Reprezentarea grafică a funcției liniare: graficul este o dreaptă

Când urci pe o pârtie cu telescaunul și înălțimea crește uniform pe măsură ce înaintezi, sau când umpli un bazin cu un debit constant și nivelul apei urcă în ritm egal, „traiectoria” pe care o urmărești este, de fapt, o dreaptă. Nu este o coincidență: în spatele oricărei creșteri sau descreșteri constante stă o funcție liniară $f (x) = a x + b$ , iar graficul ei este mereu o linie dreaptă. În lecția aceasta descoperim de ce se întâmplă acest lucru și cum poți trasa rapid, corect și îngrijit graficul funcției liniare — o abilitate care aduce puncte sigure la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să reprezinți grafic o funcție liniară folosind un tabel de valori bine ales.
Vei ști să argumentezi de ce graficul funcției liniare este o dreaptă.
Vei ști să trasezi dreapta rapid, folosind doar două puncte convenabil alese.
Vei ști să deosebești cazul în care graficul este o mulțime de puncte (domeniu finit) de cazul în care este o dreaptă întreagă sau un segment (domeniu interval).
Vei ști să verifici prin calcul dacă un punct aparține graficului și să eviți greșelile tipice de la examen.

Hai să descoperim împreună

1. De unde plecăm: funcția liniară și sistemul de axe

Îți amintești din lecția precedentă că o funcție liniară este o funcție $f : R \to R$ de forma $f (x) = a x + b,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate, numite coeficienți. Numărul $a$ este coeficientul lui $x$ , iar $b$ este termenul liber. De exemplu, $f (x) = 2 x - 3$ este funcție liniară cu $a = 2$ și $b = - 3$ .

Pentru a reprezenta grafic o funcție, lucrăm în sistemul de axe $x O y$ : două axe perpendiculare, axa orizontală $O x$ (a absciselor) și axa verticală $O y$ (a ordonatelor), care se intersectează în originea $O$ . Fiecare punct din plan are două coordonate, $P (x_{P}, y_{P})$ : prima spune „cât mergem pe orizontală”, a doua „cât mergem pe verticală”. Dacă vrei să reîmprospătezi aceste noțiuni, revezi lecția Sistemul de axe. Coordonatele unui punct în plan.

Ideea de bază, pe care ne sprijinim din lecția Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică, este că graficul funcției $f$ este mulțimea tuturor punctelor de coordonate $(x, f (x))$ : $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in D},$ unde $D$ este domeniul de definiție. Cu alte cuvinte, pentru fiecare $x$ din domeniu luăm valoarea $f (x)$ și marcăm în plan punctul cu abscisa $x$ și ordonata $f (x)$ .

2. Construim tabelul de valori — inima reprezentării

Nu putem calcula $f (x)$ pentru toate numerele reale (sunt infinite!). De aceea alegem câteva valori convenabile pentru $x$ , calculăm $f (x)$ și organizăm totul într-un tabel de valori. Fiecare coloană a tabelului ne dă o pereche $(x, f (x))$ , adică un punct al graficului.

Să luăm funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ . Alegem câteva valori simple pentru $x$ și calculăm:

$f (- 2) = 2 \cdot (- 2) - 1 = - 4 - 1 = - 5$
$f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 2 - 1 = - 3$
$f (0) = 2 \cdot 0 - 1 = - 1$
$f (1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$f (2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Așezăm rezultatele în tabel:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$

Obținem cinci puncte: $A (- 2, - 5)$ , $B (- 1, - 3)$ , $C (0, - 1)$ , $D (1, 1)$ , $E (2, 3)$ . Le marcăm în sistemul de axe.

Ce observăm imediat? Cele cinci puncte nu sunt împrăștiate la întâmplare: ele stau toate pe aceeași linie dreaptă. Dacă am mai calcula valori — de exemplu $f (0, 5) = 0$ sau $f (3) = 5$ — punctele obținute ar cădea tot pe această linie. Aceasta este marea proprietate a funcției liniare.

3. Proprietatea fundamentală: graficul este o dreaptă

Reținem enunțul, pentru că apare des la examen:

Graficul oricărei funcții liniare $f (x) = a x + b$ , definită pe $R$ , este o dreaptă.

De ce se întâmplă acest lucru? Iată o justificare pe înțelesul tuturor, potrivită gimnaziului.

Ce înseamnă că niște puncte sunt „pe o dreaptă”? Înseamnă că, atunci când ne mișcăm de la un punct la următorul, panta rămâne mereu aceeași: la fiecare pas la dreapta pe orizontală, urcăm (sau coborâm) cu exact același „salt” pe verticală. Să verificăm asta la funcția $f (x) = 2 x - 1$ .

Când $x$ crește cu $1$ (de la $- 2$ la $- 1$ , apoi la $0$ etc.), valoarea $f (x)$ face saltul: $f (x + 1) - f (x) = (2 (x + 1) - 1) - (2 x - 1) = 2 x + 2 - 1 - 2 x + 1 = 2.$

Saltul este mereu $2$ , indiferent de unde plecăm. Uită-te și în tabel: $- 5 \to - 3 \to - 1 \to 1 \to 3$ ; de fiecare dată creștem cu $2$ . Această creștere constantă este „semnătura” unei linii drepte: pentru pași orizontali egali, obținem pași verticali egali. Punctele nu se pot „încovoia” — sunt condamnate să rămână aliniate.

În general, pentru orice funcție liniară $f (x) = a x + b$ : $f (x + 1) - f (x) = (a (x + 1) + b) - (a x + b) = a .$

Deci, când $x$ crește cu $1$ , valoarea funcției se modifică mereu cu aceeași cantitate $a$ . Numărul $a$ ne spune cât de „înclinată” este dreapta și îl vom studia în detaliu în lecția Interpretarea geometrică: panta a și ordonata la origine b. Pentru moment, reține concluzia: creștere constantă $\Rightarrow$ puncte aliniate $\Rightarrow$ graficul este o dreaptă.

4. Suficiența a două puncte — trucul care economisește timp

Din geometrie știi un adevăr fundamental: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Combinat cu proprietatea de mai sus, obținem cea mai utilă regulă practică a lecției:

Ca să trasezi graficul unei funcții liniare, îți sunt suficiente două puncte. Marchezi cele două puncte, tragi cu rigla dreapta care le unește și o prelungești în ambele sensuri.

De ce funcționează? Pentru că graficul este sigur o dreaptă (asta e teorema), iar o dreaptă este complet determinată de două puncte ale ei. Nu mai e nevoie de un tabel lung.

Atunci de ce am calculat mai devreme cinci puncte? Din două motive practice, valabile mai ales la examen:

Ca să vezi cu ochii tăi că punctele chiar se aliniază (verificare vizuală).
Ca să ai un punct de control: dacă al treilea punct nu cade pe dreapta trasată prin primele două, înseamnă că ai greșit un calcul. Este o plasă de siguranță excelentă.

Care două puncte alegem? Cele mai comode sunt punctele în care dreapta „taie” axele, pentru că au un $0$ în coordonate și se marchează ușor:

pentru $x = 0$ obținem $f (0) = b$ , deci punctul $(0, b)$ — unde dreapta întâlnește axa $O y$ ;
valoarea lui $x$ pentru care $f (x) = 0$ ne dă punctul de pe axa $O x$ .

Aceste puncte de intersecție cu axele le vom studia separat în lecția Punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy. Deocamdată, îți e suficient să alegi două valori simple pentru $x$ (de multe ori $x = 0$ și $x = 1$ ) și să calculezi $f$ -ul lor.

Un sfat de aur: alege punctele destul de depărtate unul de celălalt. Dacă cele două puncte sunt prea apropiate, o mică imprecizie la trasare „balansează” mult dreapta și înclinarea iese greșită.

5. Semnul lui $a$ îți spune încotro „merge” dreapta

Fără să faci niciun desen, poți anticipa aspectul dreptei doar privind coeficientul $a$ :

Dacă $a > 0$ , dreapta urcă de la stânga la dreapta (funcția crește). Exemplu: $f (x) = 2 x - 1$ .
Dacă $a < 0$ , dreapta coboară de la stânga la dreapta (funcția descrește). Exemplu: $f (x) = - x + 3$ .
Dacă $a = 0$ , funcția devine $f (x) = b$ (funcție constantă), iar graficul este o dreaptă orizontală, paralelă cu axa $O x$ , la înălțimea $b$ .

Termenul liber $b$ îți spune la ce înălțime taie dreapta axa $O y$ : punctul $(0, b)$ este mereu pe grafic, fiindcă $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

6. Domeniu finit vs. domeniu interval: „nor de puncte”, segment sau dreaptă întreagă

Aici se ascunde o subtilitate care aduce sau pierde puncte la examen. Aspectul graficului depinde de ce este domeniul de definiție $D$ .

Cazul 1 — domeniu o mulțime finită. Dacă $D$ conține doar câteva valori (de exemplu $D = {- 1, 0, 1, 2}$ ), atunci graficul este format doar din acele câteva puncte izolate. Nu tragem nicio linie continuă între ele! Punctele sunt, ce-i drept, aliniate (stau pe o dreaptă imaginară), dar graficul propriu-zis este doar „norul” de buline, nu linia. A uni cu o linie continuă puncte dintr-un domeniu discret este o greșeală.

Cazul 2 — domeniu un interval mărginit. Dacă $D = [- 1, 2]$ , funcția este definită pentru toate numerele reale dintre $- 1$ și $2$ . Graficul devine un segment de dreaptă, cu capetele în punctele $(- 1, f (- 1))$ și $(2, f (2))$ . Fiindcă intervalul este închis, capetele fac parte din grafic (le marcăm cu bulină plină). Dacă intervalul ar fi deschis, $(- 1, 2)$ , capetele nu ar aparține graficului (le-am marca cu cerculeț gol). Pentru reamintirea intervalelor, revezi lecția Intervale numerice mărginite.

Cazul 3 — domeniu tot $R$ . Dacă $D = R$ (situația standard când scriem doar $f (x) = a x + b$ fără alte precizări), graficul este o dreaptă întreagă, nemărginită în ambele sensuri. O trasăm cu rigla și punem săgeți la capete, ca să arătăm că se prelungește la infinit.

Morala: înainte de a trasa, citește cu atenție domeniul. Aceeași lege $f (x) = a x + b$ produce un nor de puncte, un segment sau o dreaptă, în funcție de $D$ .

7. Algoritmul complet de reprezentare (pas cu pas)

Iată rețeta pe care o poți aplica la orice funcție liniară, gata de folosit în lucrare:

Identifică domeniul $D$ (mulțime finită, interval sau $R$ ).
Alege puncte convenabile pentru $x$ (dacă $D = R$ , ajung două valori simple, de obicei $x = 0$ și încă una).
Calculează $f (x)$ pentru fiecare $x$ și scrie un tabel de valori.
Scrie perechile $(x, f (x))$ ca puncte în plan.
Marchează punctele în sistemul de axe $x O y$ , gradând axele cu aceeași unitate.
Trasează: nor de puncte (domeniu finit), segment (interval) sau dreaptă cu săgeți (domeniu $R$ ).
Verifică cu un al treilea punct: dacă nu cade pe dreaptă, refă calculele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — reprezentarea unei drepte care urcă

Enunț. Reprezintă grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 2$ .

Rezolvare. Domeniul este $R$ , deci graficul va fi o dreaptă întreagă. Alegem două puncte comode:

$x = 0 \Rightarrow f (0) = 0 + 2 = 2$ , deci punctul $A (0, 2)$ ;
$x = - 2 \Rightarrow f (- 2) = - 2 + 2 = 0$ , deci punctul $B (- 2, 0)$ .

$x$	$- 2$	$0$
$f (x)$	$0$	$2$

Marcăm $A (0, 2)$ pe axa $O y$ și $B (- 2, 0)$ pe axa $O x$ , apoi tragem dreapta $A B$ și o prelungim cu săgeți. Fiindcă $a = 1 > 0$ , dreapta urcă — corect. Verificare de control cu $x = 1$ : $f (1) = 3$ ; punctul $(1, 3)$ cade pe dreaptă. ✓

Exemplul 2 — o dreaptă care coboară

Enunț. Reprezintă grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 1$ .

Rezolvare. Aici $a = - 2 < 0$ , deci ne așteptăm la o dreaptă care coboară. Alegem:

$x = 0 \Rightarrow f (0) = 1$ , punctul $A (0, 1)$ ;
$x = 1 \Rightarrow f (1) = - 2 \cdot 1 + 1 = - 1$ , punctul $B (1, - 1)$ .

$x$	$0$	$1$
$f (x)$	$1$	$- 1$

Trasăm dreapta prin $A$ și $B$ . Cum $a < 0$ , dreapta coboară de la stânga la dreapta — se potrivește. Punct de control: $x = - 1 \Rightarrow f (- 1) = - 2 (- 1) + 1 = 3$ ; $(- 1, 3)$ este pe dreaptă. ✓

Exemplul 3 — graficul pe o mulțime finită (nor de puncte)

Enunț. Reprezintă grafic funcția $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = 2 x$ .

Rezolvare. Atenție: domeniul are doar patru elemente, deci graficul este format din patru puncte izolate, fără linie continuă. Calculăm:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 2$	$0$	$2$	$4$

Punctele sunt $(- 1, - 2)$ , $(0, 0)$ , $(1, 2)$ , $(2, 4)$ . Le marcăm cu buline pline. Ele sunt aliniate (stau pe o dreaptă imaginară), dar graficul nu conține linia dintre ele. Nu unim punctele! ✓

Exemplul 4 — graficul pe un interval închis (segment)

Enunț. Reprezintă grafic funcția $f : [- 1, 3] \to R$ , $f (x) = x - 1$ .

Rezolvare. Domeniul este intervalul închis $[- 1, 3]$ , deci graficul este un segment, cu capetele calculate în extremitățile intervalului:

$x = - 1 \Rightarrow f (- 1) = - 1 - 1 = - 2$ , capătul $A (- 1, - 2)$ ;
$x = 3 \Rightarrow f (3) = 3 - 1 = 2$ , capătul $B (3, 2)$ .

Trasăm segmentul $A B$ , cu buline pline la capete (intervalul este închis, deci $- 1$ și $3$ aparțin domeniului). Nu prelungim dincolo de capete, fiindcă funcția nu este definită acolo. ✓

Exemplul 5 — verificarea apartenenței unui punct la grafic

Enunț. Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . Verifică dacă punctele $M (2, 2)$ și $N (- 1, 1)$ aparțin graficului funcției.

Rezolvare. Un punct $P (x_{0}, y_{0})$ aparține graficului dacă și numai dacă $y_{0} = f (x_{0})$ , adică ordonata este chiar valoarea funcției în abscisa punctului.

Pentru $M (2, 2)$ : calculăm $f (2) = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$ . Cum $f (2) = 2 = y_{M}$ , punctul $M$ aparține graficului: $M \in G_{f}$ .
Pentru $N (- 1, 1)$ : calculăm $f (- 1) = 3 \cdot (- 1) - 4 = - 3 - 4 = - 7$ . Cum $f (- 1) = - 7 \neq = 1 = y_{N}$ , punctul $N$ nu aparține graficului: $N \in / G_{f}$ . ✓

Exemplul 6 — item tip Evaluarea Națională

Enunț. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ . a) Calculează $f (0)$ și $f (4)$ . b) Reprezintă grafic funcția $f$ într-un sistem de axe $x O y$ . c) Arată că punctul $P (2, 2)$ aparține graficului funcției.

Rezolvare.

a) $f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$ și $f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = - 2 + 3 = 1$ .

b) Alegem valorile de la punctul a), care sunt convenabile (dau numere întregi):

$x$	$0$	$4$
$f (x)$	$3$	$1$

Obținem punctele $A (0, 3)$ și $B (4, 1)$ . Le marcăm și trasăm dreapta $A B$ , prelungită cu săgeți. Fiindcă $a = - \frac{1}{2} < 0$ , dreapta coboară ușor spre dreapta.

c) Calculăm $f (2) = - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = - 1 + 3 = 2$ . Cum $f (2) = 2 = y_{P}$ , rezultă că $P (2, 2) \in G_{f}$ . Observăm și că $P$ este chiar la mijlocul segmentului dintre $A$ și $B$ — se potrivește cu graficul. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu tabel de valori și desen acolo unde se cere. Notează cu grijă coordonatele punctelor.

Calculează $f (- 1)$ , $f (0)$ și $f (2)$ pentru funcția $f (x) = 3 x - 2$ .
Completează tabelul de valori pentru $f (x) = - x + 4$ , cu $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .
Scrie perechile de puncte pentru $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ , pentru $x \in {- 2, 0, 2}$ .
Reprezintă grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x - 3$ , folosind două puncte convenabile.
Reprezintă grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 2$ .
Reprezintă grafic funcția $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x + 1$ . Ce fel de grafic obții?
Reprezintă grafic funcția $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = \frac{1}{2} x$ . Precizează capetele segmentului.
Fără să faci desenul, spune dacă dreapta urcă, coboară sau este orizontală: a) $f (x) = 5 x - 1$ ; b) $f (x) = - 3 x + 2$ ; c) $f (x) = 4$ ; d) $f (x) = - x$ .
Verifică dacă punctul $A (3, 5)$ aparține graficului funcției $f (x) = 2 x - 1$ .
Determină numărul real $m$ astfel încât punctul $P (2, 7)$ să aparțină graficului funcției $f (x) = m x + 1$ .
Adevărat sau fals, cu justificare: „Graficul funcției $f (x) = a x + b$ este mereu o dreaptă, oricare ar fi domeniul de definiție.”
Adevărat sau fals, cu justificare: „Pentru a trasa graficul unei funcții liniare definite pe $R$ este suficient să cunoști două puncte ale sale.”
Se dă $f : R \to R$ , $f (x) = - x + 5$ . a) Găsește punctul în care graficul taie axa $O y$ . b) Găsește punctul în care graficul taie axa $O x$ . c) Reprezintă grafic funcția.
Punctele $A (1, 4)$ și $B (3, 4)$ aparțin graficului unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ . Ce poți spune despre valoarea lui $a$ și despre forma graficului?
Problemă aplicată. Un taxi percepe o taxă fixă de pornire de $6$ lei și încă $2$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Costul cursei este $f (x) = 2 x + 6$ , unde $x$ este numărul de kilometri. a) Cât costă o cursă de $5$ km? b) Reprezintă grafic funcția pe domeniul $[0, 6]$ . c) Ce reprezintă, în context, valoarea $f (0) = 6$ ?
Item tip Evaluarea Națională. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 4$ . a) Calculează $f (0)$ și $f (3)$ . b) Reprezintă grafic funcția. c) Verifică dacă punctul $Q (- 1, - 6)$ aparține graficului.
Se dau funcțiile $f (x) = x + 1$ și $g (x) = - x + 3$ , ambele pe $R$ . Reprezintă-le grafic în același sistem de axe și citește de pe desen coordonatele punctului lor de intersecție. Verifică apoi prin calcul.
Provocare. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât graficul funcției $f (x) = a x + b$ să treacă prin punctele $A (0, - 1)$ și $B (2, 3)$ .

Răspunsuri și explicații

$f (- 1) = 3 (- 1) - 2 = - 5$ ; $f (0) = - 2$ ; $f (2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ .
Tabelul: pentru $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , $f (x) = - x + 4$ dă:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

$f (- 2) = \frac{1}{2} (- 2) + 1 = 0$ ; $f (0) = 1$ ; $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2$ . Puncte: $(- 2, 0)$ , $(0, 1)$ , $(2, 2)$ .
Două puncte: $x = 0 \Rightarrow f (0) = - 3$ , deci $(0, - 3)$ ; $x = 3 \Rightarrow f (3) = 0$ , deci $(3, 0)$ . Dreapta urcă ( $a = 1 > 0$ ) și trece prin aceste puncte.
$x = 0 \Rightarrow f (0) = 2$ , punct $(0, 2)$ ; $x = 1 \Rightarrow f (1) = 0$ , punct $(1, 0)$ . Dreapta coboară ( $a = - 2 < 0$ ).
Puncte: $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 2)$ , $(2, 3)$ . Domeniul este finit, deci graficul este un nor de cinci puncte izolate, aliniate, dar fără linie continuă între ele.
$x = 0 \Rightarrow f (0) = 0$ , capătul $(0, 0)$ ; $x = 4 \Rightarrow f (4) = 2$ , capătul $(4, 2)$ . Graficul este segmentul cu capetele $(0, 0)$ și $(4, 2)$ , ambele cu bulină plină (interval închis).
a) urcă ( $a = 5 > 0$ ); b) coboară ( $a = - 3 < 0$ ); c) orizontală ( $a = 0$ , funcție constantă); d) coboară ( $a = - 1 < 0$ ).
$f (3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ . Cum $f (3) = 5 = y_{A}$ , punctul $A (3, 5)$ aparține graficului.
$P$ aparține graficului $\Rightarrow f (2) = 7 \Rightarrow m \cdot 2 + 1 = 7 \Rightarrow 2 m = 6 \Rightarrow m = 3$ .
Fals. Proprietatea „graficul este o dreaptă” este valabilă când domeniul este $R$ (sau un interval — atunci e un segment). Dacă domeniul este o mulțime finită, graficul este doar câteva puncte izolate, nu o dreaptă întreagă.
Adevărat. Graficul este sigur o dreaptă, iar prin două puncte distincte trece o singură dreaptă; deci două puncte o determină complet.
a) $f (0) = 5$ , deci graficul taie $O y$ în $(0, 5)$ . b) $f (x) = 0 \Rightarrow - x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ , deci taie $O x$ în $(5, 0)$ . c) Dreapta prin $(0, 5)$ și $(5, 0)$ coboară ( $a = - 1 < 0$ ).
Din $f (1) = 4$ și $f (3) = 4$ : valoarea funcției nu se schimbă când $x$ crește, deci saltul este $0$ , adică $a = 0$ . Funcția este constantă, $f (x) = 4$ , iar graficul este o dreaptă orizontală la înălțimea $4$ .
a) $f (5) = 2 \cdot 5 + 6 = 16$ lei. b) Segment pe $[0, 6]$ : capete $(0, 6)$ și $(6, f (6)) = (6, 18)$ . c) $f (0) = 6$ este taxa fixă de pornire: costul cursei chiar și pentru $0$ km parcurși.
a) $f (0) = - 4$ ; $f (3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$ . b) Dreapta prin $(0, - 4)$ și $(3, 2)$ , urcând ( $a = 2 > 0$ ). c) $f (- 1) = 2 (- 1) - 4 = - 6$ . Cum $f (- 1) = - 6 = y_{Q}$ , punctul $Q (- 1, - 6)$ aparține graficului.
Reprezentăm $f (x) = x + 1$ (prin $(0, 1)$ , $(- 1, 0)$ ) și $g (x) = - x + 3$ (prin $(0, 3)$ , $(3, 0)$ ). Din desen, dreptele se intersectează în $(1, 2)$ . Verificare: $f (1) = 2$ și $g (1) = 2$ , deci punctul comun este $(1, 2)$ . ✓
Punctul $A (0, - 1)$ dă $f (0) = b = - 1$ . Punctul $B (2, 3)$ dă $f (2) = 2 a + b = 3$ ; înlocuim $b = - 1$ : $2 a - 1 = 3 \Rightarrow 2 a = 4 \Rightarrow a = 2$ . Deci $f (x) = 2 x - 1$ .

De reținut

Graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ definite pe $R$ este o dreaptă.
Două puncte distincte sunt suficiente pentru a trasa dreapta; al treilea punct servește ca verificare.
Când $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ se modifică mereu cu aceeași cantitate $a$ — de aici alinierea punctelor.
Semnul lui $a$ dă direcția: $a > 0$ dreapta urcă, $a < 0$ dreapta coboară, $a = 0$ dreapta este orizontală. Punctul $(0, b)$ este mereu pe grafic.
Aspectul graficului depinde de domeniu: mulțime finită $\Rightarrow$ puncte izolate; interval $\Rightarrow$ segment; $R \Rightarrow$ dreaptă întreagă cu săgeți.

Greșeli frecvente

Unirea punctelor când domeniul este o mulțime finită. Dacă $D$ are câteva elemente, graficul este doar norul de puncte; a trasa o linie continuă între ele este greșit. Trage linie numai când domeniul este un interval sau $R$ .
Alegerea a două puncte prea apropiate. Dacă punctele sunt lipite, o mică imprecizie la desen strică înclinarea dreptei. Alege puncte depărtate și, ideal, cu coordonate întregi.
Confuzia abscisă–ordonată. La punctul $(x, f (x))$ , primul număr se măsoară pe $O x$ (orizontal), al doilea pe $O y$ (vertical). Inversarea lor mută punctul complet aiurea.
Ignorarea semnului lui $a$ . Dacă $a < 0$ dar dreapta ta urcă în desen, ai greșit un calcul sau ai marcat greșit un punct — semnul lui $a$ este o verificare rapidă.

Aplică acasă

Cursa de taxi. Notează taxa fixă de pornire și prețul pe kilometru al unei companii de taxi din orașul tău. Scrie funcția $f (x) = a x + b$ care dă costul, fă un tabel pentru $0, 2, 4, 6$ km și reprezint-o grafic pe hârtie milimetrică. Observă că punctele stau pe o dreaptă.
Umplerea unui vas. Pune un vas gol sub un robinet cu debit constant și măsoară cu un pahar gradat nivelul apei din minut în minut, timp de $5$ minute. Trece datele într-un tabel, marchează punctele și vezi cât de aproape sunt de o dreaptă. Discută de ce mici abateri apar în realitate.
Bateria telefonului la încărcare. Notează procentul bateriei din $10$ în $10$ minute în timpul încărcării. Reprezintă punctele. Este creșterea perfect liniară? Pe ce porțiune se apropie cel mai mult de o dreaptă?

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la tabel de valori la reprezentare grafică și fixează ideea-cheie că graficul funcției liniare este o dreaptă. Elevul înțelege dacă poate: (1) să completeze corect un tabel de valori; (2) să marcheze punctele respectând ordinea abscisă–ordonată; (3) să tragă dreapta cu rigla prin două puncte și să prelungească cu săgeți când domeniul este $R$ ; (4) să deosebească un „nor de puncte” (domeniu finit) de un segment (interval) sau o dreaptă (întreg $R$ ).

Întrebări de verificare utile: „De ce sunt suficiente două puncte?”, „Cum arată graficul dacă $a$ este negativ?”, „Ce se schimbă dacă domeniul este ${- 1, 0, 1}$ în loc de $R$ ?”, „Ce reprezintă geometric punctul $(0, b)$ ?”. La Evaluarea Națională, reprezentarea grafică a funcției liniare apare aproape în fiecare an, adesea ca subpunct al unei probleme (calcul de valori + trasare grafic + verificarea apartenenței unui punct), cu punctaj generos pentru desenul corect și îngrijit. Merită insistat pe rigla, gradarea uniformă a axelor și marcarea clară a punctelor.

Întrebări frecvente

De ce este graficul funcției liniare o dreaptă? Pentru că, atunci când $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ se modifică mereu cu aceeași cantitate $a$ . Această creștere constantă face ca toate punctele $(x, f (x))$ să fie aliniate, adică să stea pe o dreaptă.

Câte puncte îmi trebuie ca să trasez graficul unei funcții liniare? Sunt suficiente două puncte distincte, pentru că prin două puncte trece o singură dreaptă. Este recomandat să calculezi și un al treilea punct, ca verificare: dacă nu cade pe dreaptă, ai greșit un calcul.

Cum aleg cele mai bune două puncte? Cele mai comode sunt $x = 0$ (dă punctul $(0, b)$ de pe axa $O y$ ) și valoarea lui $x$ pentru care $f (x) = 0$ (punctul de pe axa $O x$ ). Alege puncte depărtate și, dacă poți, cu coordonate întregi.

Trebuie să unesc punctele când domeniul este o mulțime finită? Nu. Dacă domeniul are doar câteva elemente, graficul este format din puncte izolate. Le marchezi, dar nu tragi nicio linie continuă între ele.

Cum știu dacă dreapta urcă sau coboară fără să o desenez? Te uiți la semnul lui $a$ : dacă $a > 0$ , dreapta urcă de la stânga la dreapta; dacă $a < 0$ , coboară; dacă $a = 0$ , este orizontală (funcție constantă).

Cum verific dacă un punct aparține graficului? Înlocuiești abscisa punctului în formula funcției și compari rezultatul cu ordonata. Dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ , punctul $(x_{0}, y_{0})$ aparține graficului; dacă nu, nu aparține.

Ce diferență este între graficul pe un interval și cel pe $R$ ? Pe un interval mărginit obții un segment (cu capete marcate), iar pe $R$ obții o dreaptă întreagă, pe care o prelungești cu săgeți în ambele sensuri.

Ce reprezintă termenul liber $b$ pe grafic? Termenul $b$ este ordonata punctului în care dreapta taie axa $O y$ , adică punctul $(0, b)$ , fiindcă $f (0) = b$ . Îl vei studia mai amănunțit ca „ordonată la origine” în lecția despre pantă și ordonată la origine.