Interpretarea geometrică: panta a și ordonata la origine b

Ai urcat vreodată pe o pârtie de schi sau pe o rampă pentru biciclete? Unele sunt line, altele abrupte — și de fiecare dată creierul tău „citește” cât de repede urcă terenul. Exact acest lucru îl măsoară panta unei drepte în matematică: cât de repede urcă sau coboară graficul funcției liniare $f (x) = a x + b$ . Iar numărul $b$ îți spune de unde pornește dreapta pe axa verticală, adică ordonata la origine. În lecția aceasta vei învăța să „citești” o dreaptă doar din cele două numere $a$ și $b$ — o abilitate foarte utilă la Evaluarea Națională, unde interpretarea graficelor de funcție liniară apare frecvent.

Am vorbit deja despre ce este funcția liniară în lecția Funcția liniară f(x) = ax + b: definiție și formă generală și despre faptul că graficul ei este o dreaptă, în Reprezentarea grafică a funcției liniare. Acum dăm sens geometric celor doi coeficienți.

Ce vei învăța

Vei ști să interpretezi geometric panta $a$ (coeficientul unghiular): sensul și „înclinarea” dreptei.
Vei ști să stabilești rapid, după semnul pantei, dacă o funcție liniară este crescătoare, descrescătoare sau constantă.
Vei ști să interpretezi ordonata la origine $b$ ca punctul în care dreapta taie axa $O y$ .
Vei ști să recunoști drepte paralele după valoarea pantei și să compari două drepte.
Vei ști cum se schimbă poziția dreptei când modifici pe $a$ sau pe $b$ .

Hai să descoperim împreună

1. Cine sunt $a$ și $b$ în $f (x) = a x + b$

O funcție liniară are forma $f (x) = a x + b,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe, iar $x$ este variabila. Cei doi coeficienți au nume și roluri geometrice bine definite:

$a$ se numește pantă (sau coeficient unghiular). El controlează cât de „înclinată” este dreapta și în ce sens merge.
$b$ se numește ordonata la origine (sau termen liber). El îți spune unde taie dreapta axa verticală $O y$ .

Prima deprindere pe care trebuie să o ai este să identifici corect $a$ și $b$ dintr-o formulă. Le citești ca la ecuația unei drepte: coeficientul lui $x$ este $a$ , iar numărul singur (fără $x$ ) este $b$ .

Funcția	Panta $a$	Ordonata la origine $b$
$f (x) = 2 x + 3$	$a = 2$	$b = 3$
$f (x) = - x + 5$	$a = - 1$	$b = 5$
$f (x) = \frac{1}{2} x - 4$	$a = \frac{1}{2}$	$b = - 4$
$f (x) = 3 x$	$a = 3$	$b = 0$
$f (x) = 7$	$a = 0$	$b = 7$

Atenție la câteva capcane frecvente:

La $f (x) = - x + 5$ , panta este $a = - 1$ , nu doar „ $-$ ”. Când $x$ apare fără număr în față, coeficientul este $1$ sau $- 1$ .
La $f (x) = 3 x$ lipsește termenul liber, deci $b = 0$ : dreapta trece prin origine.
La $f (x) = 7$ nu apare deloc $x$ , deci $a = 0$ : avem o funcție constantă.

2. Ce înseamnă geometric panta $a$

Panta măsoară cu cât se schimbă $y$ atunci când $x$ crește cu o unitate. Hai să vedem asta pe $f (x) = 2 x + 3$ , calculând câteva valori:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$3$	$5$	$7$	$9$

Observă: de fiecare dată când $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ crește cu $2$ . Acest „ $+ 2$ ” la fiecare pas este chiar panta $a = 2$ . De aceea spunem că panta este rata de variație a funcției: cât urcă graficul la un pas orizontal.

Panta se poate scrie ca un raport între „cât urci” și „cât mergi la dreapta”: $a = \frac{varia ț ia lui y}{varia ț ia lui x} .$

Dacă alegi două puncte de pe dreaptă, $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , atunci $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} .$

De exemplu, pentru dreapta de mai sus luăm $A (1, 5)$ și $B (3, 9)$ : $a = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2.$ Regăsim panta $a = 2$ , indiferent de perechea de puncte aleasă — o proprietate frumoasă a dreptei: are aceeași pantă peste tot.

3. Semnul pantei: crescătoare, descrescătoare sau orizontală

Semnul lui $a$ îți spune imediat în ce sens „merge” dreapta când citești graficul de la stânga la dreapta.

Cazul $a > 0$ — funcție crescătoare. Dacă $x$ crește, atunci $y$ crește. Dreapta urcă de la stânga la dreapta. Exemplu: $f (x) = 3 x - 1$ (panta $3 > 0$ ).

Cazul $a < 0$ — funcție descrescătoare. Dacă $x$ crește, atunci $y$ scade. Dreapta coboară de la stânga la dreapta. Exemplu: $f (x) = - 2 x + 4$ (panta $- 2 < 0$ ). Verifică pe un tabel:

$x$	$0$	$1$	$2$
$- 2 x + 4$	$4$	$2$	$0$

La fiecare pas, valoarea scade cu $2$ — coborâm.

Cazul $a = 0$ — funcție constantă. Formula devine $f (x) = b$ , aceeași valoare pentru orice $x$ . Dreapta este orizontală, paralelă cu axa $O x$ . Exemplu: $f (x) = 3$ este o dreaptă orizontală la înălțimea $3$ .

Iată o regulă de aur pentru examen: semnul pantei decide monotonia.

Semnul lui $a$	Comportarea dreptei	Funcția este
$a > 0$	urcă (de la stânga la dreapta)	crescătoare
$a < 0$	coboară	descrescătoare
$a = 0$	orizontală	constantă

4. Cât de abruptă este dreapta: mărimea pantei

Nu doar semnul contează, ci și cât de mare este $a$ în valoare absolută. Cu cât $∣ a ∣$ este mai mare, cu atât dreapta este mai abruptă (mai „verticală”). Cu cât $∣ a ∣$ este mai mic (mai aproape de $0$ ), cu atât dreapta este mai lină (mai apropiată de orizontală).

Compară trei drepte care trec prin același punct de pe $O y$ :

$f (x) = \frac{1}{2} x$ — pantă mică, urcă lin;
$g (x) = x$ — pantă medie;
$h (x) = 3 x$ — pantă mare, urcă abrupt.

Toate urcă (au $a > 0$ ), dar $h$ urcă cel mai repede, pentru că la fiecare pas orizontal sare cu $3$ , în timp ce $f$ sare doar cu $0, 5$ .

Gândește-te la panta din realitate: un drum cu panta „mare” urcă abrupt, unul cu panta „mică” urcă lin. Exact aceeași idee. (De aceea pe indicatoarele rutiere vezi „pantă 10%” — este o pantă în sensul matematic.)

5. Ce înseamnă geometric ordonata la origine $b$

Al doilea coeficient, $b$ , se numește ordonata la origine pentru că este ordonata (valoarea pe $O y$ ) a punctului în care dreapta taie axa verticală. Acel punct de intersecție cu $O y$ are întotdeauna abscisa $0$ (este pe axa $O y$ ), deci coordonatele lui sunt $(0, b),$ fiindcă $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

Cu alte cuvinte, $b$ îți spune de la ce înălțime „pornește” dreapta atunci când $x = 0$ . Am detaliat cum se găsesc punctele de intersecție cu axele în lecția Punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy; aici reținem doar ideea rapidă: tăierea cu $O y$ este la înălțimea $b$ .

Câteva exemple:

$f (x) = 2 x + 3$ taie $O y$ în $(0, 3)$ ;
$f (x) = - x + 5$ taie $O y$ în $(0, 5)$ ;
$f (x) = 4 x - 6$ taie $O y$ în $(0, - 6)$ (sub axa $O x$ );
$f (x) = 3 x$ taie $O y$ în $(0, 0)$ , adică trece prin origine (fiindcă $b = 0$ ).

6. Ce se întâmplă când modifici pe $b$ : translația verticală

Să ne uităm la ce face $b$ asupra poziției dreptei, ținând panta fixă. Comparăm:

$f (x) = 2 x + 1$ (taie $O y$ în $(0, 1)$ ),
$g (x) = 2 x + 4$ (taie $O y$ în $(0, 4)$ ).

Ambele au aceeași pantă $a = 2$ , deci sunt la fel de înclinate. Singura diferență: $g$ taie $O y$ mai sus cu $3$ unități. Practic, graficul lui $g$ este graficul lui $f$ ridicat cu $3$ unități pe verticală (o translație verticală).

Regulă utilă: modificarea lui $b$ mută dreapta în sus (dacă $b$ crește) sau în jos (dacă $b$ scade), fără să-i schimbe înclinarea.

7. Ce se întâmplă când modifici pe $a$ : se schimbă înclinarea

Acum ținem $b$ fix și schimbăm panta. Comparăm:

$f (x) = x + 2$ (pantă $1$ ),
$h (x) = 3 x + 2$ (pantă $3$ ).

Ambele au același $b = 2$ , deci trec prin același punct $(0, 2)$ de pe $O y$ . Dar $h$ este mai abruptă, pentru că panta ei este mai mare. Cele două drepte se „rotesc” în jurul punctului comun $(0, 2)$ .

Regulă: modificarea lui $a$ schimbă înclinarea (și eventual sensul) dreptei; dacă $b$ rămâne același, toate dreptele se rotesc în jurul aceluiași punct de pe $O y$ .

8. Drepte paralele: aceeași pantă

Iată o proprietate cheie, foarte des cerută la Evaluarea Națională:

Două drepte de forma $y = a x + b$ sunt paralele dacă și numai dacă au aceeași pantă $a$ (și ordonate la origine diferite).

Are perfect sens: dacă două drepte urcă exact în același ritm (aceeași pantă), ele „merg în aceeași direcție” și nu se întâlnesc niciodată — deci sunt paralele. Dacă, în plus, ar avea și același $b$ , ele ar coincide (ar fi una și aceeași dreaptă).

Exemple:

$f (x) = 3 x - 2$ și $g (x) = 3 x + 4$ sunt paralele, pentru că au aceeași pantă $3$ , dar $b$ diferit ( $- 2 \neq = 4$ ).
$f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = - 2 x + 1$ nu sunt paralele: au aceeași ordonată la origine $b = 1$ (se intersectează în $(0, 1)$ ), dar pante diferite ( $2 \neq = - 2$ ).

Dacă două drepte au pante diferite, ele nu sunt paralele — se vor intersecta undeva într-un singur punct.

9. Cum determini panta și $b$ din două puncte

Uneori nu ai formula, ci doar două puncte prin care trece dreapta. Poți reconstitui funcția în doi pași:

Afli panta cu formula $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Afli $b$ înlocuind coordonatele unui punct în $y = a x + b$ .

Exemplu: dreapta trece prin $A (1, 5)$ și $B (3, 11)$ .

Panta: $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
Ordonata la origine: din $A (1, 5)$ , $5 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2$ .
Deci $f (x) = 3 x + 2$ . Verificare cu $B$ : $f (3) = 3 \cdot 3 + 2 = 11$ . ✓

Vom aprofunda acest tip de reconstituire în lecția următoare, Lecturi grafice și determinarea funcției din condiții date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identifică $a$ și $b$ și stabilește monotonia

Pentru fiecare funcție, precizează panta, ordonata la origine și dacă este crescătoare sau descrescătoare: $f (x) = 5 x - 2, g (x) = - \frac{3}{4} x + 1, h (x) = - 6.$

Rezolvare.

$f$ : $a = 5$ , $b = - 2$ . Cum $a = 5 > 0$ , funcția este crescătoare. Taie $O y$ în $(0, - 2)$ .
$g$ : $a = - \frac{3}{4}$ , $b = 1$ . Cum $a < 0$ , funcția este descrescătoare. Taie $O y$ în $(0, 1)$ .
$h$ : $h (x) = - 6$ înseamnă $a = 0$ , $b = - 6$ . Funcția este constantă; graficul este o dreaptă orizontală prin $(0, - 6)$ .

Exemplul 2 — Interpretarea pantei ca rată de variație

Fie $f (x) = - 3 x + 10$ . Cu cât se schimbă $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ ? Dar când $x$ crește cu $4$ ?

Rezolvare. Panta este $a = - 3$ , deci la fiecare creștere a lui $x$ cu $1$ , valoarea $f (x)$ scade cu $3$ (semnul minus înseamnă coborâre). Când $x$ crește cu $4$ , variația este de $4$ ori mai mare: $4 \cdot (- 3) = - 12$ , deci $f (x)$ scade cu $12$ .

Verificare: $f (0) = 10$ , $f (4) = - 3 \cdot 4 + 10 = - 12 + 10 = - 2$ . Într-adevăr, de la $10$ la $- 2$ scăderea este de $12$ . ✓

Exemplul 3 — Recunoașterea dreptelor paralele

Care dintre dreptele următoare sunt paralele? $d_{1} : y = 2 x + 5, d_{2} : y = - 2 x + 5, d_{3} : y = 2 x - 3, d_{4} : y = \frac{1}{2} x + 5.$

Rezolvare. Comparăm pantele: $d_{1}$ are $a = 2$ , $d_{2}$ are $a = - 2$ , $d_{3}$ are $a = 2$ , $d_{4}$ are $a = \frac{1}{2}$ .

Aceeași pantă au doar $d_{1}$ și $d_{3}$ (ambele $a = 2$ ), iar ordonatele lor la origine sunt diferite ( $5 \neq = - 3$ ). Deci $d_{1} ∥ d_{3}$ . Celelalte au pante diferite, deci nu sunt paralele cu nimic din listă. (Observă că $d_{1}$ , $d_{2}$ și $d_{4}$ au același $b = 5$ : se intersectează toate trei în punctul $(0, 5)$ , dar nu sunt paralele.)

Exemplul 4 — Determinarea funcției din două puncte

Graficul unei funcții liniare trece prin punctele $M (- 1, 7)$ și $N (2, - 2)$ . Află formula funcției, apoi precizează dacă este crescătoare sau descrescătoare.

Rezolvare. Panta: $a = \frac{- 2 - 7}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 9}{3} = - 3.$ Ordonata la origine, din $M (- 1, 7)$ : $7 = - 3 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 7 = 3 + b \Rightarrow b = 4.$ Deci $f (x) = - 3 x + 4$ . Cum $a = - 3 < 0$ , funcția este descrescătoare. Verificare cu $N$ : $f (2) = - 3 \cdot 2 + 4 = - 6 + 4 = - 2$ . ✓ Taie $O y$ în $(0, 4)$ .

Exemplul 5 — Efectul modificării lui $a$ și $b$

Pornim de la $f (x) = x + 2$ . Descrie geometric cum se schimbă dreapta dacă: a) trecem la $g (x) = x + 5$ ; b) trecem la $h (x) = 4 x + 2$ .

Rezolvare. a) $g$ are aceeași pantă ca $f$ ( $a = 1$ ), dar $b$ crește de la $2$ la $5$ . Dreapta lui $g$ este dreapta lui $f$ ridicată cu $3$ unități pe verticală; cele două drepte sunt paralele. b) $h$ are același $b = 2$ ca $f$ , deci trece prin același punct $(0, 2)$ , dar panta crește de la $1$ la $4$ . Dreapta lui $h$ este mai abruptă și se rotește în jurul punctului $(0, 2)$ , urcând mai repede.

Exemplul 6 — Item tip Evaluarea Națională (adevărat/fals cu justificare)

Stabilește dacă afirmațiile sunt adevărate sau false, justificând: a) Funcția $f (x) = - x + 8$ este crescătoare. b) Dreptele $y = \frac{2}{3} x - 1$ și $y = \frac{2}{3} x + 4$ sunt paralele. c) Graficul funcției $f (x) = 5 x - 7$ taie axa $O y$ în punctul $(0, 5)$ .

Rezolvare. a) Fals. Panta este $a = - 1 < 0$ , deci funcția este descrescătoare, nu crescătoare. b) Adevărat. Ambele au aceeași pantă $a = \frac{2}{3}$ , iar ordonatele la origine diferă ( $- 1 \neq = 4$ ), deci dreptele sunt paralele. c) Fals. Ordonata la origine este $b = - 7$ , nu $5$ , deci graficul taie $O y$ în $(0, - 7)$ . (Numărul $5$ este panta, nu $b$ .)

Să exersăm

1. Pentru fiecare funcție, scrie panta $a$ și ordonata la origine $b$ : a) $f (x) = 4 x + 9$ ; b) $f (x) = - x - 3$ ; c) $f (x) = \frac{2}{5} x$ ; d) $f (x) = - 8$ .

2. Precizează dacă fiecare funcție este crescătoare, descrescătoare sau constantă: a) $f (x) = 7 x + 1$ ; b) $f (x) = - \frac{1}{2} x + 6$ ; c) $f (x) = 12$ ; d) $f (x) = - 10 x$ .

3. În ce punct taie axa $O y$ graficul fiecărei funcții? a) $f (x) = 3 x - 5$ ; b) $f (x) = - 2 x + 7$ ; c) $f (x) = 6 x$ .

4. Funcția $f (x) = 4 x - 1$ . Cu cât se modifică $f (x)$ atunci când $x$ crește cu $1$ ? Dar când $x$ crește cu $5$ ?

5. Ordonează, de la cea mai lină la cea mai abruptă, dreptele: $y = 2 x, y = 5 x, y = \frac{1}{3} x, y = x .$

6. Care dintre următoarele drepte sunt paralele între ele? $d_{1} : y = 3 x - 1, d_{2} : y = - 3 x + 2, d_{3} : y = 3 x + 6, d_{4} : y = 2 x - 1.$

7. Adevărat sau fals (justifică): a) Dacă $a > 0$ , funcția liniară este crescătoare. b) Ordonata la origine a funcției $f (x) = - 4 x + 9$ este $- 4$ . c) Două drepte cu aceeași ordonată la origine sunt întotdeauna paralele.

8. Determină panta dreptei care trece prin punctele $A (2, 3)$ și $B (6, 11)$ .

9. Graficul unei funcții liniare trece prin $P (0, - 4)$ și are panta $a = 2$ . Scrie formula funcției.

10. O funcție liniară are $f (0) = 5$ și $f (1) = 8$ . Află panta, ordonata la origine și formula funcției.

11. Fie $f (x) = - 2 x + 3$ și $g (x) = - 2 x - 5$ . Sunt graficele lor paralele? Justifică. Prin ce puncte taie fiecare axa $O y$ ?

12. Se dă $f (x) = x - 1$ . Descrie geometric ce se întâmplă cu dreapta dacă: a) trecem la $g (x) = x + 4$ ; b) trecem la $h (x) = - 3 x - 1$ .

13. Graficul funcției liniare trece prin $A (1, 2)$ și $B (4, - 7)$ . Determină formula funcției și stabilește dacă este crescătoare sau descrescătoare.

14. Găsește valoarea lui $m$ pentru care dreptele $y = (m - 1) x + 3$ și $y = 5 x - 2$ sunt paralele.

15. (Aplicație — abonament) Costul lunar al unui abonament de internet este dat de $C (x) = 3 x + 40$ (lei), unde $x$ este numărul de gigabytes suplimentari consumați. Ce reprezintă, în context, panta $3$ și ordonata la origine $40$ ? Cât plătești dacă nu consumi trafic suplimentar?

16. (Item tip Evaluarea Națională) Funcția liniară $f$ are graficul o dreaptă care taie axa $O y$ în $(0, 6)$ și este descrescătoare, scăzând cu $2$ unități la fiecare creștere cu $1$ a lui $x$ . Scrie formula lui $f$ și calculează $f (3)$ .

17. Se știe că $f (x) = a x + b$ , $f (2) = 1$ și $f (5) = 10$ . Determină $a$ și $b$ , apoi precizează în ce punct taie graficul axa $O y$ .

18. (Raționament) Dreptele $y = 2 x + b$ și $y = 2 x - 3$ coincid (sunt aceeași dreaptă). Ce valoare are $b$ ? Explică de ce, dacă $b$ ar fi diferit de această valoare, dreptele ar fi doar paralele, nu identice.

Răspunsuri și explicații

1. a) $a = 4$ , $b = 9$ ; b) $a = - 1$ , $b = - 3$ ; c) $a = \frac{2}{5}$ , $b = 0$ ; d) $a = 0$ , $b = - 8$ .

2. a) crescătoare ( $a = 7 > 0$ ); b) descrescătoare ( $a = - \frac{1}{2} < 0$ ); c) constantă ( $a = 0$ ); d) descrescătoare ( $a = - 10 < 0$ ).

3. Tăierea cu $O y$ este în $(0, b)$ : a) $(0, - 5)$ ; b) $(0, 7)$ ; c) $(0, 0)$ (trece prin origine).

4. Panta este $4$ , deci la o creștere cu $1$ a lui $x$ , $f (x)$ crește cu $4$ . La o creștere cu $5$ : $5 \cdot 4 = 20$ , deci crește cu $20$ . (Verificare: $f (0) = - 1$ , $f (5) = 19$ ; diferența $20$ .)

5. Cu cât panta e mai mică, dreapta e mai lină. Ordinea: $y = \frac{1}{3} x$ (cea mai lină), apoi $y = x$ , apoi $y = 2 x$ , apoi $y = 5 x$ (cea mai abruptă).

6. Pantele sunt: $d_{1} \to 3$ , $d_{2} \to - 3$ , $d_{3} \to 3$ , $d_{4} \to 2$ . Aceeași pantă au $d_{1}$ și $d_{3}$ , cu $b$ diferit ( $- 1 \neq = 6$ ), deci $d_{1} ∥ d_{3}$ . Restul nu sunt paralele.

7. a) Adevărat — semnul pozitiv al pantei înseamnă funcție crescătoare. b) Fals — ordonata la origine este $b = 9$ ; $- 4$ este panta. c) Fals — dacă au aceeași ordonată la origine dar pante diferite, ele se intersectează în $(0, b)$ și nu sunt paralele; sunt paralele doar dacă au aceeași pantă.

8. $a = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$ .

9. Punctul $P (0, - 4)$ este chiar tăierea cu $O y$ , deci $b = - 4$ ; panta este $a = 2$ . Formula: $f (x) = 2 x - 4$ .

10. $f (0) = 5$ înseamnă $b = 5$ . Panta: la creșterea lui $x$ de la $0$ la $1$ , $f$ crește de la $5$ la $8$ , deci $a = 8 - 5 = 3$ . Formula: $f (x) = 3 x + 5$ .

11. Da, sunt paralele: aceeași pantă $- 2$ , iar $b$ diferă ( $3 \neq = - 5$ ). $f$ taie $O y$ în $(0, 3)$ , $g$ taie $O y$ în $(0, - 5)$ .

12. a) $g$ are aceeași pantă ( $a = 1$ ), dar $b$ crește de la $- 1$ la $4$ : dreapta se ridică cu $5$ unități, rămânând paralelă cu cea inițială. b) $h$ are același $b = - 1$ (trece prin $(0, - 1)$ ), dar panta trece de la $1$ la $- 3$ : dreapta își schimbă sensul (din crescătoare în descrescătoare) și devine mai abruptă, rotindu-se în jurul punctului $(0, - 1)$ .

13. $a = \frac{- 7 - 2}{4 - 1} = \frac{- 9}{3} = - 3$ . Din $A (1, 2)$ : $2 = - 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 5$ . Deci $f (x) = - 3 x + 5$ , descrescătoare ( $a < 0$ ). Verificare $B$ : $f (4) = - 12 + 5 = - 7$ . ✓

14. Paralele înseamnă aceeași pantă: $m - 1 = 5 \Rightarrow m = 6$ . (Ordonatele la origine, $3$ și $- 2$ , sunt diferite, deci dreptele chiar sunt paralele, nu identice.)

15. Panta $3$ înseamnă că fiecare gigabyte suplimentar costă $3$ lei în plus (rata de creștere a costului). Ordonata la origine $40$ este costul fix, plătit chiar și pentru $x = 0$ gigabytes suplimentari: $C (0) = 40$ lei. Fără trafic suplimentar plătești $40$ lei.

16. Taie $O y$ în $(0, 6)$ , deci $b = 6$ . „Scade cu $2$ la fiecare creștere cu $1$ ” înseamnă panta $a = - 2$ . Formula: $f (x) = - 2 x + 6$ . Atunci $f (3) = - 2 \cdot 3 + 6 = - 6 + 6 = 0$ .

17. $a = \frac{10 - 1}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$ . Din $f (2) = 1$ : $1 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow 1 = 6 + b \Rightarrow b = - 5$ . Deci $f (x) = 3 x - 5$ ; taie $O y$ în $(0, - 5)$ .

18. Pentru ca dreptele să coincidă, trebuie să aibă și aceeași pantă (au deja, $2 = 2$ ) și același $b$ , deci $b = - 3$ . Dacă $b \neq = - 3$ , ele ar avea aceeași pantă dar tăieri diferite cu $O y$ : ar fi paralele (nu se ating niciodată), fără să coincidă. Două drepte cu aceeași pantă coincid doar când au și același termen liber.

De reținut

În $f (x) = a x + b$ : $a$ este panta (coeficientul unghiular), $b$ este ordonata la origine.
Semnul pantei decide monotonia: $a > 0 \Rightarrow$ crescătoare (urcă), $a < 0 \Rightarrow$ descrescătoare (coboară), $a = 0 \Rightarrow$ constantă (dreaptă orizontală).
Panta este rata de variație: când $x$ crește cu $1$ , $f (x)$ se schimbă cu $a$ . Din două puncte: $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Graficul taie axa $O y$ în $(0, b)$ ; cu cât $∣ a ∣$ este mai mare, cu atât dreapta este mai abruptă.
Două drepte sunt paralele $\Leftrightarrow$ au aceeași pantă $a$ (și $b$ diferit); modificarea lui $b$ translatează dreapta pe verticală, iar modificarea lui $a$ îi schimbă înclinarea.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre $a$ și $b$ . La $f (x) = 5 x - 7$ , mulți spun că taie $O y$ în $5$ . Nu: panta este $5$ , iar ordonata la origine este $b = - 7$ , deci taie $O y$ în $(0, - 7)$ . Reține: numărul lipit de $x$ este panta, numărul singur este $b$ .
Uitarea semnului la pantă. La $f (x) = - x + 3$ panta nu este $1$ , ci $- 1$ ; funcția este descrescătoare. Când $x$ nu are număr în față, coeficientul este $1$ sau $- 1$ , după semn.
Greșeala la formula pantei. Se inversează diferențele: se scade $x$ din $y$ , sau se pun în ordine diferită numărătorul și numitorul. Corect este $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , cu punctele în aceeași ordine la numărător și la numitor.
Paralelism confundat cu aceeași ordonată la origine. Dreptele nu sunt paralele pentru că au același $b$ , ci pentru că au aceeași pantă. Același $b$ înseamnă doar că se taie pe $O y$ în același punct.

Aplică acasă

Panta scărilor sau a rampei. Alege o scară din casă (sau o rampă). Măsoară cât urci pe verticală când înaintezi $1$ metru pe orizontală. Raportul dintre înălțime și distanța orizontală este chiar panta acelei „drepte”. Compară două scări diferite: care are panta mai mare (e mai abruptă)?
Graficul unui cost. Ia un serviciu cu cost fix + cost pe unitate (de exemplu, un abonament de $40$ de lei plus $3$ lei pe fiecare unitate suplimentară). Scrie funcția $C (x) = 3 x + 40$ , apoi trasează dreapta pentru $x$ de la $0$ la $5$ . Identifică pe grafic panta ( $3$ = creșterea pe unitate) și ordonata la origine ( $40$ = costul fix). Vom folosi astfel de modele în lecția Aplicații ale funcției liniare în probleme din viața reală.
Detectiv de drepte paralele. Scrie $5$ funcții liniare la întâmplare și găsește care perechi au grafice paralele, comparând doar pantele. Verifică apoi desenând două dintre ele pe caiet cu pătrățele.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face legătura dintre formula algebrică și imaginea geometrică a unei funcții liniare — o competență centrală la Evaluarea Națională, unde apar frecvent itemi de tipul „precizați panta / ordonata la origine”, „stabiliți dacă funcția este crescătoare”, „arătați că două drepte sunt paralele” sau „determinați funcția din două puncte / dintr-un grafic”.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune elevului:

„În $f (x) = - 4 x + 7$ , care este panta și care este ordonata la origine?” (răspuns: $a = - 4$ , $b = 7$ ).
„Cum îți dai seama, fără să desenezi, dacă o funcție liniară urcă sau coboară?” (după semnul pantei).
„Ce înseamnă că două drepte au aceeași pantă?” (sunt paralele).
„Unde taie graficul axa $O y$ ?” (în punctul $(0, b)$ ).

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: nu confundă panta cu ordonata la origine, explică în cuvinte ce înseamnă panta (rata de variație — „cât urcă la un pas”) și justifică paralelismul prin egalitatea pantelor, nu doar memorează. Dacă apar ezitări, reluați împreună tabelul de valori din secțiunea 2: vederea „+2 la fiecare pas” face panta concretă. Un caiet cu pătrățele și câteva drepte desenate manual consolidează foarte bine intuiția.

Întrebări frecvente

Ce este panta unei funcții liniare la clasa a 8-a? Panta este coeficientul $a$ din formula $f (x) = a x + b$ . Ea arată cât de repede urcă sau coboară dreapta: când $x$ crește cu o unitate, valoarea $f (x)$ se modifică exact cu $a$ . Se mai numește coeficient unghiular.

Ce înseamnă ordonata la origine $b$ ? Ordonata la origine este valoarea $b$ , adică ordonata punctului în care graficul taie axa verticală $O y$ . Acel punct are întotdeauna coordonatele $(0, b)$ , deoarece $f (0) = b$ .

Cum știu dacă o funcție liniară este crescătoare sau descrescătoare? Te uiți doar la semnul pantei $a$ . Dacă $a > 0$ , funcția este crescătoare (dreapta urcă); dacă $a < 0$ , este descrescătoare (dreapta coboară); dacă $a = 0$ , funcția este constantă, iar graficul este o dreaptă orizontală.

Când sunt două drepte paralele? Două drepte de forma $y = a x + b$ sunt paralele atunci când au aceeași pantă $a$ , dar ordonate la origine diferite. Dacă ar avea și aceeași pantă și același $b$ , ar coincide (ar fi aceeași dreaptă).

Ce reprezintă coeficientul unghiular? „Coeficient unghiular” este alt nume pentru pantă, adică pentru numărul $a$ . El măsoară înclinarea dreptei: cu cât $∣ a ∣$ este mai mare, cu atât dreapta este mai abruptă; cu cât este mai mic, cu atât dreapta este mai apropiată de orizontală.

Cum aflu panta dacă am doar două puncte? Folosești formula $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , unde $(x_{1}, y_{1})$ și $(x_{2}, y_{2})$ sunt cele două puncte. Ai grijă să pui coordonatele în aceeași ordine la numărător și la numitor.

Ce se întâmplă cu dreapta dacă schimb pe $b$ ? Dacă modifici doar $b$ , dreapta se mută pe verticală (în sus dacă $b$ crește, în jos dacă $b$ scade), dar rămâne la fel de înclinată. Practic obții o dreaptă paralelă cu cea inițială.

Panta și ordonata la origine apar la Evaluarea Națională? Da, foarte des. Apar cerințe de a preciza $a$ și $b$ , de a stabili monotonia, de a arăta că două drepte sunt paralele sau de a determina funcția dintr-un grafic ori din două puncte. De aceea este important să reții regulile din secțiunea „De reținut”.