Linia mijlocie în trapez

Gândește-te la acoperișul unei case privit din față, la un pahar tronconic văzut din profil, la o rampă de skateboard sau la un perete de mansardă: toate au forma unui trapez, cu o bază mai lată jos și una mai îngustă sus (sau invers). Acum imaginează-ți că vrei să pui, exact la jumătatea înălțimii, o bară orizontală, o poliță sau o grindă. Cât de lungă trebuie să fie? Răspunsul îl dă una dintre cele mai elegante formule din geometria gimnazială: linia mijlocie a trapezului. În această lecție vei descoperi că această bară de la mijloc nu are o lungime întâmplătoare, ci este exact media aritmetică a celor două baze. Vom construi totul pas cu pas, sprijinindu-ne pe ceea ce știi deja despre linia mijlocie în triunghi și despre trapez.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești linia mijlocie a trapezului ca segment care unește mijloacele laturilor neparalele și să nu o confunzi cu alte segmente.
• Vei ști să enunți teorema liniei mijlocii: linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor.
• Vei ști să aplici formula liniei mijlocii ca să afli fie linia mijlocie, fie o bază necunoscută.
• Vei ști ce reprezintă segmentul determinat de mijloacele diagonalelor și că lungimea lui este egală cu semidiferența bazelor.
• Vei ști să modelezi situații practice prin trapeze și să folosești linia mijlocie în rezolvarea unor probleme reale.

Hai să descoperim împreună

Reamintim: ce este un trapez și care sunt bazele lui

Un trapez este un patrulater convex care are exact două laturi paralele. Aceste două laturi paralele se numesc bazele trapezului: cea mai lungă este baza mare, iar cea mai scurtă este baza mică. Celelalte două laturi, care nu sunt paralele, se numesc laturile neparalele (sau laturile laterale). Distanța dintre cele două baze, măsurată perpendicular, este înălțimea trapezului.

Hai să fixăm o notație pe care o vom folosi în toată lecția. Considerăm trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unde:

• $AB$ este baza mare, o vom nota cu $B$ (litera mare);
• $CD$ este baza mică, o vom nota cu $b$ (litera mică);
• $AD$ și $BC$ sunt laturile neparalele.

Dacă vrei să recitești clasificarea trapezelor (isoscel, dreptunghic, oarecare) și proprietățile de bază, ai lecțiile Trapezul: clasificare și proprietăți și Trapezul isoscel și proprietățile lui. Aici mergem mai departe și studiem un segment special din interiorul trapezului.

Ideea de „la jumătate": de la triunghi la trapez

În lecția Linia mijlocie în triunghi ai învățat un rezultat foarte util: dacă unești mijloacele a două laturi ale unui triunghi, obții un segment care este paralel cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din ea. Îl vom folosi din plin, așa că îl reamintim:

Linia mijlocie în triunghi. Într-un triunghi $XYZ$, dacă $P$ este mijlocul lui $XY$ și $Q$ este mijlocul lui $XZ$, atunci $PQ\parallel YZ$ și $PQ=\frac{YZ}{2}$.

Ideea de a uni mijloacele laturilor se poate aplica și la trapez — dar aici avem patru laturi, deci trebuie să alegem care mijloace le unim. Alegerea care dă rezultatul frumos este să unim mijloacele laturilor neparalele. Așa ajungem la definiție.

Definiția liniei mijlocii a trapezului

Definiție. Se numește linie mijlocie a trapezului segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele.

Cu notația noastră: dacă $M$ este mijlocul laturii neparalele $AD$ și $N$ este mijlocul laturii neparalele $BC$, atunci segmentul $MN$ este linia mijlocie a trapezului $ABCD$.

Atenție la o capcană frecventă! Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele (laturile oblice), nu mijloacele bazelor. Dacă ai uni mijloacele bazelor, ai obține un cu totul alt segment (de obicei nici măcar paralel cu bazele). Ține minte: mijloacele laturilor care nu sunt paralele.

Acum vine partea cea mai importantă: ce putem spune despre acest segment $MN$? Are o direcție specială? Ce lungime are? Răspunsul complet îl dă teorema liniei mijlocii.

Teorema liniei mijlocii în trapez

Teoremă. Într-un trapez, linia mijlocie are următoarele două proprietăți:

1. este paralelă cu bazele;
2. are lungimea egală cu semisuma bazelor (jumătatea sumei bazelor).

Cu notația $AB=B$, $CD=b$ și linia mijlocie $MN$: $$MN\parallel AB\parallel CD\text{și}MN=\frac{B+b}{2}.$$

„Semisuma bazelor" înseamnă pur și simplu: aduni cele două baze și împarți la 2. Este exact media aritmetică a bazelor — aceeași operație pe care o faci când calculezi media a două note. Dacă bazele sunt $B$ și $b$, media lor este $\frac{B+b}{2}$, iar aceasta este chiar lungimea liniei mijlocii.

O consecință intuitivă și foarte utilă: linia mijlocie este întotdeauna cuprinsă, ca lungime, între baza mică și baza mare. Fiind media a două numere diferite, ea este mai mare decât cel mic și mai mică decât cel mare: $$b<\frac{B+b}{2}<B.$$ Cu alte cuvinte, linia mijlocie „stă la mijloc" și ca poziție (la jumătatea înălțimii), și ca lungime (între cele două baze). E o imagine care merită ținută minte.

De ce este adevărată? Demonstrația pas cu pas

Un rezultat atât de curat merită o justificare. O vom construi folosind linia mijlocie în triunghi, pe care o știm deja. Trucul este să tăiem trapezul cu o diagonală și să lucrăm în cele două triunghiuri care apar.

Ipoteză: trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=B$, $CD=b$; $M$ mijlocul lui $AD$, $N$ mijlocul lui $BC$. Concluzie: $MN\parallel AB\parallel CD$ și $MN=\frac{B+b}{2}$.

Pasul 1 — trasăm o diagonală. Construim diagonala $AC$. Ea împarte trapezul în două triunghiuri: $ACD$ (deasupra diagonalei) și $ABC$ (sub diagonală). Notăm cu $P$ mijlocul diagonalei $AC$.

Pasul 2 — linia mijlocie în triunghiul $ACD$. În triunghiul $ACD$:

• $M$ este mijlocul laturii $AD$ (din ipoteză);
• $P$ este mijlocul laturii $AC$ (l-am ales așa).

Atunci $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $ACD$, deci este paralelă cu latura $DC$ și are jumătate din lungimea ei: $$MP\parallel DC\text{și}MP=\frac{DC}{2}=\frac{b}{2}.$$

Pasul 3 — linia mijlocie în triunghiul $ABC$. În triunghiul $ABC$:

• $P$ este mijlocul laturii $AC$;
• $N$ este mijlocul laturii $BC$.

Atunci $PN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci este paralelă cu latura $AB$ și are jumătate din lungimea ei: $$PN\parallel AB\text{și}PN=\frac{AB}{2}=\frac{B}{2}.$$

Pasul 4 — punctele $M$, $P$, $N$ sunt coliniare. Am obținut că $MP\parallel DC$ și $PN\parallel AB$. Dar $DC\parallel AB$ (sunt bazele trapezului), așa că atât $MP$, cât și $PN$ sunt paralele cu $AB$. Cele două segmente au punctul comun $P$. Printr-un punct dat se poate duce o singură paralelă la o dreaptă dată (axioma paralelelor), deci $MP$ și $PN$ sunt pe aceeași dreaptă. Prin urmare, punctele $M$, $P$, $N$ sunt coliniare, iar $MN$ este un singur segment, paralel cu bazele. Prima parte a teoremei este demonstrată.

Pasul 5 — lungimea liniei mijlocii. Deoarece $M$, $P$, $N$ sunt coliniare, cu $P$ între $M$ și $N$, avem: $$MN=MP+PN=\frac{b}{2}+\frac{B}{2}=\frac{B+b}{2}.$$

Astfel am demonstrat și a doua parte: linia mijlocie este semisuma bazelor. $■$

Observă cât de natural a fost totul: am „spart" trapezul într-un triunghi de sus ($ACD$, care ne-a dat jumătate din baza mică) și un triunghi de jos ($ABC$, care ne-a dat jumătate din baza mare), iar linia mijlocie a adunat exact aceste două jumătăți. De aici și formula: $\frac{b}{2}+\frac{B}{2}=\frac{B+b}{2}$.

Formula, în cele două forme în care o vei folosi

Formula are o singură esență, dar o vei întâlni în două „roluri" diferite, în funcție de ce cauți:

Rolul 1 — afli linia mijlocie, când cunoști bazele. Aduni bazele și împarți la 2: $$MN=\frac{B+b}{2}.$$

Rolul 2 — afli o bază, când cunoști linia mijlocie și cealaltă bază. Pornim de la $B+b=2\cdot MN$ (înmulțim formula cu 2) și scoatem baza necunoscută: $$B+b=2\cdot MN\Rightarrow B=2\cdot MN-b\text{sau}b=2\cdot MN-B.$$

Reține „inima" acestor calcule: suma bazelor este dublul liniei mijlocii. Dacă știi linia mijlocie, dublezi și afli imediat cât fac bazele adunate. Această idee simplă rezolvă majoritatea problemelor.

Un al doilea segment special: mijloacele diagonalelor

Am folosit deja mijlocul unei diagonale în demonstrație. Ce se întâmplă dacă luăm mijloacele ambelor diagonale și le unim? Acest segment ascunde o a doua formulă frumoasă.

Considerăm trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=B$, $CD=b$. Fie $P$ mijlocul diagonalei $AC$ și $Q$ mijlocul diagonalei $BD$.

Un fapt important: ambele puncte $P$ și $Q$ se află chiar pe linia mijlocie $MN$. Pentru $P$ am văzut deja asta (era pe dreapta $MN$). Pentru $Q$ raționăm la fel, folosind diagonala cealaltă: în triunghiul $ABD$, punctele $M$ (mijlocul lui $AD$) și $Q$ (mijlocul lui $BD$) determină linia mijlocie $MQ$, paralelă cu $AB$; deci $Q$ este tot pe dreapta care trece prin $M$ paralel cu bazele, adică pe $MN$.

Așadar, pe linia mijlocie apar, în ordine, patru puncte: $M$, apoi $P$, apoi $Q$, apoi $N$.

Să aflăm lungimea segmentului $PQ$. Folosim din nou liniile mijlocii în triunghiuri:

• În triunghiul $ACD$, $MP$ este linie mijlocie, deci $MP=\frac{DC}{2}=\frac{b}{2}$.
• În triunghiul $ABD$, $MQ$ este linie mijlocie, deci $MQ=\frac{AB}{2}=\frac{B}{2}$.

Deoarece $P$ este între $M$ și $Q$ (baza mare fiind mai lungă, $MQ>MP$), avem: $$PQ=MQ-MP=\frac{B}{2}-\frac{b}{2}=\frac{B-b}{2}.$$

Reține. Segmentul care unește mijloacele diagonalelor unui trapez este cuprins pe linia mijlocie, este paralel cu bazele și are lungimea egală cu semidiferența bazelor: $$PQ=\frac{B-b}{2}.$$

Compară cele două formule surori: $$MN=\frac{B+b}{2}(\text{semisuma}),PQ=\frac{B-b}{2}(\text{semidiferența}).$$ Una folosește suma bazelor, cealaltă diferența lor. Împreună sunt foarte puternice: dacă știi linia mijlocie și segmentul diagonalelor, poți afla imediat ambele baze! Din $B+b=2MN$ și $B-b=2PQ$, aduni și scazi cele două relații (exact ca la un mic sistem de ecuații) și obții fiecare bază.

Modelarea unor situații practice cu trapeze

Trapezul apare des în realitate, iar linia mijlocie răspunde la întrebări foarte concrete de tipul „cât de lung este ceva la jumătatea înălțimii?". Câteva situații pe care le poți modela cu un trapez:

• un perete de mansardă sau frontonul unui acoperiș, unde vrei să montezi o poliță orizontală la jumătatea înălțimii;
• un teren de grădină cu două laturi paralele de lungimi diferite, prin mijlocul căruia treci o cărare;
• un geam în formă de trapez, în care pui o bară orizontală de siguranță la mijloc;
• profilul unui pahar sau al unei găleți tronconice, când te interesează lățimea la jumătatea înălțimii.

În toate aceste cazuri, „bara de la mijloc" are lungimea egală cu media celor două margini paralele. Aceasta este puterea modelării geometrice: recunoști forma (trapez), identifici bazele și aplici formula. Vom vedea exact acest lucru în exemplele următoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflarea liniei mijlocii când cunoști bazele

Enunț. Într-un trapez, baza mare are $18$ cm, iar baza mică are $12$ cm. Cât este linia mijlocie?

Rezolvare. Notăm $B=18$ cm și $b=12$ cm. Aplicăm direct formula liniei mijlocii (semisuma bazelor): $$MN=\frac{B+b}{2}=\frac{18+12}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ cm}.$$

Verificare de bun-simț. Linia mijlocie trebuie să fie între baza mică și baza mare: $12<15<18$. Corect. Răspuns: linia mijlocie are $15$ cm.

Exemplul 2 — Aflarea unei baze când cunoști linia mijlocie

Enunț. Linia mijlocie a unui trapez are $20$ cm, iar baza mică are $14$ cm. Află baza mare.

Rezolvare. Știm că suma bazelor este dublul liniei mijlocii: $$B+b=2\cdot MN=2\cdot 20=40\text{ cm}.$$ Cum baza mică este $b=14$ cm, scădem: $$B=40-14=26\text{ cm}.$$

Verificare. $\frac{26+14}{2}=\frac{40}{2}=20$ cm — chiar linia mijlocie dată. Răspuns: baza mare are $26$ cm.

Exemplul 3 — O bază exprimată în funcție de cealaltă

Enunț. Într-un trapez, baza mare este cu $8$ cm mai mare decât baza mică, iar linia mijlocie are $17$ cm. Află lungimile celor două baze.

Rezolvare. Notăm baza mică $b$. Atunci baza mare este $B=b+8$. Suma bazelor este dublul liniei mijlocii: $$B+b=2\cdot 17=34.$$ Înlocuim $B=b+8$: $$(b+8)+b=34\Rightarrow 2b+8=34\Rightarrow 2b=26\Rightarrow b=13\text{ cm}.$$ Atunci baza mare este $B=13+8=21$ cm.

Verificare. $\frac{21+13}{2}=\frac{34}{2}=17$ cm, iar $21-13=8$ cm. Ambele condiții sunt îndeplinite. Răspuns: bazele au $21$ cm și $13$ cm.

Exemplul 4 — Baze în raport dat

Enunț. Bazele unui trapez sunt direct proporționale cu numerele $3$ și $5$, iar linia mijlocie are $24$ cm. Află lungimile bazelor.

Rezolvare. Dacă bazele sunt proporționale cu $3$ și $5$, le putem scrie $b=3x$ și $B=5x$, unde $x>0$. Aplicăm formula liniei mijlocii: $$MN=\frac{B+b}{2}=\frac{5x+3x}{2}=\frac{8x}{2}=4x.$$ Cum $MN=24$ cm, obținem $4x=24$, deci $x=6$ cm. Atunci: $$b=3\cdot 6=18\text{ cm},B=5\cdot 6=30\text{ cm}.$$

Verificare. $\frac{30+18}{2}=\frac{48}{2}=24$ cm. Răspuns: bazele au $18$ cm și $30$ cm.

Exemplul 5 — Linia mijlocie și segmentul diagonalelor împreună

Enunț. Într-un trapez, linia mijlocie are $15$ cm, iar segmentul determinat de mijloacele diagonalelor are $4$ cm. Află lungimile bazelor.

Rezolvare. Folosim ambele formule surori. Din linia mijlocie: $$B+b=2\cdot MN=2\cdot 15=30.$$ Din segmentul diagonalelor: $$B-b=2\cdot PQ=2\cdot 4=8.$$ Avem un mic sistem cu suma și diferența bazelor. Adunând cele două relații: $$(B+b)+(B-b)=30+8\Rightarrow 2B=38\Rightarrow B=19\text{ cm}.$$ Apoi $b=30-19=11$ cm.

Verificare. $\frac{19+11}{2}=15$ cm (linia mijlocie) și $\frac{19-11}{2}=4$ cm (segmentul diagonalelor). Corect. Răspuns: bazele au $19$ cm și $11$ cm.

Exemplul 6 — O aplicație practică (perete de mansardă)

Enunț. Peretele din capătul unei mansarde are forma unui trapez: latura de jos (podeaua) măsoară $6$ m, iar latura de sus (unde se întâlnesc pantele acoperișului) măsoară $3,4$ m; cele două laturi sunt paralele. Vrei să montezi o poliță orizontală exact la jumătatea înălțimii peretelui, de la o pantă la cealaltă. Ce lungime va avea polița?

Rezolvare. Modelăm peretele printr-un trapez cu bazele $B=6$ m (jos) și $b=3,4$ m (sus). Polița, fiind orizontală și la jumătatea înălțimii, se sprijină pe mijloacele laturilor înclinate — deci este chiar linia mijlocie a trapezului: $$MN=\frac{B+b}{2}=\frac{6+3,4}{2}=\frac{9,4}{2}=4,7\text{ m}.$$

Răspuns: polița va avea $4,7$ m. Observă cum recunoașterea formei (trapez) și identificarea bazelor transformă o problemă „din viață" într-un simplu calcul de semisumă.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând o figură acolo unde te ajută. Verifică-ți la final răspunsurile cu cheia de mai jos.

1. Completează: linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor ............ , este paralelă cu ............ și are lungimea egală cu ............ bazelor.

2. Bazele unui trapez au $10$ cm și $16$ cm. Calculează linia mijlocie.

3. Un trapez are bazele de $7,5$ cm și $12,5$ cm. Cât este linia mijlocie?

4. Linia mijlocie a unui trapez are $9$ cm, iar baza mică are $6$ cm. Află baza mare.

5. Linia mijlocie a unui trapez are $21$ cm, iar baza mare are $30$ cm. Află baza mică.

6. Baza mare a unui trapez are $24$ cm, iar baza mică este jumătate din baza mare. Cât este linia mijlocie?

7. Adevărat sau fals (justifică): „Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele bazelor."

8. Adevărat sau fals (justifică): „Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele."

9. Adevărat sau fals (justifică): „Linia mijlocie a unui trapez poate fi egală cu una dintre baze."

10. Într-un trapez, baza mare este cu $6$ cm mai mare decât baza mică, iar linia mijlocie are $15$ cm. Află cele două baze.

11. Bazele unui trapez sunt proporționale cu $2$ și $7$, iar linia mijlocie are $27$ cm. Află lungimile bazelor.

12. Un trapez are bazele de $18$ cm și $10$ cm. Află: (a) linia mijlocie; (b) lungimea segmentului determinat de mijloacele diagonalelor.

13. Într-un trapez, linia mijlocie are $13$ cm, iar segmentul determinat de mijloacele diagonalelor are $5$ cm. Află lungimile bazelor.

14. Într-un trapez isoscel, linia mijlocie are $12$ cm, iar fiecare latură neparalelă (latura oblică) are $5$ cm. Calculează perimetrul trapezului. (Indicație: perimetrul = suma bazelor + cele două laturi neparalele.)

15. Într-un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, punctul $M$ este mijlocul lui $AD$, iar $N$ este mijlocul lui $BC$. Se știe că $MN=14$ cm și $CD=9$ cm. Află lungimea bazei $AB$.

16. Un pahar tronconic, privit din profil, are forma unui trapez isoscel cu baza de jos (fundul paharului) de $5$ cm și baza de sus (gura paharului) de $8$ cm. La ce lățime se toarnă lichidul când paharul este umplut exact pe jumătate din înălțime? Modelează cu linia mijlocie.

17. Linia mijlocie a unui trapez are $22$ cm. Dacă mărim baza mare cu $4$ cm și micșorăm baza mică cu $4$ cm, cât devine linia mijlocie? Justifică fără să afli fiecare bază.

18. Într-un trapez, baza mare este dublul bazei mici, iar linia mijlocie are $18$ cm. Află fiecare bază și verifică rezultatul cu formula semidiferenței pentru segmentul diagonalelor.

Răspunsuri și explicații

1. ...mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma (media aritmetică a) bazelor.

2. $MN=\frac{10+16}{2}=\frac{26}{2}=13$ cm. (Este între $10$ și $16$ — corect.)

3. $MN=\frac{7,5+12,5}{2}=\frac{20}{2}=10$ cm.

4. $B+b=2\cdot 9=18$, deci $B=18-6=12$ cm. (Verificare: $\frac{12+6}{2}=9$.)

5. $B+b=2\cdot 21=42$, deci $b=42-30=12$ cm. (Verificare: $\frac{30+12}{2}=21$.)

6. Baza mică $=\frac{24}{2}=12$ cm. Linia mijlocie $=\frac{24+12}{2}=\frac{36}{2}=18$ cm.

7. Fals. Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele (laturile oblice), nu ale bazelor. Este o confuzie foarte des întâlnită.

8. Adevărat. Prin teorema liniei mijlocii, $MN\parallel AB\parallel CD$: linia mijlocie este paralelă cu ambele baze.

9. Fals. Linia mijlocie este media aritmetică a bazelor, iar bazele au lungimi diferite; media a două numere diferite este strict între ele: $b<\frac{B+b}{2}<B$. Deci linia mijlocie nu poate fi egală cu niciuna dintre baze.

10. Fie baza mică $b$ și baza mare $b+6$. Suma bazelor $=2\cdot 15=30$, deci $2b+6=30\Rightarrow 2b=24\Rightarrow b=12$ cm; baza mare $=12+6=18$ cm. Bazele sunt $12$ cm și $18$ cm. (Verificare: $\frac{12+18}{2}=15$.)

11. Scriem $b=2x$, $B=7x$. Atunci $MN=\frac{2x+7x}{2}=\frac{9x}{2}=27\Rightarrow 9x=54\Rightarrow x=6$. Deci $b=12$ cm și $B=42$ cm. Bazele sunt $12$ cm și $42$ cm. (Verificare: $\frac{42+12}{2}=27$.)

12. (a) $MN=\frac{18+10}{2}=\frac{28}{2}=14$ cm. (b) Segmentul diagonalelor $=\frac{B-b}{2}=\frac{18-10}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm.

13. Suma bazelor $=2\cdot 13=26$; diferența bazelor $=2\cdot 5=10$. Adunând: $2B=36\Rightarrow B=18$ cm; apoi $b=26-18=8$ cm. Bazele sunt $18$ cm și $8$ cm. (Verificare: $\frac{18+8}{2}=13$ și $\frac{18-8}{2}=5$.)

14. Suma bazelor $=2\cdot 12=24$ cm. Perimetrul $=$ suma bazelor $+$ cele două laturi neparalele $=24+5+5=34$ cm. (Nu avem nevoie de fiecare bază separat, ci doar de suma lor, pe care linia mijlocie ne-o dă direct.)

15. $AB+CD=2\cdot MN=2\cdot 14=28$ cm, deci $AB=28-9=19$ cm.

16. Modelăm cu un trapez de baze $5$ cm și $8$ cm. Lățimea la jumătatea înălțimii $=$ linia mijlocie $=\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}=6,5$ cm.

17. Nu se schimbă: rămâne $22$ cm. Justificare: dacă baza mare crește cu $4$ și baza mică scade cu $4$, suma bazelor rămâne aceeași ($+4-4=0$). Cum linia mijlocie este jumătate din suma bazelor, ea nu se modifică.

18. Fie baza mică $b$ și baza mare $2b$. Atunci $MN=\frac{2b+b}{2}=\frac{3b}{2}=18\Rightarrow 3b=36\Rightarrow b=12$ cm; baza mare $=24$ cm. Bazele sunt $12$ cm și $24$ cm. Verificare cu semidiferența: segmentul diagonalelor $=\frac{24-12}{2}=6$ cm, iar linia mijlocie $\frac{24+12}{2}=18$ cm — coerent.

De reținut

• Definiție: linia mijlocie a trapezului este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele (nu ale bazelor!).
• Teorema liniei mijlocii: linia mijlocie este paralelă cu bazele și egală cu semisuma bazelor: $$MN=\frac{B+b}{2}.$$
• Consecință utilă: suma bazelor este dublul liniei mijlocii, $B+b=2\cdot MN$; de aici afli ușor o bază necunoscută.
• Linia mijlocie este mereu între baza mică și baza mare ca lungime: $b<\frac{B+b}{2}<B$.
• Segmentul mijloacelor diagonalelor se află pe linia mijlocie și este egal cu semidiferența bazelor: $PQ=\frac{B-b}{2}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia „mijloacele bazelor" cu „mijloacele laturilor neparalele". Linia mijlocie unește mijloacele laturilor oblice (neparalele). Dacă unești mijloacele bazelor, obții alt segment, care de regulă nici nu e paralel cu bazele. Reține corect definiția.
• Confuzia dintre semisumă și semidiferență. Linia mijlocie folosește suma bazelor: $\frac{B+b}{2}$. Segmentul mijloacelor diagonalelor folosește diferența: $\frac{B-b}{2}$. Nu le amesteca — o poziție greșită a semnului „$+$" sau „$-$" strică tot rezultatul.
• Uitarea împărțirii la 2 (sau a înmulțirii cu 2). Când afli o bază, pornește mereu de la $B+b=2\cdot MN$. O greșeală tipică este să scrii $B=MN-b$ în loc de $B=2\cdot MN-b$. Verifică: dacă înlocuiești valorile în $\frac{B+b}{2}$, trebuie să reobții linia mijlocie.
• Amestecul cu linia mijlocie din triunghi. În triunghi, linia mijlocie este jumătatea unei laturi; în trapez, este semisuma a două baze. Sunt rezultate înrudite, dar formule diferite — verifică întotdeauna dacă figura este triunghi sau trapez.

Aplică acasă

• Măsoară un obiect trapezoidal. Găsește în casă un obiect cu față de trapez (un ghiveci tronconic văzut din profil, o lampă cu abajur, o roabă privită din lateral, o rampă). Măsoară cu rigla cele două laturi paralele, calculează semisuma lor și apoi măsoară efectiv lățimea la jumătatea înălțimii. Compară: valoarea măsurată ar trebui să fie foarte apropiată de linia mijlocie calculată.
• Proiectează o poliță. Desenează pe hârtie milimetrică un perete de mansardă în formă de trapez (alege tu bazele, de exemplu $5$ m și $2,6$ m). Calculează linia mijlocie și marchează unde ai monta o poliță orizontală la jumătatea înălțimii. Notează ce lungime trebuie să comanzi pentru poliță.
• Grădina cu cărare. Imaginează un strat de flori în formă de trapez cu bazele de $8$ m și $4$ m. Vrei o cărare dreaptă care traversează la jumătatea distanței dintre baze, de la o latură oblică la cealaltă. Calculează lungimea cărării și verifică desenând la scară (de exemplu $1$ m $=1$ cm).

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două idei mari: definiția precisă (mijloacele laturilor neparalele) și teorema liniei mijlocii (paralelă cu bazele, egală cu semisuma lor). Cel mai bun test că elevul a înțeles nu este să recite formula, ci să o poată folosi în ambele sensuri: să afle linia mijlocie din baze și să afle o bază din linia mijlocie.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce mijloace unește linia mijlocie — ale bazelor sau ale laturilor oblice?" (Răspuns corect: ale laturilor neparalele. Este confuzia numărul unu.)
• „De ce linia mijlocie este întotdeauna între cele două baze ca lungime?" (Pentru că este media lor.)
• „Dacă mărești o bază cu $3$ cm și micșorezi cealaltă cu $3$ cm, ce se întâmplă cu linia mijlocie?" (Rămâne neschimbată — un semn că elevul înțelege că doar suma bazelor contează.)

Semnale că elevul stăpânește tema: face un desen înainte de calcul, notează corect $B+b=2\cdot MN$ și își verifică rezultatul reintroducându-l în formulă. Dacă elevul aplică formula fără figură și greșește semnul la semidiferență, reveniți la demonstrația cu diagonala — vederea celor două triunghiuri ($\frac{b}{2}$ sus, $\frac{B}{2}$ jos) fixează logica mult mai bine decât memorarea seacă.

Întrebări frecvente

Ce este linia mijlocie a unui trapez? Este segmentul care unește mijloacele celor două laturi neparalele (laturile oblice) ale trapezului. Ea este paralelă cu bazele și „stă" exact la jumătatea înălțimii trapezului.

Care este formula liniei mijlocii la clasa a 7-a? Linia mijlocie este egală cu semisuma bazelor: $MN=\frac{B+b}{2}$, unde $B$ și $b$ sunt lungimile celor două baze. Cu alte cuvinte, aduni bazele și împarți la 2 (media lor aritmetică).

Linia mijlocie unește mijloacele bazelor sau ale laturilor neparalele? Ale laturilor neparalele. Este greșeala clasică la acest capitol. Dacă ai uni mijloacele bazelor, ai obține cu totul alt segment, care de obicei nici nu e paralel cu bazele.

Cum aflu o bază dacă știu linia mijlocie și cealaltă bază? Pornește de la faptul că suma bazelor este dublul liniei mijlocii: $B+b=2\cdot MN$. Apoi scazi baza cunoscută: de exemplu, $B=2\cdot MN-b$.

Este linia mijlocie paralelă cu bazele? Da. Conform teoremei liniei mijlocii, ea este paralelă atât cu baza mare, cât și cu baza mică: $MN\parallel AB\parallel CD$.

Ce lungime are segmentul dintre mijloacele diagonalelor trapezului? El se află pe linia mijlocie și este egal cu semidiferența bazelor: $PQ=\frac{B-b}{2}$ (jumătate din diferența dintre baza mare și baza mică).

Care este diferența dintre linia mijlocie în triunghi și cea în trapez? În triunghi, linia mijlocie unește mijloacele a două laturi și este jumătate din a treia latură. În trapez, unește mijloacele laturilor neparalele și este semisuma bazelor. Ideea de „mijloace" e comună, dar formulele diferă.

Poate linia mijlocie să fie egală cu una dintre baze? Nu. Fiind media aritmetică a două baze diferite, ea este strict cuprinsă între ele: $b<\frac{B+b}{2}<B$. Deci nu poate fi egală nici cu baza mică, nici cu baza mare.