Funcția liniară f(x) = ax + b: definiție și formă generală

Îți amintești cum, atunci când mergi cu taxiul, plătești o pornire fixă și apoi câte ceva pentru fiecare kilometru? Sau cum, la un abonament de internet, ai un cost lunar de bază la care se poate adăuga o taxă pentru fiecare gigabyte în plus? Toate aceste situații ascund același „tipar” matematic: o mărime crește cu un ritm constant, plecând de la o valoare de start. Acest tipar are un nume elegant în matematică — funcția liniară — și se scrie sub forma $f (x) = a x + b$ . În această lecție descoperi ce înseamnă exact această scriere, ce rol joacă numerele $a$ și $b$ și cum completezi un tabel de valori. Este o noțiune-cheie pentru Evaluarea Națională, iar odată ce o înțelegi bine, urmează partea spectaculoasă: graficul ei, care este mereu o dreaptă.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști și să scrii o funcție liniară de forma $f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale.
Vei ști să identifici coeficienții $a$ și $b$ și să precizezi domeniul funcției.
Vei ști să calculezi valoarea funcției într-un punct, adică $f (x_{0})$ , și să completezi corect un tabel de valori.
Vei ști să distingi cazurile particulare: funcția constantă ( $a = 0$ ) și funcția de proporționalitate directă ( $b = 0$ ).
Vei ști să faci diferența dintre funcția liniară $f (x) = a x + b$ și funcția de proporționalitate directă $f (x) = a x$ .

Hai să descoperim împreună

1. De la o situație reală la o formulă

Să pornim de la o poveste concretă. Andrei se abonează la o sală de fitness. El plătește o taxă de înscriere de 50 de lei, o singură dată, iar apoi 30 de lei pentru fiecare lună de antrenament.

Cât plătește Andrei în total dacă merge $x$ luni? Gândim pas cu pas:

pentru $1$ lună: $50 + 30 \cdot 1 = 80$ lei;
pentru $2$ luni: $50 + 30 \cdot 2 = 110$ lei;
pentru $3$ luni: $50 + 30 \cdot 3 = 140$ lei.

Observi tiparul? La orice număr de luni $x$ , costul total este

$C (x) = 30 \cdot x + 50.$

Aici $x$ este numărul de luni (ceea ce alegem noi), iar $C (x)$ este costul (ceea ce rezultă). Fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde o singură valoare a costului — exact condiția pe care ai învățat-o la lecția despre noțiunea de funcție. Prin urmare, $C$ este o funcție.

Dacă notăm cu $f$ această funcție și înlocuim numerele concrete cu litere generale, obținem tocmai forma pe care o studiem:

$f (x) = a x + b .$

În exemplul nostru, $a = 30$ (ritmul de creștere, câte lei pe lună) și $b = 50$ (valoarea de start, plătită înainte de orice lună).

2. Definiția funcției liniare

Reținem definiția în forma riguroasă cerută la examen.

Definiție. O funcție $f : D \to R$ se numește funcție liniară dacă legea ei de corespondență se poate scrie sub forma $f (x) = a x + b,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe (constante), iar $D$ este o mulțime de numere reale.

Câteva precizări importante:

Numerele $a$ și $b$ se numesc coeficienții funcției liniare. $a$ este coeficientul lui $x$ , iar $b$ este termenul liber.
$x$ se numește variabilă (sau argument): el „se plimbă” prin mulțimea $D$ .
$f (x)$ este valoarea funcției în punctul $x$ : rezultatul pe care îl obții după ce înlocuiești și calculezi.

Atenție la formă! Trebuie ca $x$ să apară doar la puterea întâi, fără să fie ridicat la pătrat, fără să stea la numitor și fără să fie sub radical. De aceea:

$f (x) = 2 x - 7$ este funcție liniară ( $a = 2$ , $b = - 7$ );
$f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ este funcție liniară $(a = - \frac{1}{2}, b = 3)$ ;
$f (x) = x^{2} + 1$ nu este funcție liniară (apare $x^{2}$ );
$f (x) = \frac{4}{x}$ nu este funcție liniară ( $x$ stă la numitor).

3. Rolul coeficienților a și b

Cei doi coeficienți au sens și rol diferite. Să îi înțelegem separat.

Coeficientul $a$ arată cât de repede se schimbă valorile funcției când $x$ crește. Dacă $x$ crește cu $1$ , atunci $f (x)$ se modifică exact cu $a$ :

$f (x + 1) - f (x) = [a (x + 1) + b] - [a x + b] = a .$

De aceea $a$ se numește și rata de variație a funcției. În povestea cu sala de fitness, $a = 30$ înseamnă „ $30$ de lei în plus pentru fiecare lună în plus”.

Termenul liber $b$ este valoarea funcției atunci când $x = 0$ :

$f (0) = a \cdot 0 + b = b .$

Este „punctul de plecare”: taxa fixă de $50$ de lei plătită înainte de orice lună de sală. Vei descoperi mai târziu, la lecția despre panta și ordonata la origine, că $b$ are și o interpretare geometrică frumoasă pe grafic.

4. Cazuri particulare importante

Definiția lasă libere valorile lui $a$ și $b$ . Anumite alegeri speciale dau funcții cu nume proprii.

Cazul $b = 0$ : funcția de proporționalitate directă. Dacă $b = 0$ , formula devine $f (x) = a x .$ Aici, când $x = 0$ , avem $f (0) = 0$ . Mărimea $f (x)$ este direct proporțională cu $x$ : dacă dublezi $x$ , se dublează și rezultatul. Exemplu: dacă $1$ kg de mere costă $4$ lei, atunci prețul pentru $x$ kg este $f (x) = 4 x$ . Nu există „taxă fixă”, deci $b = 0$ .

Cazul $a = 0$ : funcția constantă. Dacă $a = 0$ , formula devine $f (x) = 0 \cdot x + b = b .$ Rezultatul este mereu același număr $b$ , indiferent ce valoare are $x$ . Exemplu: o navetă costă $b = 6$ lei, oricare ar fi numărul de kilometri parcurși în oraș (bilet unic). Atunci $f (x) = 6$ pentru orice $x$ . O astfel de funcție se numește funcție constantă.

Cazul $a = 0$ și $b = 0$ . Atunci $f (x) = 0$ pentru orice $x$ — funcția care „strivește” totul la zero. Este și ea o funcție liniară (constantă, egală cu $0$ ).

5. Domeniul funcției liniare

Domeniul $D$ este mulțimea valorilor pe care le poate lua $x$ . La funcția liniară, $D$ poate fi:

o mulțime finită de numere, de exemplu $D = {- 2, 0, 1, 3}$ — atunci calculezi $f$ doar pentru aceste patru valori;
un interval nedegenerat de numere reale, de exemplu $D = [- 1, 4]$ sau $D = R$ (toate numerele reale).

Un „interval nedegenerat” înseamnă un interval care conține mai multe puncte (nu se reduce la un singur număr). Poți recapitula noțiunea de interval de numere reale dacă simți nevoia.

De ce contează domeniul? Pentru că aceeași formulă poate defini funcții diferite, dacă domeniul diferă. Astfel:

$f : R \to R, f (x) = 2 x + 1$ acceptă orice număr real la intrare;
$g : {0, 1, 2} \to R, g (x) = 2 x + 1$ acceptă doar trei valori.

Când domeniul nu este precizat explicit în enunț, se subînțelege că este $R$ , adică toate numerele reale (formula are sens pentru orice $x$ ).

6. Calculul valorii funcției într-un punct

A calcula $f (x_{0})$ înseamnă a înlocui $x$ cu numărul $x_{0}$ peste tot în formulă și a efectua calculele. Este exact operația din lecția valoarea unei funcții într-un punct, aplicată la $f (x) = a x + b$ .

Fie $f (x) = 3 x - 5$ . Atunci:

$f (2) = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ ;
$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 = - 5$ (observă că este chiar $b$ );
$f (- 4) = 3 \cdot (- 4) - 5 = - 12 - 5 = - 17$ ;
$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = - 4$ .

Sfat de aur pentru numere negative: pune întotdeauna numărul înlocuit în paranteză. Scrii $3 \cdot (- 4)$ , nu $3 \cdot - 4$ . Așa eviți greșelile de semn, cele mai frecvente la examen.

7. Tabelul de valori

Un tabel de valori este un mod ordonat de a aduna mai multe perechi $(x, f (x))$ . Pe primul rând scrii valorile alese pentru $x$ , iar pe al doilea rând valorile corespunzătoare $f (x)$ .

Să facem tabelul pentru $f (x) = 2 x - 3$ , alegând $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ . Calculăm rând pe rând:

$f (- 2) = 2 \cdot (- 2) - 3 = - 4 - 3 = - 7$ ;
$f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 2 - 3 = - 5$ ;
$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ ;
$f (1) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = - 1$ ;
$f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .

Le așezăm în tabel:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 7$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$

Privește al doilea rând: de la o coloană la următoarea, valoarea crește mereu cu $2$ (adică cu $a$ ). Nu e o coincidență — este exact proprietatea din secțiunea 3! Când $x$ crește cu $1$ , $f (x)$ crește cu $a = 2$ . Această regularitate este „amprenta” funcției liniare și, la lecția următoare, graficul funcției liniare, vei vedea cum se traduce ea într-o dreaptă.

8. Diferența dintre f(x) = ax + b și f(x) = ax

Aceasta este o distincție pe care evaluatorii o testează des. Reține clar:

Funcția de proporționalitate directă $f (x) = a x$ este cazul particular al funcției liniare în care $b = 0$ . Pentru ea, $f (0) = 0$ mereu.
Funcția liniară $f (x) = a x + b$ este forma generală. Ea include proporționalitatea directă (când $b = 0$ ), dar și situații cu „start” diferit de zero (când $b \neq = 0$ ).

Cu alte cuvinte: orice funcție de proporționalitate directă este funcție liniară, dar nu orice funcție liniară este de proporționalitate directă. Un test rapid: calculează $f (0)$ . Dacă $f (0) = 0$ , funcția liniară este și de proporționalitate directă; dacă $f (0) \neq = 0$ , nu este.

Exemplu: prețul a $x$ kilograme de cireșe la $12$ lei/kg este $f (x) = 12 x$ (proporționalitate directă, $b = 0$ ). Dar dacă adaugi un cost fix de transport de $8$ lei, costul total devine $g (x) = 12 x + 8$ — funcție liniară care nu mai este de proporționalitate directă, fiindcă $g (0) = 8 \neq = 0$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea funcției liniare și identificarea coeficienților

Enunț. Pentru fiecare dintre expresiile de mai jos, stabilește dacă definește o funcție liniară $f : R \to R$ și, în caz afirmativ, precizează coeficienții $a$ și $b$ . a) $f (x) = - 4 x + 9$ ; b) $f (x) = 7 - x$ ; c) $f (x) = \frac{x}{5}$ ; d) $f (x) = x^{2} - 2 x$ ; e) $f (x) = 6$ .

Rezolvare. Comparăm fiecare expresie cu forma generală $f (x) = a x + b$ .

a) $f (x) = - 4 x + 9$ . Este funcție liniară, cu $a = - 4$ și $b = 9$ .

b) $f (x) = 7 - x$ . Rescriem în ordine: $f (x) = - x + 7 = (- 1) x + 7$ . Este funcție liniară, cu $a = - 1$ și $b = 7$ .

c) $f (x) = \frac{x}{5} = \frac{1}{5} x + 0$ . Este funcție liniară, cu $a = \frac{1}{5}$ și $b = 0$ (deci și de proporționalitate directă).

d) $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Nu este funcție liniară, deoarece apare $x^{2}$ (variabila la puterea a doua).

e) $f (x) = 6$ . Rescriem: $f (x) = 0 \cdot x + 6$ . Este funcție liniară (constantă), cu $a = 0$ și $b = 6$ .

Exemplul 2 — Calculul valorilor funcției

Enunț. Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 5$ . Calculează $f (3)$ , $f (- 1)$ , $f (0)$ și $f (\frac{5}{2})$ .

Rezolvare. Înlocuim, punând numerele în paranteze.

$f (3) = - 2 \cdot 3 + 5 = - 6 + 5 = - 1;$ $f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 5 = 2 + 5 = 7;$ $f (0) = - 2 \cdot 0 + 5 = 5;$ $f (\frac{5}{2}) = - 2 \cdot \frac{5}{2} + 5 = - 5 + 5 = 0.$

Observație: $f (0) = 5 = b$ , ceea ce confirmă regula din teorie.

Exemplul 3 — Completarea unui tabel de valori

Enunț. Se dă $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ . Completează tabelul de valori pentru $x \in {- 4, - 2, 0, 2, 4}$ .

Rezolvare. Calculăm fiecare valoare:

$f (- 4) = \frac{1}{2} \cdot (- 4) + 1 = - 2 + 1 = - 1$ ;
$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (- 2) + 1 = - 1 + 1 = 0$ ;
$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$ ;
$f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ ;
$f (4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$ .

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Verificare a ritmului: aici $x$ crește din $2$ în $2$ , iar $f (x)$ crește din $1$ în $1$ . Într-adevăr, la o creștere a lui $x$ cu $2$ , $f$ crește cu $2 a = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Totul se leagă.

Exemplul 4 — Găsirea argumentului când se cunoaște valoarea

Enunț. Se dă $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . Determină numărul real $x$ pentru care $f (x) = 11$ .

Rezolvare. Punem condiția din enunț și obținem o ecuație de gradul I: $3 x - 4 = 11.$ Adăugăm $4$ în ambii membri: $3 x = 15$ . Împărțim la $3$ : $x = 5$ .

Verificare: $f (5) = 3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$ . Corect. Deci $x = 5$ .

Exemplul 5 — Distincția proporționalitate directă / funcție liniară

Enunț. Se dau funcțiile $f (x) = 5 x$ și $g (x) = 5 x - 10$ , ambele definite pe $R$ . Care dintre ele este funcție de proporționalitate directă? Justifică.

Rezolvare. Calculăm valoarea în $0$ pentru fiecare. $f (0) = 5 \cdot 0 = 0, g (0) = 5 \cdot 0 - 10 = - 10.$ Funcția $f$ are $f (0) = 0$ și forma $f (x) = 5 x$ (deci $b = 0$ ): este funcție de proporționalitate directă. Funcția $g$ are $g (0) = - 10 \neq = 0$ (termen liber $b = - 10$ ): este funcție liniară, dar nu de proporționalitate directă.

Verificare suplimentară pentru $f$ : $f (2) = 10$ și $f (4) = 20$ ; când $x$ se dublează, $f (x)$ se dublează — proprietatea proporționalității directe. Pentru $g$ : $g (2) = 0$ și $g (4) = 10$ , iar $10$ nu este dublul lui $0$ , deci $g$ nu păstrează proporționalitatea.

Exemplul 6 — Item aplicat, tip Evaluare Națională

Enunț. Un serviciu de streaming are un abonament de bază de $20$ de lei pe lună, la care se adaugă $2$ lei pentru fiecare film închiriat în plus. Notăm cu $x$ numărul de filme închiriate într-o lună. a) Scrie funcția $f$ care exprimă costul lunar în funcție de $x$ . b) Precizează coeficienții $a$ și $b$ și interpretează-i. c) Cât plătește un abonat care închiriază $7$ filme? d) Câte filme a închiriat un abonat care a plătit $46$ de lei?

Rezolvare.

a) Costul de bază este $20$ de lei, iar fiecare film adaugă $2$ lei, deci $f (x) = 2 x + 20.$

b) $a = 2$ = costul unui film închiriat (câți lei în plus pentru fiecare film); $b = 20$ = abonamentul fix, plătit chiar dacă nu se închiriază niciun film ( $f (0) = 20$ ).

c) $f (7) = 2 \cdot 7 + 20 = 14 + 20 = 34$ lei.

d) Punem $f (x) = 46$ : $2 x + 20 = 46 \Rightarrow 2 x = 26 \Rightarrow x = 13$ . Abonatul a închiriat $13$ filme. (Verificare: $2 \cdot 13 + 20 = 46$ .)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare îngrijită. La final compară cu cheia.

1. Pentru fiecare, spune dacă este funcție liniară și dă coeficienții $a$ și $b$ : a) $f (x) = 8 x - 3$ ; b) $f (x) = - x$ ; c) $f (x) = 4$ ; d) $f (x) = 3 x^{2} + 1$ ; e) $f (x) = \frac{2}{x} + 5$ .

2. Se dă $f (x) = 4 x - 1$ . Calculează $f (0)$ , $f (2)$ , $f (- 3)$ și $f (\frac{1}{4})$ .

3. Se dă $g (x) = - 3 x + 6$ . Calculează $g (1)$ , $g (- 2)$ și $g (0)$ .

4. Completează tabelul de valori pentru $f (x) = 2 x + 1$ , cu $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

5. Completează tabelul de valori pentru $h (x) = - x + 4$ , cu $x \in {- 1, 0, 2, 5}$ .

6. Se dă $f (x) = 5 x - 2$ . Determină numărul real $x$ pentru care $f (x) = 13$ .

7. Se dă $g (x) = - 2 x + 7$ . Determină $x$ astfel încât $g (x) = 1$ .

8. Identifică coeficienții $a$ și $b$ pentru $f (x) = 9 - 4 x$ , apoi calculează $f (- 1)$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Decide dacă afirmațiile sunt adevărate sau false și justifică: a) Funcția $f (x) = 7 x$ este funcție de proporționalitate directă. b) Orice funcție liniară este funcție de proporționalitate directă. c) Pentru orice funcție liniară, $f (0) = b$ . d) Funcția $f (x) = 5$ nu este funcție liniară.

10. Se dă $f (x) = \frac{2}{3} x - 2$ . Calculează $f (3)$ , $f (- 6)$ și $f (0)$ .

11. O funcție liniară are $a = - 1$ și $b = 8$ . Scrie formula lui $f$ și completează un tabel pentru $x \in {- 2, 0, 3}$ .

12. Se dă $f (x) = a x + b$ cu $f (0) = - 4$ și $f (1) = 1$ . Determină $a$ și $b$ . (Indiciu: $f (0) = b$ ; apoi folosește $f (1)$ .)

13. (Aplicativ.) Un electrician percepe o deplasare de $60$ de lei plus $40$ de lei pentru fiecare oră de lucru. Notăm cu $x$ numărul de ore. a) Scrie funcția $f$ a costului total. b) Cât costă o lucrare de $3$ ore? c) Pentru ce număr de ore costul este $260$ de lei?

14. (Aplicativ.) Un rezervor conține la început $12$ litri de apă și se golește uniform cu $2$ litri pe minut. Notăm cu $x$ numărul de minute scurse. a) Scrie funcția $V (x)$ care dă volumul de apă din rezervor. b) Cât apă rămâne după $4$ minute? c) După câte minute rezervorul este gol?

15. (Tip Evaluare Națională.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ . a) Calculează $f (4)$ și $f (- 2)$ . b) Arată că numărul $x = 6$ are imaginea $0$ , adică $f (6) = 0$ . c) Este $f$ funcție de proporționalitate directă? Justifică.

16. (Raționament.) Fie $f (x) = a x + b$ o funcție liniară pentru care $f (2) = 5$ și $f (2) - f (1) = 3$ . Determină $a$ și $b$ . (Indiciu: diferența $f (2) - f (1)$ este chiar $a$ .)

17. Se dă $f (x) = 3 x + 1$ , cu domeniul $D = {- 1, 0, 1, 2}$ . Scrie mulțimea valorilor funcției (imaginea).

18. (Provocare.) Se dă $f (x) = a x + b$ . Se știe că $f (1) = 4$ și $f (3) = 10$ . Determină $a$ și $b$ , apoi calculează $f (0)$ și $f (5)$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) Da, $a = 8$ , $b = - 3$ . b) Da, $f (x) = - x = (- 1) x + 0$ , deci $a = - 1$ , $b = 0$ . c) Da (constantă), $f (x) = 0 \cdot x + 4$ , $a = 0$ , $b = 4$ . d) Nu — apare $x^{2}$ . e) Nu — $x$ stă la numitor.

2. $f (0) = - 1$ ; $f (2) = 4 \cdot 2 - 1 = 7$ ; $f (- 3) = 4 \cdot (- 3) - 1 = - 13$ ; $f (\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0$ .

3. $g (1) = - 3 + 6 = 3$ ; $g (- 2) = - 3 \cdot (- 2) + 6 = 6 + 6 = 12$ ; $g (0) = 6$ .

4. $f (- 2) = - 3$ , $f (- 1) = - 1$ , $f (0) = 1$ , $f (1) = 3$ , $f (2) = 5$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$	$5$

5. $h (- 1) = 1 + 4 = 5$ ; $h (0) = 4$ ; $h (2) = - 2 + 4 = 2$ ; $h (5) = - 5 + 4 = - 1$ .

$x$	$- 1$	$0$	$2$	$5$
$h (x)$	$5$	$4$	$2$	$- 1$

6. $5 x - 2 = 13 \Rightarrow 5 x = 15 \Rightarrow x = 3$ . (Verificare: $5 \cdot 3 - 2 = 13$ .)

7. $- 2 x + 7 = 1 \Rightarrow - 2 x = - 6 \Rightarrow x = 3$ . (Verificare: $- 2 \cdot 3 + 7 = 1$ .)

8. $f (x) = 9 - 4 x = - 4 x + 9$ , deci $a = - 4$ , $b = 9$ . $f (- 1) = - 4 \cdot (- 1) + 9 = 4 + 9 = 13$ .

9. a) Adevărat: $f (x) = 7 x$ are forma $a x$ cu $b = 0$ , deci proporționalitate directă. b) Fals: numai cele cu $b = 0$ sunt de proporționalitate directă; de exemplu $f (x) = 2 x + 3$ nu este. c) Adevărat: $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ . d) Fals: $f (x) = 5 = 0 \cdot x + 5$ este funcție liniară (constantă), cu $a = 0$ , $b = 5$ .

10. $f (3) = \frac{2}{3} \cdot 3 - 2 = 2 - 2 = 0$ ; $f (- 6) = \frac{2}{3} \cdot (- 6) - 2 = - 4 - 2 = - 6$ ; $f (0) = - 2$ .

11. $f (x) = - x + 8$ . $f (- 2) = 2 + 8 = 10$ ; $f (0) = 8$ ; $f (3) = - 3 + 8 = 5$ .

$x$	$- 2$	$0$	$3$
$f (x)$	$10$	$8$	$5$

12. $f (0) = b = - 4$ . Apoi $f (1) = a + b = 1 \Rightarrow a + (- 4) = 1 \Rightarrow a = 5$ . Deci $a = 5$ , $b = - 4$ și $f (x) = 5 x - 4$ .

13. a) $f (x) = 40 x + 60$ . b) $f (3) = 40 \cdot 3 + 60 = 180$ lei. c) $40 x + 60 = 260 \Rightarrow 40 x = 200 \Rightarrow x = 5$ ore.

14. a) $V (x) = 12 - 2 x$ (adică $- 2 x + 12$ ; $a = - 2$ , $b = 12$ ). b) $V (4) = 12 - 8 = 4$ litri. c) $12 - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = 6$ minute.

15. a) $f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = - 2 + 3 = 1$ ; $f (- 2) = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) + 3 = 1 + 3 = 4$ . b) $f (6) = - \frac{1}{2} \cdot 6 + 3 = - 3 + 3 = 0$ , deci imaginea lui $6$ este $0$ . c) Nu, deoarece $b = 3 \neq = 0$ (echivalent, $f (0) = 3 \neq = 0$ ).

16. $f (2) - f (1) = a = 3$ , deci $a = 3$ . Din $f (2) = 2 a + b = 5$ : $2 \cdot 3 + b = 5 \Rightarrow 6 + b = 5 \Rightarrow b = - 1$ . Deci $a = 3$ , $b = - 1$ și $f (x) = 3 x - 1$ . (Verificare: $f (1) = 2$ , iar $f (2) - f (1) = 5 - 2 = 3$ .)

17. $f (- 1) = - 2$ , $f (0) = 1$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 7$ . Imaginea este mulțimea ${- 2, 1, 4, 7}$ .

18. Din $f (1) = a + b = 4$ și $f (3) = 3 a + b = 10$ . Scădem prima relație din a doua: $(3 a + b) - (a + b) = 10 - 4 \Rightarrow 2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ . Apoi $b = 4 - a = 4 - 3 = 1$ . Deci $f (x) = 3 x + 1$ , $f (0) = 1$ și $f (5) = 3 \cdot 5 + 1 = 16$ .

De reținut

Funcția liniară are forma $f (x) = a x + b$ , cu $a, b \in R$ constante; $a$ și $b$ se numesc coeficienți, iar $b$ este termenul liber.
$f (0) = b$ : termenul liber este valoarea funcției în $0$ . Când $x$ crește cu $1$ , $f (x)$ se modifică exact cu $a$ (rata de variație).
Cazuri particulare: $b = 0$ dă proporționalitatea directă $f (x) = a x$ ; $a = 0$ dă funcția constantă $f (x) = b$ .
Orice funcție de proporționalitate directă este liniară, dar nu invers: $f (x) = a x + b$ e de proporționalitate directă doar când $b = 0$ (adică $f (0) = 0$ ).
Tabelul de valori se completează calculând $f (x_{0})$ pentru fiecare $x_{0}$ din domeniu — înlocuiește și efectuează, punând numerele negative în paranteze.

Greșeli frecvente

Confuzia $a x + b$ cu $a x^{2} + b$ sau cu $\frac{a}{x}$ . O funcție este liniară doar dacă $x$ apare la puterea întâi, nu ridicat la pătrat și nu la numitor. Verifică mereu forma înainte de a numi funcția „liniară”.
Greșeli de semn la înlocuire. Când calculezi $f (- 3)$ pentru $f (x) = 4 x - 1$ , scrie $4 \cdot (- 3) - 1$ , nu $4 \cdot - 3 - 1$ . Parantezele te salvează.
Amestecul dintre $a$ și $b$ . Coeficientul lui $x$ este $a$ ; numărul singur (fără $x$ ) este $b$ . La $f (x) = 9 - 4 x$ , mulți spun greșit $a = 9$ ; corect este $a = - 4$ , $b = 9$ — rescrie întâi ca $- 4 x + 9$ .
Crezi că orice funcție liniară e de proporționalitate directă. Verifică $f (0)$ : doar dacă $f (0) = 0$ (deci $b = 0$ ) funcția este și de proporționalitate directă.

Aplică acasă

Chitanța de taxi. Data viitoare când mergi cu taxiul (sau caută un tarif online), notează tariful de pornire și prețul pe kilometru. Scrie funcția $f (x) = a x + b$ a costului pentru $x$ kilometri, apoi calculează cât ar costa o cursă de $6$ km și verifică pe aplicație.
Consumul telefonului. Alege un abonament de telefonie: are un cost lunar fix și, eventual, un preț pe gigabyte suplimentar. Modelează costul total ca funcție liniară, completează un tabel de valori pentru $0, 1, 2, 3$ GB în plus și decide de la câte gigabytes suplimentari devine mai avantajos un alt abonament.
Economiile tale. Dacă ai deja o sumă strânsă și adaugi aceeași sumă în fiecare săptămână, scrie funcția $S (x) = a x + b$ a economiilor după $x$ săptămâni ( $b$ = suma inițială, $a$ = suma adăugată săptămânal). Află după câte săptămâni ajungi la o țintă aleasă de tine, rezolvând o ecuație de gradul I.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare în capitolul despre funcția liniară, foarte prezent la Evaluarea Națională, atât în subiectul I (itemi scurți: identificarea coeficienților, calculul unei valori, completarea unui tabel), cât și în subiectul II (probleme cu grafic și interpretare, în lecțiile următoare). Un elev care stăpânește bine forma $f (x) = a x + b$ pornește cu un avantaj real la partea de algebră.

Cum verificați dacă elevul a înțeles, prin întrebări scurte:

„Ce reprezintă $a$ și ce reprezintă $b$ în $f (x) = a x + b$ ?” (răspuns așteptat: $a$ = ritmul de creștere, $b$ = valoarea de start / $f (0)$ ).
„Dă-mi un exemplu de funcție liniară care nu este de proporționalitate directă.” (orice cu $b \neq = 0$ , de exemplu $f (x) = 2 x + 5$ ).
„Calculează repede $f (- 2)$ pentru $f (x) = 3 x - 1$ .” (verifică grija la semne: $- 7$ ).

Semne că a înțeles cu adevărat: rescrie corect $9 - 4 x$ ca $- 4 x + 9$ și identifică $a = - 4$ ; completează un tabel fără greșeli de semn; explică în cuvintele lui de ce $f (0) = b$ . Dacă apar ezitări, reluați împreună o singură idee: „înlocuiește $x$ și efectuează”, folosind exemple din viața reală (abonamente, taxiuri, economii), care fac noțiunea concretă.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție liniară la clasa a 8-a? Este o funcție de forma $f (x) = a x + b$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe. $a$ este coeficientul variabilei $x$ , iar $b$ este termenul liber. Ea modelează situații în care o mărime crește sau scade cu un ritm constant, pornind de la o valoare de start.

Care este diferența dintre $f (x) = a x + b$ și $f (x) = a x$ ? $f (x) = a x$ este funcția de proporționalitate directă și este un caz particular al funcției liniare, obținut când $b = 0$ . La ea, $f (0) = 0$ . $f (x) = a x + b$ este forma generală, care admite și un „start” diferit de zero (când $b \neq = 0$ ). Toate proporționalitățile directe sunt liniare, dar nu invers.

Cum calculez $f (x)$ într-un punct? Înlocuiești $x$ cu numărul dat peste tot în formulă și efectuezi calculele. De exemplu, pentru $f (x) = 3 x - 5$ , ai $f (2) = 3 \cdot 2 - 5 = 1$ . La numere negative, pune-le în paranteză ca să nu greșești semnul.

Ce sunt coeficienții $a$ și $b$ ? $a$ este numărul care înmulțește pe $x$ (arată cât de repede se schimbă funcția: la o creștere a lui $x$ cu $1$ , $f$ se modifică cu $a$ ). $b$ este termenul liber, adică valoarea funcției când $x = 0$ , deoarece $f (0) = b$ .

Este $f (x) = 6$ o funcție liniară? Da. Se scrie $f (x) = 0 \cdot x + 6$ , deci este funcție liniară cu $a = 0$ și $b = 6$ . O astfel de funcție, cu $a = 0$ , se numește funcție constantă: dă mereu aceeași valoare, indiferent de $x$ .

Cum știu dacă o funcție este de proporționalitate directă? Calculează $f (0)$ . Dacă $f (0) = 0$ (adică termenul liber $b = 0$ ), funcția este de proporționalitate directă. Dacă $f (0) \neq = 0$ , este liniară, dar nu de proporționalitate directă.

Cum completez un tabel de valori pentru o funcție liniară? Pe primul rând scrii valorile alese pentru $x$ , iar pe al doilea rând calculezi $f (x)$ pentru fiecare, înlocuind în formulă. La o funcție liniară, valorile de pe al doilea rând cresc (sau scad) cu un pas constant când $x$ crește uniform — o bună verificare că nu ai greșit.

De ce contează domeniul unei funcții liniare? Domeniul $D$ arată ce valori poate lua $x$ : o mulțime finită (de exemplu ${- 1, 0, 2}$ ) sau un interval (de exemplu $[- 1, 4]$ ori tot $R$ ). Aceeași formulă cu domenii diferite dă funcții diferite, mai ales când desenezi graficul la lecția următoare.