui $m$ .
Punctul $Q (x_{0}, 8)$ aparține graficului funcției $f (x) = 5 x - 2$ . Află valoarea lui $x_{0}$ .
Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ al cărei grafic trece prin $A (0, 3)$ și $B (2, 7)$ .
Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ care satisface $f (1) = 4$ și $f (3) = 10$ .
Determină funcția liniară al cărei grafic trece prin punctele $A (- 2, 5)$ și $B (2, - 3)$ .
Graficul unei funcții liniare taie axa $O y$ în $(0, - 2)$ și axa $O x$ în $(4, 0)$ . Determină $f (x)$ .
Graficul funcției $f$ taie axa $O x$ în punctul $(3, 0)$ . Care este soluția ecuației $f (x) = 0$ ?
Se dă $f (x) = 4 x - 12$ . Rezolvă ecuația $f (x) = 0$ și precizează unde taie graficul axa $O x$ .
Dintr-un tabel de valori se citește $f (0) = 2$ și $f (1) = 0$ , funcția fiind liniară. Determină $f (x)$ și verifică apoi $f (- 1)$ .
Determină $f (x) = a x + b$ știind că $f (1) = 5$ și $f (- 2) = - 4$ .
Determină $f (x) = a x + b$ știind că graficul taie $O y$ în $(0, - 1)$ și trece prin $(2, 3)$ .
Problemă aplicată. Costul unei curse cu un taxi este o funcție liniară $f (x) = a x + b$ , unde $x$ este numărul de kilometri. Pentru $2$ km se plătesc $12$ lei, iar pentru $5$ km se plătesc $24$ lei. Determină $f (x)$ , apoi calculează costul unei curse de $10$ km. Ce semnificație au $a$ și $b$ ?
Adevărat sau fals, cu justificare. „Dacă graficul unei funcții liniare trece prin origine, atunci $b = 0$ .”
Adevărat sau fals, cu justificare. „Punctul $(0, b)$ este întotdeauna punctul în care graficul taie axa $O x$ .”
Item tip Evaluare Națională. Graficul funcției $f (x) = a x + b$ trece prin punctele $A (- 1, - 1)$ și $B (2, 5)$ . a) Determină $a$ și $b$ . b) Află punctul în care graficul taie axa $O x$ .
Se dă $f (x) = a x - 3$ , iar graficul trece prin punctul $(2, 1)$ . Determină valoarea lui $a$ și scrie funcția.

Răspunsuri și explicații

$f (2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7$ . Cum $7 = 7$ , $A \in G_{f}$ (punctul aparține graficului).
$f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 5$ . Cum $- 5 \neq = 4$ , $B \in / G_{f}$ (nu aparține).
$m = f (3) = - 2 \cdot 3 + 5 = - 1$ . Deci $m = - 1$ .
Din $f (x_{0}) = 8$ : $5 x_{0} - 2 = 8 \Rightarrow 5 x_{0} = 10 \Rightarrow$ $x_{0} = 2$ .
Din $A (0, 3)$ : $b = 3$ . Panta: $a = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ . $f (x) = 2 x + 3$ . Verificare: $f (2) = 4 + 3 = 7$ ✓.
Sistem: $a + b = 4$ și $3 a + b = 10$ . Scădere: $2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ , apoi $b = 1$ . $f (x) = 3 x + 1$ . Verificare: $f (3) = 9 + 1 = 10$ ✓.
Sistem: $- 2 a + b = 5$ și $2 a + b = - 3$ . Adunare: $2 b = 2 \Rightarrow b = 1$ ; apoi $2 a + 1 = - 3 \Rightarrow a = - 2$ . $f (x) = - 2 x + 1$ . Verificare: $f (- 2) = 4 + 1 = 5$ ✓.
Din $(0, - 2)$ : $b = - 2$ . Din $(4, 0)$ : $4 a - 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ . $f (x) = \frac{1}{2} x - 2$ .
Soluția ecuației $f (x) = 0$ este abscisa punctului de tăiere cu $O x$ , deci $x = 3$ .
$4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Graficul taie $O x$ în punctul $(3, 0)$ ; soluția este $x = 3$ .
Din $f (0) = 2$ : $b = 2$ . Din $f (1) = 0$ : $a + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2$ . $f (x) = - 2 x + 2$ . Verificare cerută: $f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 2 = 4$ .
Sistem: $a + b = 5$ și $- 2 a + b = - 4$ . Scădere: $3 a = 9 \Rightarrow a = 3$ , apoi $b = 2$ . $f (x) = 3 x + 2$ .
Din $(0, - 1)$ : $b = - 1$ . Din $(2, 3)$ : $2 a - 1 = 3 \Rightarrow a = 2$ . $f (x) = 2 x - 1$ .
Sistem din $f (2) = 12$ și $f (5) = 24$ : $2 a + b = 12$ și $5 a + b = 24$ . Scădere: $3 a = 12 \Rightarrow a = 4$ , apoi $b = 12 - 8 = 4$ . $f (x) = 4 x + 4$ . Costul la $10$ km: $f (10) = 4 \cdot 10 + 4 = 44$ lei. Semnificație: $b = 4$ lei este taxa de pornire (costul fix, la $0$ km), iar $a = 4$ lei/km este prețul pe kilometru (panta arată cu cât crește costul pentru fiecare kilometru în plus).
Adevărat. Dacă graficul trece prin origine $O (0, 0)$ , atunci $f (0) = 0$ ; dar $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ , deci $b = 0$ .
Fals. Punctul $(0, b)$ are abscisa $0$ , deci se află pe axa $O y$ — este intersecția cu $O y$ , nu cu $O x$ . Intersecția cu $O x$ are ordonata $0$ , adică forma $(m, 0)$ .
a) Sistem: $- a + b = - 1$ și $2 a + b = 5$ . Scădere: $3 a = 6 \Rightarrow a = 2$ , apoi $b = 1$ . Deci $f (x) = 2 x + 1$ . b) $O x$ : $2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$ ; punctul este $(- \frac{1}{2}, 0)$ .
Din $f (2) = 1$ : $2 a - 3 = 1 \Rightarrow 2 a = 4 \Rightarrow a = 2$ . $f (x) = 2 x - 3$ .

De reținut

Punctul $P (x_{0}, y_{0})$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ . Verifici prin înlocuire.
Valoarea $f (x)$ de pe grafic se citește urcând vertical de la $x$ până la dreaptă, apoi orizontal la $O y$ . Soluția lui $f (x) = 0$ este abscisa punctului în care graficul taie $O x$ .
$b$ este ordonata la origine (unde taie $O y$ , adică $(0, b)$ ), iar $a$ este panta, care se poate calcula cu $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Pentru a determina $f (x) = a x + b$ ai nevoie de două condiții (două puncte sau două cerințe). Le transformi în ecuații și rezolvi sistemul prin reducere.
Verifică mereu funcția găsită înlocuind în ambele condiții din enunț.

Greșeli frecvente

Confundarea axelor la intersecții. Intersecția cu $O y$ are forma $(0, b)$ , iar cu $O x$ forma $(m, 0)$ . Nu inversa: pe $O y$ este zero abscisa, pe $O x$ este zero ordonata.
Inversarea coordonatelor unui punct. În $P (x_{0}, y_{0})$ , primul număr este abscisa (se pune în locul lui $x$ ), al doilea este ordonata (rezultatul lui $f$ ). Dacă verifici apartenența, înlocuiește $x_{0}$ , nu $y_{0}$ .
Greșeli de semn la panta descrescătoare. Când $a < 0$ , dreapta coboară. La formula $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ păstrează aceeași ordine a punctelor la numărător și la numitor, altfel schimbi greșit semnul.
Oprirea fără verificare. După ce afli $a$ și $b$ , mulți uită să verifice. Un simplu control cu al doilea punct prinde majoritatea greșelilor și îți asigură punctajul complet la Evaluarea Națională.

Aplică acasă

Detectivul de tarife. Găsește o factură reală (curent, apă, internet cu depășire) care are o parte fixă (abonament) și una variabilă (consum). Notează două perechi „consum → cost total” și determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ care modelează factura. Identifică ce reprezintă $a$ (prețul pe unitate) și $b$ (abonamentul fix).
Din grafic în formulă. Deschide o aplicație de sănătate sau de sport care afișează un grafic aproape drept (de exemplu distanța parcursă în timp la ritm constant). Citește două puncte cu coordonate „frumoase” și reconstruiește formula dreptei; apoi folosește-o ca să prezici o valoare viitoare.
Provocarea inversă. Alege tu doi coeficienți, scrie $f (x) = a x + b$ , calculează două puncte ale graficului și dă-i unui coleg doar cele două puncte. Vezi dacă reușește să reconstruiască exact funcția ta.

Pentru părinți și profesori

Această lecție leagă între ele toate ideile despre funcția liniară și este un „nod” important înainte de Evaluarea Națională: aproape în fiecare an apare un item în care elevul trebuie fie să citească informații de pe un grafic, fie să determine $f (x) = a x + b$ din două condiții. Pentru a-l sprijini pe elev, cereți-i să explice cu voce tare ce înseamnă fiecare pas, nu doar să scrie calculele.

Întrebări bune de verificare: „Ce înseamnă geometric că $f (2) = 5$ ?” (răspuns: punctul $(2, 5)$ e pe grafic), „Unde taie dreapta axa $O y$ și de ce?” (în $(0, b)$ ), „Cum verifici că un punct e pe grafic?” (înlocuiești abscisa și compari cu ordonata), „Câte condiții îți trebuie ca să afli $a$ și $b$ ?” (două). Dacă elevul rezolvă corect sistemul și verifică rezultatul cu al doilea punct, a înțeles esențialul. Un semn de stăpânire reală este când poate face traducerea în ambele sensuri — din formulă în grafic și din grafic în formulă — fără să se încurce la semnul pantei.

Întrebări frecvente

Cum aflu funcția $f (x) = a x + b$ dacă știu două puncte? Scrii că fiecare punct aparține graficului, obținând două ecuații cu necunoscutele $a$ și $b$ . Rezolvi sistemul prin reducere (scazi ecuațiile ca să dispară $b$ ), afli $a$ , apoi $b$ . La final verifici cu al doilea punct.

Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții liniare? Înlocuiești abscisa punctului în formula funcției. Dacă rezultatul este egal cu ordonata punctului, punctul aparține graficului; dacă nu, nu aparține. De exemplu, $A (2, 7)$ aparține graficului lui $f (x) = 3 x + 1$ pentru că $f (2) = 7$ .

Cum citesc soluția ecuației $f (x) = 0$ de pe grafic? Soluția lui $f (x) = 0$ este abscisa punctului în care graficul taie axa $O x$ . Cauți pe desen unde dreapta străpunge axa orizontală și citești valoarea lui $x$ de acolo.

Ce este panta și cum o citesc din grafic? Panta $a$ arată cât urcă sau coboară dreapta când $x$ crește cu $1$ . O citești formând un „triunghi al pantei” între două puncte de rețea: împarți cât urcă la cât înaintezi, adică $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Dacă dreapta coboară, $a$ este negativ.

Unde citesc coeficientul $b$ pe grafic? $b$ este ordonata la origine, adică valoarea unde dreapta taie axa $O y$ . Punctul de intersecție cu $O y$ are forma $(0, b)$ , deci citești direct înălțimea la care dreapta atinge axa verticală.

Câte condiții îmi trebuie ca să determin o funcție liniară? Exact două condiții independente, pentru că ai doi coeficienți de aflat: $a$ și $b$ . Pot fi două puncte, sau combinații de tipul „ $f (1) = 5$ și graficul trece prin origine”, fiecare condiție dând o ecuație.

De ce este importantă verificarea la sfârșit? Pentru că prinde greșelile de calcul și de semn, foarte frecvente la sisteme. La Evaluarea Națională, redactarea completă cu verificare îți asigură că răspunsul e corect și te ajută să nu pierzi puncte pe scăpări mici.

Care e diferența dintre intersecția cu $O x$ și cea cu $O y$ ? Intersecția cu $O y$ este punctul $(0, b)$ (abscisa zero) și îți dă direct pe $b$ . Intersecția cu $O x$ este punctul $(m, 0)$ (ordonata zero), unde $m$ este soluția ecuației $f (x) = 0$ . Sunt pe axe diferite și nu trebuie confundate.