Punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy

Imaginează-ți că urci pe o pârtie cu telescaunul, iar traseul cablului este perfect drept. În momentul în care cablul întâlnește pentru prima dată solul, ai un punct precis; la fel, atunci când trece exact deasupra stâlpului de plecare, ai un alt punct precis. Graficul unei funcții liniare $f(x)=ax+b$ este tot o dreaptă, iar cele mai importante două „repere" ale ei sunt exact punctele în care taie cele două axe ale sistemului de coordonate. Aceste puncte de intersecție cu axele îți permit să desenezi dreapta corect din doar două lovituri de creion și apar în aproape fiecare subiect de Evaluare Națională care conține funcția liniară. În lecția de față înveți, pas cu pas, cum le găsești, ce înseamnă ele geometric și cum le folosești ca să trasezi rapid graficul.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini punctul de intersecție al graficului cu axa $Oy$, adică punctul $(0,b)$.
• Vei ști să determini punctul de intersecție al graficului cu axa $Ox$, rezolvând ecuația $ax+b=0$.
• Vei ști să trasezi rapid dreapta folosind cele două intersecții cu axele.
• Vei ști să interpretezi geometric cele două puncte și să recunoști cazurile particulare (dreaptă prin origine sau paralelă cu o axă).
• Vei ști să redactezi corect rezolvarea, așa cum se cere pentru punctaj la examen.

Hai să descoperim împreună

O scurtă recapitulare: ce este graficul funcției liniare

În lecțiile anterioare ai aflat că funcția liniară are forma $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe, iar $x$ este variabila. Ai văzut, de asemenea, că graficul funcției liniare este o dreaptă. O dreaptă este complet determinată de două puncte distincte: dacă știi două puncte prin care trece, poți trasa toată dreapta cu rigla.

Întrebarea firească este: care două puncte le alegem? Am putea lua orice două valori pentru $x$, dar cele mai comode și mai „vorbitoare" puncte sunt tocmai cele în care dreapta întâlnește axele de coordonate. De ce? Pentru că pe axe una dintre coordonate este întotdeauna $0$, iar calculele devin foarte simple.

Ideea-cheie: pe axe, o coordonată este mereu zero

Reține un adevăr simplu din lecția despre sistemul de axe și coordonatele unui punct:

• Orice punct de pe axa $Oy$ (axa verticală) are abscisa (coordonata $x$) egală cu $0$. Punctele de pe $Oy$ arată așa: $(0,\text{ceva})$.
• Orice punct de pe axa $Ox$ (axa orizontală) are ordonata (coordonata $y$) egală cu $0$. Punctele de pe $Ox$ arată așa: $(\text{ceva},0)$.

Toată metoda pornește de aici. Ca să găsești unde taie graficul o axă, pui pe zero coordonata care este mereu zero pe acea axă și afli cealaltă coordonată.

Pasul 1 — Intersecția cu axa Oy: punctul $(0,b)$

Vrem punctul în care dreapta întâlnește axa $Oy$. Am spus că pe această axă $x=0$. Prin urmare, înlocuim $x=0$ în legea funcției:

$$f(0)=a\cdot 0+b=b.$$

Deci, când $x=0$, valoarea funcției este chiar $b$. Punctul de intersecție cu axa $Oy$ este:

$$\boxed{A(0,b)}$$

Acest lucru este remarcabil de simplu: coordonata unde dreapta taie axa $Oy$ este chiar termenul liber $b$ din formula $f(x)=ax+b$. Nu trebuie să calculezi nimic complicat — citești direct pe $b$ din formulă.

Numărul $b$ se numește ordonata la origine a funcției liniare (îi vom da un sens mai profund în lecția despre panta $a$ și ordonata la origine $b$). Deocamdată ține minte: $b$ îți spune la ce înălțime „pornește" dreapta pe verticală.

Exemplu-fulger. Pentru $f(x)=2x+3$, avem $b=3$, deci graficul taie axa $Oy$ în punctul $A(0,3)$. Pentru $g(x)=-4x-5$, avem $b=-5$, deci taie $Oy$ în $(0,-5)$.

Pasul 2 — Intersecția cu axa Ox: rezolvăm $ax+b=0$

Acum vrem punctul în care dreapta întâlnește axa $Ox$. Pe axa $Ox$ avem $y=0$. Dar $y=f(x)$, așa că punem $f(x)=0$:

$$ax+b=0.$$

Aceasta este o ecuație de gradul I cu necunoscuta $x$, exact tipul pe care l-ai rezolvat de multe ori. O rezolvăm mutând $b$ în dreapta și împărțind la $a$ (presupunând $a\ne 0$, ceea ce este garantat la o funcție liniară „adevărată"):

$$ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}.$$

Pe această axă ordonata este $0$, așa că punctul de intersecție cu axa $Ox$ este:

$$\boxed{B\left(-\frac{b}{a},0\right)}$$

Cu alte cuvinte, abscisa punctului în care dreapta taie axa $Ox$ este soluția ecuației $ax+b=0$. Această valoare a lui $x$ pentru care funcția se anulează se mai numește și zeroul funcției sau rădăcina funcției liniare.

Exemplu-fulger. Pentru $f(x)=2x+3$, rezolvăm $2x+3=0\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$. Deci graficul taie axa $Ox$ în punctul $B\left(-\frac{3}{2},0\right)$.

Observă că nu trebuie neapărat să memorezi formula $x=-\frac{b}{a}$. Este mai sigur, mai ales la examen, să rezolvi de fiecare dată ecuația $ax+b=0$ — greșești mai puțin decât dacă înlocuiești în formulă și te încurci la semne.

De ce funcționează: interpretarea geometrică

Să înțelegem geometric ce am făcut, pentru că profesorii apreciază enorm când elevul explică, nu doar calculează.

• Axa $Oy$ este linia verticală formată din toate punctele cu $x=0$. Când cerem $x=0$ în funcție, ne întrebăm de fapt: la ce înălțime se află dreapta exact deasupra originii? Răspunsul este $b$. De aceea intersecția cu $Oy$ este $(0,b)$.
• Axa $Ox$ este linia orizontală formată din toate punctele cu $y=0$, adică punctele „la nivelul solului". Când cerem $f(x)=0$, ne întrebăm: pentru ce valoare a lui $x$ dreapta atinge nivelul zero? Răspunsul este $x=-\frac{b}{a}$.

Așadar, cele două puncte sunt „ancorele" naturale ale dreptei pe cele două axe: unul spune de unde pornește pe verticală, celălalt spune unde traversează orizontala.

Pasul 3 — Trasarea rapidă a graficului din cele două intersecții

Aici se vede toată puterea metodei. O dreaptă are nevoie de exact două puncte ca s-o desenezi. Iar cele două intersecții cu axele îți dau tocmai aceste două puncte, fără să completezi un tabel lung de valori.

Rețeta de trasare rapidă:

1. Citește $b$ din formulă și marchează punctul $A(0,b)$ pe axa $Oy$.
2. Rezolvă $ax+b=0$ și marchează punctul $B\left(-\frac{b}{a},0\right)$ pe axa $Ox$.
3. Trage cu rigla dreapta care unește punctele $A$ și $B$ — prelungește-o dincolo de ambele puncte.
4. (Recomandat la examen) Verifică cu un al treilea punct, alegând un $x$ comod și calculând $f(x)$; dacă punctul cade pe dreaptă, desenul e corect.

Este mult mai rapid decât metoda cu tabel din lecția anterioară, pentru că cele două condiții $x=0$ și $ax+b=0$ dau calcule foarte simple.

Atenție — o singură excepție: metoda cere ca cele două puncte să fie distincte. Dacă amândouă coincid, ai un singur punct și nu poți trasa o dreaptă din el. Asta se întâmplă exact când dreapta trece prin origine — vom vedea imediat cum procedăm.

Cazuri particulare pe care trebuie să le recunoști

Nu toate dreptele se comportă „standard". Sunt trei situații speciale pe care examinatorul le adoră, tocmai pentru că testează dacă ai înțeles cu adevărat.

Cazul 1: $b=0$ — dreapta trece prin origine. Dacă $b=0$, funcția devine $f(x)=ax$. Atunci:

• Intersecția cu $Oy$: $(0,0)$ — chiar originea.
• Intersecția cu $Ox$: rezolvăm $ax=0\Rightarrow x=0$, deci tot $(0,0)$.

Cele două intersecții coincid: dreapta trece prin originea sistemului. Ai un singur punct din cele două intersecții, deci pentru trasare mai alegi un al doilea punct dând o valoare comodă lui $x$ (de exemplu $x=1$, de unde punctul $(1,a)$).

Cazul 2: $a=0$ — dreaptă orizontală, paralelă cu $Ox$. Dacă $a=0$, funcția devine $f(x)=b$ (o funcție constantă). Graficul este o dreaptă orizontală care trece prin $(0,b)$ și este paralelă cu axa $Ox$.

• Intersecția cu $Oy$: $(0,b)$ — există mereu.
• Intersecția cu $Ox$: ecuația devine $0\cdot x+b=0$, adică $b=0$. Dacă $b\ne 0$, această egalitate este falsă, deci dreapta nu taie axa $Ox$ (fiind paralelă cu ea). Doar dacă $b=0$ dreapta este chiar axa $Ox$.

Cazul 3: dreapta verticală — de ce NU e funcție liniară. O dreaptă verticală (de forma $x=k$) este paralelă cu $Oy$ și nu reprezintă graficul unei funcții, pentru că unei valori $x=k$ i-ar corespunde o infinitate de valori $y$. Deci $f(x)=ax+b$ nu poate produce niciodată o dreaptă verticală. Este bine să știi acest lucru pentru itemii de tip adevărat/fals.

Rezumatul metodei într-un tabel mental

Ține minte formularea prietenoasă: „Ox → $y=0$; Oy → $x=0$." Multe greșeli la examen vin din inversarea acestor două condiții, așa că repetă-o până devine reflex.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul standard, complet

Se dă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$. Determină punctele de intersecție ale graficului cu axele și trasează dreapta.

Rezolvare.

Intersecția cu $Oy$ (punem $x=0$): $$f(0)=3\cdot 0-6=-6.$$ Deci graficul taie axa $Oy$ în $A(0,-6)$.

Intersecția cu $Ox$ (punem $f(x)=0$): $$3x-6=0\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2.$$ Deci graficul taie axa $Ox$ în $B(2,0)$.

Trasare: marcăm $A(0,-6)$ pe verticală și $B(2,0)$ pe orizontală, apoi unim cu rigla.

Verificare (al treilea punct, $x=1$): $f(1)=3\cdot 1-6=-3$, deci $(1,-3)$ trebuie să fie pe dreaptă — și este, cade între $A$ și $B$. Corect.

Exemplul 2 — Coeficient negativ, cu fracție

Se dă $g(x)=-2x+5$. Află intersecțiile cu axele.

Rezolvare.

Cu $Oy$: $g(0)=-2\cdot 0+5=5$, deci $A(0,5)$.

Cu $Ox$: $-2x+5=0\Rightarrow -2x=-5\Rightarrow x=\frac{-5}{-2}=\frac{5}{2}$. Deci $B\left(\frac{5}{2},0\right)$, adică $B(2,5;0)$.

Observă cum semnele s-au simplificat: minus împărțit la minus dă plus. Punctul cade la $2,5$ pe axa $Ox$.

Exemplul 3 — Dreaptă prin origine ($b=0$)

Se dă $h(x)=-\frac{3}{4}x$. Determină intersecțiile cu axele și explică ce observi.

Rezolvare.

Aici $b=0$.

Cu $Oy$: $h(0)=-\frac{3}{4}\cdot 0=0$, deci $(0,0)$.

Cu $Ox$: $-\frac{3}{4}x=0\Rightarrow x=0$, deci tot $(0,0)$.

Concluzie: ambele intersecții coincid în originea $O(0,0)$. Dreapta trece prin origine. Pentru a o trasa, alegem un al doilea punct, de pildă $x=4$: $$h(4)=-\frac{3}{4}\cdot 4=-3,$$ deci punctul $(4,-3)$. Unim $O(0,0)$ cu $(4,-3)$.

Exemplul 4 — Funcție constantă ($a=0$)

Se dă $u(x)=4$. Ce puncte de intersecție cu axele are graficul?

Rezolvare.

Aici $a=0$ și $b=4$; funcția este constantă.

Cu $Oy$: $u(0)=4$, deci $A(0,4)$.

Cu $Ox$: ecuația $u(x)=0$ devine $4=0$, ceea ce este fals. Nu există niciun $x$ pentru care funcția să se anuleze, deci graficul nu intersectează axa $Ox$.

Concluzie: graficul este o dreaptă orizontală, paralelă cu $Ox$, la înălțimea $y=4$; taie doar axa $Oy$ în $(0,4)$.

Exemplul 5 — Item tip Evaluare Națională (determinare din condiții)

Fie funcția $f(x)=ax+b$. Se știe că graficul taie axa $Oy$ în punctul $(0,-2)$ și axa $Ox$ în punctul $(3,0)$. Determină $a$ și $b$, apoi scrie funcția.

Rezolvare.

Din intersecția cu $Oy$: punctul $(0,b)=(0,-2)$, deci $\boxed{b=-2}$.

Din intersecția cu $Ox$: punctul $(3,0)$ este pe grafic, deci $f(3)=0$: $$a\cdot 3+b=0\Rightarrow 3a+(-2)=0\Rightarrow 3a=2\Rightarrow a=\frac{2}{3}.$$

Prin urmare $f(x)=\frac{2}{3}x-2$.

Verificare: $f(0)=-2$ ✓ și $f(3)=\frac{2}{3}\cdot 3-2=2-2=0$ ✓. Corect.

Exemplul 6 — Cu fracție în formulă și interpretare

Se dă $f(x)=\frac{1}{2}x+3$. Determină intersecțiile cu axele, apoi calculează aria triunghiului format de dreaptă cu cele două axe.

Rezolvare.

Cu $Oy$: $f(0)=3$, deci $A(0,3)$.

Cu $Ox$: $\frac{1}{2}x+3=0\Rightarrow \frac{1}{2}x=-3\Rightarrow x=-6$, deci $B(-6,0)$.

Triunghiul se formează între originea $O$, punctul $A$ de pe $Oy$ și punctul $B$ de pe $Ox$. Este dreptunghic în $O$ (axele sunt perpendiculare). Catetele au lungimile egale cu distanțele de la origine la puncte:

• pe $Oy$: $OA=|3|=3$;
• pe $Ox$: $OB=|-6|=6$.

$${\mathcal{A}}_{△OAB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 6}{2}=9\text{ unita˘ți pa˘trate}.$$

Să exersăm

Rezolvă în ordine; primele sunt de încălzire, ultimele sunt la nivel de examen. Notează întotdeauna punctele sub forma $(x,y)$.

1. Determină intersecția cu axa $Oy$ pentru $f(x)=5x+7$.

2. Determină intersecția cu axa $Oy$ pentru $g(x)=-3x-8$.

3. Rezolvă ecuația $2x-10=0$ și scrie punctul de intersecție cu axa $Ox$ al graficului lui $f(x)=2x-10$.

4. Determină intersecția cu axa $Ox$ pentru $f(x)=-x+4$.

5. Pentru $f(x)=4x-12$, determină ambele puncte de intersecție cu axele.

6. Pentru $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$, determină ambele puncte de intersecție cu axele.

7. Găsește intersecțiile cu axele pentru $h(x)=6x$ și explică ce observi.

8. Găsește intersecțiile cu axele pentru $u(x)=-7$ (funcție constantă).

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „Graficul funcției $f(x)=3x+3$ taie axa $Oy$ în punctul $(0,3)$."

10. Adevărat sau fals, cu justificare: „Punctul $(0,5)$ se află pe axa $Ox$."

11. Fie $f(x)=ax+b$. Știind că graficul taie $Oy$ în $(0,4)$ și $Ox$ în $(2,0)$, determină $a$ și $b$.

12. Verifică prin calcul dacă graficul funcției $f(x)=-2x+6$ trece prin punctul $(3,0)$. Ce reprezintă acest punct?

13. Determină intersecțiile cu axele pentru $f(x)=0,5x-1,5$.

14. Calculează aria triunghiului format de graficul funcției $f(x)=2x+4$ cu axele de coordonate.

15. (tip Evaluare Națională) Fie $f(x)=(m-1)x+6$, cu $m\ne 1$. Determină valoarea lui $m$ pentru care graficul taie axa $Ox$ în punctul $(-3,0)$.

16. (tip Evaluare Națională) Graficul funcției $f(x)=ax-8$ intersectează axa $Ox$ în punctul de abscisă $4$. Determină $a$ și apoi intersecția graficului cu axa $Oy$.

17. Fie funcțiile $f(x)=x-2$ și $g(x)=-x+4$. Determină intersecția fiecăreia cu axa $Ox$ și verifică dacă cele două grafice taie axa $Ox$ în același punct.

18. (sinteză) Fie $f(x)=3x-9$. a) Determină intersecțiile cu axele. b) Trasează dreapta. c) Calculează aria triunghiului format cu axele. d) Verifică dacă punctul $(2,-3)$ aparține graficului.

Răspunsuri și explicații

1. $x=0\Rightarrow f(0)=7$. Punctul este $(0,7)$. (Se citește direct $b=7$.)

2. $g(0)=-8$. Punctul este $(0,-8)$.

3. $2x-10=0\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$. Punctul cu $Ox$ este $(5,0)$.

4. $-x+4=0\Rightarrow -x=-4\Rightarrow x=4$. Punctul este $(4,0)$.

5. Cu $Oy$: $f(0)=-12\Rightarrow (0,-12)$. Cu $Ox$: $4x-12=0\Rightarrow x=3\Rightarrow (3,0)$.

6. Cu $Oy$: $g(0)=2\Rightarrow (0,2)$. Cu $Ox$: $-\frac{1}{3}x+2=0\Rightarrow \frac{1}{3}x=2\Rightarrow x=6\Rightarrow (6,0)$.

7. Cu $Oy$: $h(0)=0\Rightarrow (0,0)$. Cu $Ox$: $6x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$. Ambele coincid: dreapta trece prin origine (fiindcă $b=0$).

8. Cu $Oy$: $(0,-7)$. Cu $Ox$: ecuația $-7=0$ este falsă, deci nu taie axa $Ox$ (dreaptă orizontală, paralelă cu $Ox$).

9. Adevărat. Verificăm prin calcul: $f(0)=3\cdot 0+3=3$, deci graficul taie axa $Oy$ în $(0,3)$. (Capcană: aici $a=3$ și $b=3$ sunt întâmplător egali; ordonata la origine este mereu $b$, nu $a$ — dar în acest caz ambii dau $3$.)

10. Fals. Punctul $(0,5)$ are abscisa $0$, deci se află pe axa $Oy$ (nu pe $Ox$). Pe axa $Ox$ se află punctele de forma $(\text{ceva},0)$, cu ordonata $0$.

11. Din $Oy$: $b=4$. Din $Ox$: $f(2)=0\Rightarrow 2a+4=0\Rightarrow a=-2$. Deci $f(x)=-2x+4$.

12. $f(3)=-2\cdot 3+6=-6+6=0$. Da, graficul trece prin $(3,0)$; acesta este chiar punctul de intersecție cu axa $Ox$ (zeroul funcției).

13. Cu $Oy$: $f(0)=-1,5\Rightarrow (0;-1,5)$. Cu $Ox$: $0,5x-1,5=0\Rightarrow 0,5x=1,5\Rightarrow x=3\Rightarrow (3,0)$.

14. Cu $Oy$: $(0,4)$, deci cateta $OA=4$. Cu $Ox$: $2x+4=0\Rightarrow x=-2$, deci $(-2,0)$ și cateta $OB=|-2|=2$. Aria $=\frac{4\cdot 2}{2}=4$ unități pătrate.

15. Punctul $(-3,0)$ este pe grafic $\Rightarrow f(-3)=0$: $(m-1)\cdot (-3)+6=0\Rightarrow -3(m-1)=-6\Rightarrow m-1=2\Rightarrow m=3$.

16. Abscisa $4$ pe $Ox$ înseamnă $f(4)=0$: $a\cdot 4-8=0\Rightarrow 4a=8\Rightarrow a=2$. Funcția este $f(x)=2x-8$; intersecția cu $Oy$: $f(0)=-8\Rightarrow (0,-8)$.

17. Pentru $f$: $x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow (2,0)$. Pentru $g$: $-x+4=0\Rightarrow x=4\Rightarrow (4,0)$. Punctele sunt diferite ($2\ne 4$), deci cele două grafice nu taie axa $Ox$ în același punct.

18. a) Cu $Oy$: $f(0)=-9\Rightarrow (0,-9)$; cu $Ox$: $3x-9=0\Rightarrow x=3\Rightarrow (3,0)$. b) Se unește $(0,-9)$ cu $(3,0)$. c) Catetele $OA=9$ și $OB=3$, aria $=\frac{9\cdot 3}{2}=13,5$ unități pătrate. d) $f(2)=3\cdot 2-9=-3$, deci $(2,-3)$ aparține graficului.

De reținut

• Intersecția cu axa $Oy$: pui $x=0$ și obții punctul $(0,b)$; coordonata este chiar termenul liber $b$ (ordonata la origine).
• Intersecția cu axa $Ox$: pui $y=0$, adică rezolvi ecuația $ax+b=0$, și obții punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$; abscisa este zeroul funcției.
• Trasare rapidă: două puncte determină o dreaptă — folosește exact intersecțiile cu axele și unește-le cu rigla.
• Cazuri particulare: dacă $b=0$, dreapta trece prin origine (cele două intersecții coincid); dacă $a=0$, dreapta este orizontală și taie doar $Oy$ în $(0,b)$.
• Formula prietenoasă: „Ox → $y=0$; Oy → $x=0$."

Greșeli frecvente

• Inversarea condițiilor. Mulți elevi pun $x=0$ pentru $Ox$ sau $y=0$ pentru $Oy$. Corect este invers: la axa $Ox$ ordonata e zero ($y=0$), la axa $Oy$ abscisa e zero ($x=0$). Repetă formula-cheie până devine automat.
• Confundarea lui $a$ cu $b$. Intersecția cu $Oy$ este $b$, nu $a$. La $f(x)=3x+5$, punctul cu $Oy$ este $(0,5)$, nu $(0,3)$. Verifică mereu calculând $f(0)$.
• Greșeli de semn la $ax+b=0$. Când muți $b$ în dreapta, îi schimbi semnul; la împărțire ai grijă la minus împărțit la minus (dă plus). Recomandat: rezolvă ecuația pas cu pas, nu înlocui direct în $-\frac{b}{a}$.
• Uitarea cazului $a=0$. Dacă funcția este constantă ($f(x)=b$ cu $b\ne 0$), graficul nu intersectează axa $Ox$. Nu forța o soluție acolo unde ecuația $b=0$ este falsă.

Aplică acasă

• Rampa de acces. Măsoară o rampă reală (de la magazin, parcare sau intrare) și modeleaz-o ca o dreaptă $f(x)=ax+b$, unde $x$ este distanța orizontală și $f(x)$ înălțimea. Punctul de pornire (unde $x=0$) îți dă intersecția cu $Oy$, iar locul unde rampa atinge solul ($f(x)=0$) îți dă intersecția cu $Ox$. Compară valorile măsurate cu cele calculate.
• Factura de energie. Multe facturi au un cost fix lunar plus un cost pe unitate consumată: $C(x)=ax+b$, unde $b$ este taxa fixă. Aici $b$ este exact intersecția cu $Oy$ (costul când consumul este $0$). Desenează graficul și interpretează ce ar însemna, teoretic, o intersecție cu $Ox$.
• Provocare de desen. Alege trei funcții liniare la întâmplare, găsește intersecțiile cu axele fără tabel și trasează-le pe aceeași foaie cu culori diferite. Verifică fiecare dreaptă cu un al treilea punct.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la calcul algebric la reprezentare grafică, o competență-cheie evaluată constant la Evaluarea Națională. Pentru a sprijini elevul, cereți-i să explice cu voce tare metoda: „ce pui zero ca să afli intersecția cu $Ox$?" — răspunsul corect ($y=0$) arată că a înțeles, nu doar a memorat. Verificați dacă poate face traseul complet: citește $b$, rezolvă $ax+b=0$, marchează cele două puncte și trage dreapta.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă geometric numărul $b$?"; „De ce o dreaptă prin origine are o singură intersecție cu axele?"; „Poate o funcție liniară să nu taie deloc axa $Ox$?" (da — funcția constantă nenulă). La examen, acest conținut apare fie ca subpunct explicit („determinați intersecțiile graficului cu axele"), fie implicit, ca pas necesar pentru trasarea graficului sau pentru calculul ariei triunghiului format cu axele. Redactarea corectă — scrierea punctelor sub forma $(x,y)$ și justificarea pas cu pas — aduce puncte importante pe barem.

Întrebări frecvente

Cum aflu intersecția graficului cu axa Ox la clasa a 8-a? Pui condiția $y=0$, adică rezolvi ecuația $ax+b=0$. Soluția $x=-\frac{b}{a}$ îți dă abscisa, iar punctul de intersecție cu axa $Ox$ este $\left(-\frac{b}{a},0\right)$.

Cum aflu intersecția cu axa Oy? Pui $x=0$ în formula funcției și calculezi $f(0)=b$. Punctul de intersecție cu axa $Oy$ este $(0,b)$, adică exact termenul liber al funcției.

Ce înseamnă $ax+b=0$ în acest context? Este ecuația pe care o rezolvi pentru a găsi unde graficul taie axa $Ox$. Valoarea lui $x$ care o satisface se numește zeroul funcției și reprezintă abscisa punctului de intersecție cu $Ox$.

De ce sunt suficiente două puncte ca să trasez dreapta? Pentru că prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, iar graficul funcției liniare este chiar o dreaptă. Intersecțiile cu axele îți oferă comod aceste două puncte, cu calcule minime.

Ce se întâmplă dacă $b=0$? Funcția devine $f(x)=ax$ și graficul trece prin originea $(0,0)$. Cele două intersecții cu axele coincid în origine, așa că pentru trasare mai alegi un al doilea punct dând o valoare oarecare lui $x$.

Poate graficul unei funcții liniare să nu taie axa Ox? Da, dacă funcția este constantă, adică $a=0$ și $b\ne 0$. Atunci graficul este o dreaptă orizontală paralelă cu axa $Ox$ și nu o intersectează niciodată; taie doar axa $Oy$ în $(0,b)$.

Care e diferența dintre intersecția cu $Ox$ și intersecția cu $Oy$? La intersecția cu $Ox$ ordonata este zero (punct de forma $(\text{ceva},0)$), iar la intersecția cu $Oy$ abscisa este zero (punct de forma $(0,\text{ceva})$). Reține: „Ox → $y=0$; Oy → $x=0$."

Cum calculez aria triunghiului format de dreaptă cu axele? Găsești intersecțiile cu axele, iar lungimile catetelor sunt distanțele de la origine la aceste puncte (valorile absolute ale coordonatelor nenule). Aria este $\frac{{\text{cateta}}_1\cdot {\text{cateta}}_2}{2}$, deoarece triunghiul este dreptunghic în origine.